Теория алгебраических структур

Размещено на http://www.allbest.ru/

Теория алгебраических структур

1. Создание теории

Для начала отметим, что алгебраические структуры являются частью универсальной алгебры, т. к. она рассматривает их общие свойства.

Первые работы по общей теории универсальных алгебр относятся к 30-м годам 20 века и принадлежат американскому математику Г. Биркгофу. В те же годы советские математики А.И. Мальцев и А. Татарский заложили основы теории моделей, т.е. множеств с отмеченными на них отношениями.

В дальнейшем теория универсальных алгебр и теория моделей столь тесно переплелись между собой, что привело к возникновению новой дисциплины, пограничной между алгеброй и математической логикой, - теории алгебраических систем, изучающей множества с определенными на них алгебраическими операциями и отношениями.

Алгебра (от араб. ЗбМИСээ, «аль-джабр» -- восполнение) -- раздел математики, который можно грубо охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики. Слово «алгебра» также употребляется в названиях различных алгебраических систем. В более широком смысле под алгеброй понимают раздел математики, посвящённый изучению операций над элементами множества произвольной природы, обобщающий обычные операции сложения и умножения чисел.

Алгебра -- это наука, изучающая алгебраические системы с точностью до изоморфизма^.

Алгебра -- упорядоченная пара множеств . Первое множество () -- элементы какой-либо природы (числа, понятия, буквы). Второе множество () -- операции над первым множеством (сложение, умножение, возведение в степень). Примеры: группа, кольцо, поле.

Алгебру можно грубо разделить на следующие категории:

Элементарная алгебра, которая изучает свойства операций с вещественными числами, где символами обозначаются постоянные и переменные, а также правила преобразования математических выражений и уравнений с использованием этих символов. Обычно преподаётся в школе под названием алгебра. Университетские курсы теории групп тоже можно назвать элементарной алгеброй.

Общая алгебра, иногда называемая современной алгеброй или абстрактной алгеброй, где алгебраические структуры, такие как группы, кольца и поля аксиоматизируются и изучаются.

Линейная алгебра, в которой изучаются свойства векторных пространств (включая матрицы).

Универсальная алгебра, в которой изучаются свойства, общие для всех алгебраических структур (считается подразделом общей алгебры).

Алгебраическая теория чисел изучает свойства чисел в различных алгебраических системах. Теория чисел была создана путём расширения и обобщения алгебры.

Алгебраическая геометрия применяет достижения алгебры для решения проблем геометрии.

Алгебраическая комбинаторика, в которой методы абстрактной алгебры используются для изучения вопросов комбинаторики.

Элементарная алгебра -- раздел алгебры, который изучает самые базовые понятия. Обычно изучается после изучения основных понятий арифметики. В арифметике изучаются числа и простейшие (+, ?, Ч, ч) действия с ними. В алгебре числа заменяются на переменные (a, b, c, x, y и так далее). Такой подход полезен, потому что:

Позволяет получить общее представление законов арифметики (например, a+b=b+a для любых a и b), что является первым шагом к систематическому изучению свойств действительных чисел.

Позволяет ввести понятие «неизвестного», сформулировать уравнения и изучать способы их решения. (Для примера, «Найти число x, такое что 3x + 1 = 10» или, в более общем случае, «Найти число x, такое что ax + b = c». Это приводит к выводу, что нахождение значения переменной кроется не в природе чисел из уравнения, а в операциях между ними.)

Позволяет сформулировать понятие функции. (Для примера, «Если вы продали x билетов, то ваша прибыль составит 3x ? 10 рублей, или f(x) = 3x ? 10, где f-- функция, и x-- число, от которого зависит функция.»)

Линейная алгебра -- часть алгебры, изучающая векторы, векторные, или линейные пространства, линейные отображения и системы линейных уравнений. К линейной алгебре также относят теорию определителей, теорию матриц, теорию форм (например, квадратичных), теорию инвариантов (частично), тензорное исчисление (частично)^[4]. Современная линейная алгебра делает акцент на изучении векторных пространств^[5]

Линейное, или векторное пространство над полем -- это упорядоченная четвёрка , где

-- непустое множество элементов произвольной природы, которые называются векторами;

-- (алгебраическое) поле, элементы которого называются скалярами;

- +: V+V > V-- операция сложения векторов, сопоставляющая каждой паре элементов множества единственный элемент множества , обозначаемый ;

-- операция умножения векторов на скаляры, сопоставляющая каждому элементу поля и каждому элементу множества единственный элемент множества , обозначаемый ; причём, заданные операции удовлетворяют следующим аксиомам -- аксиомам линейного (векторного) пространства:

, для любых (коммутативность сложения);

, для любых (ассоциативность сложения); существует такой элемент , что для любого (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности не пусто;

для любого существует такой элемент , что (существование противоположного элемента относительно сложения).

(ассоциативность умножения на скаляр);

(унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля F сохраняет вектор).

(дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);

(дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).

Общая алгебра занимается изучением различных алгебраических систем. В ней рассматриваются свойства операций над объектами независимо от собственно природы объектов. Она включает в себя в первую очередь теории групп и колец. Общие свойства, характерные для обоих видов алгебраических систем привели к рассмотрению новых алгебраических систем: решёток, категорий, универсальных алгебр, моделей, полугрупп и квазигрупп. Упорядоченные и топологические алгебры, частично упорядоченные и топологические группы и кольца, также относятся к общей алгебре.

Точная граница общей алгебры не определена. К ней можно также отнести теорию полей, конечных групп, конечномерных алгебр Ли.

2. Теория конечных групп симметрий

алгебраический математика симметрия число

Группа симметрии (также группа симметрий) некоторого объекта (многогранника или множества точек из метрического пространства) Ї это группа всех движений, для которых данный объект является инвариантом, с композицией в качестве групповой операции. Как правило, рассматриваются множества точек n-мерного евклидова пространства и движения этого пространства, но понятие группы симметрии сохраняет свой смысл и в более общих случаях.

Примеры

Группа симметрии равностороннего треугольника на плоскости состоит из тождественного преобразования, поворотов на углы 120° и 240° вокруг центра треугольника и отражений относительно его высот. В этом случае группа симметрии состоит из 6 преобразований, которые осуществляют все возможные перестановки вершин треугольника. Следовательно, эта группа изоморфна симметрической группе S3. Однако группа симметрии квадрата имеет порядок 8, а симметрическая группа S4 изоморфна группе симметрии правильного тетраэдра.

Группа симметрии разностороннего треугольника тривиальна, то есть состоит из одного элемента Ї тождественного преобразования.

Если считать, что человеческое тело зеркально симметрично, то его группа симметрии состоит двух элементов: тождественного преобразования и отражения относительно плоскости, которая делит тело на симметричные друг другу правую и левую части.

Произвольное периодическое замощение плоскости (или орнамент) имеет группу симметрии, элементы которой всеми возможными способами совмещают некий фиксированный элемент замощения с каждым конгруэнтным ему элементом.

3. Группы матриц, перестановок

Матричная группа или группа матриц -- группа квадратных (n Х n)-матриц с элементами из ассоциативного кольца с единицей относительно обычного умножения матриц.

Группы перестановок

Группа перестановок степени n - множество S(n) перестановок п «предметов». Группой перестановок также называется симметрической группой. Условимся считать, что данные предметы размещены на п занумерованных местах и символ

обозначает перестановку, которая состоит в перемещении предмета с места i_k на место j_k (движение вниз). Из этого представления видно, что порядок расположения пар (i_kj_k) в символе S не имеет значения, а умножение в группе S(n)

напоминает закон умножения матриц. Группа перестановок является конечной группой порядка n!

Элементы из S(n) могут быть порождены более простыми элементами, называемыми циклами или транспозициями, напр.

где каждый цикл (i₁i₂...i_m) определяется как частичная перестановка

Цикл из двух символов называется транспозицией. Цикл можно записать иначе: (1234) = (2341) = (3412) = (4123). Произведение непересекающихся циклов коммутативно: (1234) (567) = (567) (1234); цикл с одним символом обычно опускают. Любой цикл можно представить как произведение транспозиций: (1234) = (12)(13)(14) (действие слева направо). Каждая перестановка представляется в виде произведения непересекающихся циклов (однозначно, с точностью до порядка множителей).

4. Задачи

Задача 1. Является ли <N;+,-;Ј> алгебраической системой?

Решение. Для того, чтобы можно было говорить об алгебраической системе, мы должны удостовериться, что все операции алгебраические - т.е. определены для любых элементов и замкнуты (т.е. результат принадлежит носителю). В данном случае операция + - алгебраическая, а операция - не является алгебраической, т.к. разность двух натуральных чисел не всегда является натуральным числом. Таким образом, <N;+,-;Ј> не является алгебраической системой.

Пример. Одной из основных моделей в математике является упорядоченное множество. Сигнатура этой модели состоит из единственного отношения порядка. Важным частным случаем служит индуктивное упорядоченное множество.

Как уже было замечено, любое полукольцо, в частности замкнутое полукольцо, является алгебраической системой, сигнатура которой помимо операций полукольца содержит отношение естественного порядка полукольца.

Рассмотрим теперь некоторое поле, множество всех ненулевых элементов которого разбито на подмножества и . Другими словами, по определению полагаем, что для каждого выполняется в точности одно из трех условий: или . Элементы назовем (условно) положительными, а элементы -- отрицательными элементами данного поля. При этом, по определению, выполняются следующие условия:

1) для каждогоа отрицательно тогда и только тогда, когда положительно, т.е. ; 2) если , то и .

Введенные условия вполне естественны: первое означает, что элемент, противоположный к отрицательному, является положительным и наоборот, а второе -- что сумма и произведение положительных элементов положительны.

Введем теперь на множествебинарное отношениетак, что (читается: " меньше ", по определению, если разность есть положительный элемент). Естественно, полагаем, что означает или . Можно показать, что введенное таким образом отношение на носителе поля является отношением линейного порядка, т.е. для любых двух элементов или , или .

Поле вместе с отношением порядка, введенным указанным образом, называют упорядоченным полем. Таким образом, упорядоченное поле можно рассматривать как алгебраическую систему , в которой алгебра является полем, а отношение порядкаопределено так, как сказано выше.

Пусть, кроме этого, отношение порядка в упорядоченном поле обладает следующим свойством непрерывности: каковы бы ни были непустые множества и , у которых для любых двух элементов и выполняется , существует такой элемент, что для всехивыполняется двойное неравенство . Тогда получаем алгебраическую систему, называемую непрерывным упорядоченным полем. Важнейший пример непрерывного упорядоченного поля -- поле действительных чисел.

Заметим, что поле рациональных чисел, являясь упорядоченным полем, уже не будет непрерывным. Это вытекает из того, что можно построить такие два собственных подмножества , что для всех и для всех будет иметь место , но нельзя найти такое рациональное число, чтобы выполнялось . Такими двумя подмножествами и в множестве рациональных чисел могут быть, например, . Дело в том, что, как можно убедиться, не существует наибольшего рационального числа в множестве . В множестве же наибольшее из всех чисел, квадрат которых не больше 2, существует и равно .

Размещено на Allbest.ru