Теория множеств

Размещено на http://www.allbest.ru/

Теория множеств

1. История создания теории

Для начала нужно разобраться, что представляет собой теория множеств. Итак, теория множеств - это раздел математики, в котором изучаются общие свойства конечных и бесконечных множеств. Уточним, что множеством является «произвольная совокупность определенных и различимых объектов, объединенных мысленно в единое целое».

Основные положения теории множеств были впервые разработаны чешским философом, математиком и логиком, профессором теологии Бернардом Больцано (1781-1848), немецкими математиками Рихардом Дедекиндом (1831-1916) и Георгом Кантором (1845-1918). Помимо математического поприща, Кантор являлся профессором Галльского университета. Он внес в теорию множеств (особенно бесконечных) наибольший вклад, поэтому теория множеств тесно связана с его именем.

Официально теория множеств была признана в 1897 г., когда французский механик Жак Адамар (1865-1963) и немецкий математик Адольф Гурвиц (1859-1919) на Первом международном конгрессе математиков в Цюрихе 1897 года в своих докладах привели многочисленные примеры применения теории множеств в различных разделах математики.

2. Алгебра множеств

В этой главе будут даны ответы на следующие вопросы с наглядной демонстрацией для лучшего понимания учащимися: что такое алгебра множеств, и какими операциями она определена. А также будет рассказано о некоторых свойства данной алгебры.

В советской математической энциклопедии сказано, что алгебра множеств - это непустая совокупность подмножеств некоторого множества W, замкнутая относительно теоретико-множественных операций (объединения, пересечения, образования дополнения), производимых в конечном числе. Для того чтобы некоторый класс подмножеств множества W был алгеброй множеств, достаточно (и необходимо), чтобы он был замкнут относительно образования объединений и дополнений.

Иными словами можно сказать, под алгеброй множеств подразумеваются операции над множествами. Их немного: объединение, пересечение, разность и дополнение.

Объединением или суммой множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат хотя бы одному из множеств А или В.

Запись. С: A ? B = {x: x ? A или x ? B}

Рис.1. Операция объединения множеств А и В

Пересечением или произведением множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.

Запись: С: A ? B = {x: x ? A и x ? B}

Рис 2. Операция пересечение множеств А и В.

Разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из элементов множества А и не принадлежащих множеству В.

Запись. C: A \ B = {x: x ? A и x ? B}

Рис 3. Операция разности множеств А и В.

Симметрической разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из объединения элементов А, не входящих в В, с элементами В не входящими в А.

Запись. С: А Д В= (А\ В) ? (В\ А).

Рис 4. Операция симметрической разности множеств А и В.

Дополнением множества А есть множество, элементы которого принадлежат универсальному множеству (т.е. содержащему все возможные множества) U и не принадлежат А.

Запись. C(A) = {x: x ? U и x ? A}

Необходимо добавить, что операции сложения и пересечения множеств удовлетворяют условиям сочетательности и переместительности (иначе ассоциативности или коммутативности).

3. Мощность множеств

Мощность множества в математике - это обобщение на произвольные множества понятия «число элементов». Мощность множества определяется методом абстракции как то общее, что есть у всех множеств, эквивалентных (количественно) данном.

Возможность сравнительной количественной оценки множеств опирается на понятие взаимно однозначного соответствия между двумя множествами. Пусть каждому элементу множества А поставлен в соответствие в силу какого бы то ни было правила или закона некоторый определённый элемент множества В; если при этом каждый элемент множества оказывается поставленным в соответствие одному и только одному элементу множества А, то говорят, что между множествами А и В установлено взаимно однозначное соответствие [сокращённо: (1--1) - соответствие]. Очевидно, между двумя конечными множествами можно установить (1--1) - соответствие тогда и только тогда, когда оба множества состоят из одного и того же числа элементов. В обобщение этого факта определяют количественную эквивалентность, или равномощность, двух бесконечных множеств как возможность установить между ними (1--1) - соответствие.

Ценность понятия мощности множества определяется существованием неравномощных бесконечных множеств. Множество, равномощное множеству всех натуральных чисел, называется счётным множеством. Мощность счётных множеств есть наименьшая мощность, которую может иметь бесконечное множество. Кантор доказал, что множество всех рациональных и даже всех алгебраических чисел счётно, тогда как множество всех действительных чисел несчётно. Мощность множества всех действительных чисел называется мощностью континуума.

4. Кардинальные числа

Кардинальным числом или коротко кардиналом в теории множеств называется объект, который характеризует мощность множества. Кардинальное число какого-либо множества A обозначается как |A|, либо Card A.

Для конечного множества A кардинальное число |A| есть натуральное число, которое означает количество элементов этого множества. Для бесконечных множеств кардинальное число является обобщением понятия числа элементов.

Хотя кардинальные числа бесконечных множеств не имеют отражения в натуральных числах, но их можно сравнивать. Пусть A и B -- бесконечные множества, тогда логически возможны следующие четыре случая:

существует взаимно-однозначное соответствие между A и B, т.е. A ~ B и |A|=|B|.

существует взаимно-однозначное соответствие между множеством A и некоторым собственным подмножеством B' множества B. Тогда говорят, что мощность множества A не больше мощности множества B и записывают: |A|?|B|.

множество A равномощно некоторому подмножеству множества B, и наоборот, множество B равномощно некоторому подмножеству множества A, то есть A~B' ? B и B~A' ? A. По теореме Кантора-Бернштейна в этом случае выполняется A ~ B, то есть |A|=|B|.

не существует взаимно-однозначного соответствия между множеством A и любым подмножеством множества B и, также не существует взаимно-однозначного соответствия между множеством B и любым подмножеством множества A. Из этого следует, что мощности множеств A и B несопоставимы между собой.

Однако более глубокие исследования в теории множеств показали, что, опираясь на аксиому выбора, можно доказать невозможность существования четвёртого случая.

Таким образом, мощности любых двух множеств A и B всегда сопоставимы между собой. То есть для кардинальных чисел |A| и |B| произвольных множеств A и B выполняется одно из трёх соотношений:

|A|=|B|;

|A|?|B|:

|B|?|A|.

Если |A|?|B|, но множество A неравномощно множеству B, то тогда |A|<|B|.

5. Теория меры

математика множество геометрия интеграл

Теория меры - раздел математики, изучающий свойства мер множеств. Она возникла на основе работ французских математиков Мари Энмона Камиль Жордана (1838-192), Эмиль Бореля (1871-1956) и в особенности Анри Леон Лебега (1875-1941) в конце 19-начале 20 вв., в которых понятия длины, площади и объёма распространялись за пределы класса обычно рассматриваемых в геометрии фигур. Впоследствии предметом теории меры стали меры в наиболее общем понимании. Развитие теории меры тесно связано с развитием теории интеграла.

Теория меры и интегрирования является важным разделом общей теории математических функций, берущей начало с работ Анри Лебега (1906) по теории интеграла. Этот раздел занимается изучением природы основных операций математического анализа. Одна из наиболее важных проблем, которая привела к развитию теории меры и интегрирования, возникла в связи с рядами Фурье. За сто или более лет до Лебега было известно, что тригонометрическим многочленом, дающим наилучшее среднеквадратичное приближение к данной функции, является ряд, порождаемый коэффициентами Фурье данной функции. Иначе говоря, при заданном k,

принимает минимальное значение, если коэффициенты определяются по формулам Фурье:

6. Парадоксы теории множеств

Парадоксы в общепринятом смысле - это формально-логические противоречия, которые возникают в содержательном множестве теории и формальной логике при сохранении логической правильности рассуждения. Они возникают тогда, когда два взаимоисключающих (противоречащих) суждения оказываются в равной мере доказуемыми. Парадоксы могут появиться как в пределах научной теории, так и в обычных рассуждениях (например, приводимая британским математиком Бертраном Расселом перифраза его парадокса о множестве всех нормальных множеств: «Деревенский парикмахер бреет всех тех и только тех жителей своей деревни, которые не бреются сами. Должен ли он брить самого себя?»). Поскольку формально-логическое противоречие разрушает рассуждение как средство обнаружения и доказательства истины (в теории, в которой появляется парадокс, доказуемо как истинное, так и ложное предложение), возникает задача выявления источников парадокса и нахождения способов их устранения. Проблема философского осмысления конкретных решений парадокса -- одна из важных методологических проблем формальной логики и логических оснований математики.

Рассмотрим некоторые примеры наиболее известных парадоксов «наивной» теории множеств.

Парадокс Рассела-Цермело (1905). Этот парадокс вызывал значительно большую тревогу, чем парадокс Кантора, ибо он связан не с каким-либо специальным вопросом теории множеств, а с самим канторовским пониманием множества. Рассматривается свойство множеств, заключающееся в том, что оно выполняется для произвольного множества X тогда и только тогда, когда X не является элементом самого себя. Ясно, что для подавляющего большинства множеств, таких, например, как множества всех натуральных или всех действительных чисел, данное свойство выполняется. Поэтому множества, обладающие таким свойством, получили названия нормальных.

Рассмотрим теперь множество R всех нормальных множеств. Очевидно, возможны два случая: R либо является элементом самого себя, либо нет. Из определения множества R получаем, что в первом случае R не является элементом самого себя, а во втором -- является. Таким образом, в обоих случаях мы приходим к двум исключающим друг друга утверждениям и, следовательно, к парадоксу.

Как и в случае с парадоксом Кантора, парадокс Рассела можно интерпретировать как утверждение, что множества R не существует. Однако для такой интерпретации в рамках «наивной» теории множеств нет достаточных оснований, поскольку в ней считается естественным, что всякое точно описанное свойство объектов определяет множество R тех объектов, которые удовлетворяют нашему свойству. Парадокс Рассела-Цермело как раз призывает осторожно относиться к этому и подобным естественным представлениям о множествах.

Парадокс Кантора (1899). Кантор рассматривает множество М всех возможных множеств, а также множество всех его подмножеств Р (М). Ясно, что множество Р (М) включено в М, поэтому мощность множества М по крайней мере не меньше, чем мощность множества Р (М) (утверждение 1). С другой стороны, согласно известной теореме Кантора, мощность множества всегда меньше, чем мощность множества всех его подмножеств. Другими словами, мощность множества М, согласно этой теореме, строго меньше, чем мощность множества Р (М) (утверждение 2). Очевидно, что утверждение 1 и утверждение 2 взаимно исключают друг друга.

Следовательно, пользуясь законными с точки зрения «наивной» теории множеств Кантора средствами, мы приходим к парадоксу. Его можно интерпретировать как доказательство несуществования множества всех множеств М.

7. Задачи по теории множеств

Задача 1. Докажите тождество A U B=A U (B\A).

Решение: Чтобы доказать это тождество, нужно показать, что каждый элемент первого множества принадлежит второму и наоборот, то есть эти множества совпадают.

Пусть x ? AU B, то есть x ? A или x ? B. Если x ? A, то x ? A U(B\A). Если x ? A, но x ? B, то x ? B\A, следовательно, x ? A U (B\A).

Пусть x ? A U (B\A), то есть x ? A или x ? B\А. Если x ? A, то x ? A U B. Если x ? В, но x ? A (x ? B\А), то x ? A U B.

Таким образом, тождество доказано.

Задача 2 (Льюиса Керрола). В одной из повестей Льюиса Керрола - автора «Алисы в стране чудес», «Алисы в зазеркалье» и др. - есть такая задача: «В ожесточенном бою 70 из 100 пиратов потеряли один глаз, 75 - одно ухо, 80 - одну руку и 85 одну ногу. Каково минимальное количество потерявших одновременно глаз, ухо, руку и ногу?»

Решение: Обозначим через А - множество пиратов, потерявших один глаз, через В - одно ухо, через С - одну руку, через D - одну ногу. Тогда множество потерявших и глаз, и ухо, и руку, и ногу одновременно - АВСD. Универсальное множество I можно представить в виде:

I = () (АВСD). По закону Моргана Законы де Моргана (правила де Моргана) -- логические правила, связывающие пары логических операций при помощи логического отрицания. Открыты шотландским математиком Огастесом де Морганом. Они гласят, что: =. (На рис. 1. множество АВСD выделено на диаграмме темно-серым цветом, множество - светло-серым).

Рис. 5

Так как множества и АВСD не пересекаются, то N(I)= N()+N(АВСD). Множества , , и могут попарно пересекаться. Значит N()N()+N()+N()+N(). N()=N(I) - N(A) = 100 - 70 = 30, N()=N(I) - N(В) = 100 - 75 = 25, N()=N(I) - N(С) = 100 - 80 = 20, N()=N(I) - N(D) = 100 - 85 = 15. Таким образом, N(I) N()+N()+N()+N()+N(АВСD), а N(АВСD)N(I)-N()-N()-N()-N()=100 - 30 - 25 - 20 - 15=10.

Итак, N(АВСD)10, т.е. не менее 10 пиратов одновременно лишились и глаза, и уха, и руки, и ноги.

Задача 3. Начертите фигуры, изображающие множества:

А={(x,y) ? R² | x²+y²<=1},

В={(x,y) ? R² | x²+(y-1)²<=1}, где R² - вещественная плоскость. Какие фигуры изображают множества АUВ, А?В, R²\А?

Решение:

Задача 4. Определите свойства следующих отношений:

1. «прямая x пересекает прямую y» (на множестве прямых);

2. «число x больше числа y на 2» (на множестве натуральных чисел);

3. «число x делится на число y без остатка» (на множестве натуральных чисел);

4. «x - сестра y» (на множестве людей).

Решение:

1. xRy = «прямая x пересекает прямую y» (на множестве прямых).

Это отношение:

Рефлексивное, так как «прямая x пересекает прямую x» выполняется для любой прямой (она пересекает себя в каждой точке);

Симметрическое, так как из того, что «прямая x пересекает прямую y» следует, что «прямая y пересекает прямую x» для любых прямых x,y.

Также можно заметить, что это отношение не является тождественным, транзитивным и полным.

2. xRy = «число x больше числа y на 2» (на множестве натуральных чисел).

Это отношение:

Антирефлексивное, так как ни для одного элемента из множества натуральных чисел не выполняется «число x больше числа x на 2»;

Антисимметрическое, так как для любых элементов x,y из множества натуральных чисел из того, что «число x больше числа y на 2» следует невыполнение того, что «число y больше числа x на 2».

Также можно заметить, что это отношение не является тождественным, транзитивным и полным.

3. xRy = «число x делится на число y без остатка» (на множестве натуральных чисел).

Это отношение:

Рефлексивно, так как для любого элемента x из множества натуральных чисел выполняется «число x делится на число x без остатка»;

Тождественно, так как для любых элементов x,y из множества натуральных чисел из того, что «число x делится на число y без остатка» и «число y делится на число x без остатка», следует, что x = y;

Транзитивное, так как для любых элементов x,y,z из множества натуральных чисел из того, что «число x делится на число y без остатка» и «число y делится на число z без остатка», следует, что «число x делится на число z без остатка».

Также можно заметить, что это отношение не является симметрическим, антисимметрическим и полным.

4. xRy = «x - сестра y» (на множестве людей)

Это отношение:

Антирефлексивно, так как для любого человека x неверно, что «x - сестра x»;

Транзитивно, так как для любых людей x, y, z таких что «x - сестра y» и «y - сестра z» следует, что «x - сестра z».

Также можно заметить, что это отношение не является симметрическим, антисимметрическим, тождественным и полным.

Задача 5. Проверить, является ли отношением эквивалентности на множестве всех прямых на плоскости отношение «непересекающихся прямых».

Решение: Введем множество X - множество всех прямых на плоскости и отношение R = {x, y? X : x не пересекает y} = {x, y? X : x параллельна y}. Это отношение будет отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно (см. предыдущую задачу). Проверим наличие этих свойств.

1) R рефлексивно, так как для любой прямой x? X справедливо xRx (считаем, что прямая параллельна самой себе).

2) R симметрично, так как для любых прямых x, y? X выполняется xRy? yRx (так как если x параллельна y, то и y параллельна x ).

3) R транзитивно, так как для любых прямых x, y, z? X выполняется xRy, yRz? xRz (так как две прямые (x и z), параллельные третьей (y), параллельны).

Таким образом, R - отношение эквивалентности.

Размещено на Allbest.ru