Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство железнодорожного транспорта

Московский государственный университет путей сообщения

Смоленский филиал МИИТ

КУРСОВАЯ РАБОТА

на тему: "Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы"

Смоленск 2012 г.

Оглавление

• Введение
• Часть I. Задачи по основным разделам теории вероятностей
• Часть II. Статистическое моделирование
• Заключение
• Литература
• Введение
• Теория вероятностей является одним из классических разделов математики. Она имеет длительную историю. Основы этого раздела науки были заложены великими математиками. Например, Ферм, Бернулли, Паскаль. Позднее развитие теории вероятностей определились в работах многих ученых. Большой вклад в теорию вероятностей внесли ученые нашей страны: П.Л. Чебышев, А.М. Ляпунов, А.А. Марков, А.Н. Колмогоров. Вероятностные и статистические методы в настоящее время глубоко проникли в приложения. Они используются в физике, технике, экономке, биологии и медицине. Особенно возросла их роль в связи с развитием вычислительной техники. Например, для изучения физических явлений производят наблюдения или опыты. Их результаты обычно регистрируют в виде значений некоторых наблюдаемых величин. При повторении опытов мы обнаруживаем разброс их результатов. Например, повторяя измерения одной и той же величины одним и тем же прибором при сохранении определенных условий (температура, влажность и т.п.), мы получаем результаты, которые хоть немного, но все же отличаются друг от друга. Даже многократные измерения не дают возможности точно предсказать результат следующего измерения. В этом смысле говорят, что результат измерения есть величина случайная. Еще более наглядным примером случайной величины может служить номер выигрышного билета в лотерее.
• Можно привести много других примеров случайных величин. Все же и в мире случайностей обнаруживаются определенные закономерности. Математический аппарат для изучения таких закономерностей и дает теория вероятностей.
• Таким образом, теория вероятностей занимается математическим анализом случайных событий и связанных с ними случайных величин. Как уже говорилось, раздел математики, изучающий закономерности случайных событий, называют "теорией вероятностей". Эта теория имеет дело не с отдельными событиями, а с результатом проведения достаточно большого числа испытаний, т.е. с закономерностями массовых случайных явлений. По определению, приведенному в БСЭ, теория вероятностей есть математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятность других случайных событий, связанных каким-либо образом с первыми.
• Часть I. Задачи по основным разделам теории вероятностей
• Задание № 6
• Из трех орудий произвели залп по цели. Вероятность попадания в цель при одном выстреле только из первого орудия равна 0,7; из второго - 0,6; из третьего - 0,8. Найти вероятность того, что: 1) хотя бы один снаряд попадет в цель; 2) только два снаряда попадут в цель; 3) все три снаряда попадут в цель.
• Решение:
• дано 3 вероятности попадания: p1=0,7 p2=0,6 p3=0,8.
• Соответственно, противоположно им 3 вероятности промаха вычисляются по формуле
• q=p=1-p
• q1=1-0,7=0,3; q2=1-0,6=0,4; q3=1-0,8=0,2.
• Составим производящую функцию:
• (z)=(p1z+q1)*(p2z+q2)*(p3z+q3)
• подставим значения
• (z)=(0,7z+0,3)*(0,6z+0,4)*(0,8z+0,2)
• (z)=0,336z3+0,452z2+0,188z+0,024
• По коэффициентам получаем:
• Р(3)=0,336 вероятность что все три снаряда попадут в цель;
• Р(2)=0,452 вероятность что только два снаряда попадут в цель;
• Р(1)=0,188 вероятность что только один снаряд попадет в цель;
• P(0)=0,024 вероятность что ни один снаряд не попадет в цель.
• Контроль по формуле:
• Р(3)+Р(2)+Р(1)+Р(0)=1
• 0,336+0,452+0,188+0,024=1
• Вероятность, что хотя бы один снаряд попадет в цель есть противоположное вероятности что ни один снаряд не попадет в цель, то есть Р=1-Р(0)=1-0,024=0,976.
• Задание № 16
• Задана непрерывная случайная величина Х функцией распределения F(x). Требуется: 1) найти плотность распределения вероятностей f(x); 2) схематично построить график функций f(x) и F(x); 3) найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины Х; 4) найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (б;в).
• Дано: F(x)= ,
• Решение:
• а) Плотность распределения равна первой производной от функции распределения:
• Заметим, что при производная F'(x) не существует.
• б) График функции F(x)
• График функции f(x)
• в) Математическое ожидание непрерывной случайной величины X, когда все возможные значения принадлежат интервалу , а вне этого интервала , равняется:
• В данном случае:
• =0.6
• Дисперсия непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат интервалу , равняется:
• Среднеквадратическое отклонение непрерывной случайной величины X определяется так же, как и для дискретной величины:
• В данном случае:
• г) Вероятность того, что X примет значение, заключенное в интервале , равна приращению функции распределения на этом интервале:
• В данном случае:
• Ответ:
• Задание № 26
• Заданы математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение у нормально распределенной случайной величины Х. Написать плотность распределения вероятностей и схематично построить график. Найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (б;в). Определить приближенно максимальное и минимальное значение случайной величины Х, следуя правилу "трех сигм". Найти вероятность того, что Х примет значение, превышающее в; найти интервал, симметричный относительно математического ожидания а, в котором с вероятностью г будут заключены значения случайной величины Х.
• Дано: а=10, у=4, б=6, в=18, г=0,90.
• Решение:
• а) Так как случайная величина X имеет нормальный закон распределения, то плотность распределения имеет вид:
• По условию и , тогда:
• График плотности распределения вероятностей
• б) Воспользуемся формулой:
• По условию , тогда:
• в) По правилу "трёх сигм" событие является практически достоверным событием.
• По условию , тогда:
• Таким образом, по правилу "трёх сигм":
• г) Оценим :
• Таким образом, в данном случае:
• д) Оценим
• Найдём из последнего условия .
• По условию , тогда:
• Тогда искомый интервал имеет вид:
• или или
• Ответ:
• б) ;
• в) ;
• г)
• д)
• Задание № 36
• Заданы среднее квадратическое отклонение у нормально распределенной случайной величины Х, выборочная средняя и объем выборки n. Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания a с доверительной вероятностью г=0,95.
• Дано: хВ=25,62; n=64; у=10.
• Решение:
• Требуется найти доверительный интервал:
• Все величины, кроме t, известны. Найдём t из соотношения:
• Подставив , получаем:
• Ответ:
• Задание № 46
• В результате проверки n контейнеров установлено, что число изделий Х, поврежденных при транспортировке и разгрузке, имеет эмпирическое распределение, сведенное в таблицу, где xi - количество поврежденных изделий в одном контейнере, n - частота этого события, то есть число контейнеров, содержащих Xi поврежденных изделий. При уровне значимости а требуется проверить гипотезу о том, что случайная величина Х распределена по закону Пуассона. Использовать критерий согласия Пирсона (Х 2).
• Дано: n=100; а=0,05
• .

	0	1	2	3	4	5
	36	35	19	7	2	1

• Решение:
• Найдём выборочную среднюю:
• Используем закон Пуассона:
• Примем в качестве оценки параметра распределения Пуассона выборочную среднюю: .
• Следовательно, закон Пуассона имеет вид:
• Положив , найдём вероятности появления повреждённых изделий в 100 контейнерах:
• Найдём теоретические частоты по формуле:
• Подставив в эту формулу найденные значения вероятностей , получим:
• Сравним эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона. вероятность математический статистический закономерность
• Для начала объединим малочисленные частоты и соответствующие им теоретические частоты:
• и
• Далее составим расчётную таблицу:

1	2	3	4	5	6
0 1 2 3 4	36 35 19 7 3	34,3 36,7 19,6 7 2,3	1,7 -1,7 -0,6 0 0,7	2,89 2,89 0,36 0 0,49	0,084 0,079 0,018 0 0,213
?	100

• Из расчетной таблицы находим наблюдаемое значение критерия Пирсона:
• Определяем число степеней свободы , где s число различных групп выборки:
• Далее по таблице критических точек распределения находим критическую точку правосторонней критической области, при и :
• Ответ: так как , то нет оснований отвергнуть гипотезу о распределении случайной величины X по закону Пуассона.
• Задание № 56
• Данные наблюдений над двумерной случайной величиной представлены в корреляционной таблице. Методом наименьших квадратов найти выборочное уравнение прямой регрессии Y на X.

X Y	6	10	14	18	22
40	3	8	9			20
50		5	16			21
60			20	17	2	39
70				17	3	20
	3	13	45	34	5

• Решение:
• Составим корреляционную таблицу в условных вариантах, выбрав в качестве ложных нулей и (каждая из этих вариант расположена примерно в середине соответствующего вариационного ряда).

u v			0	1	2
	3	8	9			20
		5	16			21
0			20	17	2	39
				17	3	20
	3	13	45	34	5

• Найдём :
• Найдём вспомогательные величины :
• Найдём :
• Найдём , для чего составим расчётную таблицу.

u v	-2	-1	0	1	2
-2	-6 3 -6	-8 8 -16	9 -18			-14	28
-1		-5 5 -5	0 16 -16			-5	5
0			0 20 0	17 17 0	4 2 0	21	0
				17 17 17	6 3 3	23	23
	-6	-21	-34	17	3
	12	21	0	17	6		Контроль

• Суммируя числа последнего столбца, находим:
• Для контроля вычислений находим сумму чисел последней строки:
• Совпадения сумм свидетельствует о правильности вычислений.
• Найдём искомый выборочный коэффициент корреляции:
• Найдем шаги (разности между любыми двумя соседними вариантами):
• ;
• Найдём , учитывая, что и :
• Найдём :

• Подставив найденные величины в заданное по условию соотношение, получим искомое уравнение прямой линии регрессии Y на X:
• Или окончательно:
• Ответ:
• Задание № 66
• Найти спектральную плотность стационарной случайной функции X(t), если ее корреляционная функция имеет вид:
• Решение:
• Используем формулу Винера - Хинчина:
• Учитывая, что в интервале , имеем:
• Задание № 76
• На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой данным дифференциальным уравнением, подаётся стационарная случайная функция X(t) с математическим ожиданием и корреляционной функцией . Найти: а) математическое ожидание; б) дисперсию случайной функции Y(t) на выходе системы в установившемся режиме.
• Решение:
• а) Приравняем математические ожидания левой и правой частей заданного дифференциального уравнения:
• По условию, X(t) и Y(t) - стационарные функции, а математическое ожидание производной стационарной функции равно нулю, поэтому:
• Значит искомое математическое ожидание равно:
• б) Найдём спектральную плотность , при :
• Найдем передаточную функцию системы. Для этого запишем заданное дифференциальное уравнение в операторной форме:
• Следовательно, передаточная функция равна:
• Найдём частотную характеристику системы, для чего положим :
• Найдём спектральную плотность на выходе системы, для чего умножим спектральную плотность на квадрат модуля частотной характеристики:
• Найдём искомую дисперсию:
• Представим подынтегральную функцию в виде суммы:
• Ответ: а) ; б) .
• Часть II. Статистическое моделирование случайных величин
• Построить статистическую модель заданной нормальной случайной величины X.
• Математическое ожидание ;
• Среднеквадратическое отклонение ;
• Случайное число ;
• Объем выборки .
• Повторить расчет для выборки объемом .
• Решение:
• Используем явную формулу для разыгрывания нормально распределенной случайной величины X с математическим ожиданием a и среднеквадратическим отклонением :
• При заданных по условию и получаем формулу:
• а) При .

№
1	0,23	-0,27	-0,74	0,09	0,09
2	0,2	-0,3	-0,84	-0,73	-0,73
3	0,9	0,4	1,28	16,25	16,25
4	0,25	-0,25	-0,67	0,60	0,60
5	0,6	0,1	0,25	8,03	8,03
6	0,99	0,49	2,33	24,61	24,61
7	0,01	-0,49	-2,33	-12,61	-12,61
8	0,9	0,4	1,28	16,25	16,25
9	0,25	-0,25	-0,67	0,60	0,60
10	0,29	-0,21	-0,55	1,57	1,57
11	0,09	-0,41	-1,34	-4,73	-4,73
12	0,37	-0,13	-0,33	3,35	3,35
13	0,67	0,17	0,44	9,52	9,52
14	0,07	-0,43	-1,48	-5,81	-5,81
15	0,15	-0,35	-1,04	-2,29	-2,29
16	0,38	-0,12	-0,31	3,56	3,56
17	0,31	-0,19	-0,50	2,03	2,03
18	0,13	-0,37	-1,13	-3,01	-3,01
19	0,11	-0,39	-1,23	-3,81	-3,81
20	0,65	0,15	0,39	9,08	9,08
21	0,12	-0,38	-1,17	-3,40	-3,40
22	0,8	0,3	0,84	12,73	12,73
23	0,79	0,29	0,81	12,45	12,45
24	0,99	0,49	2,33	24,61	24,61
25	0,7	0,2	0,52	10,20	10,20
26	0,8	0,3	0,84	12,73	12,73
27	0,15	-0,35	-1,04	-2,29	-2,29
28	0,73	0,23	0,61	10,90	10,90
29	0,61	0,11	0,28	8,23	8,23
30	0,47	-0,03	-0,08	5,40	5,40
31	0,64	0,14	0,36	8,87	8,87
32	0,03	-0,47	-1,88	-9,05	-9,05
33	0,23	-0,27	-0,74	0,09	0,09
34	0,66	0,16	0,41	9,30	9,30
35	0,53	0,03	0,08	6,60	6,60
36	0,8	0,3	0,84	12,73	12,73
37	0,95	0,45	1,64	19,16	19,16
38	0,9	0,4	1,28	16,25	16,25
39	0,91	0,41	1,34	16,73	16,73
40	0,17	-0,33	-0,95	-1,63	-1,63
41	0,39	-0,11	-0,28	3,77	3,77
42	0,29	-0,21	-0,55	1,57	1,57
43	0,27	-0,23	-0,61	1,10	1,10
44	0,49	-0,01	-0,03	5,80	5,80
45	0,45	-0,05	-0,13	4,99	4,99
46	0,66	0,16	0,41	9,30	9,30
47	0,06	-0,44	-1,55	-6,44	-6,44
48	0,57	0,07	0,18	7,41	7,41
49	0,47	-0,03	-0,08	5,40	5,40
50	0,17	-0,33	-0,95	-1,63	-1,63

• Найдём и :
• Строим гистограмму при .
• Находим длину частичного интервала по формуле:
• Определим , равное количеству , попадающих в соответствующий интервал:
• Найдем высоты интервалов (прямоугольников) по формуле:
• Гистограмма при .
• Найдем середины интервалов :
• Найдём плотности вероятностей по формуле:
• Строим гистограмму при .
• Находим длину частичного интервала:
• Определим , равное количеству , попадающих в соответствующий интервал:
• Найдём высоты интервалов (прямоугольников):
• Гистограмма при .
• Найдем середины интервалов :
• Найдём плотности вероятностей по формуле:
• а) При .

№
1	0,23	-0,27	-0,74	0,09	0,09
2	0,2	-0,3	-0,84	-0,73	-0,73
3	0,9	0,4	1,28	16,25	16,25
4	0,25	-0,25	-0,67	0,60	0,60
5	0,6	0,1	0,25	8,03	8,03
6	0,99	0,49	2,33	24,61	24,61
7	0,01	-0,49	-2,33	-12,61	-12,61
8	0,9	0,4	1,28	16,25	16,25
9	0,25	-0,25	-0,67	0,60	0,60
10	0,29	-0,21	-0,55	1,57	1,57
11	0,09	-0,41	-1,34	-4,73	-4,73
12	0,37	-0,13	-0,33	3,35	3,35
13	0,67	0,17	0,44	9,52	9,52
14	0,07	-0,43	-1,48	-5,81	-5,81
15	0,15	-0,35	-1,04	-2,29	-2,29
16	0,38	-0,12	-0,31	3,56	3,56
17	0,31	-0,19	-0,50	2,03	2,03
18	0,13	-0,37	-1,13	-3,01	-3,01
19	0,11	-0,39	-1,23	-3,81	-3,81
20	0,65	0,15	0,39	9,08	9,08
21	0,12	-0,38	-1,17	-3,40	-3,40
22	0,8	0,3	0,84	12,73	12,73
23	0,79	0,29	0,81	12,45	12,45
24	0,99	0,49	2,33	24,61	24,61
25	0,7	0,2	0,52	10,20	10,20
26	0,8	0,3	0,84	12,73	12,73
27	0,15	-0,35	-1,04	-2,29	-2,29
28	0,73	0,23	0,61	10,90	10,90
29	0,61	0,11	0,28	8,23	8,23
30	0,47	-0,03	-0,08	5,40	5,40
31	0,64	0,14	0,36	8,87	8,87
32	0,03	-0,47	-1,88	-9,05	-9,05
33	0,23	-0,27	-0,74	0,09	0,09
34	0,66	0,16	0,41	9,30	9,30
35	0,53	0,03	0,08	6,60	6,60
36	0,8	0,3	0,84	12,73	12,73
37	0,95	0,45	1,64	19,16	19,16
38	0,9	0,4	1,28	16,25	16,25
39	0,91	0,41	1,34	16,73	16,73
40	0,17	-0,33	-0,95	-1,63	-1,63
41	0,39	-0,11	-0,28	3,77	3,77
42	0,29	-0,21	-0,55	1,57	1,57
43	0,27	-0,23	-0,61	1,10	1,10
44	0,49	-0,01	-0,03	5,80	5,80
45	0,45	-0,05	-0,13	4,99	4,99
46	0,66	0,16	0,41	9,30	9,30
47	0,06	-0,44	-1,55	-6,44	-6,44
48	0,57	0,07	0,18	7,41	7,41
49	0,47	-0,03	-0,08	5,40	5,40
50	0,17	-0,33	-0,95	-1,63	-1,63

• Найдём и :
• Строим гистограмму при .
• Находим длину частичного интервала по формуле:
• Определим , равное количеству , попадающих в соответствующий интервал:
• Найдем высоты интервалов (прямоугольников) по формуле:
• Гистограмма при .
• Найдем середины интервалов :
• Найдём плотности вероятностей по формуле:
• Строим гистограмму при .
• Находим длину частичного интервала:
• Определим , равное количеству , попадающих в соответствующий интервал:
• Найдём высоты интервалов (прямоугольников):
• Гистограмма при .
• Найдем середины интервалов :
• Найдём плотности вероятностей по формуле:
• Заключение
• Французский естествоиспытатель Ж.Л. Л. Бюффон в XVIII столетии подбрасывал монету 4040 раз - герб выпал 2048 раз. Математик К. Пирсон в начале прошлого века подбрасывал её 24000 раз - герб выпал 12012 раз. В 70-х гг. XX века американские естествоиспытатели повторили опыт. При 10000 подбрасываниях герб выпал 4979 раз. Значит, результаты бросаний монеты, хотя каждое из них и является случайным событием, при неоднократном повторении подвластны объективному закону.
• Теория вероятностей и изучает закономерности, управляющие массовыми случайными событиями.
• В повседневной жизни мы часто пользуемся словами "вероятность"; "шанс" и т.д. "К вечеру, вероятно, пойдет дождь"; "Вероятнее всего, мы поедем в воскресенье за город"; "Это совершенно невероятно"; "Много шансов, что я успешно напишу контрольную работу" и т.д. - все эти выражения как-то оценивают вероятность того, что произойдет некоторое случайное событие. Однако чтобы можно было применять к оценке вероятностей математические методы, понятиям необходимы строгие определения.
• Литература
• 1. Севастьянов Б.А., Чистяков В.П, Зубков А.М. Сборник задач по теории вероятностей - М.: Наука, 1980.
• 2. Шипачев В.С. Высшая математика. М.: Высшая школа, 2004.
• 3. Чистяков В.П. Курс теории вероятности, М.: 2001.
• 4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.- М.: Высшая школа, 2003.
• 5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.- М.: Высшая школа, 2003.
• 6. Данко П.Е и др. Высшая математика в упражнениях и задачах (I и II часть).-М, 2005.
• 7. Богаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей. Математическая статистика - М.: 1998.
• 8. Венцель Е.С. Теория вероятностей - М.: 1962.
• 9. Солодовников А.С. Теория вероятностей М.: Просвещение, 1978.
• 10. Виленкин Н.Я., Потапов В.Т. Задачник-практикум по теории вероятности с элементами комбинаторики и математической статистики.
• 11. Кремер Н.Ш.: "Теория вероятностей и математическая статистика"; М.ЮНИТИ - Дана, 2003.
• Размещено на Allbest.ru
...