Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1

Знайти розв'язок задачі лінійного програмування графічним методом:

F = x₁ + 2x₂ > max

x₁ > 0, x₂ > 0

Розв'язання

Знайдемо точки, через які пройдуть граничні прямі [АКУ, c. 20].

L₁: 4x₁ - 2x₂ = 12, T₁₁(0, -6), T₁₂(3, 0);

L₂: - x₁ + 3x₂ = 6, T₂₁(0, 2), T₂₂(-6, 0);

L₃: 2x₁ + 4x₂ = 16, T₃₁(0, 4), T₃₂(8, 0).

Будуємо многокутник розв'язків.

Рисунок 1



Будуємо одиничний вектор нормалі n, який колінеарний вектору з координатами (1, 2). Пересуваючи лінію рівня r в напрямку нормалі, знаходимо, що F_min знаходиться в точках відрізка AВ, F_max - в точці C.

Виконаємо обчислення координат екстремуму.

Точка C - перетин прямих L₁ і L₂:

Знайдемо оптимальне значення цільової функції:

Відповідь: F_max = 12.

Задача 2

На виготовлення двох видів продукції (П₁ і П₂) витрачаються три види ресурсів А₁, А₂, А₃. Запаси ресурсів, норми витрат і прибуток від реалізації одиниці продукції задані.

Таблиця 1

Витрати ресурсів на одиницю продукції	Наявність ресурсів	Прибуток на одиницю продукції
А1	А2	А3	А1	А2	А3
П1	П2	П1	П2	П1	П2				П1	П2
1	1	4	7	1	4	18	93	48	24	36



Симплекс-методом знайти такий план виробництва, який би забезпечував найбільший прибуток. Дати економічну інтерпретацію розв'язку.

Розв'язання

Сформулюємо математичну модель даної задачі та двоїстої до неї [АКУ, c. 6].

Шуканий випуск продукції П₁ позначимо через x₁, продукції П₂ - через x₂. Оскільки є обмеження на виділені ресурси кожного виду, змінні x₁, x₂ повинні задовольняти такій системі нерівностей:

Загальна вартість продукції при цьому складає: z = 24x₁ + 36x₂.

За своїм економічним змістом змінні x₁, x₂ невід'ємні.

Отже, приходимо до математичної задачі: серед всіх невід'ємних розв'язків системи нерівностей потрібно знайти такий, при якому функція z набуде максимального значення.

Знайдемо оптимальний план задачі, використавши симплекс-метод [АКУ, c.20].

Зведемо задачу до канонічного вигляду, для чого введемо додаткові чи базисні вектори:

Побудуємо початкову симплекс-таблицю, де Q - невід'ємне відношення стовпця плану до ключового стовпця. 

Таблиця 2

№	Базис	Cб	План	24	36	0	0	0	Q
				x1	x2	x3	x4	x5
1	x3	0	18	1	1	1	0	0	18
2	x4	0	93	4	7	0	1	0	93/7
3	x5	0	48	1	4	0	0	1	12
4	Дj	0	-24	-36	0	0	0	-

Cтовпчик 2 є ключовим, оскільки він містить мінімальний від'ємний елемент Д₂ = -36. Рядок 3 є ключовим, оскільки в ньому мінімальне Q₃ = 12. Ключовий елемент знаходиться на їх перетині і рівний числу 4. Замість вектора x₅, який вилучаємо з базису, вводимо вектор x₂. Ділимо ключовий рядок на ключовий елемент 4. Множимо його на 36 і додаємо до 4 рядка. Множимо його на -1 і додаємо до 1 рядка. Множимо його на -7 і додаємо до 2 рядка. Одержимо наступну симплекс-таблицю.

Таблиця 3

№	Базис	Cб	План	24	36	0	0	0	Q
				x1	x2	x3	x4	x5
1	x3	0	6	3/4	0	1	0	-1/4	8
2	x4	0	9	9/4	0	0	1	-7/4	4
3	x2	36	12	1/4	1	0	0	1/4	48
4	Дj	432	-15	0	0	0	9	-

Cтовпчик 1 є ключовим, оскільки він містить мінімальний від'ємний елемент Д₁ = -15. Рядок 2 є ключовим, оскільки в ньому мінімальне Q₂ = 4. Ключовий елемент знаходиться на їх перетині і рівний числу 9/4. Замість вектора x₄, який вилучаємо з базису, вводимо вектор x₁. Ділимо ключовий рядок на ключовий елемент 9/4. Множимо його на 15 і додаємо до 4 рядка. Множимо його на -3/4 і додаємо до 1 рядка. Множимо його на -1/4 і додаємо до 3 рядка. Одержимо наступну симплекс-таблицю. 

Таблиця 4

№	Базис	Cб	План	24	36	0	0	0	Q
				x1	x2	x3	x4	x5
1	x3	0	3	0	0	1	-1/3	1/3	9
2	x1	24	4	1	0	0	4/9	-7/9	-
3	x2	36	11	0	1	0	-1/9	4/9	99/4
4	Дj	492	0	0	0	20/3	-8/3	-

Cтовпчик 5 є ключовим, оскільки він містить мінімальний від'ємний елемент Д₅ = -8/3. Рядок 1 є ключовим, оскільки в ньому мінімальне Q₁ = 9. Ключовий елемент знаходиться на їх перетині і рівний числу 1/3. Замість вектора x₃, який вилучаємо з базису, вводимо вектор x₅. Ділимо ключовий рядок на ключовий елемент 1/3. Множимо його на 8/3 і додаємо до 4 рядка. Множимо його на 7/9 і додаємо до 2 рядка. Множимо його на -4/9 і додаємо до 3 рядка. Одержимо остаточну симплекс-таблицю.

Таблиця 5

№	Базис	Cб	План	24	36	0	0	0
				x1	x2	x3	x4	x5
1	x5	0	9	0	0	3	-1	1
2	x1	24	11	1	0	7/3	-1/3	0
3	x2	36	7	0	1	-4/3	1/3	0
4	Дj	516	0	0	8	4	0

Останній рядок таблиці не містить від'ємних елементів, отже знайдений розв'язок є оптимальним:

X = (11, 7), z_max = 516.

Плановий стовпчик містить розв'язок даної задачі: X = (11, 7, 0, 0, 9).

Це означає, що оптимальним планом виробництва є такий, при якому виготовляється 11 од. продукції A, 7 од. продукції B.

При цьому максимальний прибуток становитиме z_max = 516 умовних грошових одиниць.

Відповідь: X = (11, 7), z_max = 516.

Задача 3

Скласти двоїсту задачу до задачі, визначеної умовою попереднього завдання, та знайти її розв'язок двоїстим симплекс-методом.

Розв'язання

Побудуємо двоїсту задачу до даної [АКУ, c. 88].

1. Запишемо обмеження таким чином, щоб були однакові знаки: більше чи менше.У даному випадку - знаки "<" вже стоять.

2. Оскільки цільова функція вихідної задачі задає максимум, то двоїста задача буде визначати мінімум.

3. Матриця коефіцієнтів двоїстої задачі одержується шляхом транспонування матриці коефіцієнтів даної задачі.

4. Кількість змінних двоїстої задачі рівна числу співвідношень вихідної задачі, тобто 3, а кількість обмежень двоїстої задачі рівна числу змінних вихідної задачі, тобто 2.

5. Коефіцієнтами при невідомих в цільовій функції двоїстої задачі є вільні члени в системі вихідної задачі, а правими частинами в співвідношеннях системи двоїстої задачі є коефіцієнти при невідомих цільової функції.

6. Якщо змінна вихідної задачі більша 0, то відповідне обмеження двоїстої - нерівність, інакше - рівняння.

7. Якщо обмеження даної задачі - нерівність, то відповідна змінна двоїстої більша чи рівна 0.

Таким чином, двоїста задача матиме вигляд:



z* = 18y₁ + 93y₂ + 48y₃ > min

y₁, y₂, y₃ > 0.

Знайдемо розв'язок задачі двоїстим симплекс-методом [АКУ, с. 107].

Змінимо знаки цільової функції на протилежні і розглядатимемо задачу на максимум: z* = -18y₁ - 93y₂ - 48y₃ > max

Зведемо задачу до канонічного вигляду, для чого додамо чи віднімемо базисні вектори

Домножимо рівняння системи обмежень з від'ємними базисними векторами на -1:

Побудуємо початковий псевдоплан, який занесемо у симплекс-таблицю.

Таблиця 6

№	Базис	Cб	План	-18	-93	-48	0	0
				y1	y2	y3	y4	y5
1	y4	0	-24	-1	-4	-1	1	0
2	y5	0	-36	-1	-7	-4	0	1
3	Дj	0	18	93	48	0	0



Рядок 2 є ключовим, оскільки він містить мінімальний від'ємний елемент плану:y₅=-36.Cтовпчик 3 є ключовим, оскільки в ньому мінімальне двоїсте відношення:

Ключовий елемент знаходиться на їх перетині і рівний числу -4.

Замість вектора y₅, який вилучаємо з базису, вводимо вектор y₃. Ділимо ключовий рядок на ключовий елемент. Множимо його на -48 і додаємо до 3 рядка. Множимо його на 1 і додаємо до 1 рядка. Оскільки від'ємне число в плановому стовпці існує, побудуємо наступний псевдоплан.

Занесемо його у симплекс-таблицю.

Таблиця 7

№	Базис	Cб	План	-18	-93	-48	0	0
				y1	y2	y3	y4	y5
1	y4	0	-15	-3/4	-9/4	0	1	-1/4
2	y3	-48	9	1/4	7/4	1	0	-1/4
3	Дj	-432	6	9	0	0	12

Рядок 1 є ключовим, оскільки він містить мінімальний від'ємний елемент плану:y₄=-15.Cтовпчик 2 є ключовим, оскільки в ньому мінімальне двоїсте відношення:

Ключовий елемент знаходиться на їх перетині і рівний числу -9/4.

Замість вектора y₄, який вилучаємо з базису, вводимо вектор y₂. Ділимо ключовий рядок на ключовий елемент. Множимо його на -9 і додаємо до 3 рядка. Множимо його на -7/4 і додаємо до 2 рядка. Оскільки від'ємне число в плановому стовпці існує, побудуємо наступний псевдоплан.

Занесемо його у симплекс-таблицю.

Таблиця 8

№	Базис	Cб	План	-18	-93	-48	0	0
				y1	y2	y3	y4	y5
1	y2	-93	20/3	1/3	1	0	-4/9	1/9
2	y3	-48	-8/3	-1/3	0	1	7/9	-4/9
3	Дj	-492	3	0	0	4	11

Рядок 2 є ключовим, оскільки він містить мінімальний від'ємний елемент плану:y₃=-8/3.Cтовпчик 1 є ключовим, оскільки в ньому мінімальне двоїсте відношення:

Ключовий елемент знаходиться на їх перетині і рівний числу -1/3.

Замість вектора y₃, який вилучаємо з базису, вводимо вектор y₁. Ділимо ключовий рядок на ключовий елемент. Множимо його на -3 і додаємо до 3 рядка. Множимо його на -1/3 і додаємо до 1 рядка.

Занесемо його у симплекс-таблицю.

Таблиця 9

№	Базис	Cб	План	-18	-93	-48	0	0
				y1	y2	y3	y4	y5
1	y2	-93	4	0	1	1	1/3	-1/3
2	y1	-18	8	1	0	-3	-7/3	4/3
3	Дj	-516	0	0	9	11	7



Оскільки від'ємного числа в плановому стовпці не існує, одержимо остаточний план:

Y = (8, 4, 0), z*_max = -516.

Повернувшись до заміни знака функції, одержимо: z*_min = 516.

Відповідь: Y = (8, 4, 0), z*_min = 516.

Задача 4

Побудувати опорні плани перевезень методами “північно-західного кута”, “мінімального елемента в матриці”, “подвійної переваги” та знайти методом потенціалів оптимальний план транспортної задачі, де c_ij - матриця вартості перевезення одиниці вантажу, a_i - запаси і b_j - потреби вантажу:

A = (290, 190, 210),

B = (200, 220, 210, 180),

.

Розв'язання

Запишемо умову задачі в економічному вигляді на основі таблиці, де задано пункти відправки та призначення, запаси та потреби.

Таблиця 10

Пунктивідправки	Пункти призначення	Запаси
	B1	B2	B3	B4
A1	14	10	11	13	290
A2	8	12	7	9	190
A3	5	4	6	11	210
Потреби	200	220	210	180	810\690

Обчислимо кількість запасів та потреб:

УA_i = 290 + 190 + 210 = 690, УB_j = 200 + 220 + 210 + 180 = 810.

Оскільки запаси і потрібне співпадають, маємо задачу з неправильним балансом або відкриту, отже введемо фіктивний пункт відправки з кількістю 120 одиниць вантажу.

Знайдемо опорний план діагональним методом або методом північно-західного кута [АКУ, с. 140].

Порядок заповнення клітинок наступний: A₁B₁ (14) = 200, A₁B₂ (10) = 90, A₂B₂ (12) = 130, A₂B₃ (7) = 60, A₃B₃ (6) = 150, A₃B₄ (11) = 60, A₄B₄ (0) = 120.

Таблиця 11

BA	1	2	3	4
	200	220	210	180
1	290	14	10	11	13
		200		90
2	190	8	12	7	9
				130		60
3	210	5	4	6	11
		0				150		60
4	120	0	0	0	0
								120

Вартість початкового плану перевезення:

z₀ = 200 · 14 + 90 · 10 + 130 · 12 + 60 · 7 + 150 · 6 + 60 · 11 + 120 · 0 = 7240.

Знайдемо опорний план методом найменшої вартості [АКУ, с. 142].

Порядок заповнення клітинок наступний: A₄B₁ (0) = 120, A₃B₂ (4) = 210, A₂B₃ (7) = 190,

A₁B₂ (10) = 10, A₁B₃ (11) = 20, A₁B₄ (13) = 180, A₁B₁ (14) = 80.



Таблиця 12

BA	1	2	3	4
	200	220	210	180
1	290	14	10	11	13
		80		10		20		180
2	190	8	12	7	9
						190
3	210	5	4	6	11
		0		210
4	120	0	0	0	0
		120

Вартість початкового плану перевезення:

z₀ = 80 · 14 + 10 · 10 + 20 · 11 + 180 · 13 + 190 · 7 + 210 · 4 + 120 · 0 = 5950.

Знайдемо опорний план методом подвійної переваги [ГЕТ, с. 222].

Порядок заповнення клітинок наступний: A₄B₁ (0) = 120, A₃B₂ (4) = 210, A₂B₃ (7) = 190,

A₁B₂ (10) = 10, A₁B₃ (11) = 20, A₁B₄ (13) = 180, A₁B₁ (14) = 80.

Спочатку заповнюються перші клітинки, оскільки їх значення одночасно мінімальні в рядках та стовпцях, а інші заповнюються згідно методу найменшої вартості [ГЕТ, с. 221].

Таблиця 13

BA	1	2	3	4
	200	220	210	180
1	290	14	10	11	13
		80		10		20		180
2	190	8	12	7	9
						190
3	210	5	4	6	11
		0		210
4	120	0	0	0	0
		120

Вартість початкового плану перевезення:

z₀ = 80 · 14 + 10 · 10 + 20 · 11 + 180 · 13 + 190 · 7 + 210 · 4 + 120 · 0 = 5950.

Оскільки вартості двох останніх планів рівні, то продовжимо розв'язання на основі цього опорного плану.

Таблиця 14

BA	1	2	3	4	a
	200	220	210	180
1	290	14	10	11	13	0
		80	-	10	+	20		180
2	190	8	12	7	9	-4
						190
3	210	5	4	6	11	-6
		0	+	210	-
4	120	0	0	0	0	-14
		120
b	14	10	11	13

Для базисних клітинок система потенціалів така:

a₁ + b₁ = 14; a₁ + b₂ = 10; a₁ + b₃ = 11; a₁ + b₄ = 13; a₂ + b₃ = 7; a₃ + b₂ = 4; a₄ + b₁ = 0.

Оскільки кількість змінних менше, ніж рівнянь, то покладемо a₁ = 0. Перевіряємо умову оптимальності для вільних клітинок: a + b < c.

a₂ + b₁ = -4 + 14 = 10 > 8 [2]; a₂ + b₂ = -4 + 10 = 6 < 12; a₂ + b₄ = -4 + 13 = 9 < 9; a₃ + b₁ = -6 + 14 = 8 > 5 [3]; a₃ + b₃ = -6 + 11 = 5 < 6; a₃ + b₄ = -6 + 13 = 7 < 11; a₄ + b₂ = -14 + 10 = -4 < 0; a₄ + b₃ = -14 + 11 = -3 < 0; a₄ + b₄ = -14 + 13 = -1 < 0. Для клітинки A₃B₁ (з тих, що не виконується умова оптимальності) різниця потенціалів найбільша, тому для неї робимо цикл перерахунку на мінімальну величину від'ємних вершин: min(80, 210) = 80.

Переходимо до наступної ітерації.

Таблиця 15

BA	1	2	3	4	a
	200	220	210	180
1	290	14	10	11	13	0
				90	+	20		180	-
2	190	8	12	7	9	-4
						190
3	210	5	4	6	11	-6
		80	+	130	-
4	120	0	0	0	0	-11
		120	-					0	+
b	11	10	11	13

Вартість 1 плану перевезення:

z₁ = 90 · 10 + 20 · 11 + 180 · 13 + 190 · 7 + 80 · 5 + 130 · 4 + 120 · 0 = 5710.

Для базисних клітинок система потенціалів така:

a₁ + b₂ = 10; a₁ + b₃ = 11; a₁ + b₄ = 13; a₂ + b₃ = 7; a₃ + b₁ = 5; a₃ + b₂ = 4; a₄ + b₁ = 0.

Оскільки кількість змінних менше, ніж рівнянь, то покладемо a₁ = 0. Перевіряємо умову оптимальності для вільних клітинок: a + b < c.

a₁ + b₁ = 0 + 11 = 11 < 14; a₂ + b₁ = -4 + 11 = 7 < 8; a₂ + b₂ = -4 + 10 = 6 < 12; a₂ + b₄ = -4 + 13 = 9 < 9; a₃ + b₃ = -6 + 11 = 5 < 6; a₃ + b₄ = -6 + 13 = 7 < 11; a₄ + b₂ = -11 + 10 = -1 < 0; a₄ + b₃ = -11 + 11 = 0 < 0; a₄ + b₄ = -11 + 13 = 2 > 0 [2]. Для клітинки A₄B₄ (з тих, що не виконується умова оптимальності) різниця потенціалів найбільша, тому для неї робимо цикл перерахунку на мінімальну величину від'ємних вершин: min(180, 130, 120) = 120.

Переходимо до наступної ітерації.

Таблиця 16

BA	1	2	3	4	a
	200	220	210	180
1	290	14	10	11	13	0
				210		20		60
2	190	8	12	7	9	-4
						190
3	210	5	4	6	11	-6
		200		10
4	120	0	0	0	0	-13
								120
b	11	10	11	13

Вартість 2 плану перевезення:

z₂ = 210 · 10 + 20 · 11 + 60 · 13 + 190 · 7 + 200 · 5 + 10 · 4 + 120 · 0 = 5470.

Для базисних клітинок система потенціалів така:

a₁ + b₂ = 10; a₁ + b₃ = 11; a₁ + b₄ = 13; a₂ + b₃ = 7; a₃ + b₁ = 5; a₃ + b₂ = 4; a₄ + b₄ = 0.

Оскільки кількість змінних менше, ніж рівнянь, то покладемо a₁ = 0. Перевіряємо умову оптимальності для вільних клітинок: a + b < c.

a₁ + b₁ = 0 + 11 = 11 < 14; a₂ + b₁ = -4 + 11 = 7 < 8; a₂ + b₂ = -4 + 10 = 6 < 12; a₂ + b₄ = -4 + 13 = 9 < 9; a₃ + b₃ = -6 + 11 = 5 < 6; a₃ + b₄ = -6 + 13 = 7 < 11; a₄ + b₁ = -13 + 11 = -2 < 0; a₄ + b₂ = -13 + 10 = -3 < 0; a₄ + b₃ = -13 + 11 = -2 < 0. Умова оптимальності виконується для всіх клітинок, отже останній план є оптимальним.

Його вартість становить 5470 у.о.

Слід зауважити, щоспоживачі не доодержать 120 од. вантажу.

Отже, розв'язком задачі є матриця перевезень:

.

Відповідь: 5470 у.о.

Задача 5

Графічним методом знайти умовні глобальні екстремуми функції:

,

x₁ > 0, x₂ > 0.

Оскільки цільова функція нелінійна, то дана задача належить до задач нелінійного програмування [АКУ, c. 253].

Знайдемо точки, через які пройдуть граничні прямі та побудуємо многокутник розв'язків.

L₁: x₁ + 2x₂ = 12, T₁₁(0, 6), T₁₂(12, 0);

L₂: 3x₁ + x₂ = 15, T₂₁(0, 15), T₂₂(5, 0).

Виконаємо перетворення рівняння цільової функції та визначимо тип лінії рівня f(x₁, x₂) = h, де h - деяка стала і дослідимо її поведінку для різних значень h:

Отже, маємо концентричні еліпси з центром в точці G(2, -5) та піввісями та .



Рисунок 2

Зі збільшенням (зменшенням) числа h значення функції f відповідно збільшується (зменшується).

Провівши з точки G лінії з різними значеннями h, бачимо, що мінімум цільової функції досягається в точці D - перетину прямих L₃ та L₇, а максимум - в точці B - перетину прямих L₁ та L₃.

Виконаємо обчислення координат екстремумів.

Координати точки D - мінімуму функції.

Отже, X_min = (2, 0).

Знайдемо оптимальне мінімальне значення цільової функції:

Координати точки A - максимуму функції.

Отже, X_max = (0, 6).

Знайдемо оптимальне максимальне значення цільової функції:

.

Відповідь: X_min = (2, 0), f_min = 155, X_max = (0, 6), f_max = 371.

Задача 6

Планується діяльність двох підприємств П₁ і П₂. Початковий загальний обсяг інвестицій складають x гривень. Інвестування підприємства П₁ в обсязі y дозволяє на кінець року на цьому підприємстві отримати прибуток ц(y) = 7y, а сам обсяг інвестицій зменшується до величини ш(y) = 0,3y. Аналогічно, інвестування підприємства П₂ в обсязі (x - y) дозволяє на кінець року отримати на цьому підприємстві прибуток о(x - y) = 2(x - y), а сам обсяг інвестицій зменшуються до величини с(x - y) = 0,6(x - y). Загальний обсяг інвестицій, які планується вкласти у підприємства на початок періоду складає 1000000 грн. Необхідно таким чином розподілити інвестиції між підприємствами на кожен рік, щоб повний прибуток за три роки їх діяльності був максимальним.

Розв'язання

Розглядатимемо процес розподілу коштів як n-кроковий, в якому номер кроку відповідає номеру року. Керована система - два підприємства з вкладеними в них коштами. Система характеризується одним параметром стану a_k-₁ (k = 1, n) - кількістю коштів, які слід розподілити на початку k-го року. Змінних управління на кожному кроці дві: x_k1 і x_k2 - кількість коштів, виділених відповідно підприємству 1 і 2. Оскільки засоби щороку перерозподіляються повністю, то x_k2 = a_k-₁ - x_k1. Для кожного кроку задача стає одновимірною [КЛХ, с. 34].

Показник ефективності k-го кроку рівний f₁ (x_k) + f₂(a_k-₁ - x_k). Це - дохід, отриманий від двох підприємств протягом k-го року. Показник ефективності задачі - дохід, отриманий від двох підприємств протягом n років, який складає

Рівняння стану виражає залишок коштів a_k після k-го кроку і має вигляд:

a_k = g₁(x_k) + g₂(a_k-₁ - x_k).

Нехай Z_k*(a_k-₁) - умовний оптимальний дохід, отриманий від розподілу коштів a_k-₁ між двома підприємствами за n, - k + 1 років, починаючи з k-гo року до кінця даного періоду. Запишемо рекурентні співвідношення для цих функцій:

де a_k - визначається з рівняння стану (2).

Виконаємо рішення нашої задачі при конкретних значеннях параметрів:

n = 3, a = 1000000, f₁(x) = 7x, f₂(y) = 2y, g₁(x) = 0,3x, g₂(y) = 0,6y.

Якщо x_k і a_k-₁ - x_k - кошти, виділені відповідно підприємствам 1 і 2 в k-му році, то сумарний дохід, отриманий цього року від обох підприємств, рівний:

Z_k = 7x_k + 2(a_k-₁ - x_k) = 5x_k + 2a_k-₁,

а рівняння стану (2) приймає вигляд:

a_k = 0,3x_k + 0,6(a_k-₁ - x_k) = -0,3x_k + 0,6a_k-₁.

Основні функціональні рівняння (3) запишуться таким чином:

(k = 1, 2,..., n - 1).

Проведемо етап умовної оптимізації.

3 крок. Умовний оптимальний дохід рівний:

Коефіцієнт при x₃ позитивний, тому максимум цією лінійної відносно x₃ функції досягається в кінці інтервалу, тобто x₃*(a₂) = a₂.

2 крок. Умовний оптимальний дохід рівний:

лінійний програмування задача симплекс

Коефіцієнт при x₂ позитивний, тому максимум цією лінійної відносно x₂ функції досягається в кінці інтервалу, тобто x₂*(a₁) = a₁.

1 крок. Умовний оптимальний дохід рівний:

Коефіцієнт при x₁ позитивний, тому максимум цією лінійної відносно x₁ функції досягається в кінці інтервалу, тобто x₁*(a₀) = a₀.

Результат умовної оптимізації:

Z₁(a₀) = 9,73a₀, x₁(a₀) = a₀;

Z₂(a₁) = 9,1a₁, x₂(a₁) = a₁;

Z₃(a₂) = 7a₂, x₃(a₂) = a₂.

Перейдемо до безумовної оптимізації.

Оскільки a₀ = 1000000, то максимум доходу рівний Z_max = 9,73 · 1000000 = 9730000 у.о.

Обчислюємо розподіл коштів по роках:

x₁ = 1000000, a₁ = -0,3x₁ + 0,6a₀ = -0,3 · 1000000 + 0,6 · 1000000 = 300000;

x₂ = 300000, a₂ = -0,3x₂ + 0,6a₁ = -0,3 · 300000 + 0,6 · 300000 = 90000;

x₃ = 90000.

При такому розподілі 1000000 у.о. за 3 роки буде отриманий дохід, рівний 9730000 у.о.

Відповідь: 9730000.

Література

1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. - М.: Высшая школа, 1986. - 319 с. [АКУ]

2. Вітлінський В.В., Наконечний С.І. Математичне програмування: Навч.-метод. посібник для самост. вивч. дисц. - К.: КНЕУ, 2001. - 248 с. [ВІТ]

3. Гетманцев В.Д. Лінійна алгебра і лінійне програмування: Навчальний посібник. - К.: Либідь. 2001. - 256 с. [ГЕТ]

4. Грешилов А.А. Прикладные задачи математического программирования. Учебное пособие. - 2-е изд. - М.: Логос, 2006. - 288 с. [ГРЕ]

5. Калихман И.Л. Динамическое программирование в примерах и задачах. М.: Высшая школа, 1979. - 125 с. [КЛХ]

6. Карагодова О.О. Дослідження операцій: Навч. посібник. - К.:ЦУЛ, 2007, - 256 с. [КАР]

7. Рузанов А.И. Теория двойственности в задачах линейного программирования. - Н. Новгород, ННГУ, 1999. - 59 с. [РУЗ].

8. Хемди А. Таха. Введение в исследование операций. - М.: Вильямс, 2005. - 901 с. [ТАХ]

Размещено на Allbest.ru

...