Дискретные случайные величины

Размещено на http://www.allbest.ru/

Дискретные случайные величины

Пусть производится некоторое испытание, результатом которого является одно из несовместных случайных событий (число событий или конечно или счетно, то есть события можно пронумеровать). Каждому исходу поставлено в соответствие некоторое действительное число , то есть на множестве случайных событий задана действительная функция Х со значениями . Эта функция Х называется дискретной случайной величиной (термин «дискретная» используется потому, что значения случайной величины - это отдельные числа, в отличии от непрерывных функций). Поскольку значения случайной величины изменяются в зависимости от случайных событий, то основной интерес представляют вероятности, с которыми случайная величина принимает различные числовые значения. Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Закон распределения может иметь различные формы. Для дискретной случайной величины законом распределения является совокупность пар чисел (), где - возможные значения случайной величины, а - вероятности, с которыми она принимает эти значения: . При этом .

Пары можно рассматривать, как точки в некоторой системе координат. Соединив эти точки отрезками прямых, мы получим графическое изображение закона распределения - многоугольник распределения. Чаще всего закон распределения дискретной случайной величины записывается в виде таблицы, в которую внесены пары .

X				…		…
p				…		…

Пример. Монета подброшена два раза. Составить закон распределения числа выпадения «гербов» в данном испытании.

Решение. Случайная величина Х - число выпадений «герба» в данном испытании. Очевидно, что Х может принимать одно из трех значений: 0, 1, 2. Вероятность появления «герба» при одном подбрасывании монеты равна р=0,5, а выпадения «решки» q = 1 - p = 0,5. Вероятности, с которыми случайная величина принимает перечисленные значения, найдем по формуле Бернулли:

.

Закон распределения случайной величины Х запишем в виде таблицы распределения

Х	0	1	2
Р	0,25	0,5	0,25

Контроль:

.

Некоторые законы распределения дискретных случайных величин, часто встречающиеся при решении различных задач, получили специальные названия: геометрическое распределение, гипергеометрическое распределение, биномиальное распределение, распределение Пуассона и другие.

Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан с помощью функции распределения F(x), которая равна вероятности того, что случайная величина Х будет принимать значения на промежутке ????х?: F(x) = P(X<x).

Функция F(х) определена на всей действительной оси и обладает следующими свойствами:

1) ? ? F(х) ? 1;

2) F(х) - неубывающая функция;

3) F(??) = 0, F(+?) = 1;

4) F(b) - F(a) = P(a ? X < b) - вероятность того, что случайная величина Х примет значения на промежутке [a,b).

График функции F(x) для дискретной случайной величины состоит из отрезков прямых и лучей, параллельных оси ОХ или совпадающих с ней.

Пример. Случайная величина Х задана таблицей распределения:

Х	- 1	2	3	5
Р	0,1	0,3	0,4	0,2

Составить функцию распределения F(x) случайной величины Х и построить ее график.

Решение. Если х?-1, то F(x)=P(X<x)=0;

если -1<x?2, то F(x)=P(X<x)=P(X=-1)=0;

если 2<х?3, то F(x)=P(X=-1)+P(X=2)=0,1+0,3=0,4;

если 3<x?5, то F(x)=P(X=-1)+P(X=2)+P(X=3)=0,1+0,3+0,4=0,8;

если х>5, то F(x)=P(X=-1)+P(X=2)+P(X=3)+ Р(Х=5)=1

Построим график (рис. 3).

Рис. 1 График функции распределения

Дискретные случайные величины

Наиболее полную информацию о дискретной случайной величине дает закон распределения этой величины.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая - их вероятности:

X	x1	x2	...	xn
P	p1	p2	...	pn

Пример 2. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 тыс. тенге и десять выигрышей по 1тыс. тенге. Найти закон распределения случайных величин Х- стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Решение: Напишем возможные значения х: х₁=50, х₂=1, х₃=0. Вероятности этих возможных значений таковы: Р₁=1/100=0,01, Р₂=10/100=0,1, Р₃=89/100=0,89. Напишем искомый закон распределения:

X	50	1	0
P	0.01	0.1	0.89

Контроль: 0,01+0,1+0,89=1.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Пусть случайная величина Х может принимать только значения х₁, х₂, х₃,...,х_n вероятности которых соответственно равны p₁, p₂, p₃,...,p_n. Тогда математическое ожидание М(х) случайной величины Х определяется равенством:

M(x)=х₁p₁+х₂p₂+...+х_np_n

Если дискретная случайная величина Х принимает счетное множество возможных значений, то:

причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.

Пример 3. Найти математическое ожидание случайной величины Х, зная закон ее распределения:

X	3	5	2
P	0.1	0.6	0.3

Решение: Искомое математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности: М(х)=3.

Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной М(С)=С.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M(CX)=CM(X).

3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M(XY)=M(X)*M(Y).

4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Пример 4. Независимые случайные величины заданы следующими законами распределения:

X	5	2	4
P	0.6	0.1	0.3

Y	7	9
P	0.8	0.2

Найти математическое ожидание случайных величин Х, Y.

Решение: Найдем математическое ожидание каждой из данных величин:

M(X)=5*0.6+2*0.1+4*0.3=4.4

M(Y)=7*0.8+9*0.9=9.4

Теорема. Математическое ожидание М(х) числа появлений событий А в n независимых испытаниях равно произведению этих испытаний на вероятность появления событий в каждом испытании: M(x)=np.

Пусть Х- случайная величина и М(Х) - ее математическое ожидание. Рассмотрим в качестве новой случайной величины разность Х-М(Х).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием.

Отклонение имеет следующий закон распределения:

X-M(x)	X1-M(x)	X2-M(x)	...	Xn-M(x)
P	p1	p2	...	pn

Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю: M(X-M(x)=0).

Пример 5. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:

X	1	2
P	0.2	0.8

Доказать, что математическое ожидание отклонения равно нулю.

Решение: Найдем математическое ожидание Х:

M(x)=1*0.2+2*0.8=1.8

Найдем возможные значения отклонения, для чего из возможных значений Х вычтем математическое ожидание M(x):

1-18=-0.8; 2-1.8=0.2

Напишем закон распределения отклонения:

X-M(x)	-0.8	0.2
P	0.2	0.8

Найдем математическое ожидание отклонения:

M(X-M(x))=(-0.8)*0.2+0.2*0.8=0

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

D(x)=M[X-M(x)]² (2)

Пример 6. Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:

X	1	2	5
P	0.3	0.5	0.2

Решение: Найдем математическое ожидание:

[X₁-M(x)]²=(1-2.3)²=1.69

[X₂-M(x)]²=(2-2.3)²=0.09

[X₃-M(x)]²=(5-2.3)²=7.29

Напишем закон распределения квадрата отклонения:

[X-M(x)]2	1.69	0.09	7.29
P	0.3	0.5	0.2

По определению,

D(x)=1.69*0.3+0.09*0.5+7.29*0.2=2.01

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания:

D(x)=M(x²)-[M(x)]² (3)

Пример 7. Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:

X	2	3	5
P	0.1	0.6	0.3

Решение: Найдем математическое ожидание М(х):

M(x)=2*0.1+3*0.6+5*0.3=3.5

Напишем закон распределения случайной величины X²

X2	4	9	25
P	0.1	0.6	0.3

Найдем математическое ожидание M(x²):

M(x²)=4*0.1+9*0.6+25*0.3=13.5

Искомая дисперсия D(x)=M(x²)-[M(x)]²=13.3-(3.5)²=1.05

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю: D(C)=0

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат. D(Cx)=C²D(x)

3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин. D(X₁+X₂+...+X_n)=D(X₁)+D(X₂)+...+D(X_n)

4. Дисперсия биномиального распределения равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании D(X)=npq.

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратичное отклонение.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Средним квадратичным отклонением случайной величины Х называют квадратный корень из дисперсии:

у(X)=vD(X) (4)

Пример 8. Случайная величина Х задана законом распределения

X	2	3	10
P	0.1	0.4	0.5

Найти среднее квадратичное отклонение у(x)

Решение: Найдем математическое ожидание Х:

M(x)=2*0.1+3*0.4+10*0.5=6.4

Найдем математическое ожидание X²:

M(x²)=2²*0.1+3²*0.4+10²*0.5=54

Найдем дисперсию:

D(x)=M(x²)=M(x²)-[M(x)]²=54-6.4²=13.04

Искомое среднее квадратичное отклонение

у(X)=vD(X)=v13.04?3.61

Теорема. Среднее квадратичное отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратичных отклонений этих величин:

(5)

Случайные величины

Понятие случайной величины является основным в теории вероятностей и ее приложениях. Случайными величинами, например, являются число выпавших очков при однократном бросании игральной кости, число распавшихся атомов радия за данный промежуток времени, число вызовов на телефонной станции за некоторый промежуток времени, отклонение от номинала некоторого размера детали при правильно налаженном технологическом процессе и т. д.

Таким образом, случайной величиной называется переменная величина, которая в результате опыта может принимать то или иное числовое значение.

В дальнейшем мы рассмотрим два типа случайных величин -- дискретные и непрерывные.

1. Дискретные случайные величины

Рассмотрим случайную величину * , возможные значения которой образуют конечную или бесконечную последовательность чисел x1, x2,..., xn,.... Пусть задана функция p(x), значение которой в каждой точке x=xi(i=1,2,...) равно вероятности того, что величина примет значение xi.

ф(16)

Такая случайная величина называется дискретной (прерывной). Функция р(х) называется законом распределения вероятностей случайной величины, или кратко, законом распределения. Эта функция определена в точках последовательности x1, x2,..., xn,.... Так как в каждом из испытаний случайная величина принимает всегда какое-либо значение из области ее изменения, то

Пример 1. Случайная величина -- число очков, выпадающих при однократном бросании игральной кости. Возможные значения -- числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. При этом вероятность того, что примет любое из этих значений, одна и та же и равна 1/6. Какой будет закон распределения ? (Решение)

Пример 2. Пусть случайная величина - число наступления события A при одном испытании, причем P(A)=p. Множество возможных значений состоит из 2-х чисел 0 и 1: =0, если событие A не произошло, и =1, если событие A произошло. Таким образом,

Предположим, что производится n независимых испытаний, в результате каждого из которых может наступить или не наступить событие A. Пусть вероятность наступления события A при каждом испытании равна p. Рассмотрим случайную величину -- число наступлений события A при n независимых испытаниях. Область изменения состоит из всех целых чисел от 0 до n включительно. Закон распределения вероятностей р(m)определяется формулой Бернулли (13'):

Закон распределения вероятностей по формуле Бернулли часто называют биномиальным, так как Pn(m)представляет собой m-й член разложения бинома .

Пусть случайная величина может принимать любое целое неотрицательное значение, причем

(17)

где -- некоторая положительная постоянная. В этом случае говорят, что случайная величина распределена по закону Пуассона, Заметим, что при k=0 следует положить 0!=1.

Как мы знаем, при больших значениях числа n независимых испытаний вероятность Pn(m) наступления m раз события A удобнее находить не по формуле Бернулли, а по формуле Лапласа [см. формулу (15)]. Однако последняя дает большие погрешности при малой вероятности р появления события А в одном испытании. В этом случае для подсчета вероятности Pn(m) удобно пользоваться формулой Пуассона, в которой следует положить .

Формулу Пуассона можно получить как предельный случай формулы Бернулли при неограниченном увеличении числа испытаний n и при стремлении к нулю вероятности .

Пример 3. На завод прибыла партия деталей в количестве 1000 шт. Вероятность того, что деталь окажется бракованной, равна 0,001. Какова вероятность того, что среди прибывших деталей будет 5 бракованных? (Решение)

Распределение Пуассона часто встречается и в других задачах. Так, например, если телефонистка в среднем за один час получает N вызовов, то, как можно показать, вероятность Р(k) того, что в течение одной минуты она получит k вызовов, выражается формулой Пуассона, если положить .

Если возможные значения случайной величины образуют конечную последовательность x1, x2,..., xn, то закон распределения вероятностей случайной величины задают в виде следующей таблицы, в которой

И

Значения	x1	x2	...	xn
Вероятности p(xi)	p1	p2	...	pn

Эту таблицу называют рядом распределения случайной величины . Наглядно функцию р(х) можно изобразить в виде графика. Для этого возьмем прямоугольную систему координат на плоскости.

По горизонтальной оси будем откладывать возможные значения случайной величины , а по вертикальной оси - значения функции . График функции р(х) изображен на рис. 2. Если соединить точки этого графика прямолинейными отрезками, то получится фигура, которая называется многоугольником распределения.

Пример 4. Пусть событие А -- появление одного очка при бросании игральной кости; Р(A)=1/6. Рассмотрим случайную величину -- число наступлений события А при десяти бросаниях игральной кости. Значения функциир(х) (закона распределения) приведены в следующей таблице:

Значения	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Вероятности p(xi)	0,162	0,323	0,291	0,155	0,054	0,013	0,002	0	0	0	0

Вероятности p(xi) вычислены по формуле Бернулли при n=10. Для x>6 они практически равны нулю. График функции p(x) изображен на рис. 3.

Функция распределения вероятностей случайной величины и ее свойства

Рассмотрим функцию F(х), определенную на всей числовой оси следующим образом: для каждого х значениеF(х) равно вероятности того, что дискретная случайная величина примет значение, меньшее х, т. е.

(18)

Эта функция называется функцией распределения вероятностей, или кратко, функцией распределения.

Пример 1. Найти функцию распределения случайной величины , приведенной в примере 1, п. 1. (Решение)

Пример 2. Найти функцию распределения случайной величины , приведенной в примере 2, п. 1. (Решение)

Зная функцию распределения F(x), легко найти вероятность того, что случайная величина удовлетворяет неравенствам .

Рассмотрим событие, заключающееся в том, что случайняя величина примет значение, меньшее . Это событие распадается на сумму двух несовместных событий: 1) случайная величина принимает значения, меньшие , т.е. ; 2) случайная величина принимает значения, удовлетворяющие неравенствам . Используя аксиому сложения, получаем

Отсюда

Но по определению функции распределения F(x) [см. формулу (18)], имеем

, ;

cледовательно,

(19)

Таким образом, вероятность попадания дискретной случайной величины в интервал равна приращению функции распределения на этом интервале.

Рассмотрим основные свойства функции распределения.

1°. Функция распределения является неубывающей.

В самом деле, пусть <. Так как вероятность любого события неотрицательна, то . Поэтому из формулы (19) следует, что

, т.е. .

2°. Значения функции распределения удовлетворяют неравенствам .

Это свойство вытекает из того, что F(x) определяется как вероятность [см. формулу (18)]. Ясно, что * и .

3°. Вероятность того, что дискретная случайная величина примет одно из возможных значений xi, равна скачку функции распределения в точке xi.

Действительно, пусть xi - значение, принимаемое дискретной случайной величиной, и . Полагая в формуле (19) , , получим

(20)

В пределе при вместо вероятности попадания случайной величины на интервал получим вероятность того, что величина примет данное значение xi:

C другой стороны, получаем , т.е. предел функции F(x) справа, так как . Следовательно, в пределе формула (20) примет вид

(21)

т.е. значение p(xi) равно скачку функции ** xi. Это свойство наглядно иллюстрируется на рис. 4 и рис. 5.

Непрерывные случайные величины

Кроме дискретных случайных величин, возможные значения которых образуют конечную или бесконечную последовательность чисел, не заполняющих сплошь никакого интервала, часто встречаются случайные величины, возможные значения которых образуют некоторый интервал. Примером такой случайной величины может служить отклонение от номинала некоторого размера детали при правильно налаженном технологическом процессе. Такого рода, случайные величины не могут быть заданы с помощью закона распределения вероятностей р(х). Однако их можно задать с помощью функции распределения вероятностей F(х). Эта функция определяется точно так же, как и в случае дискретной случайной величины:

Таким образом, и здесь функция F(х) определена на всей числовой оси, и ее значение в точке х равно вероятности того, что случайная величина примет значение, меньшее чем х.

Формула (19) и свойства 1° и 2° справедливы для функции распределения любой случайной величины. Доказательство проводится аналогично случаю дискретной величины.

Случайная величина называется непрерывной, если для нее существует неотрицательная кусочно-непрерывная функция* , удовлетворяющая для любых значений x равенству

(22)

Функция называется плотностью распределения вероятностей, или кратко, плотностью распределения. Если x₁<x₂, то на основании формул (20) и (22) имеем

(23)

Исходя из геометрического смысла интеграла как площади, можно сказать, что вероятность выполнения неравенств равна площади криволинейной трапеции с основанием [x₁,x₂], ограниченной сверху кривой (рис. 6).

Так как , а на основании формулы (22)

То

(24)

Пользуясь формулой (22), найдем как производную интеграла по переменной верхней границе, считая плотность распределения непрерывной**:

(25)

Заметим, что для непрерывной случайной величины функция распределения F(х) непрерывна в любой точке х, где функция непрерывна. Это следует из того, что F(х) в этих точках дифференцируема.

На основании формулы (23), полагая x₁=x, , имеем

В силу непрерывности функции F(х) получим, что

Следовательно

Таким образом, вероятность того, что непрерывная случайная величина может принять любое отдельное значение х, равна нулю.

Отсюда следует, что события, заключающиеся в выполнении каждого из неравенств

, , ,

Имеют одинаковую вероятность, т.е.

В самом деле, например,

так как

Замечание. Как мы знаем, если событие невозможно, то вероятность его наступления равна нулю. При классическом определении вероятности, когда число исходов испытания конечно, имеет место и обратное предложение: если вероятность события равна нулю, то событие невозможно, так как в этом случае ему не благоприятствует ни один из исходов испытания. В случае непрерывной случайной величины число возможных ее значений бесконечно. Вероятность того, что эта величина примет какое-либо конкретное значение x₁ как мы видели, равна нулю. Однако отсюда не следует, что это событие невозможно, так как в результате испытания случайная величина может, в частности, принять значение x₁. Поэтому в случае непрерывной случайной величины имеет смысл говорить о вероятности попадания случайной величины в интервал, а не о вероятности того, что она примет какое-то конкретное значение.

Так, например, при изготовлении валика нас не интересует вероятность того, что его диаметр будет равен номиналу. Для нас важна вероятность того, что диаметр валика не выходит из поля допуска.

Пример. Плотность распределения непрерывной случайной величины задана следующим образом:

График функции представлен па рис. 7. Определить вероятность того, что случайная величина примет значение, удовлетворяющее неравенствам .Найти функцию распределения заданной случайной величины. (Решение)

Следующие два пункта посвящены часто встречающимся на практике распределениям непрерывных случайных величин -- равномерному и нормальному распределениям.

Дальше...

* Функция называется кусочно-непрерывной на всей числовой оси, если она на любом сегменте или непрерывна, или имеет конечное число точек разрыва I рода.

** Правило дифференцирования интеграла с переменной верхней границей, выведенное в случае конечной нижней границы, остается справедливым и для интегралов с бесконечной нижней границей. В самом деле,

Так как интеграл

есть величина постоянная.

Случайные величины

Под случайными величинами понимают числовые характеристики случайных событий. Другими словами, случайные величины - это числовые результаты экспериментов, значения которых которые невозможно (в данное время) предсказать заранее.

Например, следующие величины можно рассматривать как случайные:

1. Напряжение в электросети в заданный момент времени.

2. Процент мальчиков среди детей, родившихся в заданном роддоме в некоторый определенный день.

3. Число и площадь пятен на Солнце, видимых в некоторой обсерватории в течение определенного дня.

4. Число студентов, опоздавших на данную лекцию.

5. Курс доллара на бирже (скажем, на ММВБ), хотя может быть он и не так уж “случаен”, как это кажется обывателям.

6. Число отказов оборудования в заданный день на определенном предприятии.

Случайные величины делят на дискретные и непрерывные в зависимости от того, каково множество всех возможных значений соответствующей характеристики - дискретное или же непрерывное.

Это деление довольно условно, но полезно при выборе адекватных методов исследования. Если число возможных значений случайной величины конечно или сопоставимо с множеством всех натуральных чисел (т.е. может быть перенумеровано), то случайную величину PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com называют дискретной. В противном случае ее называют непрерывной, хотя на самом деле как бы неявно предполагается, что фактически непрерывные случайные величины принимают свои значение в некотором простом числовом помежутке (отрезке, интервале). Например, дискретными будут случайные величины, приведенные выше под номерами 4 и 6, а непрерывными - под номерами 1 и 3 (площади пятен). Иногда случайная величина имеет смешанный характер. Таков, например, курс доллара (или какой-то другой валюты), который фактически принимает лишь дискретный набор значений, но при этом оказывается удобным считать, что множество его значений «непрерывно».

Случайные величины можно задавать разными способами.

Дискретные случайные величины обычно задаются своим законом распределения. Тут каждому возможному значению x1, x2,... случайной величины X сопоставляется вероятность p1,p2,... этого значения. В результате образуется таблица, состоящая из двух строк:

x1 x2 x3 ...

p1 p2 p3 ...

Это и есть закон распределения случайной величины.

Непрерывные случайные величины законом распределения задать невозможно, так как по самому своему определению их значения невозможно перенумеровать и потому задание в виде таблицы тут исключается. Однако для непрерывных случайных величин есть другой способ задания (применимый, кстати, и для дискретных величин) - это функция распределения:

F(x)=P[X<x]

равная вероятности события [X<x], которое состоит в том, что случайная величина X примет значение, меньшее заданного числа x.

Часто вместо функции распределения удобно использовать другую функцию - плотность f(x) распределения случайной величины X. Ее еще иногда называют дифференциальной функцией распределения, а F(x) в этой терминологии называется интегральной функцией распределния. Эти две функции взаимно определяют друг друга по следующим формулам:

f(x)=dF/dx

F(x)= .

Если случайная величина дискретна, то для нее понятие функции распределения тоже имеет смысл, в этом случай график функции распределения состоит из горизонтальных участков, каждый из которых расположен выше предыдущего на величину, равную pi.

Важными примерами дискретных величин являются, например, биномиально распределенные величины (распределение Бернулли), для которых PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com

pk=Ck

n pk(1-p)n-k= !( )!

k n k

k(1-p)n-k,

где p - вероятность отдельного события (ее иногда условно называют “вероятностью успеха”). Так распределены результаты серии последовательных однородных испытаний (схема Бернулли). Предельным случаем биномиального распределения (при увеличении числа испытаний) является распределение Пуассона, для которого

pk=?k/k!·exp(-?),

где ?>0 некоторый положительный параметр.

Простейший пример непрерывного распределения - равномерное распределение. Оно на отрезке [a,b] имеет постоянную плотность распределения, равную 1/(b-a), а вне этого отрезка плотность равна 0.

Чрезвычайно важным примером непрерывного распределения является нормальное распределение. Оно задается двумя параметрами m и ? (математическим ожиданием и среднеквадратичным отклонением - см. ниже), его плотность распределения имеет вид:

F(x)= s 2p

1 exp(-(x-m)2/2?2 )

Фундаментальная роль нормального распределения в теории вероятностей объясняется тем, что в силу Центральной Предельной Теоремы (ЦПТ) сумма большого числа случайных величин, которые являются попарно независимыми (о понятии независимости случайных величин см. ниже) или слабо зависимыми, оказывается приближенно распределенной по нормальному закону. Отсюда следует, что случайная величина, случайность которой вызвана наложением большого числа слабо зависимых между собой случайных факторов, может рассматриваться приближенно как распределенная нормально (в независимости от того, как были распределены слагающие ее факторы). Другими словами - нормальный закон распределения весьма универсален.

Имеется несколько числовых характеристик, которые удобно использовать при изучении случайных величин. Среди них выделим математическое ожидание

M(X)= ?

+?

-?

xf (x)dx,

равное среднему значению случайной величины, дисперсию

D(X)=M(X-M(X))2,

равную математическому ожиданию квадрата отклонения случайной величины от среднего значения, и еще одну, удобную на практике дополнительную величину (той же размерности, что и исходная случайная величина):

?(X)= D(X ),

называемую среднеквадратичным отклонением. Будем предполагать (не оговаривая этого в дальнейшем), что все выписанные интегралы существуют (т.е. сходятся на всей числовой оси). Как известно, дисперсия и среднеквадратичное отклонение характеризуют степень рассеяния случайной величины вокруг ее среднего значения. Чем PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com меньше дисперсия, тем более тесно группируются значения случайной величины вокруг ее среднего значения.

Например, математическое ожидание для распределение Пуассона равно ?, для равномерного распределения оно равно (a+b)/2, а для нормального распределения оно равно m. Дисперсия для распределения Пуассона равна ?, для равномерного распределения (b-a)2/12, а для нормального распределения равна ?2. В дальнейшем будут использоваться следующие свойства математического ожидания и дисперсии:

1. M(X+Y)= M(X)+M(Y).

2. M(cX)=cM(X).

3. D(cX)=c2D(X), где c - произвольное постоянное число.

4. D(X+A)=D(A) для произвольной постоянной (неслучайной)величины A.

Случайная величина ?=U-MU называется центрированной. Из свойства 1 вытекает, что M?=M(U-MU)=M(U)-M(U)=0, то есть ее среднее значение равно 0 (с этим и связано ее название). При этом в силу свойства 4 имеем D(?)=D(U).

Имеется также полезное соотношение, которое удобно использовать на практике для вычисления дисперсии и связаных с нею величин:

5. D(X)=M(X2)-M(X)2

Случайные величины X и Y называются независимыми, если для произвольных их значений x и y соответственно события [X<x] и [Y<y] независимы. Например, независимы будут (по видимому...) результаты измерения напряжения в электросети и рост главного энергетика предприятия. А вот мощность этой электросети и зарплату главного энергетика на предприятиях уже не всегда можно считать независимыми.

Если случайные величины X и Y независимы, то имеют место и следующие свойства (которые для произвольных случайных величин могут не выполняться):

5. M(XY)=M(X)M(Y).

6. D(X+Y)=D(X)+D(Y).

Кроме отдельных случайных величин X,Y,... изучаются и системы случайных величин. Например, пара (X,Y) случайных величин может рассматриваться как новая случайная величина, значения которой являются двумерными векторами. Аналогично можно рассматривать и системы большего числа случайных величин, называемые многомерными случайными величинами. Такого рода системы величин тоже задаются своей функцией распределения. Например, для системы двух случайных величин эта функция имеет вид

F(x,y)=P[X<x,Y<y],

то есть она равна вероятности события, заключающегося в том, что случайная величина X примет значение, меньшее заданного числа x, а случайная величина Y - меньшее заданного числа y. Эту функцию называют еще функцией совместного распределения случайных величин X и Y. Также можно рассматривать средний вектор - естественный аналог математического ожидания, а вот вместо дисперсии приходится изучать уже несколько числовых характеристик, называемых моментами второго порядка. Это, во-первых, две частные дисперсии DX и DY PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com случайных величин X и Y, рассматриваемых по-отдельности, а, во-вторых, ковариационный момент, более подробно рассмотренный ниже.

Если случайные величины X и Y независимы, то

F(x,y)=FX(x)FY(y)

- произведение функций распределения случайных величин X и Y и потому изучение пары независимых случайных величин сводится во многом просто к изучению X и Y по отдельности.

Случайные величины

Выше рассматривались эксперименты, результаты которых являются случайными событиями. Однако часто возникает необходимость количественного представления результатов эксперимента в виде некоторой величины, которая называется случайной величиной. Случайная величина является вторым (после случайного события) основным объектом изучения теории вероятностей и обеспечивает более общий способ описания опыта со случайным исходом, чем совокупность случайных событий.

Рассматривая эксперименты со случайным исходом, мы уже имели дело со случайными величинами. Так, число успехов в серии из испытаний - пример случайной величины. Другими примерами случайных величин являются: число вызовов на телефонной станции за единицу времени; время ожидания очередного вызова; число частиц с заданной энергией в системах частиц, рассматриваемых в статистической физике; средняя суточная температура в данной местности и т.д.

Случайная величина характерна тем, что невозможно точно предсказать ее значение, которое она примет, но с другой стороны, множество ее возможных значений обычно известно. Так для числа успехов в последовательности из испытаний это множество конечно, поскольку число успехов может принимать значения. Множество значений случайной величины, может совпадать с вещественной полуосью, как в случае времени ожидания и т.д.

Рассмотрим примеры экспериментов со случайным исходом, для описания которых обычно применяются случайные события и введем эквивалентное описание с помощью задания случайной величины.

1). Пусть результатом опыта может быть событие или событие. Тогда этому эксперименту можно поставить в соответствие случайную величину, которая принимает два значения, например, и с вероятностями и, причем имеют место равенства: и. Таким образом, опыт характеризуется двумя исходами ис вероятностями и, или этот же опыт характеризуется случайной величиной, принимающей два значения и с вероятностями и.

2). Рассмотрим опыт с бросанием игральной кости. Здесь исходом опыта может быть одно из событий, где - выпадение грани с номером. Вероятности,. Введем эквивалентное описание этого опыта с помощью случайной величины, которая может принимать значения с вероятностями.

3). Последовательность независимых испытаний характеризуется полной группой несовместных событий, где - событие, состоящее в появлении успехов в серии из опытов; причем вероятность события определяется формулой Бернули, т.е.. Здесь можно ввести случайную величину - число успехов, которая принимает значения с вероятностями. Таким образом, последовательность независимых испытаний характеризуется случайными событиями с их вероятностями или случайной величиной с вероятностями того, что принимает значения.

4). Однако, не для всякого опыта со случайным исходом существует столь простое соответствие между случайной величиной и совокупностью случайных событий. К примеру, рассмотрим эксперимент, в котором точка наугад бросается на отрезок. Здесь естественно ввести случайную величину - координату на отрезке, в которую попадает точка. Таким образом, можно говорить о случайном событии, где - число из. Однако вероятность этого события. Можно поступить иначе - отрезок разбить на конечное число непересекающихся отрезков и рассматривать случайные события, состоящие в том, что случайная величина принимает значения из интервала. Тогда вероятности - конечные величины. Однако и этот способ имеет существенный недостаток, поскольку отрезки выбираются произвольным образом. Для того, чтобы устранить этот недостаток рассматривают отрезки вида, где переменная. Тогда соответствующая вероятность является функцией аргумента. Это усложняет математическое описание случайной величины, но при этом описание (29.1) становится единственным, устраняется неоднозначность выбора отрезков.

Для каждого из рассмотренных примеров несложно определить вероятностное пространство, где - пространство элементарных событий, - - алгебра событий (подмножеств ), - вероятность, определенная для любого. Например, в последнем примере, - - алгебра всех отрезков, содержащихся в.

Рассмотренные примеры приводят к следующему определению случайной величины.

Пусть - вероятностное пространство. Случайной величиной называется однозначная действительная функция, определенная на, для которой множество элементарных событий вида является событием (т.е. принадлежат ) для каждого действительного числа.

Таким образом, в определении требуется, чтобы для каждого вещественного множество, и это условие гарантирует, что для каждого определена вероятность события. Это событие принято обозначать более краткой записью.

Функция распределения вероятностей

Функция называется функцией распределения вероятностей случайной величины.

Функция иногда называется кратко - функция распределения, а также - интегральным законом распределения вероятностей случайной величины. Функция является полной характеристикой случайной величины, то есть представляет собой математическое описание всех свойств случайной величины и более детального способа описания этих свойств не существует.

Отметим следующую важную особенность определения (30.1). Часто функцию определяют иначе:

Согласно (30.1) функция является непрерывной справа. Этот вопрос подробнее будет рассмотрен ниже. Если же использовать определение (30.2), то - непрерывна слева, что является следствием применения строгого неравенства в соотношении (30.2). Функции (30.1) и (30.2) представляют собой эквивалентные описания случайной величины, поскольку не имеет значения каким определением пользоваться как при изучении теоретических вопросов, так и при решении задач. Для определенности в дальнейшем будем использовать только определение (30.1).

Рассмотрим пример построения графика функции. Пусть случайная величина принимает значения,, с вероятностями,, причем. Таким образом, другие значения кроме указанных данная случайная величина принимает с нулевой вероятностью:, для любого,. Или как говорят, других значений кроме,, случайная величина не может принимать. Пусть для определенности. Найдем значения функции для из интервалов: 1), 2), 3), 4), 5), 6), 7). На первом интервале, поэтому функция распределения. 2). Если, то. Очевидно случайные события и несовместны, поэтому по формуле сложения вероятностей. По условию событие невозможное и, а. Поэтому. 3). Пусть, тогда. Здесь первое слагаемое, а второе, поскольку событие - невозможное. Таким образом для любого, удовлетворяющего условию. 4). Пусть, тогда . 5). Если, то. 6) При имеем. 7) Если, то. Результаты вычислений представлены на рис. 30.1 графиком функции. В точках разрыва,, указана непрерывность функции справа.

Основные свойства функции распределения вероятностей

Рассмотрим основные свойства функции распределения, следующие непосредственно из определения:

1. Введем обозначение:. Тогда из определения следует. Здесь выражение рассматривается как невозможное событие с нулевой вероятностью.

2. Пусть. Тогда из определения функции следует. Случайное событие является достоверным и его вероятность равна единице.

3. Вероятность случайного события, состоящего в том, что случайная величина принимает значение из интервала при определяется через функцию следующим равенством

Для доказательства этого равенства рассмотрим соотношение.

События и несовместны, поэтому по формуле сложения вероятностей из (31.3) следует, что и совпадает с формулой (31.2), поскольку и.

4. Функция является неубывающей. Для доказательства рассмотрим. При этом справедливо равенство (31.2). Его левая часть, поскольку вероятность принимает значения из интервала. Поэтому и правая часть равенства (31.2) неотрицательна:, или. Это равенство получено при условии, поэтому - неубывающая функция.

5. Функция непрерывна справа в каждой точке, т.е.

где - любая последовательность, стремящаяся к справа, т.е. и.

Для доказательства представим функцию в виде:

Отсюда

Теперь на основании аксиомы счетной аддитивности вероятности выражение в фигурных скобках равно , таким образом, что и доказывает непрерывность справа функции.

Таким образом, каждая функция распределения вероятностей обладает свойствами 1-5. Верно и обратное утверждение: если,, удовлетворяет условиям 1-5,то она может рассматриваться как функция распределения некоторой случайной величины.



Функция распределения вероятностей дискретной случайной величины

Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечно или счетно.

Для полного вероятностного описания дискретной случайной величины, принимающей значения, достаточно задать вероятности того, что случайная величина принимает значение. Если заданы и,, тогда функцию распределения вероятностей дискретной случайной величины можно представить в виде:

Здесь суммирование ведется по всем индексам, удовлетворяющим условию.

Функцию распределения вероятностей дискретной случайной величины иногда представляют через так называемую функцию единичного скачка.

При этом принимает вид, если случайная величина принимает конечное множество значений, и верхний предел суммирования в (32.4) полагается равным, если случайная величина принимает счетное множество значений.

Пример построения графика функций распределения вероятностей дискретной случайной величины был рассмотрен в п.30.

Плотность распределения вероятностей

Пусть случайная величина имеет дифференцируемую функцию распределению вероятностей, тогда функция называется плотностью распределения вероятностей ( или плотностью вероятности) случайной величины, а случайная величина - непрерывной случайной величиной.

Рассмотрим основные свойства плотности вероятности.

Из определения производной следует равенство:

Согласно свойствам функции имеет место равенство. Поэтому (33.2) принимает вид:

Это соотношение объясняет название функции. Действительно, согласно (33.3) функция - это вероятность, приходящаяся на единицу интервала, в точке, поскольку. Таким образом, плотность вероятности, определяемая соотношением (33.3), аналогична определениям плотностей других величин, известных в физике, таких как плотность тока, плотность вещества, плотность заряда и т.д.

2. Поскольку - неубывающая функция, то ее производная - функция неотрицательная:

3. Из (33.1) следует, поскольку. Таким образом, справедливо равенство

4. Поскольку, то из соотношения (33.5) следует

- равенство, которое называется условием нормировки. Его левая часть - это вероятность достоверного события.

5. Пусть, тогда из (33.1) следует

Это соотношение имеет важное значение для приложений, поскольку позволяет вычислить вероятность через плотность вероятности или через функцию распределения вероятностей. Если положить, то из (33.7) следует соотношение (33.6).

На рис. 33.1 представлены примеры графиков функции распределения и плотности вероятностей.

Отметим, что плотность распределения вероятности может иметь несколько максимумов. Значение аргумента, при котором плотность имеет максимум называется модой распределения случайной величины. Если плотность имеет более одной моды, то называется многомодальной.



Плотность распределения вероятностей дискретной случайной величины

распределение дискретный вероятность плотность

Пусть случайная величина принимает значения с вероятностями,. Тогда ее функция распределения вероятностей где - функция единичного скачка. Определить плотность вероятности случайной величины по ее функции распределения можно с учетом равенства. Однако при этом возникают математические сложности, связанные с тем, что функция единичного скачка, входящая в (34.1), имеет разрыв первого рода при. Поэтому в точке не существует производная функции.

Для преодоления этой сложности вводится -функция. Функцию единичного скачка можно представить через -функцию следующим равенством:

Тогда формально производная и плотность вероятности дискретной случайной величины определяется из соотношения (34.1) как производная функции:

Функция (34.4) обладает всеми свойствами плотности вероятности. Рассмотрим пример. Пусть дискретная случайная величина принимает значения с вероятностями, и пусть,. Тогда вероятность - того, что случайная величина примет значение из отрезка может быть вычислена, исходя из общих свойств плотности по формуле:

Здесь, поскольку особая точка - функции, определяемая условием, находится внутри области интегрирования при, а при особая точка находится вне области интегрирования. Таким образом.

Для функции (34.4) также выполняется условие нормировки:

Отметим, что в математике запись вида (34.4) считается некорректной (неправильной), а запись (34.2) - корректной. Это обусловлено тем, что -функция при нулевом аргументе, и говорят, что не существует. С другой стороны, в (34.2)-функция содержится под интегралом. При этом правая часть (34.2) - конечная величина для любого, т.е. интеграл от -функции существует. Несмотря на это в физике, технике и других приложениях теории вероятностей часто используется представление плотности в виде (34.4), которое, во-первых, позволяет получать верные результаты, применяя свойства - функции, и во-вторых, имеет очевидную физическую интерпретацию.

Примеры плотностей и функций распределения вероятностей

35.1. Случайная величина называется равномерно распределенной на отрезке, если ее плотность распределения вероятностей

где - число, определяемое из условия нормировки:

Подстановка (35.1) в (35.2) приводит к равенству, решение которого относительно имеет вид:.

Функция распределения вероятностей равномерно распределенной случайной величины может быть найдена по формуле (33.5), определяющей через плотность:

На рис. 35.1 представлены графики функций и равномерно распределенной случайной величины.

35.2. Случайная величина называется нормальной (или гауссовой), если ее плотность распределения вероятностей:

где, - числа, называемые параметрами функции. При функция принимает свое максимальное значение:. Параметр имеет смысл эффективной ширины. Кроме этой геометрической интерпретации параметры, имеют и вероятностную трактовку, которая будет рассмотрена в последующем.

Из (35.4) следует выражение для функции распределения вероятностей

где - функция Лапласа. На рис. 35.2 представлены графики функций и нормальной случайной величины. Для обозначения того, что случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами и часто используется запись.

35.3. Случайная величина имеет плотность распределения вероятностей Коши, если

Этой плотности соответствует функция распределения

35.4. Случайная величина называется распределенной по экспоненциальному закону, если ее плотность распределения вероятностей имеет вид:

Определим ее функцию распределения вероятностей. При из (35.8) следует. Если, то

35.5. Релеевское распределение вероятностей случайной величины определяется плотностью вида

Этой плотности соответствует функция распределения вероятностей при и равная при.

35.6. Рассмотрим примеры построения функции распределения и плотности дискретной случайной величины. Пусть случайная величина - это число успехов в последовательности из независимых испытаний. Тогда случайная величина принимает значения, с вероятностью, которая определяется формулой Бернулли:

где, - вероятности успеха и неуспеха в одном опыте. Таким образом, функция распределения вероятностей случайной величины имеет вид

где - функция единичного скачка. Отсюда плотность распределения:

где - дельта-функция.

Сингулярные случайные величины

Кроме дискретных и непрерывных случайных величин существуют еще так называемые сингулярные случайные величины. Эти случайные величины характеризуются тем, что их функция распределения вероятностей - непрерывна, но точки роста образуют множество нулевой меры. Точкой роста функции называется значение ее аргумента такое, что производная.

Таким образом, почти всюду на области определения функции. Функцию, удовлетворяющую этому условию, также называют сингулярной. Примером сингулярной функции распределения является кривая Кантора (рис. 36.1), которая строится следующим образом. Полагается при и при. Затем интервал разбивается на три равных части (сегмента) и для внутреннего сегмента определяется значение - как полусумма уже определенных значений на ближайших сегментах справа и слева. На данный момент функция определена для, ее значение, и для со значением. Полусумма этих значений равна и определяет значение на внутреннем сегменте . Затем рассматриваются отрезки и, каждый из них разбивается на три равных сегмента и функция определяется на внутренних сегментах как полусумма ближайших справа и слева заданных значений функции. Таким образом, при функция - как полусумма чисел и. Аналогично на интервале функция. Затем функция определяется на интервале, на котором и т.д.

...