Аналітичні моделі поверхонь на основі перетворень і тангенціальних рівнянь

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Донецький національний технічний університет

УДК 515.2

Спеціальність 05.01.01-

Прикладна геометрія, інженерна графіка

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Аналітичні моделі поверхонь на основі перетворень і тангенціальних рівнянь

Гайдар Олег Георгійович

Донецьк-2002

Дисертацією є рукопись

Робота виконана у Донецькому національному технічному університеті Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник - Заслужений працівник народної освіти України, доктор технічних наук, професор Скидан Іван Андрійович, завідувач кафедри нарисної геометрії та інженерної графіки, Донецький національний технічний університет

Офіційні опоненти:

доктор технічних наук, доцент Пилипака Сергій Федорович, завідувач кафедри нарисної геометрії, інженерної та комп'ютерної графіки, Національний аграрний університет, м. Київ

кандидат технічних наук, доцент Горягін Борис Федорович, доцент кафедри геодезії та інженерної графіки, Донбаська державна академія будівництва та архітектури, м. Макіївка

Провідна установа: - Національний технічний університет України "Київський політехнічний інститут", кафедра "Нарисна геометрія, інженерна та комп'ютерна графіка" Міністерства освіти і науки України

Захист відбудеться " 25 " квітня 2002 року о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 11.052.04 в Донецькому національному технічному університеті за адресою: 83000, Донецьк-00, вул. Артема 58, корпус 6, ауд. 6.202

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Донецького національного технічного університету за адресою: 83000, Донецьк-00, вул. Артема 58, корпус 2

Автореферат розіслано " 22 " березня 2002 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради К 11.052.04, кандидат технічних наук, доц. Івченко Т.Г.

Анотації

Гайдар О.Г. Аналітичні моделі поверхонь на основі перетворень і тангенціальних рівнянь. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.01.01. Прикладна геометрія, інженерна графіка. - Донецький національний технічний університет, Україна, Донецьк, 2002.

Дисертацію присвячено науковому обґрунтуванню використання у системах автоматизації наукових досліджень, проектування та обробки на верстатах з ЧПК нових аспектів метода перетворень та розробці його трактування з позицій загальної теорії аналітичного формоутворення поверхонь з глобальною параметризацією.

В роботі з позицій узагальнення моделей та застосування комп'ютерних технологій запропоновано узагальнене аналітичне подання груп мебіусових перетворень та їхніх композицій, показано зручність подання афінних та ізометричних перетворень у барицентричних координатах.

Введено поняття корелятивно-інцидентних перетворень, показано їхнє застосування у складанні тангенціальних рівнянь поверхні, в моделюванні подерних перетворень.

Вперше реалізовано схему Дарбу формоутворення поверхонь з двома сім'ями плоских ліній кривини. Показано, що математичний апарат точкових перетворень співпадає з точністю до позначень з апаратом загальної аналітичної теорії прикладного формоутворення на основі глобальної параметризації. мебіусовий дарбу кривина

Розроблено рекомендації по впровадженню результатів досліджень в галузях формоутворення та розрахунку оболонок, обробки на верстатах з ЧПК, в навчальному процесі.

Ключові слова: точкові перетворення, корелятивно-інцидентні перетворення, тангенціальні рівняння, схема Дарбу, двоїстість, тіні, формоутворення, рекомендування, програмний продукт.

Гайдарь О.Г. Аналитические модели поверхностей на основе преобразований и тангенциальных уравнений. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.01.01 - Прикладная геометрия, инженерная графика. Донецкий национальный технический университет, Украина, Донецк, 2002.

Диссертация посвящена научному обоснованию использования в системах автоматизации научных исследований, проектирования и обработки на станках с ЧПУ новых аспектов метода преобразований и разработке его трактовки с позиций общей аналитической теории прикладного формообразования поверхностей на основе глобальной параметризации.

В работе с позиций обобщения моделей и применения компьютерных технологий предложено обобщенное аналитическое представление групп мебиусовых преобразований и их композиций, показана целесообразность представления аффинных и изометрических преобразований в барицентрических координатах. Введено понятие коррелятивно-инцидентного преобразования, показаны его приложения в составлении тангенциальных уравнений, в моделировании подэрного преобразования, в реализации схемы Дарбу формообразования поверхностей с двумя семействами плоских линий кривизны, в построении собственных и падающих теней от кривых поверхностей. Коррелятивно-инцидентное преобразование представляет собой с одной стороны частный случай коррелятивного преобразования, а с другой - частный случай преобразования касания.

Впервые реализована схема Дарбу формообразования поверхностей с двумя семействами плоских линий кривизны. Эти поверхности являются огибающими конгруэнции плоскостей, радикальных по отношению ко всяческим парам сфер, принадлежащих разным однопараметрическим семействам с центрами на фокальных кониках.

Установлено положение радикальной плоскости относительно центров заданных сфер и её экстремальное положение при прохождении через центр одной из сфер. Получены параметрические уравнения фокальных коник для случаев а) эллипса и гиперболы, б) двух парабол, в) окружности и прямой, проходящей через её центр и перпендикулярной её плоскости. Получено уравнение конгруэнции плоскостей, радикальных относительно всяческих пар сфер, принадлежащих разным семействам с центрами на фокальных кониках для случаев а), б), в). Показано, что коэффициенты этого уравнения зависят от трех функций одного параметра, что позволяет визуализировать огибающую поверхность, не пользуясь громоздкими конечными уравнениями.

Конечные уравнения поверхностей с двумя семействами плоских линий кривизны компактны только для случая в). Они исследованы на возможность появления на поверхности особых точек, ребер возврата, линий самопересечения.

Показано, что математический аппарат формообразования с применением точечных преобразований совпадает с точностью до обозначений с аппаратом общей аналитической теории прикладного формообразования на основе глобальной параметризации. С другой стороны, точечные преобразования можно рассматривать как надстройку над другими способами формообразования в специально-параметризованном пространстве, если предварять осуществлению преобразования применение любого из способов формообразования.

Способы отнесения поверхностей к линиям кривизны с использованием инверсии и схемы Дарбу рекомендуется применять в теории и практике расчета оболочек.

Тангенциальные уравнения рекомендуется применять при построении падающих и собственных теней кривых поверхностей. Поскольку коэффициенты тангенциальных уравнений являются компонентами нормали к огибающей поверхности, их рационально использовать при составлении программ управления обработкой на станках с ЧПУ.

В учебном процессе рекомендуется использовать общее аналитическое задание мебиусовых преобразований, композиции коллинеаций, задание подэрных преобразований, компьютерное построение собственных и падающих теней от кривых поверхностей.

Ключевые слова: точечные преобразования, коррелятивно-инцидентное преобразование, тангенциальные уравнения, схема Дарбу, тени, формообразование, рекомендации, программный продукт.

Gaydar O.G. Analytical models of surfaces on the basis of transformations and tangential equations. - Manuscript.

Сandidate of technical sciences dissertation on speciality 05.01.01 Applied geometry, engineering graphics. Donetsk national technical university. Ukraine. Donetsk, 2002.

The dissertation is devoted to a scientific substantiation of new aspects of the transformations method use in the systems of scientific researches automation, designing and processing on machine tools with digital program control and to development of treatment of a transformations method from the positions of applied surfaces shape forming general analytical theory on the basis of global parameterization.

From the positions of models generalization and application of computer technologies it is offered the generalized analytical representation of Mebius transformations groups and their compositions; it is shown the convenience of representation of affine and isometric transformations in barycentral coordinates. Concepts of correlation-incidental transformations are entered, their application in the setting of a surface tangential equations, in modeling of poder transformations is shown. For the first time it is realized Darboux surfaces shape forming scheme with two families of flat lines of curvature. It is shown, that the mathematical apparatus of dot transformations coincides within to terms with the apparatus of applied shape forming general analytical theory on the basis of global parametrization.

Recommendations for apply of research results in the domain of shape forming and calculation of shells, processing on machine tools with digital program control, and in educational process are developed.

Key words: dot transformations, correlation-and-incidental transformations, tangential equations, Darboux scheme, duality, shadows, shape forming, recommendations, soft.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Орієнтованість проведення наукових досліджень, проектування та виробництва на застосування комп'ютерних технологій ставить перед прикладними науковими дисциплінами задачу спрямованості досліджень на такі чинники, які забезпечують ефективність використання комп'ютера.

Такими чинниками є:

- системність;

- узагальненість;

- спряженість з існуючим програмним забезпеченням.

Проф. Скидан І.А. та його учні розробили загальну аналітичну теорію прикладного формоутворення на основі глобальної параметризації. Ії відмінними рисами є спільність математичного апарату аналітичної інтерпретації таких конструктивних способів формоутворення як: кінематичний, спеціальних координат, спосіб вилучення лінійного каркасу поверхні з конгруенції ліній, та її спрямованість на використання комп'ютерних технологій.

Розгляд з позицій цієї теорії такого поширеного способу формоутворення, яким є спосіб геометричних перетворень, уявляється актуальною проблемою для машинобудування, архітектури та навчального процесу технічного вузу.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана за планом науково-дослідної теми кафедри нарисної геометрії та інженерної графіки Донецького національного технічного університету М-13-99 "Комп'ютерна графіка в дисциплінах технічного вузу".

Об'єктом дослідження є аналітичне моделювання перетвореннями стосовно автоматизованих систем наукових досліджень, систем автоматизованого проектування, систем оброблення на верстатах з ЧПК.

Предмет дослідження - поверхні складної форми стосовно споруд та виробів.

Теоретичну базу досліджень становлять:

- класичні форми представлення ліній, поверхонь, конгруенцій в аналітичній (Ферма, Декарт, Ла Гир, Белавітіс та інші) та диференціальній геометрії (Монж, Гаус, Петерсон, Майнарді, Кодацці, Леві-Чивіта, Грасман та інші);

- аналітичні вирази точкових перетворень простору та перетворень ліній, поверхонь, конгруенцій (Мебіус, Кремона, Дарбу, Гаус, Котов І.І., Тевлін А.М., Іванов Г.С. та інші);

- теорія Плюкера двоїстості аналітичних рівнянь;

- схема Дарбу формоутворення поверхонь з двома сім'ями плоских ліній кривини;

- аналітичні моделі поверхонь, що конструюються за наперед заданими проектними вимогами (Балюба І.Г Бадаєв Ю.І., Ванін В.В., Верещага В.М., Іванов Г.С., Ковальов С.М., Котов І.І., Куценко Л.М., Михайленко В.Є., Надолінний В.О., Найдиш А.В., Найдиш В.М., Обухова В.С., Осипов В.А., Павлов А.В., Підгорний О.Л., Підкоритов А.М., Пилипака С.Ф., Рижов М.М., Сазонов К.О., Скидан І.А., Тевлін А.М. та їхні учні);

- узагальнення аналітичної інтерпретації на основі глобальної параметризації конструктивних способів формоутворення поверхонь стосовно автоматизованого проектування та обробки на обладнанні з ЧПК (Скидан І.А. та його учні);

- принцип суперпозиції функції як основа базової мови штучного інтелекту Соmmоn LISP та її діалекту Auto LISP;

Метод дослідження аналітичний з подальшим моделюванням засобами комп'ютерної графіки.

Мета досліджень. Дисертація присвячена науковому обґрунтуванню використання у системах автоматизації наукових досліджень, проектування та обробки на верстатах з ЧПК нових аспектів метода перетворень та розробці його трактування з позицій загальної аналітичної теорії прикладного формоутворення на основі глобальної параметризації.

Для досягнення мети необхідно розв'язати такі задачі:

- виявити чинники, що впливають на розширення сфери використання комп'ютерних технологій у прикладному формоутворенні із застосуванням геометричних перетворень, і врахувати їх при проведенні досліджень;

- визначити місце аналітичного моделювання поверхонь за методом перетворень в загальній аналітичній теорії прикладного формоутворення на основі глобальної параметризації;

- узагальнити аналітичне подання усіх груп мебіусових перетворень та подання композиції колінеацій;

- показати місце точкового числення у поданні перетворень;

- вилучити з перетворень дотику і з кореляцій корелятивно-інцидентні перетворення і показати їхню роль у прикладному формоутворенні;

- розробити аналітичну інтерпретацію формоутворення поверхонь з двома сім'ями плоских ліній кривини за схемою Дарбу;

- виявити природу з'явлення конічних точок, ліній самоперетину, ребер звороту на поверхнях з двома сім'ями плоских ліній кривини;

- розробити рекомендації до застосування результатів досліджень у проектуванні, конструюванні та виготовленні виробів (споруд) складної форми.

Наукова новизна досліджень:

- шляхом узагальнення аналітичних моделей розширена сфера використання перетворень в задачах аналітичного та комп'ютерного моделювання виробів (споруд) складної форми;

- запропоновано і досліджено нові форми аналітичного представлення поверхонь: конгруенцією дотичних площин, двома сім'ями сфер, центри яких належать фокальним конікам;

- досліджено аналітичним методом нові класи поверхонь, що огинають конгруенцію дотичних площин, поверхонь, відповідних поданим, у подерному перетворенні, поверхонь з двома сім'ями плоских ліній кривини, що дозволило установити для них спільні закономірності, що дозволило ставити та розв'язувати нові задачі розрахунку оболонок, будувати власні тіні, та тіні, що падають від кривих поверхонь, та надало зручності в програмуванні обробки виробів на верстатах з ЧПК;

- досліджено феномен з'явлення конічних точок, ліній самоперетину, ребер звороту на поверхнях з двома сім'ями плоских ліній кривини, що дозволяє використовувати або ж запобігати з'явлення ребер у криволінійних конструкціях;

- розширено можливості врахування проектних вимог дотику, розрахункових вимог віднесення до гаусових координат та до ліній кривини, вимог застосовності комп'ютерних технологій у проектуванні;

- виявлено особливості та показано місце аналітичного моделювання поверхонь методом перетворень у загальній аналітичній теорії прикладного формоутворення на основі глобальної параметризації.

Практичне значення одержаних результатів:

- узагальнено аналітичне подання груп мебіусових перетворень та композиції колінеацій;

- за рахунок поверхонь з двома сім'ями плоских ліній кривини розширено клас поверхонь, у яких ці сім'ї є координатними, що приводить до значних спрощень у розрахунках оболонок та в автоматизованій підготовці програм обробки на верстатах з ЧПК;

- значно розширені можливості врахування умов дотику при автоматизованому конструюванні поверхонь складної форми;

- підвищено ефективність використання існуючих пакетів програм у випадках, коли поверхня представлена сукупністю функцій, що входять як складові до параметричних рівнянь;

- запропоновано аналітичний апарат побудови власних тіней і тіней, що падають на площину, від кривих поверхонь;

- розроблено компактну форму представлення вхідної інформації у вигляді рекомендацій та програмного продукту для автоматизованого складання програм обробки складних поверхонь на верстатах з ЧПК та моделювання процесу обробки засобами комп'ютерної графіки.

Достовірність отриманих результатів забезпечується зіставленням розв'язків, одержаних застосуванням алгоритмів, що пропонуються в роботі, з відомими розв'язками, перевірками аналітичних розв'язків комп'ютерною візуалізацією.

Особистий внесок здобувача. Особисто здобувачем виконано всі дослідження, наведені в роботі. Співавтором 6 наукових праць з 11 був науковий керівник, роль якого обмежувалась постановкою задач і контролем достовірності результатів досліджень.

Впровадження результатів досліджень здійснено на СП ТОВ "Східвуглемаш" "РМЗ" (м. Донецьк) і в ВАТ СМНВО ім. М.В. Фрунзе (м. Суми). В указані установи передані рекомендації по складанню програм обробки виробів на верстатах з ЧПК, основані на застосуванні тангенціальних рівнянь. В навчальний процес ДонНТУ впроваджено програми подання мебіусових перетворень та їх композицій, комп'ютерно-графічні моделі поверхні Енепера, циклід Дюпена в якості ілюстрацій до учбових посібників. Програми побудови власних тіней і тіней, що падають на площину, від кривих поверхонь впроваджено у навчальний процес Донбаської державної академії будівництва й архітектури.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційних досліджень оприлюднені: на шостій міжнародній науково-практичній конференції "Сучасні проблеми геометричного моделювання" у м. Мелітополі 1-4 вересня 1999 р., на міжнародній науково-практичній конференції "Сучасні проблеми геометричного моделювання" у м. Донецьку 21-24 червня 2000 р., на міжнародній науково-практичній конференції, присвяченій 10-річчю незалежності України "Сучасні проблеми геометричного моделювання" 10-12 травня 2001 р. у м. Харкові, на міжнародній науковій конференції "Архитектура оболочек и прочностной расчет тонкостенных строительных и машиностроительных конструкций сложной формы" 4-8 червня 2001 р. у м. Москві, на наукових семінарах кафедри нарисної геометрії та інженерної графіки Донецького національного технічного університету.

За результатами досліджень опубліковано 11 робіт: 7 статей у фахових збірниках, дві статті - у збірниках праць конференцій, та дві роботи - у тезах доповідей на конференціях.

Дисертаційна робота складається із вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел із 209 найменувань, 35 з яких на іноземній мові, та трьох додатків. Робота містить 137 сторінок машинописного тексту, 53 рисунків, 2 таблиці.

Зміст роботи

У вступі наведено характеристику роботи

Перший розділ містить огляд літературних джерел: з історичного розвитку форм аналітичного подання геометричних фігур, зародження і розвитку проектування, основних етапів розвитку прикладної геометрії поверхонь.

Лінію на площині Декарт (1637 р.) запропонував подавати неявною функцією

f (x, y)=0. (1)

Ла Гир (1679 р.) поширив подання неявною функцією. Поверхні він подає неявною функцією трьох змінних

F (x, y, z)=0. (2)

Лінію в просторі він подає як перетинання двох поверхоньF1 (x, y, z) = 0, F2 (x, y, z) = 0. (3)

Монж (1795 р.) впровадив у вживання явну форму подання лінії

y = f (x) (4)

та поверхні

z = F (x, y). (5)

Лінію на поверхні (5) зручно задавати функцією (4), яка відіграє роль внутрішнього рівняння у відношенні до рівняння (5).

Параметричну форму подання ліній та поверхонь запропонував Гаус (1827 р.). Поверхню він подає трьома функціями від двох змінних

x = x (u, t), y = y (u, t), z = z (u, t), (6)

а лінію - трьома функціями від однієї змінної

х = x (t), y = y (t), z = z (t). (7)

Лінію на поверхні подають внутрішнім рівнянням

u = u(t), (8)

та параметричними рівняннями (6) поверхні.

В сучасній прикладній геометрії визначились два підходи до аналітичного формоутворення поверхонь:

- поверхня складається з гладкоспряженних кусків, рівняння яких єдине за виглядом при різних значеннях коефіцієнтів;

- поверхня має одне з представлень (2), (5) чи (6).

Першу аналітичну параметризацію поверхні назвемо локальною, другу - глобальною.

Мета роботи і задачі дослідження, сформульовані у вступі, випливають з наукового завдання: показати спільні риси і особливості перетворень відносно загальної аналітичної теорії прикладного формоутворення на основі глобальної параметризації, а також узагальнити аналітичне подання мебіусових груп перетворень та їхніх композицій, дослідити перетворення і образи перетворень, здійснення яких без комп'ютера проблематичне, обґрунтувати використання досліджень у роботах АСНД, САПР, систем обробки з ЧПК.

У другому розділі розроблено узагальнене аналітичне подання мебіусових груп перетворень та їхніх композицій, а також подання ізометричних і афінних перетворень в точковому численні.

Показано, що рівняннями

,

,

(9)

можна подати будь-яку групу мебіусових перетворень. Між коефіцієнтами a1, b1, c1, a2, b2, c2, a3, b3, c3 пропонується зберігати для всіх груп зв'язки

, , (10)

, , . (11)Зв'язки (10), (11) виконуються тотожно у наступних випадках:

- якщо a, b, g - кути Ейлера, що характеризують положення системи відносно системи XOYZ. Ці системи можна сумістити трьома поворотами другої відносно першої: на кут a навколо осі OZ до положення X1OY1Z1 (OZ1єOZ); навколо осі OX1 на кут b до положення X2OY2Z2 (OХ 2 є OХ 1); навколо осі OZ2 на кут g до положення (OZ2єO),

, , ; (12)

- якщо системи XOYZ та можна сумістити, виконавши тільки перших два повороти

(13)

, , ;

- якщо системи XOYZ та можна сумістити одним поворотом на кут a навколо осі, що проходить через загальний початок і має напрямні косинуси l, m, n відносно XOYZ

В залежності від виразів коефіцієнтів, що входять до формул (9), цими формулами забезпечується подання будь-якого з мебіусових перетворень, а також композиції колінеацій. Наголосимо, що в чисельниках виразів (9) відсутні вільні члени, які за своєю сутністю є компонентами паралельного переносу однієї системи відносно іншої, тобто вони не впливають на формоутворення.

Схема узагальненого представлення мебіусових перетворень

де l, m, n - коефіцієнти стиску-розтягу вздовж осей OX, OY, OZ,

с - радіус сфери, відносно якої здійснюється інверсія.

Показано, що для подання афінних перетворень зручно застосовувати точкове числення, базисом якого є система точок (симплекс).

Нехай прообразом є поверхня, параметричне рівняння якої

, , . (15)

Рівняння образу поверхні (15) у афінному перетворенні в точковому численні

, (16)

якщо точки A, B, C, D не належать одній площині.

При виконанні умов AD=BD=CD=l, AD^BD, AD^CD, BD^CD перетворення (16) є перетворенням подібності, а при l=1 воно є ізометричним.

Наведений приклад можна узагальнювати у двох напрямках. Замість двовимірного прообразу можна розглядати прообраз, вимірність якого не вище вимірності простору, що вміщує цей прообраз. Так, для тривимірного простору прообразом може бути конгруенція, яка теж тривимірна.

З іншого боку, підвищення чи пониження вимірності простору, що вміщує прообраз, здійснюється простим додаванням чи усуненням одного члена у рівнянні (16).

Зокрема, рівняння (16) раціонально застосовувати для подання плоских ліній у просторі, за умов визначення функцій x, y,z від одної змінної.

Мебіусові перетворення відносяться до точкових. Формально математичний апарат точкових перетворень збігається з точністю до позначень з математичним апаратом загальної аналітичної теорії прикладного формоутворення.

В третьому розділі досліджено перетворення, математичний апарат яких має особливості відносно загальної аналітичної теорії прикладного формоутворення. Це перетворення на основі принципу двоїстості, запропонованого Плюкером.

Рівняння площини у формі

(17)

Плюкер запропонував читати з двох точок зору. Якщо x, y, z уявляти змінними, а , , сталими коефіцієнтами, то рівняння (17) виражає площину, а , , він назвав координатами площини. Якщо ж x, y, z та , , змінити ролями, то рівняння (17) визначатиме множину площин, що проходять через точку з координатами x, y, z.

На принципі двоїстості засновані корелятивні перетворення та перетворення дотику.

Відомо, що рівняння конгруенції площин, дотичних до поверхні

, , (18)

або в розгорнутому вигляді

. (20)

Рівняння (20) називають тангенціальним рівнянням поверхні (18).

Будемо уявляти тангенціальне рівняння (20) поданим. Відшукання параметричних рівнянь (18) поверхні, поданої тангенціальним рівнянням (20), здійснюється приєднанням до рівняння (20) ще двох рівнянь

, (21)

, (22)

і розв'язанням отриманої системи трьох неоднорідних лінійних рівнянь (20), (21), (22) відносно x, y, z.

Перехід від параметричних рівнянь поверхні (18) до її тангенціального рівняння (20) ототожнимо з відшуком площин, що проходять через точки поверхні і дотикаються цієї поверхні. Перехід від тангенціального рівняння (20) до параметричних рівнянь поверхні (18) ототожнимо з відшуком характеристичних точок в огинанні поверхні конгруенцією площин. Маємо відповідність площин точкам у першому випадку і відповідність точок площинам у другому. У обох випадках зберігається інцидентність відповідних точок та площин. Зазначені переходи відіграють роль перетворень, які в роботі названо корелятивно-інцидентними. З одного боку вони є частинним випадком корелятивних перетворень, з іншого - перетворень дотику. Лише парне застосування корелятивно-інцидентних перетворень приводить до гомографії. Останнє положення продемонстровано на прикладі подерних перетворень.

Нехай поверхню-прообраз подано рівняннями (18). Корелятивно-інцидентним перетворенням точок цієї поверхні отримаємо тангенціальне рівняння (20). Нехай P(xP, yP, zP) - полюс подерного перетворення. Рівняння в'язки перпендикулярів з центром Р до конгруенції площин (20)

, , . (23)

Розв'язком системи (20), (23), що виражає корелятивно-інцидентне перетворення конгруенції площин (20) у точки поверхні-образу, буде

,

, (24)

.

Як бачимо, два послідовних корелятивно-інцидентних перетворення приводять до точкової відповідності поверхонь (18) та (24) у подерному перетворенні, тобто до гомографії.

Іншим застосуванням корелятивно-інцидентних перетворень є дослідження формоутворення поверхонь з двома плоскими лініями кривини за схемою Дарбу. Якщо на двох фокальних коніках розташувати центри двох сімей сфер та визначити конгруенцію площин, радикальних відносно всіляких пар сфер, то, згідно з Дарбу, поверхня з двома сім'ями плоских ліній кривини огинає названу конгруенцію площин.

Показано, що відстань радикальної площини двох сфер з центрами O1, O2 та радіусами r1 і r2 (r1>r2) від центра O1

і від центра O2

,

де d - міжцентрова відстань. Диференціюємо першу з цих рівностей по d, вважаючи r1 та r2 сталими. Отримаємо d=d1. Це означає, що при зміні d і сталих r1 та r2 радикальна площина зміщується у бік O1, поки та у бік O2, поки . Тобто при

вона змінює напрям переміщення. Цей феномен лежить в основі з'явлення ребер звороту на поверхнях з двома сім'ями плоских ліній кривини.

Нехай

(i=1, 2, 3) та (i=1, 2, 3)

параметричні рівняння фокальних конік, а

, -

функції, що задають сім'ї сфер з центрами на фокальних коніках. Рівняння конгруенції радикальних площин всіляких пар сфер r1 та r2 отримано у вигляді

(25)

Складено узгоджені параметричні рівняння фокальних конік для випадків а) фокального еліпса та гіперболи, б) фокальних парабол, в) кола та прямої, що проходить через його центр і перпендикулярна його площині. Підстановка правих частин цих рівнянь до рівняння (25) приводить до тангенціальних рівнянь шуканих класів поверхонь з двома сім'ями плоских ліній кривини.

Корелятивно-інцидентне перетворення здійснюється шляхом приєднання до тангенціального рівняння (25) рівнянь вигляду (21) та (22) і розв'язку системи трьох лінійних неоднорідних рівнянь. Кінцеві параметричні рівняння наведено в роботі тільки для випадку в). Для випадків а) та б) вони настільки громіздкі, що не вміщуються на одній сторінці.

Усе ж було помічено, що коефіцієнти рівнянь вигляду (20), (21), (22) у всіх випадках залежать від трьох функцій однієї змінної, що дозволяє застосувати пакет MAPLE для візуалізації поверхонь з довільністю подання функцій

та .

Показано поверхні, для яких фокальними коніками є еліпс і гіпербола. Перша з них визначається функціями ru=cos u, rv=cos v. Друга - функціями ru=cos u, rv= v. На другій поверхні бачимо два ребра звороту та лінію самоперетину.

Показано поверхні, сформовані використанням двох фокальних парабол. Перша з них є єдиною алгебраїчною мінімальною поверхнею дев'ятого порядку, що носить ім'я Енепера. Для неї ru= 0, rv= 0. Друга сформована за функціями ru= 1, rv= 1.

Показано поверхні, сформовані використанням кола і прямої як лінії центрів двох сімей сфер. Перша з них є різьбленою поверхнею Монжа, для якої r= 10, ru= 3u, rv= 3v. Друга побудована при r=5 за функціями ru=ch u, rv=0.

В четвертому розділі наведено рекомендації до впровадження результатів досліджень. Зосереджено увагу на внутрішню параметризацію поверхонь-прообразів при виконанні проективних перетворень та інверсії. В першому випадку, коли прообраз невласної площини перетинає прообраз поверхні, бажано, щоб межі зміни внутрішніх параметрів розміщались у площинах, паралельних прообразу невласної площини. У другому випадку, коли прямолінійні твірні прообразу треба замкнути у кола на образі, лонгальний параметр прообразу рекомендовано брати в непарній степені.

Показано застосування тангенціальних рівнянь для побудови власних тіней і тіней, що падають на площину, від кривої поверхні при штучному та природному освітленні.

Показано, що тангенціальні рівняння поверхонь застосовні для складання програми обробки виробів складної форми на верстатах з ЧПК. Коефіцієнти при змінних x, y, z представляють собою компоненти вектора нормалі до поверхні. Цієї властивості вони не втрачають при визначенні довільних траєкторій оброблення. Додавання сталої величини до вільного члена приводить до еквідистантної поверхні, що дозволяє зручно розшарувати процес обробки та здійснити його моделювання засобами комп'ютерної графіки. Таким чином, параметричні і тангенціальні рівняння надають всю інформацію, необхідну для складання програми керування обробкою.

Моделювання процесу обробки деталі засобами комп'ютерної графіки покажемо на прикладі поверхні з двома сім'ями плоских лінії кривини, фокальні коніки якої вироджені у коло радіуса r=3см та пряму.

Тангенціальне рівняння поверхні деталі при rv=1, ru=1

надає таку інформацію для моделювання:

* коефіцієнти при змінних є компонентами нормалі осі інструмента;

* с - параметр розшарування простору поверхнями, еквідистантними до поверхні деталі.

Параметричні рівняння поверхні, яка є однопорожнинним гіперболоїдом

, , z=v.

Графічне моделювання процесу оброблення здійснимо при погляді на нього з двох позицій:

- заготовка нерухома, відносний рух передається інструменту;

- заготовка здійснює обертання, інструмент бере участь у двох поступальних рухах уздовж і поперек осі обертання заготовки та у поворотному русі, що орієнтує вісь півсферичної фрези уздовж нормалі до поверхні заготовки.

Розглянемо моделювання з врахуванням першої позиції.

Моделювання чорнової обробки звичайним різцем циліндричної заготовки радіуса RЗАГ здійснимо за формулами

,

, (26)

z=ku,

де w - параметр розшарування, с - припуск на чистову обробку.

Чорнова обробка а) w=0, б) w=0,5, в) w=1

Моделювання чистової обробки півсферичною фрезою здійснюємо за формулами

, , z=ku, (27)

де w - параметр розшарування припуску на чистову обробку

Формули моделювання переміщень осі півсферичної фрези

,

, (28)

.

Для наочності значення k значно збільшено у порівнянні з реальним значенням.

Формули графічного моделювання з врахуванням другої позиції

, . (29)

Результати досліджень стосовно обробки на верстатах з ЧПК у виді рекомендацій та програмного продукту передано для впровадження в ВАТ СМНВО ім. М.В. Фрунзе і в СП ТОВ "Східвуглемаш" "РМЗ".

Узагальнене аналітичне подання мебіусових перетворень і їхніх композицій, подання подерних перетворень, візуалізація поверхонь-образів в усіх названих перетвореннях впроваджено в учбовому процесі в ДонНТУ.

Програми побудови власних тіней і тіней, що падають на площину, від кривих поверхонь, передано для впровадження в навчальний процес Донбаської державної академії архітектури й будівництва.

Висновки

Дослідження в області перетворень обмежувались обраною групою перетворень, обраним класом образів у перетворенні, дослідженням властивостей образів за властивостями прообразів, спрощенню розв'язання задач на образах і повернення розв'язку до прообразів.

Завдання дисертації полягає в науковому обґрунтуванні використання у системах автоматизації наукових досліджень, проектування та обробки на верстатах з ЧПК нових аспектів метода перетворень та розробці його трактування з позицій загальної аналітичного теорії прикладного формоутворення на основі глобальної параметризації.

1. В роботі показано, що математичний апарат точкових перетворень має спільні риси з апаратом загальної аналітичної теорії прикладного формоутворення. Перетворення розповсюджують указану теорію ушир. Як і інші способи формоутворення, їх представляють трьома функціями від трьох змінних, подаючи прообрази внутрішніми рівняннями різного рівня вкладення по відношенню до точкового простору-прообразу.

2. Разом з тим показано, що аналітичний апарат перетворень розширює апарат загальної аналітичної теорії прикладного формоутворення углиб, становлячи його надбудову. Це відбувається за рахунок застосування перетворень до об'єкта, який вже підлягав дії деякого способу формоутворення, що обумовило подання об'єкта у спеціально-параметризованому просторі. І в цьому випадку математичний апарат опису перетворень не втрачає рис, притаманних апарату загальної аналітичної теорії прикладного формоутворення за винятком появи ще одного, четвертого рівня вкладення в суперпозиціях функцій.

3. В цілях сприяння використанню комп'ютерних технологій у застосуваннях в роботі здійснено:

- узагальнення подання мебіусових перетворень і композиції колінеацій;

- переважне використання параметричного представлення і суперпозиції функцій;

- використання широких можливостей системи аналітичних обчислень MAPLE.

4. Вперше запропоновано і використано в подальших дослідженнях корелятивно-інцидентні перетворення, як частковий випадок перетворень дотику з одного боку і корелятивних перетворень - з іншого.

5. Розширено можливості використання у формоутворенні тангенціальних рівнянь за рахунок:

- подання поверхонь тангенціальними рівняннями;

- подання подерних перетворень;

- аналітичної інтерпретації побудови тіней;

- раціонального представлення умов дотику.

6. Вперше аналітично реалізована схема Дарбу формоутворення поверхонь з двома сім'ями плоских ліній кривини.

7. Розкрито феномен появи особливих точок, ребер звороту, ліній самоперетину на поверхнях з двома сім'ями плоских ліній кривини.

8. Здійснено впровадження в навчальний процес програм побудови власних тіней і тіней, що падають від кривих поверхонь на площину.

9. На машинобудівних підприємствах впроваджено рекомендації по використанню результатів досліджень при складанні програм керування обробкою виробів складної форми на обладнанні з ЧПК.

Основні положення дисертації опубліковано у таких роботах

1. Скидан І.А., Гайдар О.Г. Математичне моделювання геометричних образів у барицентричних координатах // Труды Таврической государственной агротехнической академии. - Мелитополь: ТГАТА, 1999. - Вып. 4: Прикладная геометрия и инженерная графика. - Т. 7. - С.30-36.

2. Скидан І.А., Гайдар О.Г. Узагальнена модель мебіусових перетворень // Прикладна геометрія та інженерна графіка - К.: КНУБА, 1999. - Вип. 66. - С. 39-43.

3. Скидан І.А., Гайдар О.Г. Шляхи застосування тангенціальних рівнянь у прикладній геометрії// Праці Таврійської державної агротехнічної академії. - Мелітополь: ТДАТА, 2000. - Вип. 4: Прикладна геометрія та інженерна графіка. - Т. 11. - С. 31-38.

4. Скидан И.А., Гайдарь О.Г. Аналитические и компьютерные модели циклид Дюпена четвертого порядка // Прогрессивные технологии и системы машиностроения - Донецк: ДонГТУ, 2000. - Вып. 9. - С.141-144.

5. Скидан І.А., Гайдар О.Г. Узгоджені рівняння фокальних конік // Прикладна геометрія та інженерна графіка - К.: КНУБА, 2001 - Вип. 68. - С. 34-37.

6. Гайдар О.Г. Рівняння радикальної площини двох сфер // Прикладна геометрія та інженерна графіка - К.: КНУБА, 2001. - Вип. 69. - С. 189-191.

7. Гайдар О.Г. Візуалізація поверхонь з двома сім`ями плоских ліній кривини // Праці Таврійської державної агротехнічної академії. - Мелітополь: ТДАТА, 2001 - Вип. 4: Прикладна геометрія та інженерна графіка. Т. 12. - С. 90-93.

8. Скидан И.А., Коломиец Е.А., Зверева С.А., Гайдарь О.Г. Пути согласования конструктивных, аналитических и компьютерных моделей поверхностей // Тезисы Междунар. научно-практической конф. "Современные проблемы геометрического моделирования". - Донецк: ДонГТУ, 2000. - С.244-245.

9. Гайдар О.Г. Дослідження поверхонь з двома сім`ями плоских ліній кривини засобами комп'ютерної графіки // Зб. праць міжнар. наук. практ. конф. "Сучасні проблеми геометричного моделювання" - Харків, 2001. - С. 152-154.

10. Гайдарь О.Г. Поверхности оболочек, отнесенные к сети линий кривизны // Тезисы докладов Междунар. научной конф. "Архитектура оболочек и прочностной расчет тонкостенных строительных и машиностроительных конструкций сложной формы" - М.: Изд-во РУДН, 2001. - С.93-94.

11. Гайдарь О.Г. Поверхности оболочек, отнесенные к сети линий кривизны. Архитектура оболочек и прочностной расчет тонкостенных строительных и машиностроительных конструкций сложной формы: Труды Международной научной конференции - М.: Изд-во РУДН, 2001. - С. 65-69.

Особистий внесок автора у публікаціях:

[1] - представлені афінні та ізометричні перетворення у барицентричних координатах за умов задання прообразу параметричними рівняннями у прямокутних декартових координатах;

[2] - узагальнено подання груп мебіусових перетворень на основі використання лише параметрів, що впливають на форму образу;

[3] - розроблені алгоритми складання рівнянь розгортуваних та нерозгортуваних поверхонь, представлених однопараметричною та двопараметричною відповідно сім'єю дотичних площин; використані тангенціальні рівнянь у конструюванні поверхонь за умовами дотику стосовно використання в обробці на верстатах з ЧПК;

[4] - складені рівнянь циклід Дюпена четвертого порядку як образів у перетворенні інверсією, прообразами яких є тор, циліндр та конус;

[5] - отримані узгоджені рівняння фокальних конік, стосовно до аналітичного опису поверхонь з двома сім'ями плоских ліній кривини;

[8] - узгоджені конструктивні, аналітичні та комп'ютерні моделі поверхонь стосовно використанню перетворень.

Размещено на Allbest.ru

...