Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольная работа № 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Литература: [1], т. 1, гл. III-VI, VIII, IX; [2], гл. IV, IX, ХП; [7], гл. IV, VIII; [9], гл. I, § 4; гл. IV; [10], гл. V, VI, IX; XI, § 1, 2.

Основные теоретические сведения

1. Правило Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций (неопределенность или ) равен пределу отношения их производных:

,(1)

если предел справа существует.

2. Если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство или , то точка называется точкой экстремума функции (соответственно точкой максимума или минимума). Необходимое условие экстремума: если - экстремальная точка функции , то первая производная либо равна нулю или бесконечности, либо не существует. Достаточное условие экстремума: является экстремальной точкой функции , если ее первая производная меняет знак при переходе через точку : с плюса на минус - при максимуме, с минуса на плюс - при минимуме.

3. Точка называется точкой перегиба кривой , если при переходе через точку меняется направление выпуклости. Необходимое условие точки перегиба: если - точка перегиба кривой , то вторая производная либо равна нулю или бесконечности, либо не существует. Достаточное условие точки перегиба: является точкой перегиба кривой , если при переходе через точку вторая производная меняет знак.

4. Прямая называется наклонной асимптотой кривой , если расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при . При этом

.(2)

При имеем горизонтальную асимптоту: .

Если

или ,(3)

то прямая называется вертикальной асимптотой.

5. Общая схема исследования функции и построения ее графика.

I. Элементарное исследование:

1) найти область определения функции;

2) исследовать функцию на симметричность и периодичность;

3) вычислить предельные значения функции в ее граничных точках;

4) выяснить существование асимптот;

5) определить, если это не вызовет особых затруднений, точки пересечения графика функции с координатными осями;

6) сделать эскиз графика функции, используя полученные результаты.

II. Исследование графика функции по первой производной:

1) найти решение уравнений и ;

2) точки, «подозрительные» на экстремум, исследовать с помощью достаточного условия экстремума, определить вид экстремума;

3) вычислить значения функции в точках экстремума;

4) найти интервалы монотонности функции;

5) нанести на эскиз графика экстремальные точки;

6) уточнить вид графика функции согласно полученным результатам.

III. Исследование графика функции по второй производной:

1) найти решения уравнений и ;

2) точки, «подозрительные» на перегиб, исследовать, с помощью достаточного условия;

3) вычислить значения функции в точках перегиба;

4) найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции;

5) нанести на эскиз графика точки перегиба;

6) окончательно построить график функции.

Если исследование проведено без ошибок, то результаты всех этапов должны согласовываться друг с другом. Если же согласование отсутствует, необходимо проверить правильность результатов отдельных этапов и исправить найденные ошибки.

6. Частной производной первого порядка функции нескольких переменных по аргументу х называется предел

,(4)

(приращение получает только один аргумент x). Обозначение: . Отыскание частной производной сводится к дифференцированию функции одной переменной , полученной при фиксировании аргументов y и z: .

7. Скалярным полем называется скалярная функция точки М вместе с областью ее определения.

Уравнение

(или )(5)

определяет семейство поверхностей (или линий) уровня, на которых скалярное поле принимает одно и то же значение С.

Скалярное поле U(M) характеризуется градиентом

(6)

и производной по направлению , равной скалярному произведению и единичного вектора направления :

(7)

Пример 1. Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке, абсцисса которой .

Решение. Найдем ординату точки касания: . Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке :

.

Подставляя значения и в уравнения касательной и нормали , получаем:



(касательная);

(нормаль).

Пример 2. Используя правило Лопиталя, вычислить предел функции:

; .

Решение. 1) Подстановка предельного значения аргумента x=2 приводит к неопределенности вида . Раскроем ее с помощью правила Лопиталя (1): интегральный скалярный векторный

.

Однократное применение правила Лопиталя не приводит к раскрытию неопределенности (по-прежнему получаем ), поэтому применим его еще раз:

.

Таким образом, в результате двукратного применения правила Лопиталя находим, что искомый предел равен 5.

2) Убедившись, что имеет место неопределенность вида , применим правило Лопиталя:

.



Пример 3. Исследовать на экстремум функцию .

Решение. Находим первую производную: . Из уравнений и получаем точки, «подозрительные» на экстремум: . Исследуем их, определяя знак первой производной слева и справа от каждой точки. Для наглядности результаты представим в виде таблицы изменения знака :

		-3		-1		0
	-	0	+		-	0	-
	убывает	min	возрастает	не определена	убывает	0	убывает

Впервой строке указаны интервалы, на которые область определения функции разбивается точками , и сами эти точки. Во второй строке указаны знаки производной в интервалах монотонности. В третьей строке приведено заключение о поведении функции.

Исследуемая функция, как следует из таблицы, имеет минимум в точке . Точки и не являются точками экстремума, так как в первой точке функция не определена, а в окрестности второй точки первая производная сохраняет знак.

Пример 4. Найти асимптоты графика функции .

Решение. Точка является точкой разрыва функции. Так как , то прямая служит вертикальной асимптотой графика функции [см. формулы (3)].

Ищем наклонные асимптоты , используя формулы (2):



Таким образом, уравнение наклонной асимптоты имеет вид .

Пример 5. Построить график функции , используя общую схему исследования функции.

Решение. I. Область определения: . Функция не является симметричной и периодической. Находим предельные значения функции:

.

График функции имеет одну вертикальную асимптоту и одну наклонную асимптоту (см. пример 4). Он пересекает координатные оси в точке (0; 0).

II. Функция имеет один минимум при (см. пример 3).

III. Вторая производная обращается в бесконечность при и равна нулю в точке , которая является единственной точкой перегиба (см. таблицу):

		-1		0
	+		+	0	-
		не определена		точка перегиба



Учитывая полученные результаты, строим график функции (рис. 9).

Рис. 9

Пример 6. Найти первую производную функции , заданной параметрически:

Решение. Дифференцируем и по параметру t: , . Искомая производная от у по х равна отношению производных от и от по t:

.

Пример 7. Найти частные производные функции .

Решение. Считая функцию и функцией только одной переменной х, а переменные у и z рассматривая как постоянные [см. формулу (4)], находим . Аналогично, считая и функцией только у, а затем только х, получаем .

Пример 8. Найти поверхности уровня скалярного поля . Вычислить производную поля в точке по направлению вектора , где .

Решение. Поверхностями уровня данного поля являются концентрические сферы с центром в начале координат [см. формулу (5)]: . Градиент вычисляется по формуле (6): . Найдем единичный вектор направления :

,

а затем по формуле (7) производную скалярного поля U по направлению вектора в точке А:

.

Так как , то данное скалярное поле убывает в направлении вектора .



Контрольная работа № 4. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Литература: [1], т. 1, гл. X-XII; [2], гл. XIII, XIV; [7], гл. 5-7; [9], гл. 2; [10], гл. VII, VIII.

Основные теоретические сведения

1. Неопределенным интегралом от функции называется выражение вида , если . Функция называется первообразной для заданной функции .

При интегрировании наиболее часто используются следующие методы.

1) Если , то

; ,(1)

где а и b - некоторые постоянные.

2) Подведение под знак дифференциала:

,(2)

так как .

3) Формула интегрирования по частям:

.(3)

Обычно выражение выбирается так, чтобы его интегрирование не вызывало особых затруднений. За , как правило, принимается такая функция, дифференцирование которой приводит к ее упрощению. К классам функций, интегрируемых по частям, относятся, в частности, функции вида , где - многочлен от х.

4) Интегрирование рациональных дробей, то есть отношений двух многочленов и (соответственно k-й и n-й степени): , сводится к разложению подынтегральной функции R(х) на элементарные, всегда интегрируемые дроби вида

,(4)

где и - целые положительные числа, а трехчлен не имеет действительных корней. При этом в случае неправильной дроби должна быть предварительно выделена целая часть.

5) Интегрирование методом замены переменной (способом подстановки) является одним из эффективных приемов интегрирования. Его сущность состоит в переходе от переменной х к новой переменной t: . Наиболее целесообразная для данного интеграла замена переменной, то есть выбор функции , не всегда очевидна. Однако для некоторых часто встречающихся классов функций можно указать такие стандартные подстановки:

где R - символ рациональной функции.

2. Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла имеет вид:

,(5)

если и первообразная непрерывна на отрезке .

Определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной прямыми и частью графика функции , взятой со знаком плюс, если , и со знаком минус, если .

3. Если интервал интегрирования не ограничен (например, ) или функция не ограничена в окрестности одного из пределов интегрирования (например, при ), то по определению полагают

,(6)

и

.(7)

Интегралы в левых частях равенств (6) и (7) называются несобственными интегралами. Несобственный интеграл называется сходящимся, если существует конечный предел в правой части равенств (6) и (7). Если же предел не существует, то несобственный интеграл называется расходящимся.

4. Пусть криволинейная трапеция, ограниченная прямыми и частью графика кривой , вращается вокруг оси Ох. Тогда объем полученного при этом тела вращения вычисляется по формуле

.(8)

Пример 1. Найти .

Решение. Так как , то, используя формулы (1), получим

.

Проверка: .

Пример 2. Найти .

Решение. Так как , то по формуле (2) находим

.

Пример 3. Найти .

Решение. Применим метод интегрирования по частям. Положим ; тогда . Используя формулу (3), имеем

.

Пример 4. Найти .

Решение. Подынтегральная рациональная дробь является правильной и разлагается на элементарные дроби вида (4):

.

Освобождаясь от знаменателей в обеих частях этого равенства и приравнивая числители, получаем тождество для вычисления неопределенных коэффициентов А, В и С:

.

Составим систему трех уравнений с тремя неизвестными. Одно уравнение получим, полагая (корень знаменателя подынтегральной функции). Два других получим, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях тождества, например при и :

Решение этой системы дает: . Таким образом,

Пример 5. Вычислить определенный интеграл .

Решение. Применим метод замены переменной; положим , откуда . Найдем пределы интегрирования по переменной : при имеем , а при имеем . Переходя в исходном интеграле к новой переменной и применяя формулу Ньютона-Лейбница (5), получаем

.

Пример 6. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость: 1) ; 2) .

Решение. 1) Первый интеграл является несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования. Согласно определению (6), имеем

.

Следовательно, данный интеграл расходится.

2) Второй интеграл является несобственным интегралом от неограниченной функции; терпит бесконечный разрыв в нижнем пределе при . Согласно определению (7), получаем

,

то есть этот несобственный интеграл сходится.

Пример 7. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми (рис. 10).



Рис. 10

Решение. .

Пример 8. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох кривой .

Решение. Объем полученного тела вращения найдем по формуле (8):

.

Контрольная работа № 5. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ

Литература: [1], т. 2, гл. XIV, XV; [2], гл. XVI; [8], гл. 2, 3; [9], гл. 7, 8; [10], гл. X, XI.

Основные теоретические сведения

1. Вычисление двойного интеграла от функции , определенной в области D, сводится к вычислению двукратного интеграла вида

,(1)

если область D определяется условиями , или вида

,(2)

если область D определяется условиями . Переход от равенства (1) к (2) или обратно называется изменением порядка интегрирования. Значение двойного интеграла не зависит от порядка интегрирования.

2. Вычисление тройного интеграла от функции , определенной в области V, сводится к вычислению интеграла вида

,(3)

где - проекция области V на плоскость xOy, и - уравнения поверхностей, ограничивающих область V соответственно снизу и сверху. В тройном интеграле, так же как и в двойном, порядок интегрирования может быть изменен.

3. Наряду с прямоугольной системой координат в пространстве могут быть введены цилиндрическая и сферическая системы координат (рис. 11).

Рис. 11

Прямоугольные координаты точки М связаны с ее цилиндрическими и сферическими координатами соотношениями

(4)

Тройной интеграл записывается в виде

(5)

4. Вычисление криволинейного интеграла по координатам от функций, определенных на кривой Г, сводится к вычислению определенного интеграла вида

(6)

если кривая Г задана параметрически: и соответствует начальной точке кривой Г, а - ее конечной точке.

5. Вычисление поверхностного интеграла от функции , определенной на двусторонней поверхности , сводится к вычислению двойного интеграла, например, вида

,(7)

если поверхность , заданная уравнением , однозначно проецируется на плоскость хОу в область . Здесь - угол между единичным вектором нормали к поверхности и осью :

.(8)

Требуемая условиями задачи сторона поверхности определяется выбором соответствующего знака в формуле (8).

6. С помощью тройных интегралов можно вычислить:

а) объем V тела и его массу М:

где - объемная плотность распределения массы;

б) момент инерции однородного тела относительно, например, оси Оz:

.

7. Векторным полем называется векторная функция точки M вместе с областью ее определения:

Векторное поле характеризуется скалярной величиной - дивергенцией

(9)

и векторной величиной - ротором:

.(10)

8. Потоком векторного поля через поверхность называется поверхностный интеграл

,(11)

где - единичный вектор нормали к выбранной стороне поверхности , а - скалярное произведение векторов и .

9. Циркуляцией векторного поля по замкнутой кривой Г называется криволинейный интеграл

,(12)

где .

10. Формула Остроградского устанавливает связь между потоком векторного поля через замкнутую поверхность и дивергенцией поля:

,(13)

где V - объем, ограниченный поверхностью .

11. Формула Стокса устанавливает связь между циркуляцией векторного поля и его ротором:

,(14)

где - поверхность, ограниченная замкнутым контуром Г, а - единичный вектор нормали к этой поверхности. Направление нормали должно быть согласовано с направлением обхода контура Г.

Пример 1. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле

.

Решение. Зная пределы интегрирования, найдем границы области интегрирования D: и построим их (рис. 12). Область D располагается в полосе и ограничена снизу и сверху соответствующими ветвями параболы .

Рис. 12Рис. 13



Найдем новые пределы внешнего (по у) и внутреннего (по х) интегрирования. Так как область D проецируется на ось Оу в отрезок AB, то пределами внешнего интегрирования являются ординаты точек А и B, то есть и соответственно. Левой границей области является кривая (уравнение параболы разрешено относительно х), а правой - прямая . Таким образом, двойной интеграл I с измененным порядком интегрирования запишется в виде

.

Пример 2. Вычислить тройной интеграл , если область V ограничена поверхностями и (рис. 13).

Решение. Исключая z из уравнений и получим уравнение границы области (проекции V на плоскость xOy): . Для вычисления интеграла I переходим к цилиндрическим координатам по формулам (4) с пределами интегрирования ( - уравнение верхней части конуса в цилиндрических координатах). По формуле (5) получаем



Пример 3. Вычислить поверхностный интеграл

,

где - внешняя часть конуса , отсекаемая плоскостью (рис. 13).

Решение. Поверхность однозначно проецируется в область плоскости xOy, и интеграл вычисляется по формуле (7).

Единичный вектор внешней нормали к поверхности найдем по формуле (8):

.

Здесь в выражении для нормали выбран знак плюс, так как угол между осью Oz и нормалью - тупой и, следовательно, должен быть отрицательным. Учитывая, что на поверхности , получаем

Область есть круг . Поэтому в последнем интеграле переходим к полярным координатам (при этом ):

.

Пример 4. Найти дивергенцию и ротор векторного поля

Решение. По формуле (9) получаем

.

Ротор данного векторного поля находим по формуле (10):

Пример 5. Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность , образованную плоскостью и частью конуса . Проверить результат с помощью формулы Остроградского.

Решение. Поверхность состоит из двух поверхностей: - части плоскости и - части конуса (рис. 13). Поэтому поток через равен сумме потоков вектора через составляющие поверхности:

,

где и - внешние нормали к плоскости и конусу соответственно.

Для поверхности в силу формулы (8) получим и, следовательно,



так как на поверхности имеем .

Вычислим поток через поверхность , уравнение которой в явном виде дается соотношением , вектор внешней нормали равен . По формуле (11) получаем

(см. пример 3).

Таким образом, поток векторного поля через поверхность равен .

Найдем решение этой задачи с помощью формулы Остроградского (13). Дивергенция поля равна (см. пример 4), и поток

,

как это было вычислено в примере 2.

Пример 6. Вычислить циркуляцию векторного поля по контуру Г, образованному пересечением поверхностей : и : . Проверить результат с помощью формулы Стокса.

Решение. Пересечением указанных поверхностей является окружность (рис. 13). Направление обхода контура выбирается обычно так, чтобы ограниченная им область оставалась слева. Запишем параметрические уравнения контура Г:

откуда (15)

причем параметр изменяется от до . По формуле (12) с учетом (6) и (15) получаем

Применим теперь формулу Стокса (14). В качестве поверхности , натянутой на контур Г, можно взять часть плоскости . Направление нормали этой поверхности согласуется с направлением обхода контура Г. Ротор данного векторного поля вычислен в примере 4: . Поэтому искомая циркуляция

что совпадает со значением циркуляции, полученным непосредственным вычислением.

Контрольная работа № 3

1. Найти производную функцию одной переменной, исходя из определения производной.

101. . 102. .

103. . 104. .

105. . 106. .

107. . 108. .

109. . 110. .

2. Найти производные первого порядка данных функций, используя правила вычисления производных.

111.

112.

113.

114.

115.

116.

117.

118.

119.

120.

3. Составить уравнения касательной и нормали к графику кривой в точке, абсцисса которой равна .

121. 122.

123. 124.

125. 126.

127. 128.

129. 130.

4. Вычислить предел функции с помощью правила Лопиталя.

131. 132.

133. 134.

135. 136.

137. 138.

139. 140.

5. Построить график функции , используя общую схему исследования функции.

141. 142.

143. 144.

145. 146.

147. 148.

149. 150.

6. Дано скалярное поле . 1) Составить уравнение линии уровня и построить ее график. 2) Вычислить с помощью градиента производную скалярного поля в точке по направлению вектора. 3) Найти наибольшую скорость изменения скалярного поля в точке .

Номер задачи		С	Координаты точки	Координаты точки
151		-4
152		2
153		-1
154		7
155		4
156		2
157		-1
158		-4
159		4
160		7



Контрольная работа № 4

1. Найти неопределенные интегралы. Правильность полученных результатов проверить дифференцирование

164.

2. Вычислить определенный интеграл. 174.

3. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

184.

4. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми. Сделать чертеж области.

194.

5. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси кривой L.

204.



Контрольная работа № 5

1. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле. Сделать чертеж области интегрирования.

214.

2. Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями. Сделать схематический чертеж.

224.

3. Требуется: 1) найти поток векторного поля через замкнутую поверхность (выбирается внешняя нормаль к ); 2) вычислить циркуляцию векторного поля по контуру Г, образованному пересечением поверхностей и (направление обхода должно быть выбрано так, чтобы область, ограниченная контуром Г, находилась слева); 3) проверить правильность вычисленных значений потока и циркуляции с помощью формул Остроградского и Стокса; 4) дать заключение о наличии источников или стоков внутри области, ограниченной поверхностью ; 5) сделать схематический чертеж поверхности .

234.

Размещено на Allbest.ru

...