Групи з обмеженнями на нормалізатори заданих систем підгруп

Размещено на http://www.allbest.ru/

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

УДК 512.54

Групи з обмеженнями на нормалізатори заданих систем підгруп

01.01.06- алгебра і теорія чисел

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Лукашова Тетяна Дмитрівна

Київ 2002

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано в Сумському державному педагогічному університеті ім. А.С. Макаренка, Міністерство освіти і науки України.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор ЛИМАН Федір Миколайович, Сумський державний педагогічний університет ім. А.С. Макаренка, завідувач кафедри математики, м. Суми.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор СУЩАНСЬКИЙ Віталій Іванович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, завідувач кафедри алгебри і математичної логіки, м. Київ.

кандидат фізико-математичних наук, доцент БОДНАРЧУК Юрій Вікторович, Національний університет “Києво-Могилянська академія”, завідувач кафедри математики, м. Київ.

Провідна установа: Ужгородський національний університет, кафедра алгебри, Міністерство освіти і науки України.

Захист відбудеться “ 24 ” травня 2002 року о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 при Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою:

03027, м. Київ, проспект акад. Глушкова, 6, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка (вул. Володимирська, 58).

Автореферат розіслано “16” квітня 2002 року

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Плахотник В.В.

нормалізатор абелевий недедекіндовий

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми дослідження. У сучасній теорії груп важливе місце займають результати, пов'язані з вивченням груп, в яких ті чи інші підгрупи та їх системи задовольняють певні, наперед задані умови. До цього напрямку відносяться дослідження, в яких обмеження накладаються не на самі підгрупи виділеної системи підгруп , а на нормалізатори цих підгруп. Як правило, у якості таких обмежень вибираються: скінченність індексу, нормальність або максимальність нормалізаторів підгруп виділеної системи у групі, нормалізаторна умова та інші. Вагомий внесок у розвиток ідей і методів цього напрямку внесли О.Ю. Шмідт, О.Г. Курош, С.М. Черніков, Б. Нейман, І.І. Єрьомін, М.С. Черніков, С.С. Левіщенко, М.М. Семко, Л.А. Курдаченко, Ю.А. Корзюков, Ф.М. Лиман, К.Ш. Кемхадзе, Г. Віландт, Г. Джордано, Ч. Хоббі, А. Манн, С. Франчіозі, Ф. Джованні та ряд інших вчених.

Зокрема, Б. Нейман досліджував групи, в яких кожна підгрупа майже нормальна, тобто її нормалізатор має скінченний індекс у групі. Його результати було узагальнено у роботах І.І. Єрьоміна, М.М. Семка, С.С. Левіщенка та Л.А. Курдаченка для нескінченних груп, в яких майже нормальними є відповідно всі абелеві та всі нескінченні підгрупи. Групи, в яких нормалізатори всіх підгруп є максимальними підгрупами, вивчав А. Манн, а скінченні р-групи, в яких нормалізатори всіх підгруп є нормальними у групі, - Ч. Хоббі.

Велику роль у розвитку ідей і методів розглядуваного напрямку відіграють дослідження, метою яких є опис груп з системами нормальних підгруп , тобто груп, в яких нормалізатори всіх підгруп системи збігаються з усією групою. Такий підхід до вивчення груп бере свій початок з кінця ХІХ століття, коли у 1997 році Р. Дедекіндом були описані скінченні неабелеві групи, всі підгрупи яких нормальні. Пізніше групи, в яких нормальними є всі підгрупи, було названо дедекіндовими. Звужуючи виділену систему підгруп , на яку накладається умова нормальності, можна одержувати узагальнення дедекіндових груп. Це було зроблено у роботах О.Ю. Шмідта, С.М. Чернікова, Г.М. Ромаліса, М.Ф. Сесекіна, О.О. Махньова, В.Т. Нагребецького, Ф.М. Лимана, М.Ф. Кузенного, М.М. Семка, І.Я. Субботіна, Д. Кеппіта, А.Ф. Баранніка та багатьох інших алгебраїстів різних країн.

Умову нормальності підгруп заданої системи в групі можна замінити умовою нормальності цих підгруп в деяких підгрупах групи. На першому кроці це приводить до вивчення груп з нормалізаторною умовою для підгруп системи . Вивченням груп з такого роду обмеженням займалися, зокрема, О.Ю. Шмідт, О.Г. Курош, С.М. Черніков, Ю.А. Корзюков, Ф.М. Лиман та К.Ш. Кемхадзе.

З умовою нормальності та нормалізаторною умовою тісно пов'язане поняття -норми групи. Так називають перетин нормалізаторів N() всіх підгруп деякої непорожньої системи підгруп , яка складається з усіх підгруп групи, що мають певну теоретико-групову властивість. Зрозуміло, що N() характеристична у G та є максимальною підгрупою групи, що нормалізує всі підгрупи з .

При розгляді -норм постає ряд проблем, пов'язаних з дослідженням властивостей групи при заданій системі підгруп і певних обмеженнях на -норму. Конкретні задачі такого роду розв'язувались багатьма алгебраїстами в залежності від вибору системи підгруп та -норми N(). Як правило, у більшості з них в ролі -норми виступала вся група G, тобто вивчалися групи з системами нормальних підгруп .

Вперше ситуацію, коли -норма є власною підгрупою групи та її вплив на властивості групи почав вивчати Р. Бер у 30-x роках ХХ століття для системи всіх підгруп групи. Відповідну -норму він назвав нормою N(G) групи G. Дослідженню властивостей норми групи та вивченню груп з тими чи іншими обмеженнями на цю норму присвячено ряд робіт Р. Бера, Т. Уоса та Е. Шенкмана.

Звужуючи систему до системи всіх максимальних абелевих підгруп групи В. Каппе ввів до розгляду так звану А-норму групи, що є перетином нормалізаторів усіх максимальних абелевих підгруп групи. Згодом він узагальнив ці результати на випадок Е-норми, де систему складають усі максимальні підгрупи групи, що мають певну теоретико-групову властивість Е.

Серед узагальнень поняття норми групи відзначимо також субнормальну норму або підгрупу Віландта та нециклічну норму, що є відповідно перетинами нормалізаторів усіх субнормальних та всіх нециклічних підгруп групи. Дослідженню груп з заданими властивостями цих норм присвячено роботи Г. Віландта, Дж. Коссі, Р. Брайса, Ф. Джованні, С. Франчіозі та Ф.М. Лимана.

Все вищезазначене свідчить про те, що вивчення груп з обмеженнями на нормалізатори заданих систем підгруп та -норми, становить певний науковий інтерес та є актуальною задачею теорії груп. Розгляду задач, пов'язаних з дослідженням властивостей груп за заданими властивостями їх -норм і присвячена дана дисертаційна робота.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертаційної роботи відповідає планам науково-дослідних робіт кафедри математики Сумського державного педагогічного університету ім. А.С. Макаренка “Дослідження складних алгебраїчних і топологічних структур” (номери державної реєстрації 0198V000799, 0100V002973).

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є вивчення властивостей та характеризація груп в залежності від властивостей їх -норм, де систему складають: всі нециклічні, всі нескінченні, всі нескінченні абелеві та всі нескінченні циклічні підгрупи групи. Серед визначальних обмежень, що накладаються на N(), вибираються недедекіндовість або ж скінченність індексу цієї -норми у групі.

Для досягнення мети використовуються загальні методи теорії груп та вже відомі результати про різні класи груп з нормальними підгрупами, а також деякі факти з теорії чисел. Вказані класи груп досліджуються при деяких загальноприйнятих в теорії груп обмеженнях (локальна скінченність, майже локальна розв'язність). Це перш за все пов'язано з існуванням нескінченних періодичних груп О.Ю. Ольшанського, в яких всі власні підгрупи циклічні простого порядку.

Наукова новизна одержаних результатів. Всі результати, сформульовані та доведені в теоремах і лемах дисертації та наслідках з них, є новими, строго обґрунтованими.

В дисертаційній роботі вперше:

- охарактеризовано неперіодичні групи з неабелевою нормою нескінченних циклічних підгруп (теорема 2.1.13);

- описано неперіодичні групи та досліджено властивості нескінченних локально скінченних груп, в яких норма нескінченних абелевих підгруп недедекіндова (теореми 2.2.11, 2.2.16);

- охарактеризовано неперіодичні та нескінченні локально скінченні групи, що мають недедекіндову норму нескінченних підгруп, або є скінченними розширеннями цієї норми (теореми 2.3.7, 2.3.9, 2.3.13);

- описано локально скінченні групи, які мають недедекіндову норму нециклічних підгруп (теореми 3.2.1,3.2.4, 3.3.3, 3.4.4, 3.4.5, 3.4.12, 3.4.21);

- описано неперіодичні майже локально розв'язні групи, нециклічна норма яких є недедекіндовою групою (теорема 3.5.1).

Вказані вище результати отримано дисертантом особисто і самостійно.

Практичне значення одержаних результатів. Робота має теоретичний характер. Описані в ній класи груп розширюють конкретну базу теорії груп. Одержані результати можуть бути використані при вивченні скінченних та нескінченних груп з обмеженнями на нормалізатори та
-норми різних систем підгруп . Фактичний матеріал дисертації може бути основою для спецкурсів та спецсемінарів з теорії груп.

Особистий внесок здобувача. Всі результати, які ввійшли в дисертаційну роботу, одержані самостійно або за особистою участю автора. Результати спільної статті [1] викладено у другому розділі. З них теореми 2.3.7, 2.3.9, 2.3.11- 3.2.13 належать дисертанту, а доведення теореми 2.3.2 та її наслідків отримано при рівному вкладі співавторів.

Апробація результатів роботи. Результати роботи доповідались та обговорювались на:

- VIII Міжнародній математичній конференції, присвяченій пам'яті академіка М. Кравчука (Київ, 2000);

- IV Міжнародній алгебраїчній конференції, присвяченій 60-річчю Ю.І. Мерзлякова (Новосибірськ, 2000);

- III Міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (Суми, 2001);

- алгебраїчному семінарі Київського національного університету імені Тараса Шевченка (Київ, 2001);

- науково-звітних семінарах та конференціях викладачів Сумського державного педагогічного університету ім. А.С. Макаренка.

Публікації. Результати дисертації опубліковано в 8 наукових роботах [1-8]. З них 4 надруковано у виданнях з переліку, затвердженого ВАК України, та 4 тези доповідей на міжнародних наукових конференціях.

Структура дисертації. Робота складається з переліку основних термінів та позначень, що використовуються у дисертації, вступу, трьох розділів та списку використаних джерел, який містить 77 найменувань. Повний обсяг роботи - 119 сторінок, з них 113 сторінок основного змісту та 6 сторінок використаних джерел.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційного дослідження, визначено його мету та задачі.

У розділі 1, що має допоміжний характер, зроблено огляд літератури, присвяченої групам з обмеженнями на -норми деяких систем підгруп , та наведено короткий виклад основних результатів роботи.

Розділ 2 присвячено вивченню нескінченних неабелевих груп із заданими обмеженнями на норми різних систем нескінченних підгруп , де систему складають: всі нескінченні, всі нескінченні абелеві, всі нескінченні циклічні підгрупи групи. У якості таких обмежень вибирається недедекіндовість відповідної - норми або скінченність її індексу у групі.

В підрозділі 2.1 вводиться поняття норми нескінченних циклічних підгруп. Зрозуміло, що така норма розглядається лише для неперіодичних груп і є максимальною підгрупою групи , яка нормалізує будь-яку нескінченну циклічну підгрупу з . Норму нескінченних циклічних підгруп у групі позначатимемо .

У лемі 2.1.9 доведено, що норма нескінченних циклічних підгруп неперіодичної групи збігається з її центром, якщо останній містить елементи нескінченного порядку. Тому будь-яка скінченна над нормою N_G(C) неперіодична група майже абелева, а група без скруту - абелева (наслідок 2.1.5). Властивості норми нескінченних циклічних підгруп суттєво впливають на властивості самої групи. Зокрема, у теоремі 2.1.13 доведено, що N_G(C) містить усі елементи нескінченного порядку групи G при умові, що підгрупа N_G(C) неабелева.

Теорема 2.1.13. Неперіодична група G тоді і тільки тоді має неабелеву норму N_G(C), коли всі елементи нескінченного порядку групи G породжують нормальну абелеву підгрупу D і існує елемент b порядку 2 або 4, такий що b^-1db=d^-1 для довільного елемента dD. При цьому N_G(C)=D<b>.

У підрозділі 2.2 вивчаються групи з певними властивостями норми нескінченних абелевих підгруп. Так будемо називати перетин нормалізаторів усіх нескінченних абелевих підгруп групи за умови, що система таких підгруп непорожня. Норму нескінченних абелевих підгруп у групі G позначатимемо . Зрозуміло, що при умові будь-яка нескінченна абелева підгрупа групи є її нормальною підгрупою. Отже, є абелевою (у періодичному випадку дедекіндовою) або нескінченною IH-групою (тобто нескінченною неабелевою групою, в якій множина всіх нескінченних абелевих підгруп непорожня і складається лише з нормальних підгруп). Тому нескінченні групи, що є скінченними розширеннями своїх норм нескінченних абелевих підгруп, майже абелеві. Будову неперіодичної групи G, норма нескінченних абелевих підгруп якої є IH-групою, характеризує наступна теорема.

Теорема 2.2.11. Неперіодична група тоді і тільки тоді має неабелеву норму нескінченних абелевих підгруп, коли всі елементи нескінченного порядку групи породжують нормальну абелеву підгрупу , яка містить кожну нескінченну абелеву підгрупу групи G, і існує елемент b порядку 2 або 4, такий що для довільного елемента . При цьому .

У зв'язку з існуванням груп О.Ю. Ольшанського, періодичні групи з недедекіндовою нормою нескінченних абелевих підгруп вивчалися за умови їх локальної скінченності. Було встановлено, що такі групи тоді і тільки тоді задовольняють умову мінімальності для підгруп, коли цю умову задовольняє підгрупа . Більш того, якщо є групою з умовою мінімальності для підгруп, то є скінченним розширенням її повної частини (теорема 2.2.16 та наслідок 2.2.17) і тому .

У підрозділі 2.3 вводиться ще одне узагальнення поняття норми - норма нескінченних підгруп групи. Так будемо називати перетин нормалізаторів усіх нескінченних підгруп нескінченної групи G. Якщо група неабелева і , то є INH-групою, тобто нескінченною неабелевою групою, всі нескінченні підгрупи якої нормальні. Тому нескінченні групи, в яких норма має скінченний індекс, розширюють клас груп, у яких нормальні всі нескінченні підгрупи. Зокрема, у неперіодичному випадку такі групи вичерпуються скінченними розширеннями своїх центрів.

Теорема 2.3.7. У неперіодичній неабелевій групі норма нескінченних підгруп тоді і тільки тоді має скінченний індекс, коли група неабелева мішана й скінченна над центром.

Зазначимо також теорему 2.3.2, що є узагальненням відомої теореми Бера про те, що норма групи збігається з її центром, якщо містить елементи нескінченного порядку.

Теорема 2.3.2. У неперіодичній групі норма нескінченних підгруп абелева і збігається з центром, якщо є неперіодичною групою.

Далі у підрозділі 2.3 досліджуються нескінченні локально скінченні групи, норма яких недедекіндова або має скінченний індекс у групі. У першому випадку встановлено, що група є скінченним розширенням квазіциклічної підгрупи , що є повною частиною норми (теорема 2.3.9). Відповідь на друге запитання дає теорема 2.3.13.

Теорема 2.3.13. Нескінченна локально скінченна група G тоді і тільки тоді скінченна над нормою N_G(?) нескінченних підгруп, коли група G або скінченна над центром, або її центр скінченний і вона є скінченним розширенням прямого добутку Р скінченного числа квазіциклічних p-груп за одним і тим же p, причому Р - мінімальна повна нескінченна нормальна підгрупа групи G і кожний елемент з групи G, що не належить централізатору підгрупи Р, індукує на Р незвідний автоморфізм.

У розділі 3 вивчаються групи, що мають недедекіндову нециклічну норму. Нагадаємо, що нециклічною нормою нециклічної групи G називають максимальну підгрупу N_G групи G, що нормалізує усі нециклічні підгрупи цієї групи. Зрозуміло, що норма N_G характеристична у G, збігається з перетином нормалізаторів усіх нециклічних підгруп групи і якщо G= N_G, то в групі G нормальні всі нециклічні підгрупи. Неабелеві групи такого роду за певних обмежень вивчались Ф.М. Лиманом і А.Д. Устюжаніновим та були названі -групами.

У підрозділі 3.1 встановлюються деякі допоміжні результати. Зокрема, тут доведено, що нескінченні локально скінченні групи, що мають недедекіндову нециклічну норму, задовольняють умову мінімальності для підгруп та вичерпуються скінченними розширеннями квазіциклічних підгруп (теорема 3.1.7).

У підрозділах 3.2 та 3.3 вивчаються локально скінченні -групи (-довільне просте число), нециклічна норма яких недедекіндова. Будову таких груп описують теореми 3.2.1, 3.2.4 та 3.3.3.

Теорема 3.2.1. Будь-яка нескінченна локально скінченна р-група (р2) G з неабелевою нециклічною нормою N_G є -групою.

Теорема 3.2.4. Скінченні p-групи (р2), що мають неабелеву нециклічну норму N_G , вичерпуються групами типів:

1) G - -група, N_G=G ;

2) G= (,p)=1; N_G=;

3) G= , , (s,p)=1, N_G=.

Відзначимо, що клас нільпотентності досліджуваних р-груп (р2) не перевищує 3, а група автоморфізмів, яку індукує група G на N_G, нільпотентна класу не вище 2. Як показує теорема 3.3.3, це твердження не має місця для локально скінченних 2-груп, нециклічна норма яких недедекіндова.

Теорема 3.3.3. Локально скінченні 2-групи G з недедекіндовою нециклічною нормою N_G вичерпуються групами таких типів:

1) G - негамільтонова -група, G= N_G;

2) G=, A - квазіциклічна 2-група, , d^-1ad=a^-1 для будь-якого елемента аА, а₁; N_G=, де aA,a=4;

3) G=(AН), A - квазіциклічна 2-група, d²=a₁A, a₁=2, d^-1ad=a^-1 для будь-якого елемента аА, , ; N_G= , a=4;

4) G=(<x><b>)<c><d>, |x|=2ⁿ,п>2,|b|=|c|=|d|=2, [x,c]=1, d^-1xd=x^-1, ; N_G=,

5) G=(<x><b>)<c>, |x|=2ⁿ, n>3,|b|=|c|=2,[x,c]=, [x,b]=; N_G=(<x²><b>)<c>;

6) G=<x>H, |x|=2ⁿ, п>2, H=<h₁,h₂>, |h₁|=|h₁|=4, h₁²=h₂²=[h₁,h₂], [<x>,H]=<> ; N_G=<x²>H;

7) G=(<x>H)<y>, |x|=2ⁿ, п2, H=<h₁,h₂>, |h₁|=|h₁|=4, h₁²=h₂²=[h₁,h₂], y²=, [y,h₂]=1, [y,h₁]=y², y^-1xy=x^-1 ; N_G=<h₂><h₁>;

8) G=; якщо т=1, то k=3, [x,b]=x² і N_G=<x²><b>; якщо m>1, то k m+r, , , 0<s<2, 0 t<2, (k >3 i t=0 при m=2); N_G=.

Результати, встановлені в підрозділах 3.2 та 3.3, суттєво використову-вались у підрозділі 3.4, де розглядалися непримарні локально скінченні групи, нециклічна норма яких недедекіндова. Виявилось, що нескінченні групи такого роду локально нільпотентні. Їх будову описує наступна теорема.

Теорема 3.4.4. Нескінченні локально скінченні непримарні групи, що мають недедекіндову нециклічну норму N_G, локально нільпотентні та вичерпуються групами типів:

1) G - нескінченна непримарна негамільтонова -група, G=N_G ;

2), А - квазіциклічна 2-група, b=c=d=2,- [b,c]=[d,c]=[d,b]=а₁А, a₁=2, [A,]=1, d^-1ad=a^-1 для будь-якого елемента аА, (у,2)=1, N_G;

3)G=, А - квазіциклічна 2-група, Н=, h₂= =h₁=4, h₁²=h₂²=[h₁,h₂], d=4, d²=a₁А, d^-1ad=a^-1 для будь-якого елемента аА, [h₁,d]=a₁, [h₂ ,d]=1, (у,2)=1, N_G.

Теорема 3.4.5 описує будову скінченних нільпотентних груп з недедекіндовою нормою нециклічних підгруп. Встановлено, що вони вичерпуються групами виду , де - силовська -підгрупа групи , що є скінченною групою одного з типів 1)-3) теореми 3.2.4 або типів 1), 4)-8) теореми 3.3.3 і (|y|,p)=1.

У теоремі 3.4.12 встановлюється будова скінченних ненільпотентних груп з недедекіндовою нільпотентною нециклічною нормою .

Теорема 3.4.12. Скінченні ненільпотентні групи, що мають нільпотентну недедекіндову нециклічну норму, вичерпуються групами наступних типів:

1) G=(<x><b>)<c><y>, де |x|=pⁿ, n1 (n>1 при p=2), |b|=|c|=p, |y|=mk, m1, (m,2(p-1))=1, (k,p)=1, p-1(mod m), [x,c]=1, [b,c]=, [y,x]=1 та N_G(<g>)=C_G(<g>)=<x,y^m>=Z(G) для кожного нецентрального елемента g<b,c>; N_G=(<x><b>)<c><y^m>;

2) G=(H<b>)<c><y>, де H=<h₁,h₂>, h₁²=h₂²=[h₁,h₂]=[b,c], |h₁|=|h₂|=4, |b|=|c|=2, [H,<c>]=1, |y|=5k, (k,2)=1 та елемент y індукує незвідний автоморфізм порядку 5 на фактор-групі (H<b>)<c>/<h₁²>; N_G=(H<b>)<c><y⁵>;

3) G=<y>(<x><b>)<c>, |y|=sn, (n,ps)=(s,p)=1, |x|=p^k, k>1 (k>2 при p=2), |b|=|c|=p, [x,c]=1, [b,c]=, [y,b]=[y,c]=1, Z(G)=<><y^s>, x^-1yx=y, 1, 1(mod s), 1r<k (1r<k-1 при p=2), (-1, ps)=1, N_G=(<><b>)<c><y^s>;

4) G=(H<b>)<c><y>, де H=<h₁,h₂>, h₁²=h₂²=[h₁,h₂]=[b,c], |h₁|=|h₂|=4, |b|=|c|=2, [H,<c>]=1, |y|=3k, (k,2)=1, <y>Z(G)=<y³>, [y,b]= =[y,c]=1, y^-1h₁y=h₂, y^-1h₂y=h₁h₂^-1; N_G=(<h₁²><b>)<c><y³>;

5) G=<y><x><b>, |y|=sn, (n,sр)=(s,p)=1, m>1, km+r, k>3 при m=2 і p=2, Z(G)=<y^s>, , [x,b]=, (,p)=1, [y,b]=1, x^-1yx=y, 1, , ( -1,ps)=1, N_G=<y^s>;

6) G=HQ<y>, H=<h₁,h₂>, h₁²=h₂²=[h₁,h₂], |h₁|=|h₂|=4, Q=<a,d>, |a|= =|d|=4, a²=d²=[a,d], [H,<a>]=1, [h₁,d]=h₂², [h₂,d]=1, |y|=3k, (k,2)=1, <y>Z(G)= =<y³>,[a,y]=[dh₁,y]=1, y^-1h₁y=h₂a^2t, y^-1h₂y=h₁h₂a^2t; N_G=<a><dh₁><y³>.

Вивчення непримарних локально скінченних груп завершує теорема 3.4.21, де розглядаються групи з ненільпотентною нециклічною нормою. Встановлено, що всі вони вичерпуються ненільпотентними -групами, тобто в цьому випадку з ненільпотентності нециклічної норми N_G випливає нормальність усіх нециклічних підгруп групи.

Завершує підрозділ 3.4 наслідок 3.4.23, в якому стверджується, що локально скінченні групи з недедекіндовою нормою нециклічних підгруп розв'язні та ступінь їх розв'язності не перевищує 3.

У підрозділі 3.5 досліджуються неперіодичні майже локально розв'язні групи нециклічна норма яких недедекіндова. Основним результатом цього підрозділу є теорема 3.5.1, яка суттєво узагальнює результати Ф.М. Лимана про неперіодичні майже локально розв'язні групи, що є скінченними розширеннями своєї нециклічної норми.

Теорема 3.5.1. Будь-яка неперіодична майже локально розв'язна група G, що має недедекіндову нециклічну норму N_G, є -групою і G= N_G.

Таким чином, у класі неперіодичних майже локально роз'язних груп з недедекіндовості нециклічної норми випливає розв'язність групи та інваріантність усіх її нециклічних підгруп. Встановлено також, що при умові GN_G нециклічна норма абелева або є групою кватерніонів.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі вивчаються властивості та будова груп з обмеженнями на нормалізатори деяких наперед заданих систем підгруп . У якості таких обмежень вибирається недедекіндовість або скінченність індексу у групі відповідної -норми, що є перетином нормалізаторів усіх підгруп виділеної системи . Такий підхід дозволяє узагальнити уже відомі класи груп з системами нормальних підгруп (тобто груп з умовою N()=G) та є продовженням ідей Р. Бера, С.М. Чернікова та Г. Віландта, що стали класичними у теорії груп.

У роботі досліджуються групи з вказаними обмеженнями на -норми для систем : всіх нециклічних, всіх нескінченних, всіх нескінченних абелевих, всіх нескінченних циклічних підгруп групи при умові, що містить принаймні одну таку підгрупу. У зв'язку з існуванням груп О.Ю. Ольшанського, що водночас виступають нормами для вказаних систем підгруп, у періодичному випадку дослідження ведуться за умови локальної скінченності групи.

У дисертації :

- введено до розгляду поняття норми нескінченних, нескінченних абелевих, нескінченних циклічних підгруп групи;

- охарактеризовано неперіодичні групи, що мають недедекіндову норму нескінченних циклічних підгруп;

- досліджено властивості та охарактеризовано неперіодичні та локально скінченні групи, що мають недедекіндову норму нескінченних абелевих підгруп;

- охарактеризовано неперіодичні та локально скінченні групи, в яких норма нескінченних підгруп недедекіндова або має у групі скінченний індекс;

- описано локально скінченні та неперіодичні майже локально розв'язні групи з недедекіндовою нециклічною нормою. Доведено, що всі вони розв'язні та ступінь їх розв'язності не перевищує 3.

Автор висловлює щиру подяку науковому керівнику доктору фізико-математичних наук, професору Лиману Ф.М. за постійну увагу, консультації та корисне обговорення результатів.

ПУБЛІКАЦІЇ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Лиман Ф.М., Лукашова Т.Д. Про нескінченні групи з заданими властивостями норми нескінченних підгруп// Укр. мат. журн. - 2001. - 53, №5. - С. 625-630.

2. Лукашова Т.Д. Локально скінченні р-групи (р2) з неабелевою нормою нециклічних підгруп//Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. -2001.- №1. - С. 43-53.

3. Лукашова Т.Д. Конечные 2-группы с недедекиндовой нормой нециклических подгрупп//Известия Гомельского гос-го ун-та имени Ф. Скорины. Вопросы алгебры. - 2001. -№3(6). - С. 139-150.

4. Лукашова Т.Д. Про ненільпотентну нециклічну норму локально скінченних груп// Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. -2001.-№3. - С. 38-42.

5. Лукашова Т.Д. Про норму нескінченних локально скінченних груп// Матеріали VIIІ Міжнар. наук. конф. імені акад. М.Кравчука, м.Київ, 11-14 травня 2000 р.- К.: Нац. техн. ун-т (КПІ).-2000.- С.319.

6. Лукашова Т.Д. О нециклической норме бесконечных групп//Труды IV Международной алгебр. конференции, посвященной 60-летию Ю.И.Мерзлякова, Новосибирск, 7-11 августа 2000 г. - Новосибирск: ИМ СО РАН. - 2000. - С. 108-110

7. Лукашова Т.Д. Локально скінченні групи з недедекіндовою нормою нециклічних підгруп// Матеріали ІІІ Міжнар. алгебр. конф. в Україні, Суми, 2-8 липня 2001 р. - Суми: Сумський держ. пед. ун-т ім. А.С. Макаренка - 2001.- С.208-209.

8. Лиман Ф.М., Лукашова Т.Д. Про норму нескінченних абелевих підгруп неперіодичних груп// Матеріали ІІІ Міжнар. алгебр. конф. в Україні, Суми, 2-8 липня 2001 р. - Суми: Сумський держ. пед. ун-т ім. А.С. Макаренка. - 2001.- С.205-207.

АНОТАЦІЇ

Лукашова Т.Д. Групи з обмеженнями на нормалізатори заданих систем підгруп. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 - алгебра і теорія чисел. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2002.

У роботі досліджуються властивості та будова груп в залежності від обмежень, які накладаються на перетини нормалізаторів N() усіх підгруп деякої непорожньої системи підгруп . Якщо складається з усіх підгруп групи, що мають певну теоретико-групову властивість, то N() називають -нормою групи. У якості визначальних умов, яким задовольняє N() вибираються недедекіндовість відповідної -норми або скінченність її індексу у групі для систем : всіх нециклічних, всіх нескінченних, всіх нескінченних абелевих та всіх нескінченних циклічних підгруп групи. При цьому N() називається відповідно нециклічною нормою, нормою нескінченних, нормою нескінченних абелевих та нормою нескінченних циклічних підгруп групи.

В дисертації повністю описані локально скінченні та неперіодичні майже локально розв'язні групи, що мають недедекіндову нециклічну норму; неперіодичні групи з недедекіндовою нормою нескінченних циклічних та нескінченних абелевих підгруп; досліджено властивості локально скінченних груп з такими ж обмеженнями на норму нескінченних абелевих підгруп; охарактеризовано неперіодичні та локально скінченні групи, в яких норма нескінченних підгруп недедекіндова або має скінченний індекс у групі.

Ключові слова: нормалізатор, нормальна підгрупа, норма, нециклічна норма, норма нескінченних циклічних підгруп групи, норма нескінченних абелевих підгруп групи, норма нескінченних підгруп групи, локально скінченна група.

Лукашова Т.Д. Группы с ограничениями на нормализаторы заданных систем подгрупп. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2002.

Пусть G - группа и - система всех подгрупп группы G, имеющих некоторое теоретико-групповое свойство. Пересечение нормализаторов всех подгрупп, входящих в систему , называют -нормой группы и обозначают N().

В диссертации изучаются группы с ограничениями на их -нормы, а также свойства этих норм и взаимосвязи между строением групп и их -норм для систем : всех нециклических, всех бесконечных, всех бесконечных абелевых и всех бесконечных циклических подгрупп группы. При этом N() называется соответственно нормой нециклических подгрупп или нецикли- ческой нормой, нормой бесконечных, нормой бесконечных абелевых и нормой бесконечных циклических подгрупп группы. В качестве

определяющих ограничений, которые накладываются на -норму, выбираются недедекиндовость или конечность ее индекса в группе. В периодическом случае указанные классы групп исследуются при условии их локальной конечности.

В работе описаны произвольные локально конечные группы, нециклическая норма N_G которых недедекиндова. Установлено, что бесконечные подгруппы такого рода локально нильпотентны и являются конечными расширениями квазициклических подгрупп, а нециклическая норма нильпотентна класса не выше 2. Доказано также, что из ненильпотентности подгруппы N_G следует инвариантность всех нециклических подгрупп в группе.

Непериодические группы с указанными ограничениями на подгруппу N_G изучались при условии их почти локальной разрешимости. Доказано, что они являются -группами, т.е. неабелевыми группами с инвариантными нециклическими подгруппами. Установлено, что при условии GN_G нециклическая норма абелева или является группой кватернионов. В обоих случаях (периодическом и непериодическом) установлено, что исследуемые группы разрешимы и их ступень разрешимости не превышает 3 (причем оценка 3 достигается).

В работе также охарактеризованы непериодические группы, у которых норма бесконечных циклических или бесконечных абелевых подгрупп недедекиндова и бесконечные локально конечные группы с таким же ограничением на норму бесконечных абелевых подгрупп. Описаны непериодические и бесконечные локально конечные группы, у которых норма бесконечных подгрупп недедекиндова или же имеет конечный индекс в группе.

Ключевые слова: нормализатор, нормальная подгруппа, норма, нециклическая норма, норма бесконечных циклических подгрупп группы, норма бесконечных абелевых подгрупп группы, норма бесконечных подгрупп группы, локально конечная группа.

Lukashova T.D. Groups with the restrictions on normalizers of the given systems of subgroups. - Manuscript.

Thesis for a Candidate's degree in speciality 01.01.06 - algebra and number theory. - Kiev National Taras Shevchenko University, Kiev, 2002.

We are investigating the properties and the structure of the groups with the restrictions which apply on of the normalizers N() of all the subgroups of some subgroups' system . If consists of all subgroups of the group, having some property, then N() is called -norm of group. As the defining restriction, which apply on N(), we take the non-Dedekind quality of the N() or consider N() to have a finite index in the group.

The locally finite and non-periodic almost locally soluble groups having non-Dedekind noncyclic norm and non-periodic groups with non-Dedekind norm of the non-finite cyclic and norm non-finite abelian subgroups are completely described. The properties of the locally finite groups with same restrictions of the non-finite abelian subgroups norm are defined. We have described the non-periodic and locally finite groups, where the non-finite subgroups norm is non-Dedekind or it has a finite index in the group.

Key words: a normalizer, normal subgroup, norm, noncyclic norm, norm of non-finite subgroups, norm of non-finite cyclic subgroups, norm of non-finite abelian subgroups, locally finite group.

Размещено на Allbest.ru

...