Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Львіваський національний університет

імені Івана Франка

Маслюченко Олександр Володимирович

УДК 517.51; 515.98

КОЛИВАННЯ НАРІЗНО НЕПЕРЕРВНИХ ФУНКЦІЙ І ТОПОЛОГІЧНІ ІГРИ

01.01.01 - математичний аналіз

АВТОРЕФЕРТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Львів - 2002

Робота виконана на кафедрі математичного аналізу Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник: доктор фізико-мататичних наук, професор Нагнибіда Микола Іванович, професор кафедри математичного аналізу Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Плічко Анатолій Миколайович, професор кафедри математики Кіровоградського державного педагогічного університету імені Володимира Винниченка;

доктор фізико-математичних наук, доцент Банах Тарас Онуфрійович, доцент кафедри алгебри і топології Львівського національного університету імнені Івана Франка.

Провідна установа: Інститут математики НАН України (м. Київ)

Захист відбудеться 20 червня 2002 р. о 15.20 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради К 35.051.07 у Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою: 7900, м. Львів, вул. Університетська 1, ауд. 377.

З дисертацією можна познайлмитись у бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка (м. Львів, вул. Драгоманова, 5)

Автореферат розіслано 15 травня 2002 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Бокало М.М.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Вивчення зв'язків між сукупною і нарізною неперервністю почалося ще з класичних праць Р.Бера і В.Осгуда кінця ХІХ ст. Протягом ХХ ст. цією проблемою займалися багато математиків: Е. ван Влек, В.Юнг і Г.Юнг, Г.Ган, К.Бегель, С.Кемпістий, Р.Кешнер, А.Алєксєвич і В.Орлич, М.Форт, Н.Бурбакі, Й.Мібу, Н.Мартін, Дж.Вестон, Р.Фейок, І.Наміока, Дж.Бреккенрідж і Т.Нішіура, Ж.-П.Труаллік, М.Талагран, Р.Христенсен, Ж.Сан-Ремо, Г.Дебс, В.Маслюченко, Ч.Стігалл, Р.Девілль, З.Пьотровський, Ж.Годефруа, А.Бузіад, В.Михайлюк та інші. Дослідження ведуться в таких напрямках: вивчення величини множини точок розриву нарізно неперервних відображень (пряма задача), побудова нарізно неперервних функцій з даною множиною точок розриву (обернена задача). Отримані результати пов'язані з теорією топологічних груп, геометрією банахових просторів і теорією граничних множин та мають там застосування. Одним із важливих методів досліджень зв'язків між нарізною і сукупною неперервністю є метод топологічних ігор, який бере початок ще з класичної гри Банаха-Мазура. Першим застосував цей метод Р.Христенсен для покращення відомої теореми Наміоки. Подальший розвиток цього методу був здійснений у працях Ж.Сан-Ремо, М.Талаграна, Г.Дебса, А.Бузіада та інших математиків. У зв'язку із введеними ними топологічними іграми виникають різні класи так званих сприятливих і несприятливих просторів, які мають багато спільних рис і потребують розгляду їх із загальної точки зору та дослідження взаємозв'язків між ними.

У тому випадку, коли співмножники області визначення нарізно неперервної функції задовольняють певні аксіоми зліченності, чи метризовні, відомо багато результатів про малість множини її точок розриву. При відповідних умовах на співмножники спостерігаються такі явища: проекція перетину множини точок розриву з горизонталлю, з неперервною кривою чи з горизонтальною смугою є множиною першої категорії. В теоремі Наміоки, яка вперше вийшла за класичні рамки, твердиться про малість проекції всієї множини точок розриву у випадку, коли другий співмножник локально компактний і -компактний. Те ж саме стосується і багатьох її узагальнень, одержаних за допомогою топологічних ігор. Тільки Ж.Ганселу і Ж.-П.Труалліку вдалося класичні теореми про неперервність на горизонталях перенести на випадок нарізно неперервних функцій, заданих на добутку зліченно повних за Чехом просторів. Ж.Калбрі і Ж.-П. Труаллік, ввівши поняття множини зліченного типу, запропонували підхід, який дозволяє одночасно доводити теореми про малість проекції всієї множини точок розриву і її перетину з горизонталлю. Зауважимо, що горизонталі, неперервні криві і горизонтальні смуги є графіками певних многозначних відображень. Тому виникає необхідність дослідити величину множини точок сукупної неперервності нарізно неперервних функцій на графіках многозначних відображень і розвинути метод топологічних ігор, пристосувавши його до загальної ситуації. Це дозволило би розглянути з єдиних позицій результати типу теорем Наміоки і Гансела-Труалліка і, крім того, дало би можливість отримати нові аналоги теореми Елліса.

М.Талагран у 1985 році поставив таку проблему: чи існує нарізно неперервна скрізь розривна функція, визначена на добутку берівського і компактного просторів? Ця проблема виявилась досить важкою і досі ще не розв'язана. На шляху до її розв'язання виникають задачі такого ж типу при не таких жорстких умовах на співмножники, наприклад, коли замість компактного простору розглядається зліченно компактний простір.

У працях багатьох авторів (Р.Кешнер, З.Гранде, Дж.Бреккенрідж і Т.Нішіура, В.Маслюченко і В.Михайлюк вивчалася обернена задача теорії нарізно неперервних відображень про побудову нарізно неперервних функцій з даною множиною точок розриву. Зокрема, В.Маслюченко і В.Михайлюк отримали повний опис множин точок розриву нарізно неперервних функцій багатьох змінних, визначених на добутках метризовних просторів. Як добре відомо, множина точок розриву деякої функції - це носій її коливання, яке характеризує величину розривів. Але у розглядуваних раніше конструкціях слідкували лише за наявністю розривів, а не за їх величиною. Тому природно постало питання про опис коливань нарізно неперервних функцій. Як виявилось пізніше, побудовою функції з даним коливанням займався ще П.Костирко. Для такої функції З.Дужинський, З.Гранде і С.Пономарьов запропонували термін -первісна. Дослідження цих авторів продовжили Й.Еверт і С.Пономарьов, які одержали досить загальні результати на цю тему. Але в цій і попередній роботах будуються -первісні для функцій, заданих на так званих масивних просторах, тобто таких просторах, у яких кожна відкрита непорожня множина не є -дискретною. Але, наприклад, раціональна пряма, очевидно, не є масивним простором. Тому актуально продовжити ці дослідження далі, а також, розглянути точнішу задачу про побудову -первісної, що належить до того чи іншого класу функцій.

Зв'язок з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації пов'язана з науково дослідними програмами "Деякі класи лінійних неперервних операторів в топологічних векторних просторах та їх застосування" (номер держ. реєстрації - 0198U002748) та "Дослідження диференціально-геометричних структур та відображень в абстрактних просторах" (номер держ. реєстрації - 0100U005503)

Мета і задачі дослідження. Метою дисертації побудова -первісних, які належать різних функціональних класів а також дослідження величини множини точок сукупної неперервності нарізно неперервних і подібних до них функцій.

Задачами дослідження є:

– побудова квазінеперервних -первісних і -первісних першого та

– другого класу Бера функцій, визначених на довільних метризовних просторах;

– побудова нарізно неперервних -первісних функцій багатьох змінних, визначених на добутках метризовних просторів і на добутках компактів Еберлейна;

– вивчення множини точок сукупної неперервності нарізно неперервних функцій багатьох змінних на графіках многозначних відображень;

– дослідження сукупної неперервності функцій, квазінеперервних відносно першої змінної і неперервних відносно другої на добутку -сприятливого простору і компакту Валдівіа;

– побудова прикладу берівського простору, зліченно компактного простору і нарізно неперервної скрізь розривної функції, визначеної на добутку цих просторів;

– дослідження властивостей сприятливих і несприятливих просторів для різних топологічних ігор, властивостей типу повноти за Чехом і взаємозв'язків між ними.

Об'єктом досліджень є нарізно неперервні функції, квазінеперервні функції і функції першого та другого класу Бера, а предметом досліджень - коливання і множина точок розриву таких функцій.

В дослідженні застосовуються методи топологічних ігор, локально скінченних покриттів, послідовних поправок, функціональної апроксимації а також категорні міркування.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертаційній роботі вперше отримано такі результати:

1. Дано опис коливань дійснозначних функцій першого та другого класів Бера і квазінеперервних функцій визначених на просторах досить загальної природи, зокрема, на метризовних просторах. Раніше досліджувався тільки випадок функцій другого класу Бера на берівських чи масивних метризовних просторах (П.Костирко, З.Ґранде, З.Дужинський, Дж.Еверт, С.Пономарьов).

2. Охарактеризовано коливання дійснозначних нарізно неперервних функцій багатьох змінних на добутках метризовних просторів. Раніше розглядалася лише задача про побудову нарізно неперервних функцій з даною множиною точок розриву (Р.Кешнер, З.Ґранде, Дж.Бреккенрідж, Т.Нішіура, В.Маслюченко, В.Михайлюк).

3. Побудовано нарізно неперервні -первісні невід'ємних напівнеперервних зверху функцій з сепарабельним носієм проективно першої категорії на добутках компактів Еберлейна.

4. Отримано теореми про сукупну неперервність нарізно неперервних функцій багатьох змінних на графіках многозначних відображень, які узагальнюють теореми Наміоки, Талаграна, Гансела-Труалліка та інших авторів і з їх допомогою встановлено нові аналоги теореми Елліса.

5. Доведено, що проекція на перший співмножник множини точок розриву функції, визначеної на добутку -сприятливого простору і компакту Валдівіа, яка квазінеперервна відносно першої змінної і неперервна відносно другої, є множиною першої категорії. Раніше аналогічні теореми про сукупну неперервність таких функцій втановлювались лише у випадку, коли другий співмножник метризовний, чи задовольняє певні аксіому зліченності.

6. Побудовано приклад берівського простору, зліченно компактного простору і нарізно неперервної скрізь розривної функції, визначеної на добутку цих просторів. Цей результат є першим просуванням на шляху розв'язання відомої проблеми Талаграна про побудову нарізно неперервної скрізь розривної функції на добутку берфвського і компактного просторів.

7. Введено загальні класи -p-сприятливих і -p-несприятливих просторів і псевдоповних за Чехом просторів та досліджено взаємозв'язки між ними та іншими відомими класами просторів.

Наукове та практичне значення одержаних результатів. Дисертація носить теоретичний характер. Її результати можуть бути використані в загальній теорії функцій, топології та функціональному аналізі, зокрема, в топологічній алгебрі та геометрії банахових просторів. Всі наукові положення і висновки дисертації є цілком обгрунтованими ідостовірними.

Особистий внесок здобувача. Всі наукові результати, включені в дисертацію, одержані здобувачем особисто. В праці [1] В.Маслюченку належить постановка розглядуваних там задач а також ідея використання теореми Стоуна при доведенні апроксимовності ніде не щільних множин в метризовному прострі. В роботі [2] В.Михайлюку належить лише останній параграф. З [5] автору належать параграфи 1.4-1.8. Таким чином, із спільних статей [1], [2], [5] в дисертацію включені тільки ті результати, які належать автору і, зрозумілим чином, не ввійшли до дисертацій співавторів.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації апробовувались на Всеукраїнській науковій конференція "Розробка та застосування математичних моделей в науково-технічних дослідженнях" присвяченій 70-рiччю від дня народження професора П.С. Казимiрського у Львові [9], на міжнародній конференції "Сучасні проблеми математики" у Чернівцях [11], на міжнародній супутній конференції Першого всеукраїнського математичного конгресу "Диференціальні рівняння і нелінійні коливання" у Чернівцях [13], а також, на студентських конференціях [8], [10], [12]. Крім того, вони доповідалися на науковому семінарі кафедри математичного аналізу Чернівецького національного університету (керівник В.К.Маслюченко), на науковому семінарі математичного факультету Чернівецького національного університету (керівник С.Д.Івасишен) та науковому семінарі кафедри алгебри і топології Львівського національного університету (керівник М.М.Зарічний).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 13 наукових працях, з них 6 - у наукових журналах, 1 - у збірнику наукових праць, 6 - у тезах та матеріалах конференцій. Серед публікацій 7 праць опубліковані у наукових фахових виданнях ВАК України.

Структура дисертації. Дисертація складається з вступу, списку умовних позначень і термінів, чотирьох розділів, висновків i списку використаних джерел, який містить 82 найменування і займає 8 сторінок. Повний обсяг роботи 149 сторінок.

квазінеперервний функція топологічний гра

ОСНОВНИЙ ЗМICТ РОБОТИ

Нехай X - топологічний простір. Для функції f : X  Y символом  f ми позначатимемо її коливання. Функція f : X  R називається -первісною функції : X [0, +], якщо f = . Як добре відомо, множина D(f) точок розриву функції f - це носій її коливання.

В розділі 2 розв'язується задача про побудову нарізно неперервних і квазінеперервних -первісних. В нашому викладі важливим технічним інструментом виступають верхня і нижня функції Бера і , основні властивості яких зібрані у п.2.1. Центральну роль у другому розділі відіграють введенні нами поняття досяжних, подільних і апроксимовних множин та пов'язані з ними класи топологічних просторів (пп.2.2, 2.3 і 2.7).

Замкнену ніде не щільну множину E в топологічному просторі X ми називаємо досяжною, якщо для довільної спадної послідовності відкритих в X множин Gn, таких, що E fr Gn для кожного n, існує послідовність відкритих множин Un, для якої Cl Un Gn для кожного n і LimUn=nCl(k>nUk) = E. Простір X називаємо досяжним, якщо кожна замкнена ніде не щільна його підмножина є досяжною. Відкрита непорожня множина G в просторі X називається подільною, якщо існують дві її непорожні відкриті частини G 0 і G 1, такі, що G0G1 = , fr G0 = fr G1 fr G і G Cl(G0 G1). Якщо кожна відкрита непорожня підмножина простору X є подільною, то і сам простір X називається подільним. Метризовні простори і досконало нормальні спадково сепарабельні простори з першою аксіомою зліченності (зокрема, пряма Зоргенфрея) є як досяжними, так і подільними.

Ніде не щільну підмножину E топологічного простору X ми називаємо апроксимовною, якщо для довільної відкритої в X множини G з E fr Gn існує сім'я : E 2G і диз'юнктна відкрита сім'я : E 2G, визначена на тілі P = (E) сім'ї , такі, що p ( p), Cl ( p ) Cl E = , x Cl ( x) для довільних p P і xX і для довільної підмножини A в E система (PA), де PA = (A), локально скінчення поза Cl A. Якщо, крім того, існує відображення : P N таке, що для довільної точки xE, її околу U і номера n існує p (x) U з (x) > n, то множина E називається сильно апроксимовною. Простір X називається (сильно) апроксимовним, якщо такою ж є кожна ніде не щільна його підмножина. Метризовні простори будуть сильно апроксимовними, а також, кожна сепарабельна ніде не щільна підмножина компакту Еберлейна є сильно апроксимовною.

В другому розділі розробляються два методи побудови -первісних. Перший з них використовує як основний технічний засіб введене нами поняття функції Урисона і застосовуються у спадково нормальних досяжних просторах (пп.2.4 і 2.5). Другий підхід, названий нами методом послідовних поправок, розвивається в пп.2.6-2.9, і використовує поняття апроксимовності. В п.2.10 вивчено необхідні умови існування квазінеперервних і нарізно неперервних -первісних.

Основні результати другого розділу подані в п.2.11.

Теорема 2.11.1. Нехай X - досяжний подільний спадково нормальний або цілком регулярний подільний сильно апроксимовний простір (наприклад, X - метризовний). Тоді для того, щоб функція : X [0,+] мала квазінеперервну -первісну необхідно і досить, щоб була напівнеперервною зверху і .

Підмножина E добутку X = 1 i d Xi називається множиною -локально проективно першої категорії, якщо існує послідовність множин En, така, що E = n En і для довільних n і x X існує окіл U точки x, що для нього проекції множини U En паралельно до кожного із співмножників є множинами першої категорії.

Теорема 2.11.2. Нехай X = 1 i d Xi - добуток метризовних просторів. Для того, щоб функція : X [0,+] мала квазінеперервну і нарізно неперервну -первісну необхідно і досить, щоб була напівнеперервною зверху, і її носій E = S()був множиною -локально проективно першої категорії.

Теорема 2.11.5. Нехай X = 1 i d Xi - добуток компактів Еберлейна. Тоді кожна напівнеперервна зверху функція : X [0,+], носій S() якої сепарабельний і проективно першої категорії, має нарізно неперервну -первісну. Причому, умова сепарабельності носія не є необхідною але істотна.

В третьому ж розділі ми, розвиваючи методи пп.2.2-2.5, отримуємо опис коливань нарізно неперервних функцій на скінченних добутках довільних метризовних просторів. Крім того, охарактеризовано коливання довільних функцій, функцій першого та другого класу Бера, заданих на просторах досить загальної природи, зокрема, на довільних метризовних просторах.

В п.3.1 отримано зображення напівнеперервної зверху функції f : X [0,+] у вигляді суми h+g, де - квазінеперервна напівнеперервна зверху функція, а g : X [0,+]- така, що множини S(g)={xX: g(x) } ніде не щільні в X для кожного > 0. Крім того, показано, що кожна квазінеперервна напівнеперервна зверху функція є рівномірною границею простих функцій спеціального виду. В наступному підрозділі розвивається техніка знаходження коливань суми функцій.

Центральним в розділі 3 є введене нами поняття сильно досяжного простору, яке вивчається в п.3.3. Замкнена ніде не щільна множина E в топологічному просторі X називається сильно досяжною, якщо для довільної спадної послідовності відкритих в X множин Gn, у яких E fr Gn для кожного n, існує послідовність замкнених дискретних множин Sn, така, що Sn Gn для кожного n і Lim Sn = E. Сильно досяжним ми називаємо простір, в якому кожна замкнена ніде не щільна підмножина є такою ж. В класі досконало нормальних просторів з сильної досяжності випливає досяжність. Крім того, метризовні простори і досконало нормальні спадково сепарабельні простори з першою аксіомою зліченності є сильно досяжними.

В пп.3.4 і 3.5 вивчаються зв'язки між сильною досяжністю топологічного простору і його розкладністю та подільністю. Зокрема, встановлюється, що кожний сильно досяжний простір є зліченно розкладним, а також, що кожний спадково нормальний сильно досяжний простір без ізольованих точок є подільним.

Побудова -первісних в третьому розділі має два підготовчі етапи: для квазінеперервних функцій (п.3.6) і для функцій з ніде не щільним носієм (п.3.7). Вона завершується в п.3.8 досить загальною теоремою про існування -первісних функцій, заданих на досконало нормальних сильно досяжних просторах. Основні результати третього розділу викладені в п.3.9.

Теорема 3.9.2. Нехай X - досконало нормальний сильно досяжний простір і : X [0,+]. Тоді для того, щоб функція мала деяку -первісну (-первісну з другого класу Бера, -первісну з першого класу Бера) необхідно і досить, щоб була напівнеперервною зверху і носій S() не містив ізольованих точок простору X (містив щільну підмножину першої категорії в X, був множиною першої категорії в X).

Теорема 3.9.6. Нехай X = 1 i d Xi - добуток метризовних просторів і : X [0,+]. Для того, щоб функція мала нарізно неперервну -первісну, необхідно і досить, щоб була напівнеперервною зверху і її носій S() був множиною -локально проективно першої категорії.

Нехай X, Y, Z - топологічні простори і : X Y - многозначне відображення. Функцію f : X Y Z ми називатимемо -наміоковою, якщо існує всюди щільна G-множина A X, така, що {x} (x) С ( f ) для кожного x A. У випадку (x) B -наміокові функції називатимемо B-наміоковими. В четвертому розділі досліджується наступна задача: при яких умовах на X, Y, Z і кожна нарізно неперервна функція f : X Y Z є -наміоковою?

В п.4.1 вивчаються повні за Чехом простори, зліченно повні за Чехом простори і введені нами псевдоповні за Чехом простори та їх зв'язки із компактними, зліченно компактними і псевдокомпактними просторами. Топологічний простір X називається зліченно (псевдо-) повним за Чехом}, якщо існує послідовність відкритих покриттів U n простору X така, що перетин довільної спадної послідовності (канонічно) замкнених множин FnU n непорожній. Зокрема отримано зовнішні характеризації зліченно (псевдо-) повних за Чехом просторів.

В п.4.2 вводяться основні для подальшого викладу поняття компактної, зліченно компактної і псевдокомпактної огороженості. Спадну послідовність канонічно замкнених множин En у топологічному просторі X ми називаємо псевдокомпактною, якщо для довільної спадної послідовності канонічно замкнених множин Fn En, перетин Fn непорожній. Ми кажемо, що множина E є псевдокомпактно огороженою в X, якщо існує псевдокомпактна послідовність канонічно замкнених околів Un множини E. Точку x називатимо псевдокомпактно огороженою, якщо такою є одноточкова множина {x}. Подібним чином вводяться поняття (зліченно) компактної послідовності і (зліченно) компактної огороженості множини.

Крім того, ми вводимо поняття (зліченно, псевдо-) компактно огорожених многозначних відображень. Відкриту множину G в добутку XY називатимемо стовпчастою, якщо для довільної відкритої непорожньої множини V множина {xX: Gx = V} відкрита в X. Многозначне відображення ми будемо називати (зліченно, псевдо-) компактно огороженим, якщо існує спадна послідовність стовпчастих множин Gn X Y, така, що для довільного n проекція prX(Gn) щільна в X, (x) Gnx для x prX(Gn) і, крім того, послідовність (Cl (Gnx )))n _ 1 зліченно, псевдо-) компактна для довільного xX. Ми з'ясовуємо, що для довільного (зліченно, псевдо-) повного за Чехом простору Y кожна його компактна підмножина B є (зліченно, псевдо-) компактно огороженою, і кожне компактнозначне квазінеперервне зверху відображення : X Y є (зліченно, псевдо-) компактно огороженим для довільного топологічного простору X.

Підрозділ 4.3 присвячений вивченню еквікомпактних просторів, тобто таких топологічних просторів в яких відносна компактність підмножини еквівалентна її відносній псевдокомпактності.

Вивченню різноманітних топологічних ігор і пов'язаних з ними класів просторів присвячений п.4.4 цієї роботи. Зокрема, для довільної властивості p підмножин деякого топологічного простору X ми вводимо загальну p-гру. Гравець грає парами (Un, Pn), де Un - відкрита непорожня множина a множина Pn має властивість p, а гравець грає відкритими непорожніми множинами Un. Гру починає ходом Uo. Далі гравці ходять по черзі так, щоб Un Un Un-.-1Гравець виграє, якщо Cl(Pn) Un = . Інакше виграє . Якщо існує правило, граючи згідно з яким гравець (гравець ) завжди виграє, то казатимемо, що гравець (гравець ) має виграшну стратегію у p-грі}, а простір X називатимемо -p-сприятливим (-p-сприятливим)}якщо ж гравець (гравець ) не має виграшної стратегії у p-грі, то простір X називатимемо -p-несприятливим (-p-несприятливим). Якщо за p брати властивість s бути одноточковою множиною чи k бути компактною множиною, то ми одержимо відповідно s-гру Сан-Ремо і k-гру Талаграна. Ми також будемо розглядати -гру, де - властивість підмножини бути відносно псевдокомпактною.

В пп.4.6, 4.7, 4.8 ми досліджуємо питання про сукупну неперервність нарізно неперервних функцій на графіках многозначних відображень і горизонтальних смугах і про квазінеперервність нарізно неперервних функцій. Позначимо множину всіх зліченно (псевдо-) компактно огорожених точок простору X через K(X) (чи, відповідно, Kp(X) ) якщо X - зліченно (псевдо-) повний за Чехом, то K(X) = X (чи, відповідно, Kp(X) = X). Встановлено наступні результати.

Теорема 4.6.7. Нехай X1 - -s-несприятливий, X2 , … , Xd - -s-сприятливі, X = 1 i d Xi, Y - топологічний простір, Z - метризовний і : X Y - псевдокомпактно огорожене многозначне відображення. Тоді довільна функція f : X Y Z, яка нарізно неперервна, як функція d+1 змінної і квазінеперервна відносно x, є -наміоковою.

Теорема 4.7.5. Нехай X1 - --несприятливий, X2 , … , Xd - -s-сприятливі, B - псевдокомпактно огорожена підмножина простору Y, Z - метризовний простір. Тоді довільна функція f : X Y Z, яка нарізно неперервна як функція d+1 змінної і така, що асоційоване відображення : X C p (Y, Z) квазінеперервне, є B-наміоковою.

Теорема 4.8.2. Нехай X1 , … , Xd, Y - топологічні простори, причому X2 , … , Xd - 1 - -s-сприятливі і Y - цілком регулярний. Тоді, якщо X1 - -s-несприятливий і Cl (Kp(Xi)) = Xi для 2 i d, або X1 - --несприятливий і Cl (K(Xi)) = Xi для 2 i d, то кожна нарізно неперервна функція f : 1 i d Xi Y є квазінеперервною.

Теорема 4.8.3. Нехай X1 , … , Xd - топологічні простори, Y - метризовний простір, причому X2 , … , Xd - 1 - -s-сприятливі і f : 1 i d Xi Y - нарізно неперервна функція. Тоді, якщо X1 - -s-несприятливий, Cl (Kp(Xi)) = Xi для 1 < i < d і : 1 i <d Xi Xd - псевдо компактно огорожене відображення, то f є -наміоковим. Якщо ж X1 - --несприятливий, Cl (K(Xi)) = Xi для 1 < i < d і B - зліченно компактно огорожена підмножина Xd то f є B-наміоковим.

Теорема 4.8.4. Нехай один із просторів X1 , … , Xd є псевдоповним за Чехом, а решта зліченно повні за Чехом, Y - метризовний простір і : 1 i <d Xi Xd квазінеперервне зверху компактнозначне відображення. Тоді кожна нарізно неперервна функція f : 1 i d Xi Y є -наміоковою. Зокрема, кожна така функція є квазінеперервною.

Крім того ми одержуємо новий аналог теореми Елліса.

Теорема 4.8.6. Нехай -s-несприятливий простір X є групою, яка діє а тихоновський псевдоповний за Чехом простір T, причому інверсія x x-1 і правий зсув x xx0, x0X неперервні. Тоді, якщо дія (x, t) xt є нарізно неперервною, то вона неперервна за сукупністю змінних.

В п.4.9 вивчається питання про сукупну неперервність KC-функцій і їх аналогів. Нехай X, Y, Z - топологічні простори і f : X Y Z. Покладемо YK ( f ) = {yY: fy - квазінеперервна}. Функція f називається KC-функцією (-функцією, -функцією) якщо YK ( f ) = Y ( Cl(YK ( f )) = Y, YK ( f ) містить щільну G-підмножину в Y). Підмножина A топологічного простору X називається відносно m-компактною, якщо замикання в X будь-якої її зліченої підмножини є метризовним компактом. Простір X називається m-компактним (-компактним) якщо X є відносно m-компактним в собі (X має щільну відносно m-компактну підмножину). Довільний компакт Корсона (Валдівіа) є m-компактним (-компактним) простором.

Теорема 4.9.9. Нехай X - -сприятливий простір, Y - топологічний, Z - метризовний простори, B - щільна відносно m-компактна підмножина Y і f : X Y Z - неперервна відносно y і YK ( f ) B. Тоді f є Y-наміоковою.

Наслідок 4.9.10. Нехай X - -сприятливий, Y - m-компактний (наприклад, компакт Корсона) і Z - метризовний простори. Тоді кожна -функція f : X Y Z є Y-наміоковою.

Наслідок 4.9.11. Нехай X - -сприятливий, Y - регулярний -компактний (наприклад, компакт Валдівіа) і Z - метризовний простори. Тоді кожна -функція f : X Y Z (а значить, і кожна KC-функція) є Y-наміоковою. М. Талагран, навівши приклад берівського простору X, який не є наміоковим, задався природним запитанням: чи існує берівський простір X, компакт Y і нарізно неперервна скрізь розривна функція f : X Y R? Ця проблема виявилась досить важкою і відповідь на неї до цих пір не відома. Але в п.4.10 ми даємо позитивну відповідь на її послаблений варіант. Теорема 4.10.2. Для довільного кардиналу існує цілком регулярний простір Y, замикання кожного підпростору потужності якого є компактом, а також цілком регулярний -сприятливий (а значить, берівський) простір X і нарізно неперервна скрізь розривна функція f : X Y D, де D = {0, 1}.

ВИСНОВКИ

Дисертація присвячена розв'язанню задачі про побудову -первісних з того чи іншого функціонального класу, а також задачі про вивчення множиниточок сукупної неперервності нарізно неперервних і подібних до них функцій.

В дисертації отримано такі результати:

– дано опис коливань дійснозначних функцій першого та другого класів Бера і квазінеперервних функцій визначених на просторах досить загальної природи, зокрема, на метризовних просторах; охарактеризовано коливання дійснозначних нарізно неперервних функцій багатьох змінних на добутках метризовних просторів;

– побудовано нарізно неперервні -первісні невід'ємних напівнеперервних зверху функцій з сепарабельним носієм проективно першої категорії на добутках компактів Еберлейна;

– отримано теореми про сукупну неперервність нарізно неперервних функцій багатьох змінних на графіках многозначних відображень, які узагальнюють теореми Наміоки, Талаграна, Гансела-Труалліка та інших авторів і з їх допомогою встановлено нові аналоги теореми Елліса;

– доведено, що проекція на перший співмножник множини точок розриву функції, визначеної на добутку -сприятливого простору і компакту Валдівіа, яка квазінеперервна відносно першої змінної і неперервна відносно другої, є множиною першої категорії;

– побудовано приклад берівського простору, зліченно компактного простору і нарізно неперервної скрізь розривної функції, визначеної на добутку цих просторів;

– введено загальні класи -p-сприятливих і -p-несприятливих просторів і псевдоповних за Чехом просторів та досліджено взаємозв'язки між ними та іншими відомими класами просторів.

Для обгрунтування результатів дисертації модифіковано методи топологічних ігор, локально скінченних покриттів, послідовних поправок, функціональної апроксимації.

Результати дисертації мають теоретичний характер і можуть бути використані в загальній теорії функцій, топології, функціональному аналізі, зокрема, в топологічній алгебрі і геометрії банахових просторів.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗДОБУВАЧА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Маслюченко В.К., Маслюченко О.В. Побудова нарізно неперервної функції з даним коливанням // Укр. мат. ж. - 1998. - 50, N7. - С.948-959.\\

2. Маслюченко О.В., Михайлюк В.В. До проблеми Талаграна // Науковий вісник Чернівецького університету. Вип. 46. Математика. - Чернівці ЧДУ, 1999. - С.95-99.

3. Маслюченко О.В. Коливання нарізно неперервних функцій на добутку компактів Еберлейна // Науковий вісник Чернівецького університету. Вип. 76. Математика. - Чернівці: Рута, 2000. - С.67-70.

4. Маслюченко О.В. Сукупна неперервність нарізно неперервних функцій на графіках многозначних відображень // Науковий вісник Чернівецького університету. Вип. 111. Математика. - Чернівці ЧНУ, 2001. - С.76-84.

5. Maslyuchenko V.K., Maslyuchenko O.V., Mykhaylyuk V.V., Sobchuk O.V. Paracompactness and separately continuous mappings //General Toppology in Banach Spases, in: T.Banakh (ed.). - Nova Sci. Publ. - Huntintong-New York, 2001. - P.147-169.

6. Маслюченко О.В. Сукупна неперервність КС-функцій // Мат. Студії. - 2002. - 17, N1. - С.75 - 80.

7. Маслюченко О.В. Повнота за Чехом та її зліченні аналоги // Науковий вісник Чернівецького університету. Вип. 134. Математика. - Чернівці ЧНУ, 2002. - С.84-86.

8. Маслюченко В.К., Маслюченко О.В. Побудова неперервної функції з даним коливанням // Матеріали наукової конференції викладачів та студентів, присвяченої 120-рiччю заснування Чернівецького ун-ту. 4-6 травня 1995 р. Т.2. Фiз.-мат науки. - Чернівці: Рута, 1995. - С.93.

9. Маслюченко О.В. Про характеризацiю коливань нарiзно неперервних функцiй // Всеукраїнська наукова конференцiя "Розробка та застосування математичних моделей в науково-технiчних дослiдженнях" присвячена 70-рiччю вiд дня народження професора П.С. Казимiрського (5-7 жовтня 1995 р.) Тези доповiдей. Ч.1. - Львiв, 1995. - С.80-81.

10. Маслюченко О.В. Уточнена обернена задача на добутку компактів Еберлейна // Матеріали студентської наукової конференції ЧДУ (14-15 травня 1998 р.) Книга 2. Природничі науки. - Чернівці, 1998. - С.98-99.

11. Маслюченко О.В. Сукупна неперервність нарізно неперервних функцій на горизонталях // Сучасні проблеми математики. Матеріали міжнародної наукової конференції. Частина 2. - Чернiвцi-Київ, 1998. - С.116-117.

12. Маслюченко О.В. Неперервність нарізно неперервних відображень на графіках многозначних відображень // Матеріали студентської наукової конференції ЧДУ (12-13 травня 1999 р.) Книга 3. Фiз.-мат. науки. - Чернівці, 1999. - С.24-25.

13. Маслюченко О.В. Сукупна неперервність KC-функцій // Диференціальні рівняння і нелінійні коливання: Тези доповідей. Міжнародна конференція 27-29 серпня 2001р.- Київ, 2001.- С.106.

АНОТАЦІЇ

В дисертації розв'язується задача про побудову функцій того чи іншого функціонального класу за даним коливанням, а також розвивається методика застосування топологічних ігор до вивчення зв'язків між сукупною і нарізною неперервністю. В цій роботі охарактеризовано коливання нарізно неперервних функцій багатьох змінних на добутках метризовних просторів і дано опис коливань функцій першого та другого класів Бера і квазінеперервних функцій, визначених на просторах досить загальної природи, зокрема, на метризовних просторах. Крім того, отримано теореми про сукупну неперервність нарізно неперервних і подібних до них функцій багатьох змінних на графіках многозначних відображень, які узагальнюють теореми Наміоки, Талаграна, Гансела-Труалліка та інших авторів і з їх допомогою встановлено нові аналоги теореми Елліса. А також побудовано приклад нарізно неперервної скрізь розривної функції на добутку берівського і зліченно компактного просторів.

В диссертации решается задача о построении функции некоторого функционального класса с данным колебанием, а также развивается методика применения топологических игр к изучению связей между совокупной и раздельной непрерывностью. В этой работе охарактеризировано колебания раздельно непрерывных функций нескольких переменных на произведениях метризуемых пространств и колебания функций первого и второго классов Бэра, а также квазинепрерывных функций, определенных на довольно общих пространствах, в частности, на метризуемых. Кроме того, получены теоремы о совокупной непрерывности раздельно непрерывных и близких к ним функций нескольких переменных на графиках многозначных отображений, которые обобщают теоремы Намиоки, Талаграна, Гансела-Труаллика и других авторов, и с их помощью установлены новые аналоги теоремы Еллиса. А также построен пример раздельно непрерывной всюду разрывной функции на произведении бэровського і счетно компактного пространств.

In the thesis the problem on the construction of functions from some functional class with the given oscillation is studied, and also the technique of the application of the topological games to the study of the connections between joint and separate continuity is developed.

We called a function f is an -primitive of function if the oscillation of f is equal to . A subset E of the products X = 1 i d Xi is called the -locally projectively meager set if there is a sequence of sets En such that E = En and for all n and xX exists neighborhood U of the point x such that qi(U En) is the meager set for each i where qi : j i Xi Xi is the projection. In Chapters 2 and 3 it is obtained the following results.

- Let X be a metrizable space. A function : X [0,+] has a quasicontinuous -primitive iff is upper semicontinuous and .

- Let X = 1 i d Xi be the product of metrizable spaces. A function : X [0,+] has a quasicontinuous and separately continuous -primitive iff is upper semicontinuous, and the support S() is a -locally projectively meager set.

- Let X be a metrizable space. A function : X [0,+] has a second (first) Baire class -primitive iff is upper semicontinuous and the support S() has no isolated point of X (is a meager subset of X).

- Let X = 1 i d Xi be the product of metrizable spaces. A function : X [0,+] has a separately continuous -primitive iff is upper semicontinuous and the support S()is a -locally projectively meager set.

Let X, Y, Z be topological spaces and : X Y be a multivalued mapping. We call a function f : X Y Z has the -Namioka property if there is a dense G-set A X such that {x} (x) C( f ) for each xA. If (x) B then we say that f has the B-Namioka property. In Chapter 4 the following question is studied: for what X, Y, Z and every separately continuous function f : X Y Z has the -Namioka property? We consider some extension of the class of the Cech complete spaces. A topological space X is called by the countable (pseudo) Cech complete if there is a sequence of open coverings U n of X such that the intersection of arbitrary sequence of (canonically) closed sets FnU n is non-empty. Besides for each property of subsets p of a space X the general p-game and the classes of the -p-favorable and the -p-unfavorable spaces are introduced. Let s be the singlpoint property, k be the compact one and be the relatively pseudocompact one. If p=s (resp. p=k) then p-game is the Saint-Raymond s-game (resp. the Talagrand k-game). The following results are obtained in Chapter 4.

- Let X1 - be a -s-unfavorable (--unfavorable) space, X2, … , Xd _ 1 be countable Cech complete spaces, Xd be a countable (pseudo) Cech complete space, Y be a metrizable space, : 1 i <d Xi Xd be a upper quasicontinuous compact-valued mapping (B be a compact subset of Xd). Then every separately continuous function f : 1 i d Xi Y has the -Namioka property (the B-Namioka property). In particular, f is quasicontinuous.

- Let one of X1, … , Xd _ 1 be a pseudo Cech complete space, others be countable Cech complete spaces, Y be a metrizable space, : 1 i <d Xi Xd be a upper quasicontinuous compact-valued mapping and f : 1 i d Xi Y. Then f has the -Namioka property in particular f is quasicontinuous.

- Let T be a pseudo Cech complete space, a group X be a -s-unfavorable space such that the inversion x x-1 and the left shift x xx0 for all x0X are continuous. Then every separately continuous actionm (x, t) xt is joint continuous.

- Let X, Y, Z be topological spaces and f : X Y Z. Put YK ( f ) = {yY: fy is quasicontinuous}. A function f is called by KC-function -function, -function)} if YK ( f ) = Y (Cl(YK ( f )) = Y, YK ( f ) has a dense G-subset of Y). Let X be a -favorable space, Y be a Corson compact (a Valdivia compact) and Z be a metrizable space. Then every -function (-function) f : X Y Z has the Y-Namioka properties.

In the end of Chapter 4 author gives the positive answer on some simplification of the Talagrand problem. In particular, it is proved that there are the -favorable space X, the countable compact (but not compact) space Y and the everywhere discontinuous separately continuous function f : X Y R.

Размещено на Allbest.ur