Коректність задачі

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вступ

Спочатку Адамар визначав коректність задачі лише умовами розв'язності та єдності, енергійно наполягаючи на неперервній залежно рішення від початкових даних тільки при обговоренні задачі Коші. Ось що він написав у книзі "Теорія рівнянь в приватних похідних", що вийшла в Пекіні через рік після його смерті: "Це третя умова, яку ми ввели в Лекціях про задачі Коші...", але не розглядали як частина визначення добре поставлених завдань, було приєднано, і цілком справедливо, Гільбертом і куранти. Ми приймаємо тут їх точку зору.

Е.М. Поліщук і Т.О. Шапошнікова супроводили цей текст коментарем: З математичної точки зору питання про необхідність включення вимоги безперервності рішення щодо даних представляється досить делікатним. Справа в тому, що згідно відомій теоремі Банаха про замкнений графіку, однозначна розв'язність лінійної задачі тягне обмеженість зворотного оператора, а тим самим - і безперервну залежність рішення від правих частин". Відзначено, що на рішення задачі можуть також впливати варіації коефіцієнтів диференціальних рівнянь та контуру розглянутій області, внаслідок чого використання трьох умов коректності є кращим.

Разом з тим до розглянутої проблематики в більшій мірі відноситься теорема Банаха про зворотне операторі, яка є наслідком зазначеної вище.

Її формулювання, дана А.Н. Колмогорова та С.В. Фоміним, свідчить: Нехай А лінійний обмежений оператор, взаємно однозначно відображає банаховому просторі B1 на банахових просторах B2. Тоді зворотний оператор A1 обмежений.



1. Зміст теорема

Нехай U неперервний лінійний оператор, що відображує нормований простір Х в нормований простір У.

Якщо існує оператор V, що переводить У в Х, такий, що V називається зворотним по відношенню:

VU = I_(x) I_x x = x x?X (1)

UV = I_y I_y y = y y?Y (2)

U(V = U ^ (-1))

Існування (хоча б і не неперервного) зворотного оператора U1 рівносильне тому, що U здійснює взаємно однозначне відображення простору Х на У. Якщо, крім того, U1 неперервний, то зазначене відображення буде ізоморфізмом.

Якщо виконано лише одне з співвідношень (1) або (2), то оператор V називається лівим, відповідно правим зворотним (в позначеннях):

V = U_l ^ (-1)

Відповідно:

V = U_r ^ (-1)

Існує доведення, що для існування неперервного лівого зворотного оператора необхідно і достатньо, щоб:

?U(x)? ? m?x? x?X (3)



Де:

m > 0 не залежить від х.

Якщо при цьому оператор U відображає Х на всі У, то лівий зворотний оператор буде також і правим зворотним, тобто в цьому випадку існує неперервний зворотний (двосторонній) оператор U(-1).

Доведемо теорему.

Теорема. Якщо неперервний лінійний оператор U, що переводить В-простір Х в нормований простір У, має неперервний лівий зворотний, то множина Y' = U являє собою В-простір.

Доведення.

У ньому потребує тільки повнота простору Y'. Нехай in - послідовність елементів простору Y', що сходиться в собі. Позначимо:

x_n = U ^ (-1) (y_n) (y_n = U(x_n))

Згідно зазначеного:

?y_n - y_k? = ?U(x_n) - U(x_k)? ? m ?x_n - x_k?

Де:

m додатна постійна.

Таким чином:

lim T (in > ?) ?x_n - x_k? = 0

Отже, в Х існує елемент:

x_0 = lim T (n > ?) x_n



Так як:

lim T yn = lim T U(x_n) = U(x_0)

То, позначаючи:

y_0 = U (x_0)

Отримаємо:

y_0 ? Y'y_n > y_0

Повнота просторів Y' доведена.

Наслідок. В умовах теореми множину Y ` замкнуто в Y.

Нехай маємо два нормованих простори Х і Y і неперервний лінійний оператор U, що відображає Х в Y. Множина:

X_0 = U ^ (-1) (0)

Є, очевидно, замкнутим підпростором простору Х. Утворюємо фактор-простір:

(ЇX) X / X_0

Розглянемо довільний елемент x ? Їx і покладемо:

ЇU (Їx) = U(x) (4)

Визначення елемента ЇU не залежить від вибору елемента x, так як:



х' x ^ ''?Їx

x ^ '-x ^ '' ? X_0

Таким чином, формула (4) визначає оператор ЇU, відображає простір Х в Y. Цей оператор однорідний і адитивний.

Він і неперервний, так як, переходячи до точної нижньої границі в правій частині нерівності:

?ЇU (Їx)? = ?U(x)? ? ?U? ?x? x ? Їx

Можемо написати:

?ЇU (Їx)? ? ?U? ?Їx? Їx ? ЇX

З визначення оператора ЇU випливає, що U = ц.

X / X_0 ?U? = ?ЇU?

На відміну від вихідного оператора U, оператор ЇU здійснює взаємно однозначне відображення (простору Х в Y). Дійсно, якщо ЇU = 0, то для будь-якого x буде U0, тобто:

x ? U ^ (-1) (0) = X_0

Отже, Їx збігається з класом X0 нульовим елементом простору X.

У разі, коли U відображає Х на Y, оператор ЇU відображає ЇX також на Y. Якщо при цьому існує неперервний зворотний оператор (U1), то простору Х і Y називаються гомоморфним, а оператор U гомоморфізмом простору Х на Y. У термінах вихідних просторів Х і Y те, що U є гомоморфізмом простору Х на Y, може бути охарактеризовано наступними двома умовами:

1) X = Y;

2) існує m > 0 таке, що для кожного Y знайдеться X, так що:

y = U(x) ?y? ? m ?x?

Насправді, якщо U гомоморфізм, то першу умову, очевидно, виконано. Беручи, далі:

x ? Їx = Ї(U ^ (-1) (y)

Отримаємо:

?x? ? 2 ?Їx? ? 2 ?Ї(U ^ (-1)? ?y?

І можна прийняти:

m = 1 / (2 ?Ї(U ^ (-1)?)

Навпаки, якщо обидві умови виконані, то з першого отримаємо:

ЇU (ц (x)) = U (x) y = ЇU(Їx)

Унаслідок взаємної однозначності оператора ЇU буде ц(x) = Їx, отже:

?ЇU (Їx)? = ?y? ? m ?x? ? m ?Їx?

Як зазначалося, це разом із співвідношенням: ЇX = Y забезпечує існування неперервного зворотного (двостороннього) оператора U.



2. Функціональні рівняння

Фундаментальну роль в теорії функціональних рівнянь грає твердження, зворотне до теореми 1. Воно є частиною наступної пропозиції.

Лема. Нехай U неперервний лінійний оператор, що відображає В-простір Х в нормований простір Y. Тоді, якщо образ U(B) одиничного шару В (з центром в нулі) простору Х щільний в кулі S, радіусу r (також з центром в нулі) простору Y, то U є гомоморфізмом простору Х на простір Y.

Зокрема, якщо відображення, здійснюване оператором U, взаємно однозначне, то існує неперервний двосторонній зворотний оператор U1.

Доведення.

Перевіримо виконання двох умов попереднього пункту.

Очевидно, можна рахувати кулі В і S замкнутими.

Доведемо, що:

U(B) ? S_(r / 2) (5)

Візьмемо послідовність {е_n} додатних чисел таку, що:

? (k = 1) ^ ? е_k ? 1

?y - y_1? ? е_1 r

Позначимо через x_1 елемент. Отже, оскільки:

y - y_1 ? S_(е_1 r)

То знайдеться елемент (е_1) такий, що:

?y - (y_1 + y_2)? ? е_2 r y_2 = U(x_2)



Продовжуючи міркувати подібним чином, знайдемо наступну послідовність:

{y_n} ? Y і {x_n} ? X

Такі, що:

y_n = U (x_n) x_n ? B (е_(n - 1))

?y - ? (k = 1) ^ ny_k ? е_nrn ? N е_0 = 1 (6)

Далі, якщо y?0 довільний елемент із Y, то:

y ^' = r / 2 ?y? y?S (r / 2)

І в силу (5) можна вказати елемент x' такий, що в y^. Вважаючи:

x = 2 ?y? / r x'

Матимемо:

U(x) = y ?x? = 2 / r ?y? ?x'? ? 2 / r ?y?

Отже, виконана й друга умова. Лема доведена.

Наслідок.

Якщо виконані умови леми, то простір Y повний.

Насправді, оскільки U гомоморфізм, оператор ЇU, що відображає фактор-простір:

ЇX = ЇX / X_0 (X_0 = U ^ (-1) (0))



На Y, має неперервний зворотний.

Умова леми важкувата для перевірки.

Більш зручною є умова наступної теореми.



Висновок

Л.А. Люстернік і В.І. Соболев на додаток підкреслили, що мається на увазі взаємно однозначне відображення всього банаховому просторі B1 на всі банаховому просторі B2.

Поряд з цим обумовлена ситуація, при якій "... оператор, зворотний до обмеженого лінійному оператору, виявляється хоча і лінійним, але певним не на всьому просторі B2, а лише на деякому лінійному різноманітті і необмеженим на цьому різноманітті".

Дещо інше трактування тієї ж теореми в зводиться до наступного: Якщо лінійний обмежений оператор А, що відображає банаховий простір B1 на весь банаховий простір B2, має зворотний (-A), то (+A) обмежений. При цьому зазначено, що дане твердження втрачає силу, якщо відмовитися від повноти одного з вказаних просторів.

Міститься також пояснення: з існування та єдності розв'язку рівняння:

математичний теорема рівняння

A_ц = f

- при всякій правій частині з B_2 слідує неперервна залежність рішення:

ц = A^(-1) f - f

Л.В. Канторович і Г.П. Акілов внесли доповнення, що стосується відображення в позначених умовах на замкнутий підпростір банахового простору B_2. Суть в тому, що замкнутий підпростір банахового простору саме є банаховим простором.

С.Г. Міхлін привів доказ теореми: Для того, щоб лінійна задача була коректною в парі банахових просторів B1, B2, необхідне і достатнє існування обмеженого оператора A, що відображає весь простір B2 на B1. При цьому автор чітко розмежував категорії існування та єдності розв'язку крайньої задачі з її коректністю в цілому, що припускає як наслідок неперервність залежності від даних (третя умова по Адамару). У цьому зв'язку характерне визначення: "Крайня задача називається коректною в парі банахових просторів B1 і B2, якщо її рішення єдине в B1 і існує за будь-яких даних з В2 і якщо достатньо малій зміні початкових даних в нормі B2 відповідає яка завгодно мала зміна рішення в нормі B1".

Підкреслено, що розглянута задача може виявитися коректною в одній парі просторів і некоректною в іншій.

При цьому некоректність інтегрального рівняння Фредгольма першого роду встановлена від протилежного: якщо завдання коректне існує обмежений оператор A^(-1) і, отже, тотожний оператор:

I = A ^ (-1)

A цілком неперервний у відповідному безкінечно вимірному просторі, що суперечить положенням загальної теорії.



Література

1. Курант Р., Гильберт Д. Методы математического анализа. - Л.: Гостехтеориздат, 1945. - Т.2. - 620 с.

2. Банах С.С. Курс функціонального аналізу. - Київ: Радянська школа, 1948. - 216 с.

3. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, 1989. - 623 с.

4. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. - М.: Наука, 1965. - 520 с.

5. Функциональный анализ / Под ред. С.Г. Крейна. - М.: Наука, 1972. - 544 с.

6. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. - М.: Наука, 1977. - 742 с.

7. Михлин С.Г. Курс математической физики. - М.: Наука, 1968. - 575 с.

Размещено на Allbest.ru

...