Перехідні явища в теорії багатовимірного відновлення та їх застосування в дослідженні асимптотичних властивостей випадкових еволюцій

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут математики

УДК 519.21

Перехідні явища в теорії багатовимірного відновлення та їх застосування в дослідженні асимптотичних властивостей випадкових еволюцій

01.01.05 - теорія ймовірностей і математична статистика

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Ніщенко Ірина Іванівна

Київ 2002

Робота виконана у Львівському національному університеті імені Івана Франка Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор Єлейко Ярослав Іванович, завідувач кафедри теоретичної та прикладної статистики Львівського національного університету імені Івана Франка Міністерства освіти і науки України

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук Дороговцев Андрій Анатолійович, провідний науковий співробітник відділу теорії випадкових процесів Інституту математики НАН України (м. Київ);

кандидат фізико-математичних наук Чані Олександр Семенович, старший науковий співробітник відділу теорії ймовірностей та математичної статистики Інституту прикладної математики і механіки НАН України (м. Донецьк)

Провідна установа:

Київський національний університет імені Тараса Шевченка, кафедра теорії ймовірностей та математичної статистики

Захист відбудеться “ 11 ” червня 2002 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.02 в Інституті математики НАН України за адресою: 01601, Україна, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий “ 8 ” травня 2002 року

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Пелюх Г.П.

асимптотичний матричнозначний напівмарковський

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Необхiднiсть у дослiдженнi перехiдних явищ для рiвняння вiдновлення виникла у зв'язку з вивченням гiллястих процесiв, близьких до критичних, граничних розподiлiв функцiоналiв вiд процесiв з марковським втручанням випадку, граничних задач для випадкових блукань. Задачi на перехiднi явища виникають також в теоремах усереднення в схемі серій для випадкових еволюцiй та при асимптотичному аналiзi деяких класiв систем масового обслуговування. Особливістю таких задач є те, що у рівнянні відновлення, якому задовольняють певнi характеристики досліджуваних процесів, разом зі зміною часового аргументу змінюються міра та вільний член, за якими це рівняння побудовано. Щоб дослiдити властивостi таких процесiв, необхiдно було отримати деякi аналоги результатiв класичної теорiї вiдновлення для рівняння відновлення у схемі серій.

Вперше узагальнення теореми вiдновлення для рiвняння вiдновлення у схемi серiй було розглянуто Д.С. Сільвестровим. Для рiвняння вiдновлення з невластивими функцiями розподiлу ним було доведено твердження, що є варiантом теореми Блекуела в схемi серiй. Крiм того, було знайдено асимптотику розв'язку такого рiвняння та встановлено умови, при виконаннi яких збiжнiсть розв'язку до вiдповiдної границi є рiвномiрною за деяким класом функцiй розподiлу. Отриманi результати дозволяють довести деякi важливi ергодичнi та граничнi теореми про збiжнiсть за розподiлом функцiоналiв типу моментiв зупинки для регенеруючих процесiв.

Дослiдження перехiдних явищ для рівняння багатовимiрного вiдновлення та аналiз їх застосування до адитивних функцiоналiв вiд процесiв з марковським втручанням випадку та гiллястих процесiв, близьких до критичних, здiйснено В.М. Шуренковим. Основним припущенням при цьому щодо послідовності матричнозначних мiр були нерозкладнiсть граничної матрицi повних мас мiр та рiвнiсть одиницi її перронового кореня.

В.М. Шуренков та П.П. Куцiя дослiдили також перехiднi явища для рiвняння багатовимiрного вiдновлення з матрицею повних мас мiр, близькою до одиничної, тобто максимально розкладної.

При дослiдженнi перехiдних явищ для рiвняння вiдновлення у схемi серiй важливим є питання про те, як повиннi бути пов'язанi часовий аргумент i параметр серiї для того, щоб при зростаннi до нескiнченностi першого i прямуваннi до нуля другого iснувала б нетривiальна границя розв'язку рiвняння вiдновлення. Для скалярного рiвняння швидкiсть зростання часу є обернено пропорцiйною до швидкостi прямування до нуля дефекту невластивої функцiї розподiлу, за якою це рiвняння побудовано; для рiвняння багатовимiрного вiдновлення з нерозкладною матрицею повних мас мiр перехiднi явища виникають, коли швидкiсть зростання часу є обернено пропорцiйною до швидкостi прямування до одиницi перронового кореня дограничної матрицi повних мас мiр. Для рiвняння з одиничною граничною матрицею повних мас мiр за умови, що швидкiсть збiжностi елементiв дограничної матрицi повних мас мiр до вiдповiдних елементiв одиничної матрицi пропорцiйна параметру серiї, перехiднi явища дослiджувались у масштабi часу, обернено пропорцiйному до параметра серiї.

Поряд з отриманими результатами недослiдженими залишались перехiднi явища для рівняння багатовимiрного вiдновлення з блочно-розкладною граничною матрицею повних мас мiр. Рiвняння такого типу виникають, наприклад, при аналiзi стохастичних систем, якi допускають асимптотичне укрупнення простору станiв, зокрема, високонадiйних систем, а також деяких класів систем масового обслуговування в умовах малої ймовiрностi втрати вимоги.

Дослідження потребували асимптотичні властивості функції відновлення, гранична поведінка розв'язку вказаного типу рівняння та знаходження масштабу часу, в якому б границі цих матричнозначних функцій були б нетривіальними.

Актуальним залишалось також питання про iснування такого нормуючого множника, що при обернено-пропорцiйнiй залежностi мiж ним i часом iснувала б нетривiальна границя розв'язку рiвняння вiдновлення без припущень про аналітичний характер залежностi дограничної матрицi повних мас мiр вiд параметра серiї.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Результати дисертацiї отримано у рамках виконання держбюджетної теми “Побудова математичних моделей та розробка методiв дослiдження крайових задач для диференцiальних рiвнянь i випадкових еволюцiй” (шифр теми МД - 23 Б, номер державної реєстрацiї 0100U001411).

Мета і задачі дослідження. Мета дослідження - поширити основні результати класичної теорії відновлення на клас рівнянь багатовимірного відновлення у схемі серій, побудованих за сім'єю залежних від малого параметра матричнозначних мір з блочно-розкладною граничною матрицею повних мас мір.

Об'єктом дослідження у дисертаційній роботі є рівняння багатовимірного відновлення у схемі серій, побудоване за сім'єю залежних від малого параметра матричнозначних мір з блочно-розкладною граничною матрицею повних мас мір.

Предметом дослідження є перехідні явища - явища, які виникають в асимптотиці розв'язку такого рівняння, коли разом зі зростанням часового аргумента параметр серії прямує до нуля.

Методи дослідження: у дисертації використано аналітичний апарат теорії відновлення, результати і методи функціонального аналізу та теорії матриць.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації вперше досліджено перехідні явища для рівняння багатовимірного відновлення у схемi серiй, побудованого за сім'єю залежних від малого параметра матричнозначних мір з блочно-розкладною граничною матрицею повних мас мір.

Доведено iснування масштабу часу, в якому асимптотика матричнозначної функцiї вiдновлення та розв'язку такого рiвняння є нетривiальними.

Доведено нові теореми типу теореми Блекуела, елементарної та вузлової теорем відновлення про асимптотику приросту матричнозначної функцiї вiдновлення на iнтервалi скiнченної довжини, її поведiнку на нескiнченностi та граничну поведінку розв'язку такого рівняння.

Встановлено асимптотику нормуючого множника, що визначає вище згаданий масштаб часу, у припущені, що для дограничної матриці повних мас мір має місце асимптотичний розклад за деякою шкалою нескінченно малих величин.

Для напівмарковського процесу, що допускає асимптотичне укрупнення множини станiв, знайдено масштаб часу, в якому iснують нетривіальні границі перехідних ймовірностей, без припущення, що характер залежностi вкладеного у напiвмарковський процес ланцюга Маркова вiд параметра серiї задано аналітично.

Методом безпосереднього аналітичного аналізу багатовимірного рівняння відновлення доведено теорему усереднення в схемі асимптотичного фазового укрупнення для напівмарковської еволюції та теорему усереднення для випадкової еволюції, заданої рiвнянням переносу на регенеруючому процесi.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації мають теоретичний характер і є певним внеском у побудову загальної теорії відновлення. Їх можна використати для доведення граничних та ергодичних теорем для розподілів процесів з марковським втручанням випадку та функціоналів від них. Результати можуть також стати корисними при асимптотичному аналізі cкладних систем, що функціонують у випадковому середовищі, та в теорії систем масового обслуговування.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертації отримано автором самостійно. У сумісних роботах [1, 2] науковому керівникові Я.І. Єлейку належить постановка задачі та загальне керівництво роботою.

Апробація роботи. Результати дисертації доповідались і обговорювались на:

третій Україно-Скандинавській конференції з теорії ймовірностей та математичної статистики (Київ, 1999 р.);

міжнародній конференції “Стохастичний аналіз та його застосування”, присвяченій 70-річчю А.В. Скорохода (Львів, 2001 р.);

засіданнях наукового семінару відділу теорії випадкових процесів Інституту Математики НАН України (Київ, 2000, 2001 рр.);

засіданні наукового семінару кафедри теорії ймовірностей та математичної статистики Київського національного університету імені Тараса Шевченка (Київ, 2000 р.);

засіданні наукового семінару відділу теорії ймовірностей та математичної статистики Інституту прикладної математики і механіки НАН України (Донецьк, 2002 р.);

засіданнях наукового семінару кафедри теоретичної та прикладної статистики Львівського національного університету імені Івана Франка (Львів, 1998 - 2000 рр.)

Публікації. Результати дисертації опубліковано у 7 роботах. З них 5 - у наукових фахових журналах, що входять до переліку № 1 ВАК України, 2 - у тезах конференцій.

Структура і обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, розбитих на підрозділи, висновків і списку використаних джерел. Повний обсяг дисертаційної роботи становить 114 сторінок. Список використаних джерел займає 3 сторінки і включає 35 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, визначено мету і задачі дослідження, виділено наукову новизну та практичну значущість отриманих результатів.

У першому розділі аналізується стан проблеми на даний час. Викладено огляд результатів, споріднених з проблематикою даної роботи, які отримано іншими авторами, а також коротко сформульовано нові наукові положення, що виносяться на захист.

Другий розділ присвячено дослідженню перехідних явищ, які виникають в асимптотиці матричнозначної функції відновлення та розв'язку рівняння багатовимірного відновлення у схемі серій

X (t)= A (t)+ F (du) X (t-u),t0 (1)

побудованого за сім'єю залежних від малого параметра е заданих невід'ємних матричнозначних функцій A(t) та сім'єю невід'ємних матричнозначних мір F(dt). Основні припущення щодо останньої є наступними:

елементами матриць F(dt) є залежні від малого параметра е скінченні невід'ємні міри, зосереджені на [0,);

сім'я мір F(dt) є асимптотично рівномірно за відокремленою від нуля і рівномірно інтегровною на [0,);

при кожному матриця F(dt) є нерозкладною, а матриця повних мас мір F F[0,) є субстохастичною;

матричнозначна міра F(dt) слабо збігається при 0 до матричнозначної міри F(dt);

гранична матриця повних мас мір F F [0,) є стохастичною і розкладною блочно-діагонального вигляду F=diag{F¹, F²,…, F^r}, тобто множину індексів E={1,2,…,d} можна подати у вигляді об'єднання неперетинних множин E₁, E₂,…, E_r таких, що F_ij=_sk коли i E_s, j E_k , де _sk - символ Кронекера; кожна з матриць F^s вздовж діагоналі матриці F є нерозкладною, а матриця F^s (dt) - негратчастою.

Ключовим результатом другого розділу є аналог теореми Блекуела про асимптотику при 0, t приросту матричнозначної функції відновлення H(t) = на інтервалі скінченної довжини.

Теорема 2.1. Якщо виконуються умови 1) - 5), то існують ненульова матриця С розміру r r і нормуючий множник такі, що при i E_s, j E_k

,

де - лівий власний вектор матриці , що відповідає її максимальному власному значенню одиниці

Наступною теоремою описується асимптотика при 0 нормуючого множника та задається явний вигляд елементів матриці С, існування яких стверджується в теоремі 2.1 і визначених при її доведенні, у припущенні, що для дограничної матриці повних мас мір має місце асимптотичний розклад

F =F+₁( ) B¹ + ₂( ) B² + + _n ( ) B ⁿ + o( _n ( )),(2)

де B¹, B²,…, Bⁿ - матриці зі скінченними елементами, а послідовність функцій ₁( ), ₂( ),…, _n( ) утворює шкалу нескінченно малих величин з властивістю

₁( ) 0, 0

_n+1 ( )= o( _n ( )), n 1

Позначимо

, ,

де V - узагальнена обернена матриця до матриці [I-F].

Теорема 2.2. Нехай m_s - перший номер, для якого і нехай m=min{m₁, m₂,…, m_r}. Якщо існує таке s , що , то

при ₁² ( )= o( _m ( ))

;

при ₁² ( )= _m ( )



;

при _m ( )= o( ₁² ( ) )

;.

У підрозділі 2.3 доведено аналог елементарної теореми теорії відновлення про поведінку функції відновлення на нескінченності.

Теорема 2.4. Нехай виконуються умови 1) - 5). Тоді при i E_s , j E_k

,

де , С - ті ж нормуючий множник та матриця, що й у теоремі 2.1.

За допомогою наведених вище результатів у підрозділі 2.4 доведено аналог вузлової тереми теорії відновлення про асимптотику при 0, t розв'язку рівняння (1).

Теорема 2.5. Нехай сім'я матричнозначних функцій A(t) є рівномірно безпосередньо інтегровною за Ріманом на [0,), і існують границі . Якщо виконуються умови 1) -- 5), то існують ненульова матриця С розміру r r і нормуючий множник такі, що при i E_s, j E_k



,

де D^k= [ D_ij, i E_k, j E ].

Асимптотику розв'язку рівняння багатовимірного відновлення знайдено також для випадку, коли перронів корінь кожної з нерозкладних матриць F^s вздовж діагоналі матриці F рівний одиниці, а перронів корінь дограничної матриці повних мас мір F прямує при 0 до одиниці згори 1. Тобто ми відмовляємося від умови стохастичності граничної матриці повних мас мір та умови субстохастичності дограничної матриці повних мас мір. Всі інші припущення щодо сім'ї F(dt) залишаються без змін, а також ми вважаємо, що має місце асимптотичний розклад (2). У цьому випадку асимптотика розв'язку рівняння багатовимірного відновлення описується наступною теоремою.

Теорема 2.6. Нехай сім'я матричнозначних функцій A(t) є рівномірно безпосередньо інтегровною за Ріманом на [0,), існують границі і нехай для деяких s k. Тоді при i E_s , j E_k

,

де - відповідні перроновому кореню правий і лівий власні вектори матриці ,

,.

Аналітичний апарат, розвинений у другому розділі, застосовується до знаходження граничної поведінки випадкових процесів, що допускають асимптотичне фазове укрупнення. А саме, нехай x(t), t 0 - напівмарковський процес, який залежить від деякого малого параметра > 0. Вважаємо, що процес має скінченну множину станів E={1, 2,…, m} і задається напівмарковською матрицею, елементи якої визначають ймовірності

де - момент першого стрибка напівмарковського процесу.

Припустимо, що виконуються такі умови:

1) існують границі F_ij (dt)= в сенсі слабкої збіжності мір;

2) вкладений в граничний процес x(t) ланцюг Маркова, перехідні ймовірності якого визначаються матрицею F(), є розкладний, тобто фазовий простір E можна подати у вигляді об'єднання скінченної кількості неперетинних множин E₁,…,E_r таких, що p_ij= Fij()=0 при

i E_s , j E_k , s k. Крім того, у кожному класі станів E_k граничний вкладений ланцюг Маркова є ергодичним зі стаціонарним розподілом ;

3) часи перебування у станах є рівномірно інтегровними на [0,);

4) розподіли часів перебування у станах є негратчастими.

При виконанні цих умов справедлива наступна теорема про асимптотику перехідних ймовірностей напівмарковського процесу x(t) при 0, t .

Теорема 3.1. Існують нормуючий множник та ненульова матриця С розміру

r r такі, що при i E_s, j E_k

,

де - стаціонарний розподіл граничного напівмарковського процесу.

Підрозділ 3.2 присвячено дослідженню асимптотичних властивостей випадкової еволюції, яка функціонує у випадковому середовищі, породженому напівмарковським процесом x(t), і задається наступним чином

Тут {x E, t 0 } - сім'я рівномірно неперервних напівгруп додатніх стисних операторів в , які визначають неперервну складову еволюції на інтервалах сталості напівмарковського процесу x(t). Сім'я { , x E } лінійних стисних операторів у визначає стрибки еволюції в моменти відновлення .

Припустимо, що для кожного x E існують границі за нормою операторів і виконуються такі умови

(3)

(4)

Теорема 3.3. Нехай виконуються умови (3), (4) та умови 1) - 4) щодо напівмарковського процесу x(t). Тоді існують ненульова матриця С розміру r r і нормуючий множник такі, що в масштабі часу t / існує нетривіальна границя умовного математичного сподівання випадкової еволюції, а саме: при i E_s, j E_k

В останньому підрозділі третього розділу доведено теорему усереднення для сім'ї випадкових еволюцій, заданих рівнянням переносу на регенеруючому процесі.

Нехай Е - повний метричний сепарабельний простір, - -алгебра його борелевих підмножин. У фазовому просторі (E,) розглянемо набір x₁(t), x₂(t),…, x_d(t) регенеруючих процесів, кожний з яких визначений на проміжку [0, _i ), . Через k=1,2,… позначимо моменти регенерації процесу x_i(t), а через - незалежні копії процесу x_i (t), t [0, _i ) на проміжку .

Нехай - не залежний від даного набору процесів однорідний ланцюг Маркова зі скінченною множиною станів {1,2,…,d} і заданою перехідною ймовірністю за один крок . Покладемо

;

при

і розглянемо випадковий процес

при

функціонування якого відбувається наступним чином: якщо в початковий момент часу , то на проміжку [0, _i ) процес x(t) співпадає з x_i (t); в момент часу _i відбувається перемикання - з ймовірністю вибирається процес і процес x(t) співпадає з ним до моменту часу і т. д.

На траєкторіях процесу x(t) задамо процес переносу розв'язком задачі

= A(x(t)) T(t)

T(0)=I,

де І є одиничною матрицею, A(): E Rⁿ- неперервна обмежена матричнозначна функція.

Припустимо, що виконуються такі умови:

моменти регенерації _i мають негратчастий розподіл і математичне сподівання кожного з них є скінченним _i= M_i < ;

кожний з процесів x_i (t) є стохастично неперервним на проміжку [0, _i );

ланцюг Маркова є гранично розкладним, тобто множину його станів можна розбити на неперетинні множини I₁,…,I_r такі, що _sk p_ij при i E_s, j E_k ; граничний ланцюг Маркова є ергодичним на кожній з множин I_s зі стаціонарним розподілом ;

A(x)=A за нормою оператора і матриця А є такою, що максимальна з дійсних частин її власних значень дорівнює нулю;

Наступною теоремою описується асимптотика умовного математичного сподівання випадкової еволюції T(t).

Теорема 3.4. Нехай виконуються умови 1) - 6). Тоді існують ненульова матриця С розміру r r і нормуючий множник такі, що в масштабі часу t / існує нетривіальна границя умовного математичного сподівання M_i [ T(t), (t) = j ] випадкової еволюції, а саме: при i E_s, j E_k

.

У висновках сформульовано основні результати дисертаційної роботи та можливі області їх застосування.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі основні результати класичної теорії відновлення поширено на клас рівнянь багатовимірного відновлення, побудованих за сім'єю залежних від малого параметра матричнозначних мір з блочно-розкладною граничною матрицею повних мас мір. В ній досліджено перехідні явища, які виникають в асимптотиці матричнозначних функції відновлення та розв'язку вказаного типу рівняння, коли разом зі зростанням часового аргумента параметр серії прямує до нуля. Досліджено також граничну поведінку деяких випадкових процесів, що допускають асимптотичне фазове укрупнення.

Основними результатами є такі:

доведено існування масштабу часу, в якому асимптотика функції відновлення та розв'язку рівняння багатовимірного відновлення є нетривіальними;

доведено нові теореми типу теореми Блекуела, елементарної та вузлової теорем відновлення про асимптотику приросту функції відновлення на інтервалі скінченної довжини, її поведінку на нескінченності та граничну поведінку розв'язку такого рівняння;

встановлено асимптотику нормуючого множника, що визначає вище згаданий масштаб часу, у припущенні, що для дограничної матриці повних мас мір має місце асимптотичний розклад за деякою шкалою нескінченно малих величин;

для напівмарковського процесу, що допускає асимптотичне укрупнення множини станів, доведено існування масштабу часу, в якому існують нетривіальні границі перехідних ймовірностей, без припущення, що залежність вкладеного в напівмарковський процес ланцюга Маркова від параметра серії задано аналітично;

методом безпосереднього аналітичного аналізу рівняння багатовимірного відновлення доведено теорему усереднення в схемі асимптотичного фазового укрупнення для напівмарковської еволюції та теорему усереднення для випадкової еволюції, заданої рівнянням переносу на регенеруючому процесі.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

Єлейко Я.І., Ніщенко І.І. Гранична теорема для матричнозначної випадкової еволюції // Вісник Львів. ун-ту. - 1999. - Вип. 53. - С. 102 - 107.

Єлейко Я.І., Ніщенко І.І. Про існування малого параметра для напівмарківського процесу // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 1998. - 41, № 4. - С. 95 - 98.

Ніщенко І.І. Про існування малого параметра для сім'ї напівмарківських випадкових еволюцій // Вісник Львів. ун-ту. - 2000. - Вип. 56. - С. 129 - 134.

Nishchenko I.I. Transition phenomena for many-dimensional renewal equation of special kind // Theory of Stochastic Processes. - 2000. - 6(22), № 1-2. - P 107 - 115.

Ніщенко І.І. Про асимптотичне зображення нормуючого множника для випадкової матричнозначної еволюції // Теорія ймов. та мат. стат. - 2001. - Вип. 64. - С. 129 - 135.

Yelejko Ya.I., Nishchenko I.I. Asyptotic behaviour of the mean value of random matrix-valued evoution // Тези міжнародної конференції “The Third Ukrainian - Scandinavian Conference in Probability Theory and Mathematical Statistics”. - Київ: Інститут математики НАН України. - 1999. - С. 162.

Yelejko Ya.I., Nishchenko I.I. The asymptotic properties and transition phenomena of random matrix-valued evolutions // Тези міжнародної конференції “Stochastic Analysis and its Appications”. - Львів. - 2001. - С. 86.

АНОТАЦІЇ

Ніщенко І.І. Перехідні явища в теорії багатовимірного відновлення та їх застосування в дослідженні асимптотичних властивостей випадкових еволюцій. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05 - теорія ймовірностей і математична статистика. - Інститут математики НАН України, Київ, 2002.

У дисертаційній роботі основні результати класичної теорії відновлення поширено на клас рівнянь багатовимірного відновлення, побудованих за сім'єю залежних від малого параметра матричнозначних мір з блочно-розкладною граничною матрицею повних мас мір. У ній досліджено перехідні явища, які виникають в асимптотиці матричнозначних функції відновлення та розв'язку вказаного типу рівняння, коли разом зі зростанням часового аргумента параметр серії прямує до нуля.

Досліджено асимптотичні властивості перехідних ймовірностей розкладного напівмарковського процесу у схемі серій, а також доведено теореми усереднення в схемі асимптотичноо фазового укрупнення для напівмарковської випадкової еволюції та теорему усереднення для випадкової еволюції, заданої рівнянням переносу на регенеруючому процесі.

Ключові слова: рівняння відновлення, функція відновлення, перетворення Лапласа, напівмарковський процес, регенеруючий процес, напівгрупа операторів, напівмарковська випадкова еволюція.

Nishchenko I.I. Transition phenomena of many-dimensional renewal theory and it applications to the investigation of the asymptotic properties of random evolutions. - A manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical Sciences degree on the specialty 01.01.05 - Probability Theory and Mathematical Statistics. - Institute of Mathematics of the Ukrainian National Academy of Sciences, Kyiv, 2002.

Main results of the classical renewal theory is generalized to the class of many-dimensional renewal equations in the scheme of series built upon the family of depending upon a small parameter matrix-valued measures with the block-diagonal full measure matrix. Transition phenomena that appear in asymptotic of matrix-valued renewal function and solution of the renewal equation of mentioned above kind are investigated as the time argument tends to infinity and the series parameter tends to zero.

Asymptotic properties of the transition probability of reducible semi-Markov process in the scheme of series are investigated, as well as the theorem of averaging in a scheme of asymptotic phase marging for semi-Markov evolution and theorem of averaging for random evolution given by the transport equation on the regenerative process are proved.

Key words: renewal equation, renewal function, Laplase transformation, semi-Markov process, regenerative process, semigroup of operators, random evolution,

Нищенко И.И. Переходные явления в теории многомерного восстановления и их применения в исследовании асимптотических свойств случайных эволюций. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика. - Институт математики НАН Украины, Киев, 2002.

В диссертации основные результаты классической теории восстановления обобщены на класс уравнений многомерного восстановления в схеме серий, построенных по семейству зависящих от малого параметра матричнозначных мер с блочно-разложимой предельной матрицей полных масс мер. В ней исследуются переходные явления, возникающие в асимптотике матричнозначных функций восстановления и решения уравнения восстановления указанного типа, когда вместе с возрастанием временного аргумента параметр серии стремится к нулю. Изучено также граничное поведение некоторых случайных процессов, допускающих асимптотическое фазовое укрупнение.

Первый раздел имеет вспомогательный характер. В нем приведен обзор литературы и основных результатов работы.

Ключевым результатом второго раздела является аналог теоремы Блэкуэлла для уравнения восстановления в схеме серий, построенного по семейству зависящих от малого параметра матричнозначных мер с блочно-разложимой предельной матрицей полных масс мер. Доказано существование такого нормирующего множителя , что в масштабе времени t / существует нетривиальный предел приращения матричнозначной функции восстановления на интервале конечной длины .

Доказаны также теоремы типа элементарной и узловой теорем восстановления о поведении матричнозначной функции восстановления на бесконечности и предельного поведения решения разложимого уравнения многомерного восстановления при 0, t .

В предположении, что для допредельной матрицы полных масс мер имеет место асимптотическое разложение по некоторой шкале бесконечно малых величин, найдена асимптотика при 0 вышеупомянутого нормирующего множителя .

Аналитический аппарат, развитый во втором разделе, применяется к исследованию асимптотического поведения случайных процессов, допускающих асимптотическое фазовое укрупнение. Без предположения об аналитической зависимости вложенной в полумарковский процесс цепи Маркова от параметра серии доказано существование масштаба времени, в котором асимптотика переходных вероятностей разложимого полумарковского процесса в схеме серий нетривиальна. Методом непосредственного аналитического анализа уравнения многомерного восстановления доказана теорема усреднения в схеме асимптотического фазового укрупнения для полумарковской случайной эволюции, а также теорема усреднения для случайной эволюции, заданной уравнением переноса на регенерирующем процессе.

Ключевые слова: уравнение восстановления, функция восстановления, преобразование Лапласа, полумарковский процесс, регенерирующий процесс, полугруппа операторов, полумарковская случайная эволюция.

Размещено на Allbest.ru

...