Асимптотичні властивості цілих рядів Діріхле: оцінки виняткових множин у теоремах типу Вімана-Валірона

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет імені Івана Франка

УДК 517.576

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

АСИМПТОТИЧНІ ВЛАСТИВОСТІ ЦІЛИХ РЯДІВ ДІРІХЛЕ: ОЦІНКИ ВИНЯТКОВИХ МНОЖИН У ТЕОРЕМАХ ТИПУ ВІМАНА-ВАЛІРОНА

01.01.01 - математичний аналіз

Сало Тетяна Михайлівна

Львів - 2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі теорії функцій і теорії ймовірностей національного університету імені Івана Франка Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник -

доктор фізико-математичних наук, професор Скасків Олег Богданович,

професор кафедри теорії функцій і теорії ймовірностей

Львівського національного університету імені Івана Франка

Офіційні опоненти -

доктор фізико-математичних наук, доцент Мохонько Анатолій Захарович,

професор кафедри вищої математики

Національного університету "Львівська політехніка"

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Шаповаловський Олександр Володимирович,

доцент кафедри математичного аналізу

Дрогобицького державного педагогічного університету імені Івана Франка.

Провідна установа: Харківський національний університет ім. В.Н.Каразіна, кафедра математичного аналізу

Захист відбудеться 12.09. 2002 р. о 15.20 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради у Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою: 79000, м. Львів, вул. Університетська, 1, ауд. 377

З дисертацією можна ознайомитись у Науковій бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка за адресою: м. Львів, вул. Драгоманова, 5. Автореферат розісланий 09.08. 2002 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради ____ Бокало М.М.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

множина асимптотичний лакунарний степеневий

Актуальність теми. Проблема опису асимптотичних властивостей цілих функцій покликана до життя як внутрішніми потребами розвитку теорії цілих функцій, так і потребами її застосувань. І тому протягом всього ХХ століття проводились інтенсивні дослідження різноманітних асимптотичних властивостей цілих функцій.

Одне з основних місць тут займають дослідження асимптотичних властивостей цілих функцій у залежності від властивостей тейлорових коефіцієнтів їх степеневих розвинень. Започатковані у роботах Е.Лагерра, Ж.Адамара, Е.Бореля, Е.Фабрі, вони істотно були доповнені новими ідеями та методами у роботах А.Вімана, Ж.Валірона, Д.Пойа та багатьох інших математиків. Зокрема А.Віман і Ж.Валірон та їх послідовники досліджували асимптотичні властивості цілих і аналітичних функцій у залежності від поводження максимального члена і центрального індексу їх степеневого ряду.

Характерною особливістю основної частини цих результатів є те, що отримувані співвідношення виконуються зовні деяких виняткових множин. Величина виняткових множин, як правило, описується в термінах скінченності їх, так званої, логарифмічної міри. Порівняно недавно Р.Лондон довів, що у випадку асимптотичної рівності логарифмів максимуму модуля цілої функції і максимального члена її степеневого розвинення виняткова множина має скінченну міру (власне, міститься у системі попарно неперетинних інтервалів із скінченною сумою довжин). У цьому зв'язку виникає природне запитання про можливість отримання точних оцінок величини виняткових множин у співвідношеннях, отримуваних в теорії Вімана - Валірона. В.Бергвайлер (Kodai. Math. J. 1990. V. 31, N 1) довів, що у випадку асимптотичної рівності максимумів модуля цілої функції і її дійсної частини скінченність логарифмічної міри виняткової множини є найкращою у певному сенсі оцінкою виняткової множини. П.В.Філевич (Укр. м. ж. 2001. Т.53, N 2) знайшов непокращувану в певному сенсі оцінку виняткової множини у випадку, згадуваної вище, асимптотичної рівності логарифмів максимуму модуля цілої функції і максимального члена її степеневого ряду. П.В.Філевич і О.Б.Скасків (Мат. студії. 1999. Т.12, N 1) знайшли в певному сенсі близьку до точної оцінку величини виняткової множини у випадку класичної нерівності А.Вімана. Не викликає сумніву в актуальності задачі отримання точних оцінок виняткових множин у випадку інших асимптотичних співвідношень, що розглядаються у теорії Вімана - Валірона.

У дисертації, зокрема, розглядається задача отримання точних оцінок виняткових множин у асимптотичних рівностях максимуму і мінімуму модуля та максимального члена і максимуму модуля цілої функції, заданої лакунарним степеневим рядом, а також задача знаходження точного описання виняткової множини у підкласі цілих функцій з заданою фіксованою лакунарною послідовністю показників степеневого ряду. Природно розглянути описані щойно задачі у відповідних класах цілих рядів Діріхле (абсолютно збіжних у всій площині). Відомо, що основні співвідношення, які отримуються в класі всіх цілих рядів Діріхле із заданою послідовністю показників, виконуються зовні виняткових множин скінченної міри. У випадку класу всіх цілих рядів Діріхле і асимптотичної рівності логарифмів максимуму модуля суми і максимального члена цілого ряду Діріхле (співвідношення Бореля) таке описання виняткової множини є у певному сенсі близьким до остаточного (Мат. студії. 2001. Т.15, N 2).

Актуальність знаходження нових оцінок величини виняткових множин, а також доведення їхньої точності, у випадку теорем типу Вімана-Валірона для цілих рядів Діріхле, як в загальному класі цілих рядів Діріхле, так і в різних його підкласах, що визначаються обмеженням на максимально допустиму чи мінімально допустиму швидкість зростання суми ряду, не викликає сумніву.

Зв'язок роботи з науковими програмами. Напрямок досліджень, вибраний у дисертації, передбачений планами наукової роботи Львівського національного університету імені Івана Франка.

Ця дисертаційна робота є складовою частиною досліджень за держбюджетними темами, які виконувались на кафедрі теорії функцій і теорії ймовірностей у Львівському національному університеті, а саме: Мт - 380 Б "Аналітичні функції та ряди Діріхле" (номер держреєстрації - 0198 U 004855), Мг - 379 Б "Властивості операторів, аналітичних і субгармонійних функцій, тополого-алгебраїчних структур та їх застосування" (номер держреєстрації - 0198 U 004847), Мг - 79 Б "Асимптотичні властивості голоморфних функцій, алгебро - топологічні структури та їх застосування" (номер держреєстрації - 0101 U 001437).

Мета і задачі дослідження.

Мета дисертації - отримати нові оцінки величини виняткових множин у деяких асимптотичних співвідношеннях з теорії Вімана-Валірона для цілих функцій, що визначаються абсолютно збіжними рядами Діріхле та лакунарними степеневими рядами, а також доведення точності отриманих оцінок виняткових множин у асимптотичних рівностях максимуму модуля і максимального члена та максимуму модуля і мінімуму модуля суми таких рядів.

Об'єктом дослідження є властивості класів цілих рядів Діріхле з фіксованою системою показників і фіксованим обмеженням знизу або зверху на допустиму швидкість зростання таких рядів.

Предметом дослідження є властивості деяких характеристик цілих рядів Діріхле та оцінки виняткових множин у деяких асимптотичних співвідношеннях між цими характеристиками (в асимптотичних рівностях : логарифмів максимуму модуля і максимального члена, максимуму і мінімуму модуля, центрального показника і логарифмічної похідної від максимуму модуля, логарифмів максимуму модуля і максимуму в горизонтальній пів-смузі).

Методи досліджень. Для розв'язування сформульованих вище задач застосовуються загальні методи математичного аналізу, модифікація методу Вімана - Валірона, розроблена Т.Кеварі, У.Хейманом, М.М.Шереметою, а також окремі положення і деякі прийоми з праць М.М.Шеремети, О.Б.Скасківа, П.В.Фентона.

Наукова новизна отриманих результатів. Усі одержані у дисертації наукові результати є новими. У роботі вперше:

- доведено, що у загальному класі цілих рядів Діріхле з фіксованою послідовністю показників в асимптотичних рівностях максимуму модуля і максимального члена та максимуму і мінімуму модуля ряду скінченність міри виняткової множини є точною оцінкою;

- у підкласах цілих рядів Діріхле швидкого зростання отримано необхідні і достатні умови на показники ряду, що забезпечують справедливість асимптотичних рівностей максимуму, мінімуму модуля суми і максимального члена ряду зовні виняткових множин скінченної міри, величини яких описуються в термінах h - щільностей множини на нескінченності;

- у підкласах цілих рядів Діріхле швидкого зростання в теоремах типу Вімана - Валірона отримано нові оцінки виняткових множин, що доповнюють результати М.М.Шеремети, О.Б.Скасківа, а у випадку степеневих рядів - Т.Кеварі, У.Хеймана, П.Фентона і інших;

- у підкласах цілих рядів Діріхле, що визначаються обмеженням на зростання суми ряду зверху, отримано оцінки виняткових множин в теоремах типу Вімана - Валірона, які доповнюють відомі раніше результати для таких підкласів М.М.Шеремети, П.Фентона та інших.

Практичне значення отриманих результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер. Вони можуть знайти застосування у наступних дослідженнях з теорії абсолютно збіжних рядів Діріхле та лакунарних степеневих рядів, а також у їхніх застосуваннях.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертаційної роботи отримані автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались та обговорювались на Міжнародній науковій конференції "Сучасні проблеми математики" (Чернівці, 23 - 27 червня 1998 р.) , на Міжнародній науковій конференції "Nonlinear part. diff. equations" присвяченій Шаудеру (Львів, 25 - 27 серпня 1999 р.), на науковій конференції "Математика і механіка у Львівському університеті (історія і сучасні проблеми)" присвяченій 255-річчю заснування кафедри математики в університеті (Львів, 24 - 27 листопада 1999р.), на Міжнародній конференції "Цілі та мероморфні функції" присвяченій 70-річчю проф. А.А.Гольдберга (Львів, 23 - 25 травня 2000 р.),на Міжнародній науковій конференції "Нові підходи до розв'язування диференціальних рівнянь" (Дрогобич, 1 - 5 жовтня 2001 р.), на міжвузівському семінарі з теорії аналітичних функцій (кер. проф. А.А.Кондратюк, проф. О.Б.Скасків, м. Львів), на регіональному семінарі з математичного аналізу (кер. проф. М.М.Шеремета, м. Львів), на семінарі з теорії аналітичних функцій (кер. проф. Б.Винницький, м. Дрогобич), на міському семінарі з теорії аналітичних функцій (кер. проф. А.Гришин, м. Харків).

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковані в 9 роботах (2 без співавтора), з яких 5 (1 без співавтора) - журнальні статті у виданнях, включених у перелік ВАК України.

У спільних з науковим керівником публікаціях, науковому керівнику належать формулювання задач і аналіз одержаних результатів. З опублікованої спільно з О.Б.Скасківим і О.М.Тракало статті, автору дисертації належать лише твердження з другого пункту статті, які і включено у дисертацію.

Структура і об'єм роботи. Дисертація складається із списку умовних позначень, вступу, трьох розділів, розбитих на підрозділи, висновків і списку використаних джерел. Загальний обсяг - 141 сторінка, список використаних джерел займає 8 сторінок і включає 78 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовується актуальність теми, дається короткий огляд результатів, що мають безпосереднє відношення до теми, подається загальна характеристика дисертації.

У першому розділі наведені результати П.Фентона, В.Бергвайлера, О.Б.Скасківа, П.В.Філевича про описання виняткових множин у теоремах типу Вімана-Валірона.

Нехай H(Л) - клас цілих (абсолютно збіжних у всій комплексній площині) рядів Діріхле вигляду

позначимо

- максимум модуля,

- максимальний член,

- центральний індекс.

У третьому розділі дисертації розглядаються співвідношення між макси- мумом модуля і максимальним членом та максимумом і мінімумом модуля цілих рядів Діріхле. Отримано нові оцінки величини виняткової множини в асимптотичних співвідношеннях

, , (9)

Доведено, що у загальному класі цілих рядів Діріхле з фіксованою по- слідовністю показників в асимптотичних рівностях (9) скінченність міри виняткової множини є точною оцінкою.

Теорема 3.1. Для кожної функції , і послідовності такої, що виконується умова

, (10)

існують функція , стала і множина такі, що і для всіх виконується

. (11)

Теорема 3.2. Нехай і . Якщо і

, (12)

то співвідношення

(13)

виконується при зовні множини нульової верхньої h -щільності рівномірно за .

Теорема 3.3. Нехай і . Якщо і викону-ється умова (12), то співвідношення (13) справджується при зовні множини нульової нижньої h - щільності рівномірно за .

Згадані вище твердження легко переформульовуються для співвідношень між максимумом і мінімумом модуля і максимумом модуля і максимальним членом для цілих функцій заданих лакунарними степеневими рядами.

Всі отримані у третьому розділі результати в інтерпретації для лаку-нарних степеневих рядів істотно доповнюють результати П.Ердеша, А.Макінтайра, П.Фентона.

ВИСНОВКИ

У даній дисертаційній роботі розглянуто деякі асимптотичні співвідношення з теорії Вімана-Валірона для цілих функцій, що визначаються абсолютно збіжними рядами Діріхле та лакунарними степеневими рядами. Зокрема, для цілих рядів Діріхле отримано нові оцінки величини виняткових множин у нерівності між загальним і максимальним членами ряду, у співвідношенні Бореля, в асимптотичних рівностях: центрального показника і логарифмічної похідної максимуму модуля, логарифмів максимуму модуля і максимуму модуля у півсмузі.

Отримано необхідні і достатні умови на показники ряду, що в певних підкласах цілих рядів Діріхле забезпечують справедливість асимптотичних рівностей між максимумом, мінімумом модуля і максимальним членом рядузовні виняткових множин скінченної міри, величини яких описуються в термінах h - міри та h - щільності множини у нескінченності.

Отримано наслідки для подібних співвідношень у випадку лакунарних степеневих рядів, які доповнюють відомі результати Т.Кеварі, У.Хеймана, П.Фентона і інших.

Одним з основних результатів даної дисертаційної роботи є також доведення того факту, що у загальному класі всіх цілих рядів Діріхле з фіксованою послідовністю показників в асимптотичних рівностях максимуму модуля і максимального члена та максимуму і мінімуму модуля ряду точною оцінкою виняткової множини є скінченність її міри, а у подібних співвідношеннях для цілих степеневих рядів з фіксованою послідовністю показників такою оцінкою є скінченність її логарифмічної міри.

CПИСОК ПУБЛІКАЦІЙ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Сало Т.М.,Скасків О.Б. Оцінки виняткової множини в теоремах типу

Бореля // Вісник Львів. ун-ту. - 1999. - Вип. 54. - C. 171-174.

2. Сало Т.М.,Скасків О.Б. Про виняткові множини у теоремах типу

Вімана-Валірона // Вісник Львів. ун-ту. - 2000. - Вип. 56. - C. 176-178.

3. Скасків О.Б., Сало Т.М. Цілі ряди Діріхле швидкого зростання і нові оцінки міри виняткових множин в теоремах типу Вімана-Валірона //

Укр. мат. журн. - 2001. - T. 53, N 6. - C. 830-839.

4. Cало Т.М. Про виняткову множину в асимптотичній рівності суми і максимального члена цілого ряду Діріхле швидкого зростання// Матем. студії. - 2001. - Т. 15, N 1. - C. 57-64.

5. Salo T.M., Skaskiv O.B., Trakalo O.M. On the best possible description of exceptional set in Wiman--Valiron theory for entire functions // Матем. cтудії. - 2001. - T. 16, N 2. - C. 131-140.

6. Скасків О.Б., Сало Т.М. Оцінки виняткових множин у співвідношенні

Бореля для цілих рядів Діріхле // Препринт. НАН України, ІППММ

ім. Я.С.Підстригача. - 2001. - 24 с.

7. Сало Т.М. Нові оцінки міри виняткових множин в теорії Вімана-Валіро-

на // Сучасні проблеми математики: Матеріали міжнар. конф., ч. III.

Київ: ІМ НАН України, 1998. - C. 286-288.

АНОТАЦІЯ

Сало Т. М. Асимптотичні властивості цілих рядів Діріхле: оцінки виняткових множин у теоремах типу Вімана-Валірона.- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. - Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2002.

У дисертаційній роботі отримано нові оцінки виняткових множин у теоремах типу Вімана-Валірона для цілих функцій, що визначаються абсолютно збіжними рядами Діріхле та лакунарними степеневими рядами. Доведено непокращуваність оцінок виняткових множин у асимптотичних рівностях максимуму, мінімуму модуля та максимального члена ряду.

Ключові слова: цілi функції, ряди Діріхле, максимум модуля, максимальний член, центральний індекс, h - міра, h - щільність.

АBSTRACT

Salo T. M. Asymptotic properties of entire Dirichlet series: estimates of exceptional sets in theorems of Wiman-Valiron type. - Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate degree in Physics and Mathematics on the speciality 01.01.01 - Mathematical Analysis. - Lviv National University named after Ivan Franko, Lviv, 2002.

In the thesis we obtain new estimates of exceptional sets in theorems of Wiman-Valiron type for entire functions represented by absolutely convergent Dirichlet series and lacunary power series. We also proved sharpness of estimate of the size of an exceptional set in asymptotic relations between maximum modulus, minimum modulus and maximal term of these series.

Key words: entire functions, Dirichlet series, maximum modulus, maximal term, central index, h - measure, h - density.

АННОТАЦИЯ

Сало Т. М. Асимптотические свойства целых рядов Дирихле: оценки исключительных множеств в теоремах типа Вимана-Валирона. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ, Львовский национальный университет имени Ивана Франко, Львов, 2002.

Исследуются величины исключительных множеств в теоремах типа Вимана-Валирона для целых функций, представимых абсолютно сходящимися рядами Дирихле и лакунарными степенными рядами. Устанавливается точность оценок исключительных множеств в асимптотических равенствах максимуму, минимума модуля и максимального члена ряда.

Диссертация состоит из списка условных обозначений, введения, трех разделов, разбитых на подразделы, выводов и списка использованных источников. Объем диссертации 141 страница. Список используемых источников включает 78 наименований.

Во введении дано обоснование актуальности темы, указываются цель и задачи исследования, научная новизна, практическое значение и апробация полученных результатов, количество публикаций.

В первом разделе дан обзор результатов, имеющих непосредственное отношение к теме диссертационной работы и основные результаты диссертации.

Во втором разделе в подкласах целых рядов Дирихле получено новые оценки исключительных множеств в некоторых соотношениях из теории Вимана-Валирона (в неравенстве между общим и максимальным членами ряда, соотношении Бореля, асимптотических равенствах: логарифмической производной максимуму модуля и центральным показателем ряда, логарифмом максимуму модуля и логарифмом максимуму модуля в полуполосе).

В третьем разделе доказана точность оценок исключительных множеств в асимптотических равенствах максимуму, минимума модуля и максимального члена ряда. Найдены условия, необходимые и достаточные для того, чтобы асимптотические равенства максимуму и минимума модуля целой функции, а также максимуму модуля и максимального члена ряда выполнялись вне некоторых множеств нулевой h - плотности.

Ключевые слова: целые функции, ряды Дирихле, максимум модуля максимальный член, центральный индекс, h - мера, h - плотность.

Размещено на Allbest.ru