Еліптичні і параболічні крайові задачі з похідною за часом в крайовій умові в плоскому куті та їх застосування в задачах з вільними межами

We apply the results for linear elliptic equations with time derivative in the boundary condition in the fixed nonregular domains to the investigation of the nonlinear free boundary problem (Hele-Shaw problem) with nonsmooth initial data in weight Hцlder spaces. The Hele-Shaw moving boundary problem describes a plane motion of viscous liquid. The problem is a Stefan-like problem for an elliptic equation because of the analogous boundary conditions on a free boundary in these problems. The main assumption of the model is the liquid velocity is proportional to the antigradient of a pressure. Investigations of the problem in case of regular initial data are connected with works of J.M. Elliott, J.R. Ockendon, A. Fridman, Yu.E. Hohlov, S.D. Howison, B.V. Bazaliy. The Hele-Shaw problem in the case initial domain is a plane corner has been studied with comparison theorems by R. King, A.A. Lacey, J.L. Vazquez. The method of proving solvability of the problem locally in time in case of nonregular initial data consists in a reduction of the initial problem to the problem in a fixed domain for two unknown functions corresponding to the pressure and the free boundary shape. The Frechet derivative is constructed to the obtained nonlinear system of partial differential equations, the unique solvability of the corresponding linear system is shown for certain conditions, and the fixed-point theorem is applied.

The initial boundary value problem for the heat equation in a plane corner. The boundary condition includes the time derivative of unknown function. It means we study the boundary value problem with higher derivatives in the boundary condition. We prove the existence and uniqueness of the solution in the weight Hцlder spaces.

Key words: partial differential equations, elliptic and parabolic boundary value problems, weight functional spaces, coercive estimates, nonlinear free boundary problems.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

У дисертаційній роботі вивчається коректність еліптичних та параболічних граничних задач у вагових просторах Гельдера в плоскому куті. Отримані результати застосовуються для доведення розв'язності нелінійної задачі з вільною (невідомою) межею у випадку, коли початкова межа містить кутову точку.

Актуальність теми. Еліптичні і параболічні крайові задачі в областях з негладкими межами, наприклад, коли межа області містить кутові точки (двовимірна область) або конічні точки (багатовимірна область) виникають в багатьох задачах механіки, радіофізики, теорії пружності.

На даний момент крайові задачі для еліптичних та параболічних рівнянь в областях з гладкою межею вивчені досить повно. В роботі Агмона, Дугліса, Ніренберга (Агмон С., Дуглис А., Ниренберг Л. Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы. - М.: Иностранная литература, 1962.-205 с.) встановлено нормальну розв'язність крайових задач для еліптичних рівнянь, які задовольняють умові Лопатинського, в областях з гладкою межею. Також доведено, що у випадку, коли праві частини, коефіцієнти та границі області є нескінченно диференційованими, то розв'язок теж буде нескінченно диференційованим. У випадку, коли області містять кутові або конічні точки, зазначені методи не можна застосовувати, тому що в цих випадках неможливо гладким перетворенням розпрямити межу області. Крім того, на прикладах було показано, що при наявності кутових точок на межі області навіть при нескінченно диференційованих правих частинах та коефіцієнтах задачі розв'язок може не бути нескінченно диференційованим. Таким чином, у випадку негладких областей результати не можуть бути аналогічними результатам, що стосуються областей з гладкою межею.

Дослідженню еліптичних крайових задач в областях з негладкою межею присвячені праці багатьох вчених. Одними з перших робіт в цієї галузі досліджень були роботи Г.І.Ескіна та Я.Б. Лопатинського, які довели нормальну розв'язність еліптичних крайових задач, що задовольняють умові Лопатинського, в областях з кутовою точкою, якщо праві частини досить гладкі функції. Фундаментальною для подальших досліджень стала робота В.О. Кондратьєва (Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками // Труды Московского Математического Общества. - 1967.- Т. 16.- С. 3-76), де було розглянуто крайову задачу для областей, межа яких містить скінчену кількість конічних точок. У роботі доведено, що розв'язок може бути поданим у вигляді асимптотичного ряду, отримані апріорні оцінки. Узагальнення цих результатів містять праці С.А. Назарова, В.Г. Мазьі, Б.А. Пламеневського, П. Грівара, В.А. Солоннікова, О.В. Фролової.

Що стосується параболічних початково-крайових задач в негладких областях, то, як і у випадку еліптичних крайових задач, для них введено поняття узагальненого розв'язку, аналіз якого часто не потребує припущень гладкості межі. А. Азам та Е.Крейзіг за допомогою принципу максимума і локальних шаудеровських оцінок отримали точні умови на розмір двогранного кута, що гарантують належність розв'язку першої початково-крайової задачі для рівняння другого порядку до класу і поблизу ребра. У роботі В.А. Солоннікова (Солонников В.А. О разрешимости классических начально-краевых задач для уравнения теплопроводности в двухгранном угле // в кн.: Краевые задачи мат. физики и смежные вопросы теории функций 16 (Зап. Научн. Семинаров ЛОМИ). - 1984. - Т. 138. - С. 146-180) досліджені початково-крайові задачі для рівняння теплопровідності в двогранному куті у вагових просторах Соболєва-Слободецького та у вагових просторах Гельдера .

Пізніше, на початку 90-х років минулого століття, з'явились роботи В.А. Солоннікова та О.В. Фролової, присвячені розв'язності у вагових просторах Соболєва (просторів типу В.О.Кондратьєва) початково-крайової задачі для рівняння теплопровідності в двограному куті, на однієї з граней якого задається гранична умова, що містить як похідні за просторовими змінними, так і похідну за часом.

В дисертації у вагових просторах Гельдера досліджуються еліптичні та параболічні крайові задачі в плоскому куті з граничною умовою, що містить крім похідних за просторовими змінними, похідну за часом. Увага до таких задач пов'язана, з одного боку, з чисто математичними питаннями коректності цих задач у відповідних класах, а з іншого боку, з застосуванням таких задач у фізиці, наприклад, в задачах з вільними межами (задача Стефана, задача Hele-Shaw), в теорії електричних ланцюгів з розподіленими параметрами.

Задача Hele-Shaw є математичною моделлю плоского руху в'язкої нестисливої рідини з вільною межею. Крім того, її можна розглядати як варіант відомої задачі Стефана для еліптичного рівняння, оскільки умови на вільній межі в цих задачах співпадають.

Незважаючи на те, що вперше така задача ставилась і обговорювалась ще наприкінці 19-го сторіччя, найбільш значні результати були отримані за останні декілька десятиліть, причому ці успіхи були досягнуті завдяки загальному розвитку теорії крайових задач для диференціальних рівнянь в частинних похідних. Зараз розроблена теорія коректної розв'язності цієї задачі в класі слабких розв'язків. Так в роботах С.М. Елліота, В. Яновського, А. Фрідмана за допомогою варіаційних нерівностей доведено існування та єдиність слабкого розв'язку. С.Д. Ховісон, Ю.Є.Хохлов за допомогою апарата теорії функцій комплексної змінної побудували ряд точних розв'язків. Проблема класичної розв'язності задачі Hele-Shaw в малому за часом для регулярних початкових даних розглядалась у роботах Б.В. Базалія, Г. Ешера, Д. Симоне, Д. Прокета. У роботі Д.Р. Кінга, А.А. Лесі, Дж. Л. Вазкеса (King J.R., Lacey A.A., Vazquez J.L. Persistence of corners in free boundaries in Hele-Shaw flow // Euro. J. of Appl. Math.- 1995. - № 6. -P. 445-490) за допомогою якісних методів досліджено задачу Hele-Shaw у випадку, коли початкова область - є плоский нескінченний кут. Зокрема, встановлено, що у випадку початкових даних, при яких області розширюються, тупі кути миттєво згладжуються, в той час як гострі кути зберігаються на вільній межі на протязі деякого часу.

В дисертації досліджуються питання коректної розв'язності задачі Hele-Shaw у випадку, коли початкова вільна межа містить кутову точку, в деякому околі якої межа складається з прямолінійних відрізків з кутом . При дослідженні цієї задачі використовується метод, запропонований Б.В. Базалієм (Базалий Б.В. Задача Стефана // ДАН УССР, сер. А. - 1986.- №11.- С. 3-7), який полягає у зведенні задачі з невідомою межею до нелінійної задачі в фіксованій області і доказу існування нерухомої точки деякого нелінійного оператора. Застосування цього метода потребує побудови регуляризатора - оператора, що обертає головну частину лінійної крайової задачі, і вивчення відповідних модельних задач.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації пов'язана з науковими дослідженнями відділу рівнянь математичної фізики ІПММ НАН України, її результати використані при виконанні наукової програми 01.07/00130 "Нелінійні граничні задачі математичної фізики з вільними межами для еліптичних та параболічних рівнянь" ДФФД України, та державної теми "Нелінійні проблеми математичної фізики в областях з вільними (невідомими) межами, регулярність та асимптотичні властивості розв'язків нелінійних еліптичних та параболічних граничних задач", номер державної реєстрації № 0199V001609.

Мета дослідження.

1) Довести коректну розв'язність у вагових просторах Гельдера наступних крайових задач:

крайової задачі для рівняння Пуассона з правою частиною, яка залежить від часу як від параметру, в плоскому куті з крайовою умовою, що містить похідну за часом;

крайової задачі для еліптичного рівняння другого порядку зі змінними коефіцієнтами, які залежать від часу як від параметру, в області з кутовою точкою. Гранична умова задачі містить як похідні за просторовими змінними, так і похідну за часом;

початково-крайової задачі для рівняння теплопровідності в плоскому куті з аналогічною граничною умовою.

2) Довести розв'язність задачі Hele-Shaw з вільною межею при наявності кутової точки на початковій межі у вагових просторах Гельдера.

Наукова новизна отриманих результатів. В дисертації вперше доведено теореми існування та єдиності розв'язку в вагових просторах Гельдера крайової задачі для рівняння Пуассона та початково-крайової задачі для рівняння теплопровідності в плоскому куті, граничні умови яких містять поруч з похідними за просторовими змінними похідну за часом. Вперше доведена коректна розв'язність у вагових просторах Гельдера лінійної крайової задачі для еліптичного рівняння другого порядку зі змінними коефіцієнтами в області з кутовою точкою. Гранична умова цієї задачі містить старшу похідну за часом. Також доведено коректну розв'язність в згаданих вище класах задачі Hele-Shaw з вільною (невідомою) межею в випадку кутової точки на початковій межі.

Практичне значення отриманих результатів. Отримані в дисертації результати мають теоретичний характер в теорії крайових задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними. Ці результати можна використовувати для подальших досліджень в теорії нелінійних крайових задач з вільними межами.

Особистий внесок здобувача. З роботи [4], виконаної разом з Б.В. Базалієм, у дисертацію увійшли результати, отримані автором самостійно, а саме, теорема про оцінки розв'язку крайової задачі для рівняння Лапласа в плоскому куті з похідною за часом у граничній умові. У роботі [1] Б.В. Базалію належать формулювання задачі і керівництво роботою, результати ж отримані автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались на міжнародній конференції "Нелінійні диференціальні рівняння з частинними похідними" (м. Київ, 2001 р.), а також на семінарах під керівництвом академіка НАН України І.В. Скрипника (1999-2002 рр.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в працях [1]-[4], з яких [1]-[3] надруковані у виданнях з переліку № 1, затвердженого ВАК України.

Структура та об'єм роботи. Дисертація складається зі вступу, п'яти розділів, висновків, списку використаних джерел, викладена на 152 сторінках машинописного тексту. Список літератури містить 98 найменувань.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовується актуальність теми, подаються мета та задачі дослідження, наукова новизна, практичне значення, апробація та зміст роботи.

У першому розділі зроблено огляд результатів, які мають безпосереднє відношення до теми дисертації.

Другий розділ має допоміжний характер. В ньому наведені означення основних функціональних просторів, які надалі використовуються в роботі: просторів Гельдера і вагових просторів

У розділі 2 наведені докази низки лем, які надалі використовуються у розділі 4 при побудові регуляризатора лінійної крайової задачі зі змінними коефіцієнтами у просторі . Відзначимо, що аналогічні леми в класах доведені В.А. Солонніковим (Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. - М.: Наука. - 1968. - 736 с.).

Нехай - задана обмежена область в симетрична відносно осі , межа якої складається з двох неперетинних компонентів і , де і знаходиться всередені обмеженої області, з межею . В свою чергу, межа складається з двох частин: де - гладка частина , а - частина межі , що складається з прямолінійних відрізків, які утворюють кут з вершиною на початку координат:

В розділі 2, використовуючи методи роботи (Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. - М.: Наука. - 1968. - 736 с.) побудовано продовження функції по з області на

у вагових класах .

Теорема 1. Нехай

, ,

де

Для функції існує функція така, що , і справедлива оцінка

(4)

У третьому розділі вивчені крайові задачі для рівняння Пуассона з граничною умовою, що містить похідну за часом від шуканих функцій. Нехай - заданий кут

- зовнішня до Размещено на http://www.allbest.ru/

нормаль,

полярна система координат на площині .

Поряд з задачею (7) розділ 3 містить дослідження, пов'язані з крайовою задачею для рівняння Пуассона в півпросторі.

Отримані результати далі застосовуються при доведенні розв'язності нелінійної задачі з вільною межею (задачі Hele-Shaw) у випадку негладких початкових даних. Ця задача вивчається в розділі 4. Крім того, розглянуті в розділі 3 еліптичні крайові задачі застосовуються у розділі 5 як допоміжні при дослідженні нестаціонарної задачі для рівняння теплопровідності в плоскому куті з граничною умовою, яка містить як похідні за просторовими змінними, так і похідну за часом.

У розділі 4 вивчається розв'язність задачі Hele-Shaw у випадку, коли початкова область містить кутову точку, в околі якої початкова вільна межа складається з прямолінійних відрізків, які утворюють кут

Нехай при кожному двозв'язна область , а її межа складається з двох неперетинних компонентів та , де - задана фіксована крива, а - невідома (вільна межа). Нехай функція описує тиск всередині області Задача Hele-Shaw полягає в знаходженні функції і невідомої межі за умовами:

(15)

де оператор Лапласа за змінними додатня стала, одиничний вектор зовнішньої нормалі до задана початкова область, швидкість переміщення точок межі у напрямку вектора нормалі. Початковий розподіл тиску задається функцією яка задовольняє умовам:

(16)

Умови забезпечують розширення області за часом

().

Нехай задана обмежена область в симетрична відносно осі , межа якої складається з двох неперетинних компонентів та , де знаходиться всередині області

, Размещено на http://www.allbest.ru/

,

Нехай межа складається з двох частин: де - гладка частина межі , а - частина межі , що містить кутову точку:

задане додатнє число.

Припускаємо, що виконується умова погодження

(17)

При вивченні широкого класу задач з вільними межами для параболічних та еліптичних рівнянь (задача Стефана, задачі фільтрації у пористому середовищі, задача Hele-Shaw) у випадку гладких початкових даних доказ розв'язності в малому за часом проводиться за наступною схемою. За допомогою того чи іншого перетворення задача зводиться до дослідження нелінійного функціонального рівняння у фіксованій області. Далі це рівняннє лінеаризується, вивчаються умови розв'язності лінійної крайової задачі і встановлюються оцінки для її розв'язку, які надалі використовуються для доведення можливості застосування до нелінійного рівняння того чи іншого принципу існування нерухомої точки. У випадку дослідження задач з вільними межами при негладких початкових даних можна також застосувати наведений вище метод. При цьому основні аналітичні труднощі пов'язані з дослідженням відповідних лінійних задач.

В підрозділі 4.2. задача (15) за допомогою перетворення типу Ханзави (див. (Hanzava E. Classical solutions of the Stefan problem // Tohoku Math. J. - 1981. - V. 33, № 3. - P. 297-335.)) зводиться до нелінійної задачі в фіксованій області розв'язність якої вивчається в підрозділах 4.3 та 4.4.

У відповідній лінійній задачі, яка розглядається в підрозділі 4.3, необхідно знайти функції і які задовольняють умови:

Використовуючи метод побудови регуляризатора з монографії (Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. - М.: Наука. - 1968. - 736 с.) і результати розділу 3, доводиться наступний результат.

Зазначимо, що розв'язність задачі Hele-Shaw доводиться у вагових класах Гельдера , які виявляються зручними при опису деформації вільної межі. З результатів теореми 6 випливає, що в розглянутому випадку для задачі Hele-Shaw існує час очікування, тобто час, протягом якого геометрія вільної межі в околі кутової точки зберігається, і сама кутова точка залишається нерухомою.

У п'ятому розділі досліджене питання коректної розв'язності в класах початково-крайової задачі для рівняння теплопровідності в плоскому куті з граничною умовою, яка містить похідну за часом такого ж порядку, як і в рівнянні. Задачі такого типу виникають в теорії електричних ланцюгів з розподіленими параметрами, в задачах з вільними межами, наприклад, в задачі Стефана, і т.д.

Використання інтерполяційних нерівностей дозволяє звести дослідження задачі (21) до вивчення двох допоміжних крайових задач в плоскому куті: еліптичної крайової задачі з похідною за часом в граничній умові та нестаціонарної початково-крайової задачі для рівняння теплопровідності з умовою Діріхле на межі кута. До еліптичної задачі після деяких допоміжних міркувань можна застосувати результати розділу 3. Що стосується параболічної крайової задачі, то спочатку, використовуючи перетворення Ханкеля, отримується явний вираз розв'язку, а потім одержуються необхідні оцінки цього розв'язку. Виходячи з одержаних результатів для допоміжних крайових задач, встановлюється коректна розв'язність у ваговому просторі Гельдера нестаціонарної початково-крайової задачі (21).

На закінчення автор висловлює подяку науковому керівнику, професору Б.В. Базалію, за увагу до роботи.