Модулярні зображення скінченних p-груп над комутативними локальними кільцями та їх застосування в теорії лінійних груп

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут математики

УДК 512.547.25

01.01.06 - алгебра та теорія чисел

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Модулярні зображення скінченних p-груп над комутативними локальними кільцями та їх застосування в теорії лінійних груп

Тилищак Олександр Андрійович

Київ - 2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Ужгородському національному університеті МОН України.

Науковий керівник - доктор фізико-математичних наук, професор Гудивок Петро Михайлович, Ужгородський національний університет, завідувач кафедри алгебри

Офіційні опоненти:

- доктор фізико-математичних наук Бондаренко Віталій Михайлович, Інститут математики НАН України, виконуючий обов'язки провідного наукового співробітника відділу алгебри

- кандидат фізико-математичних наук Кругляк Станіслав Аркадійович, Національна академія Служби безпеки України, доцент

Провідна установа - Львівський національний університет імені Івана Франка МОН України

Захист відбудеться 21.05.2002 року о 15 на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 в Інституті математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ-4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий 16.04.2002 року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Романюк А.С.

Анотації

Тилищак О.А. Медулярні зображення скінченних p-груп над комутативними локальними кільцями та їх застосування в теорії лінійних груп. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 - алгебра та теорія чисел. - Інститут математики НАН України, Київ, 2002.

У роботі знайдено критерій скінченності множини степенів всіх незвідних матричних зображень скінченної p-групи над нецілісним комутативним нетеровим локальним кільцем характеристики p^s. Також показано, що скінченна p-група G порядку |G| > 2 над цілісним комутативним нетеровим локальним кільцем характеристики p, яке не є областю головних ідеалів, має незвідні матричні зображення як завгодно високого степеня.

Розроблені методи застосовано до повного розв'язання питання про попарну спряженість силовських p-підгруп повної (спеціальної) лінійної групи над комутативним локальним кільцем K характеристики p^s. У випадку, коли фактор-кільце кільця K за первісним радикалом є кільцем Безу, описано єдину, з точністю до спряженості, силовську p-підгрупу повної (спеціальної) лінійної групи над кільцем K.

Ключові слова: медулярне зображення, незвідне зображення, матричне зображення, силовська p-підгрупа, локальне кільце, повна лінійна група, спеціальна лінійна група.

Тилищак А.А. Модулярные представления конечных p-групп над коммутативными локальными кольцами и их применение в теории линейных групп. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел. - Институт математики НАН Украины, Киев, 2002.

Диссертационная работа посвящена исследованиям неприводимых представлений конечных p-групп над коммутативным локальным кольцом характеристики p^s и их применению при изучении силовских p-подгрупп полной и специальной линейной группы над этим же кольцом. Доказано, что множество степеней всех неприводимых матричных представлений конечной p-группы G порядка |G| > 1 над нецелостным коммутативным нетеревым локальным кольцом K характеристики p^s конечно тогда и только тогда, когда множество степеней всех неприводимых полиномов над полем вычетов K/RadK кольца K конечно и имеет место одно из следующих условий: 1) |G| = p, s > 1, RadK = pK, 2) |G| = 2, s = 1, (RadK)² = 0, K - кольцо главных идеалов. Из результатов диссертационной работы также вытекает описание множества степеней всех неприводимых матричных представлений конечной p-группы над коммутативным нетеревым локальным кольцом K характеристики p^s для всех тех случаев, когда кольцо K обладает ненулевым нильпотентным элементом. Кроме того, доказано, что конечнная p-группа G порядка |G| > 2 над целостным коммутативным нетеревым локальным кольцом характеристики p, которое не является областью главных идеалов, имеет неприводимые матричные представления сколь угодно высокой степени.

Разработанными методами было доказано, что силовськие p-подгруппы полной (специальной) линейной группы степени, отличной от 1, над коммутативным локальным кольцом K характеристики p^s есть попарно сопряженными тогда и только тогда, когда фактор-кольцо кольца K по первичному радикалу является кольцом Безу, то есть областью целостности с единицей, каждый конечно порожденный идеал которой главный.

Кроме того, было доказано, что если K - коммутативное локальное кольцо характеристики p^s, фактор-кольцо которого по первичному радикалу является кольцом Безу, или коммутативное кольцо характеристики p^s, фактор-кольцо которого по первичному радикалу является областью главных идеалов, то множество M обратимых матриц над кольцом K произвольного, но фиксированного порядка n, которые после редукции по модулю первичного радикала попадают в соответствующую унитреугольную группу, и есть единственной, с точностью до сопряжения, силовской p-подгуруппой полной линейной группы степени n над кольцом K. Исследования показали, что M З SL(n,K) также является единственной, с точностью до сопряжения, силовской p-подгуруппой специальной линейной группы SL(n,K) степени n над кольцом K.

Ключевые слова: модулярное представление, неприводимое представление, матричное представление, силовская p-подгруппа, локальное кольцо, полная линейная группа, специальная линейная группа.

Tylyshchak O. A. Modular representations of finite p-groups over commutative local rings and their applications in the theory of linear groups. - Manuscript.

Thesis for a candidate degree by speciality 01.01.06 - algebra and number theory. - Institute of Mathematics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kiyv, 2002.

In paper it has been found criterion of finiteness of the set of degrees of all irreducible matrix representations of finite p-group over a nonintegral commutative noetherian local ring of characteristic p^s. It has also been shown that the set of degrees of all irreducible matrix representations of finite p-group G of order |G| > 2 over an integral commutative noetherian local ring of characteristic p which is not a principle ideal domain is infinite.

Given methods have been applied to complete solving of problem when Sylow p-subgroups of the general (special) linear group over a commutative local ring K of characteristic p^s are pairwise conjugated. In case when factor ring of ring K by its prime radical is a Bezu ring it has been described unique up to conjugacy Sylow p-subgroup of the general (special) linear group over the ring K.

Key words: modular representation, irreducible representation, matrix representation, Sylow p-subgroup, local ring, general linear group, special linear group.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Теорія медулярних зображень скінченних груп над полями є досить добре розвиненою областю абстрактної алгебри. Зокрема, Р. Брауер для алгебраїчно замкнутого поля, а згодом E. Вітт і С.Д. Берман для довільного поля F характеристики p, де p - довільне просте число, визначили число незвідних нееквівалентних F-зображень довільної скінченної групи. Це число і степені незвідних зображень не перевищують порядок групи. Число ж нерозкладних нееквівалентних F-зображень скінченної групи G скінченне тоді і тільки тоді, коли силовська p-підгрупа групи G циклічна. Цей результат був отриманий Д. Хігманом.

Однак задача описання всіх, з точністю до еквівалентності, зображень групи G, порядок якої кратний p, над полем F досить складна. У більшості випадків вона дика, тобто містить в собі задачу про класифікацію з точністю до подібності пар квадратних матриць довільного порядку над деяким полем, яку небезпідставно вважають нерозв'язною задачею. Виняток складають тільки випадки: 1) силовська p-підгрупа H групи G циклічна; 2) фактор-група H/H' є абелевою групою типу (2,2), де H' - комутант групи H. Цей результат, завершуючи дослідження Д. Хігмана, В.А. Башева, С.А. Кругляка, Ш. Бреннер, B. М. Бондаренка і К. Рінгеля, отримали В.М. Бондаренко і Ю.А. Дрозд.

Також отримано ряд важливих результатів про зображення скінченних груп над довільними комутативними локальними кільцями характеристики p^s (s О IN). П.М. Гудивок, В.С. Дроботенко, О.І. Ліхтман показали нескінченність множини степенів незвідних і нерозкладних нееквівалентних матричних зображень скінченної нетривіальної p-групи над кільцем ZZ ps класів лишків за модулем p^s (s >1). В.М. Бондаренко вияснив, коли буде дикою задача описання всіх, з точністю до еквівалентності, матричних зображень скінченної p-групи G над кільцем ZZ ps (s >1). У випадку, коли згадана задача не є дикою, незвідні і нерозкладні матричні зображення групи G над кільцем ZZ ps (s >1) були описані В.С. Дроботенком, Е.С. Дроботенком, З.П. Жилінською та Є.Я. Погоріляк. Цей результат узагальнив Т. Ханнула на випадок зображень циклічної групи порядку p над фактор-кільцем R/P^s, де R - дискретно нормоване кільце, в якому p - простий елемент, P - радикал Джекобсона кільця R і s >1.

Порівняно недавно П.М. Гудивок і В.Й. Погоріляк з'ясували,, коли множина степенів всіх нерозкладних матричних зображень скінченної p-групи над довільним комутативним локальним кільцем K характеристики p^s скінченна. Природнім постає питання про скінченність множини степенів всіх незвідних матричних зображень скінченної p-групи над кільцем K. Цьому питанню і його застосуванню при вивченні силовських p-підгруп повної і спеціальної лінійної групи над кільцем K присвячена дисертаційна робота.

Ще в 1960 р. Д.О. Супруненко описав всі, з точністю до спряженості, силовські p-підгрупи повної лінійної групи над алгебраїчно замкнутим полем. Згодом цей результат був узагальнений Р.Т. Вольвачевим та В.С. Конюхом на випадок довільного поля. Добре відомо, що для повної лінійної групи довільного степеня над полем характеристики p всі, з точністю до спряженості, її силовські p-підгрупи вичерпуються унітрикутною групою. П.М. Гудивок, Є. Я. Погоріляк і В.П. Рудько показали,, що силовські p-підгрупи повної лінійної групи степеня n >1 над нетеровою локальною областю цілісності L характеристики p попарно спряжені тоді і тільки тоді, коли L - область головних ідеалів, а всі, з точністю до спряженості, силовські p-підгрупи повної лінійної групи над довільною областю головних ідеалів характеристики p вичерпуються унітрикутною групою.

Логічним завершенням наведених результатів стало подане в дисертаційній роботі повне розв'язання задачі про попарну спряженість силовських p-підгруп повної лінійної групи над довільним комутативним локальним кільцем характеристики p^s. До цієї ж задачі зводиться задача про попарну спряженість силовських p-підгруп спеціальної лінійної групи над цим же кільцем.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тема дисертаційної роботи пов'язана з тематикою наукових досліджень кафедри алгебри Ужгородського національного університету (номер державної реєстрації 0198V007796).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є

поширення відомих результатів про степені незвідних матричних зображень скінченної p-групи над деякими локальними кільцями головних ідеалів характеристики p^s та деякими факторіальними кільцями характеристики p на випадок довільного комутативного локального кільця характеристики p^s;

застосування одержаних результатів для узагальнення критерію попарної спряженості силовських p-підгруп повної і спеціальної лінійної групи над деякими цілісними комутативними локальними кільцями характеристики p на випадок силовських p-підгруп повної і спеціальної лінійної групи над довільним комутативним локальним кільцем характеристики p^s.

Задачі дослідження:

знайти критерій скінченності множини степенів всіх незвідних матричних зображень скінченної p-групи над комутативним локальним кільцем характеристики p^s;

з'ясувати, коли існують незвідні матричні зображення скінченної p-групи над комутативним локальним кільцем характеристики p^s довільного степеня;

методами теорії зображень скінченних p-груп над комутативним локальним кільцем характеристики p^s знайти критерій попарної спряженості силовських p-підгруп повної і спеціальної лінійної групи над цим же кільцем;

у випадку попарної спряженості одержати описання з точністю до спряженості силовських p-підгруп повної і спеціальної лінійної групи над комутативним локальним кільцем характеристики p^s.

При вивченні незвідних матричних зображень скінченних p-груп над комутативними локальними кільцями характеристики p^s в дисертаційній роботі використовуються методи теорії зображень скінченних груп над комутативними кільцями і теорії груп. Методами теорії зображень скінченних груп і теорії матриць над комутативними кільцями досліджувались силовські p-підгрупи повної і спеціальної лінійної групи над комутативними кільцями характеристики p^s.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертаційній роботі отримано такі результати:

З'ясовано, коли множина степенів всіх незвідних матричних зображень скінченної p-групи над довільним нецілісним комутативним нетеровим локальним кільцем характеристики p^s скінченна. З раніше отриманих результатів П.М. Гудивка, В.С. Дроботенка, О.І. Ліхтмана, Е.С. Дроботенка, З.П. Жилінської, Є.Я. Погоріляк та Т. Ханнули випливають частинні випадки результату дисертаційної роботи для:

1) зображень скінченної p-групи над кільцем класів лишків за модулем p^s (s >1);

2) зображень циклічної групи порядку p над фактор-кільцем R/P^s, де R - дискретно нормоване кільце, в якому p - простий елемент, P - радикал Джекобсона кільця R і s >1.

Побудовано незвідні матричні зображення як завгодно високого степеня скінченної p-групи G порядку |G| > 2 над довільним цілісним комутативним нетеровим локальним кільцем K характеристики p, яке не є областю головних ідеалів. З цього результату випливає нове доведення результату П.М. Гудивка, Є. Я. Погоріляк та В.М. Ороса про нескінченність множини степенів всіх незвідних матричних K-зображень групи G у випадку, коли кільце K є факторіальним.

Завершено розв'язання задачі про попарну спряженість силовських p-підгруп повної лінійної групи над довільним комутативним локальним кільцем характеристики p^s. Раніше це питання було розв'язано П.М. Гудивком та В.П. Рудьком для таких кілець:

1) нетерової локальної області цілісності характеристики p;

2) локального факторіального кільця характеристики p.

Описано з точністю до спряженості всі силовські p-підгрупи повної лінійної групи над комутативним локальним кільцем K характеристики p^s, фактор-кільце K/radK якого за первісним радикалом є кільцем Безу, тобто K/radK - область цілісності з одиницею, будь-який скінченно породжений ідеал якої є головним. Цей результат узагальнює результати П.М. Гудивка та Є.Я. Погоріляк, які описали з точністю до спряженості всі силовські p-підгрупи повної лінійної групи над локальною областю головних ідеалів характеристики p. Отриманий результат також узагальнює добре відоме описання з точністю до спряженості силовських p-підгруп повної лінійної групи над кільцем ZZ p^s.

Вперше знайдено критерій попарної спряженості силовських p-підгруп спеціальної лінійної групи над комутативним локальним кільцем характеристики p^s, яке не є полем.

Вперше описано з точністю до спряженості всі силовські p-підгрупи спеціальної лінійної групи над комутативним локальним кільцем характеристики p^s, яке не є полем, але фактор-кільце K/radK якого є кільцем Безу.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичне значення. Результати дослідження незвідних зображень скінченних p-груп над комутативними локальними кільцями характеристики p^s вже знайшли своє застосування у вивченні силовських p-підгруп повної і спеціальної лінійних груп над комутативними локальними кільцями характеристики p^s. Вони також можуть бути використані при подальшому вивченні силовських p-підгруп лінійних груп над комутативними кільцями характеристики p^s, а також при вивченні незвідних і нерозкладних зображень скінченних груп над довільними комутативними кільцями з одиницею.

Особистий внесок здобувача. Теорема 2.2 дисертаційної роботи, яка також увійшла у сумісну статтю П.М. Гудивка разом з здобувачем [1], одержана при рівному вкладі співавторів. Решта результатів, які ввійшли в дисертаційну роботу, одержані здобувачем особисто і самостійно.

Апробація результатів роботи. Результати, які викладені в дисертаційній роботі, доповідались і обговорювались на таких семінарах і конференціях:

алгебраїчних семінарах кафедри алгебри Ужгородського державного (національного) університету (Ужгород, 1998-2001);

52-й, 53-й, 54-й, 55-й підсумкових наукових конференціях професорсько-викладацького складу УжДУ (УжНУ) (Ужгород, 1998-2001);

Міжнародній науковій конференції "Сучасні проблеми механіки і математики", присвяченій пам'яті академіка Я.С. Підстригача (Львів, 1998);

VIII міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (Київ, 2000);

Euroconference "Rings, Modules, Representations" (Constanta, Romania, 2000);

5th Budapest-Chemnitz-Praha-Toruс Conference in Algebra (Budapest, Hungary, 2001);

Міжнародній алгебраїчній конференції в рамках Українського математичного конгресу, присвяченого пам'яті М.В. Остроградського (Ужгород, 2001).

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковано в працях [1-7], з яких 4 надруковано у виданнях з переліку, затвердженого ВАК України. Крім того, тези доповіді на наукової конференції "Rings, Modules, Representations" розміщено на веб-сайті: http://at.yorku.ca/cgi-bin/amca/select/cafe-01.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається з вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел, який містить 54 найменування. Повний обсяг роботи становить 111 сторінок, з них 105 сторінок загального змісту та 6 сторінок списку використаних джерел.

Основний зміст роботи

У першому розділі "Огляд літератури" наведені відомі результати досліджень модулярних зображень скінченних груп над кільцями та досліджень силовських підгруп деяких лінійних груп.

У другому розділі "Про незвідні зображення скінченних p-груп над комутативними локальними кільцями характеристики p^s" досліджується питання про скінченність множини степенів всіх незвідних матричних зображень скінченної p-групи G над комутативним нетеровим локальним кільцем характеристики p^s, де p - просте число, s О IN, та доводяться деякі інші результати досліджень зображень групи G над комутативним локальним кільцем характеристики p^s. Розділ починається викладом кількох часто вживаних властивостей комутативних нетерових кілець (підрозділ 2.1 "Попередні відомості"). В підрозділі 2.2 "Про степені незвідних зображень скінченної p-групи над нецілісним комутативним локальним кільцем характеристики p^s" доведені результати, які з'ясовують, зокрема, критерій скінченності множини степенів всіх незвідних матричних зображень скінченної p-групи над нецілісним комутативним нетеровим локальним кільцем характеристики p^s. На початку підрозділу доводиться така теорема.

Теорема 2.2. Нехай G - скiнченна нециклiчна p-група i K - комутативне локальне кiльце характеристики p^s (s О IN), яке мiстить ненульовий нiльпотентний елемент. Тодi iснують незвiднi матричнi K-зображення групи G довiльного степеня.

Для доведення теореми показується, що відображення:



де En - одинична матриця порядку n (n > 1), t - нільпотентний елемент степеня 2 кільця K, tp = 0, є незвідним матричним K-зображенням нециклічної абелевої групи G = <a1><a2> порядку p².

Далі через RadK ми позначатимемо радикал Джекобсона кільця K. В лемах 2.6, 2.7 і 2.8 розглядались зображення циклічної p-групи над локальним кільцем головних ідеалів характеристики p^s, яке містить ненульовий нільпотентний елемент.

Лема 2.6. Нехай G = <a> - циклiчна p-група порядку p, K - комутативне локальне кiльце характеристики p i RadK = tK, де t² = 0 (t № 0). Якщо p > 2, то iснують незвiднi матричнi K-зображення групи G довiльного степеня n > 2.

Лема 2.7. Нехай G = <a> - циклiчна p-група порядку p, K - комутативне локальне кiльце характеристики p i RadK = tK, де t² = 0 (t № 0). Якщо p > 3, то iснують незвiднi матричнi K-зображення групи G довiльного степеня.

Необхідна і достатня умова iснування незвiдних матричних зображень групи G порядку 3 степеня 2 над комутативним локальним кiльцем K характеристики p, RadK = tK, де t² = 0 (t № 0), також з'ясована.

Лема 2.8. Нехай G = <a> - циклiчна p-група порядку p², K - комутативне локальне кiльце характеристики p^s (s О IN) i RadK = tK, де t - нiльпотентний елемент степеня r (r > 1) кiльця K. Група G має незвiднi матричнi K-зображення довiльного степеня.

При доведенні лем 2.6, 2.7 і 2.8 будувались незвідні K-зображення групи G тільки такого типу:

,

де r - степінь нільпотентності елемента t, n - довільне натуральне число, що задовольняє умові відповідної леми накладувану на степінь незвідних K-зображень і n > 1.

Далі через Annt = {w О K | wt = 0} ми позначатимемо анулятор елемента t в деякому комутативному кільці K, що містить елемент t (про яке кільце йдеться завжди буде зрозуміло з контексту), K^* - мультиплікативну групу кільця K. Для з'ясування критерію скінченності множини степенів всіх незвідних матричних зображень скінченної p-групи над комутативним нетеровим локальним кільцем характеристики p^s, яке містить ненульовий нільпотентний елемент, важливе значення мав такий результат.

Лема 2.9. Нехай G = <a> - циклiчна p-група порядку p, K - комутативне нетерове локальне кiльце. Якщо кiльце K мiстить нiльпотентний елемент t другого степеня, pt = 0 i RadK З Annp № № W = {0, tq | q О K^*}, то iснують незвiднi матричнi K-зображення групи G довiльного степеня.

Для доведення леми 2.9 побудовано три серії незвідних K-зображень групи G.

1) У випадку, коли u, v О K, u № vv1, v № uu1 (u1, v1 О K), pu = pv = uv = u² = 0, побудовано незвідне K-зображення виду:

де n О IN, n > 1 (лема 2.3).

2) У випадку, коли t О K, t² = 0, tp = 0 і tЧRadK № 0, побудовано незвідне K-зображення виду: a En + tS, де n О IN, n > 1, S - cупровідна матриця для полінома xⁿ + u, u О K, u + Annt - нерозкладний елемент кільця K/Annt (лема 2.4).

3) У випадку, коли t, v О K, tЧRadK = 0, t² = 0, t № 0, pv = 0, v² = tq, q О K^*, Rad(K/Annv) = (w + + Annv)Ч(K/Annv), де w О K, w П Annv, побудовано незвідне K-зображення виду:

де n О IN, n > 1.

Показано (леми 2.10 і 2.11), що в лемі 2.9 розв'язано питання скінченності множини степенів всіх незвідних матричних зображень циклічної нетривіальної p-груп G над комутативним нетеровим локальним кільцем K характеристики p^s, що містить ненульовий нільпотентний елемент, у всіх випадках, окрім таких двох:

1) s = 0, RadK = tK, де t О K, t² = 0, t № 0;

2) s > 1, RadK = pK.

Випадок 1) розглядався частково в лемах 2.6, 2.7 та 2.8, випадок 2) - в лемі 2.8. В результаті доведено теореми 2.12 та 2.13.

Теорема 2.12. Нехай G - скiнченна p-група порядку |G| > 1 i K - комутативне нетерове локальне кiльце характеристики p^s (s О IN, s > 1). Якщо RadK № pK або |G| > p, то існують незвiдні матричні K-зображення групи G довільного степеня.

Теорема 2.13. Нехай G - скiнченна p-група порядку |G| > 1 i K - комутативне нетерове локальне кiльце характеристики p, яке мiстить ненульовий нiльпотентний елемент. Якщо tK № RadK для деякого нільпотентного елемента t степеня 2 кільця K або |G| > 3, то існують незвiдні матричні K-зображення групи G довільного степеня.

Для з'ясування необхідної і достатньої умови скінченності множини степенiв всiх незвiдних матричних зображень скiнченної p-групи G порядку |G| > 1 над комутативним нетеровим локальним кiльцем K характеристики p^s (s > 1) залишалось розглянути незвiдні зображення групи G над кiльцем K у випадку, коли |G| = p, RadK = pK. Ці зображення вперше для кільця ZZ p^s описали з точністю до еквівалентності В.С. Дроботенко, Е.С. Дроботенко, З.П. Жилінська, Є.Я. Погоріляк і згодом узагальнив Т. Ханнула.

Для з'ясування необхідної і достатньої умови скінченності множини степенiв всiх незвiдних матричних зображень скiнченної p-групи G порядку |G| > 1 над комутативним нетеровим локальним кiльцем K характеристики p, яке мiстить ненульовий нiльпотентний елемент, залишалось розглянути незвiдні зображення групи G над кiльцем K у випадку, коли |G| = 2, RadK = tK, де t О K, t² = 0, t № 0. Показано, що в цьому випадку незвідні матричні зображення групи G над кiльцем K мають вигляд: a En + tM, де a - твірний елемент групи G, M - квадратна матриця порядку n над кільцем K така, що матриця, одержана з матриці M редукцією за модулем ідеала RadK, незвідна в полі K/RadK.

На основі цих досліджень доведено таку теорему.

Теорема 2.14. Нехай G - скiнченна p-група порядку |G| > 1 i K - комутативне нетерове локальне кiльце характеристики p^s (s О IN), яке мiстить ненульовий нiльпотентний елемент. Множина степенiв всiх незвiдних матричних K-зображень групи G скiнченна тодi i тiльки тодi, коли виконується одна з таких умов:

1) |G| = p, s > 1, RadK = pK, множина степенiв всiх незвiдних полiномiв над полем K/RadK скiнченна;

2) |G| = 2, s = 1, (RadK)² = 0, K - кiльце головних iдеалiв, множина степенiв всiх незвiдних полiномiв над полем K/RadK скiнченна.

Для доведення теореми 2.15 (основного результату розділу) розглянуто зображення циклічної p-групи G = <a> порядку p над комутативним нетеровим локальним кільцем K характеристики p, яке не є цілісним, але не містить ненульових нільпотентних елементів. Показано незвiдність матричних K-зображень групи G довільного парного степеня виду:

де u, v О K, uv = 0, u № 0, v № 0, v²q1, v²q2, …, v²ql - мінімальна система твірних елементів ідеалу v²·RadK кільця K, l О IN, qi О K (i = 1, …, l) і u² q1 № 0.

Теорема 2.15. Нехай G - скiнченна p-група порядку |G| > 1 i K - комутативне нетерове локальне кiльце характеристики p^s (s О IN), яке не є цілісним. Множина степенiв всiх незвiдних матричних K-зображень групи G скiнченна тодi i тiльки тодi, коли виконується одна з таких умов:

1) |G| = p, s > 1, RadK = pK, множина степенiв всiх незвiдних полiномiв над полем K/RadK скiнченна;

2) |G| = 2, s = 1, (RadK)² = 0, K - кiльце головних iдеалiв, множина степенiв всiх незвiдних полiномiв над полем K/RadK скiнченна.

В підрозділі 2.3 "Про степені незвідних зображень скінченної p-групи над цілісним комутативним локальним кільцем характеристики p" показано існування незвiдних матричних зображень як завгодно високого степеня скiнченної p-групи G порядку |G| > 2 над цілісним комутативним нетеровим локальним кiльцем характеристики p, яке не є областю головних ідеалів.

На початку підрозділу доводиться така лема.

Лема 2.16. Нехай G - скiнченна нециклiчна p-група i K - цілісне комутативне нетерове локальне кiльце характеристики p, яке не є областю головних ідеалів. Тодi iснують незвiднi матричнi K-зображення групи G довiльного парного степеня.

При доведенні леми показано, що відображення

де

n О IN, u, v О K, u № vv1, v № uu1 (v1, u1 О K), є незвідним матричним K-зображенням нециклічної абелевої групи G = <a1><a2> порядку p².

Для доведення існування незвідних матричних зображень як завгодно високого степеня циклічної p-групи G = <a> порядку |G| > 2 над цілісним комутативним нетеровим локальним кільцем K характеристики p, яке не є областю головних ідеалів (теорема 2.21), побудовано три серії незвідних K-зображень групи G.

1) У випадку, коли u, v О K, u² № uva + v²b (a, b О K), v² № u²g + uvd (g, d О K), побудовано незвідне K-зображення виду:

де

,

n О IN (лема 2.17).

2) У випадку, коли |G| > 3, u, v О K, u № vv1, v № uu1 (v1, u1 О K), u² = uva + v²b (a, b О K), побудовано незвідне K-зображення виду:

де

n О IN, n > 3 (лема 2.19).

3) У випадку, коли |G| = 3, u, v О K, u № vv1, v № uu1 (v1, u1 О K), u² = uva + v²b (a, b О K), побудовано незвідне K-зображення виду:

,

де

,

n О IN, n > 2 (лема 2.20).

У третьому розділі "Застосування теорії модулярних зображень скінченних p-груп над локальними кільцями до вивчення силовських p-підгруп деяких лінійних груп" вивчаються силовські p-підгрупи повної і спеціальної лінійної групи над комутативним кільцем K характеристики p^s (s О IN). Перша частина підрозділу 3.1 "Про силовські p-підгрупи повної лінійної групи над комутативним локальним кільцем характеристики p^s" присвячена описанню однієї силовської p-підгрупи повної лінійної групи GL(n,K) степеня n над кільцем K.

Лема 3.4. Нехай radK = {0}, n О IN. Група UT(n,K) є силовською p-підгрупою групи GL(n,K).

Тут UT(n,K) - унітрикутна група степеня n над кільцем K, radK - первісний радикал кільця K. Для доведення леми показано, що квадратна матриця A = ||aij|| порядку n над комутативним кільцем K характеристики p^s, яка задовольняє умові det(A+B+AB) = 0 для всякої матриці B, такої, що En + B О UT(n,K), також задовольняє і умовам: 1) det(A+B) = 0 для всякої матриці B, такої, що En + B О UT(n,K) (лема 3.1); 2) an1 = 0 (лема 3.2). Тут через detM ми позначаємо детермінант квадратної матриці M.

Теорема 3.5 встановлює тісний зв'язок між силовськими p-підгрупами групи GL(n,K) і силовськими p-підгрупами групи GL(n,K/radK).

Теорема 3.5. Нехай K - комутативне кiльце характеристики p^s (s О IN), n О IN. j: є гомоморфним відображенням групи GL(n,K) на групу GL(n,K/radK). При цьому відображенні повний прообраз будь-якої силовської p-підгрупи групи GL(n,K/radK) є силовською p-підгрупою групи GL(n,K) і, навпаки, будь-яка силовська p-підгрупа групи GL(n,K) є повним прообразом деякої силовської p-підгрупи групи GL(n,K/radK). Дві силовські p-підгрупи групи GL(n,K) спряжені тоді і тільки тоді, коли їх образи при гомоморфізмі j є спряженими силовськими p-підгрупами групи GL(n,K/radK).

Тут через = ||tij+radK|| ми позначаємо матрицю над фактор-кільцем K/radK кільця K, де T = ||tij|| - деяка матриця над кільцем K. З теореми випливають такі результати:

Наслідок 1. Нехай n О IN. Силовські p-підгрупи групи GL(n,K) попарно спряжені тоді і тільки тоді, коли силовські p-підгрупи групи GL(n,K/radK) попарно спряжені.

Наслідок 2. Нехай n О IN. Якщо K/radK - область головних ідеалів, то силовські p-підгрупи групи GL(n,K) попарно спряжені.

Наслідок 3. Нехай n О IN. Множина H = {X О GL(n,K)| О UT(n,K/radK)} є силовською p-підгрупою групи GL(n,K).

Область цілісності з одиницею називатимемо кільцем Безу, якщо кожен її скінченно породжений ідеал є головним.

Друга частина підрозділу 3.1 присвячена питанню про попарну спряженість силовських p-підгруп повної лінійної групи над комутативним локальним кільцем характеристики p^s. Спочатку доведена така лема.

Лема 3.6. Нехай кільце K локальне, n О IN і n > 1. Якщо K/radK не є кільцем Безу, то існують неспряжені силовські p-підгрупи групи GL(n,K).

При виведенні леми вказано p-елемент A групи GL(n,K) і показано, що силовська p-підгрупа групи GL(n,K), яка містить матрицю A, не є спряженою з групою UT(n,K), де K - комутативне локальне кільце характеристики p, яке не є кільцем Безу і radK = {0}.

1) У випадку, коли кільце K не є цілісним,

,

де u, v О K, uv = 0, u № 0, v № 0.

2) У випадку, коли кільце K є цілісним,

,

де u, v О K, u № vv1, v № uu1 (v1, u1 О K).

Основним результатом розділу є така теорема.

Теорема 3.7. Нехай K - комутативне локальне кiльце характеристики p^s (s О IN), n О IN і n > 1. Силовські p-підгрупи групи GL(n,K) попарно спряжені тоді і тільки тоді, коли K/radK - кільце Безу.

Звідси випливає, що всі, з точністю до спряженості, силовські p-підгрупи повної лінійної групи довільного степеня n над комутативним локальним кільцем K характеристики p^s, фактор-кільце K/radK якого є кільцем Безу, вичерпуються групою H = {X О GL(n,K)| О UT(n,K/radK)} (теорема 3.8).

В підрозділі 3.2 "Про силовські p-підгрупи спеціальної лінійної групи над комутативним локальним кільцем характеристики p^s" показано, що множина H1 = {X О О SL(n,K)| О UT(n,K/radK)} є силовською p-підгрупою спеціальної лінійної групи SL(n,K) степеня n над комутативним кільцем K характеристики p^s (теорема 3.10). А питання про попарну спряженість силовських p-підгруп групи SL(n,K) зводиться до питання про попарну спряженість силовських p-підгруп групи GL(n,K) (теорема 3.13). Звідси випливають такі результати:

Наслідок 1. Нехай n О IN. Якщо K/radK - область головних ідеалів, то силовські p-підгрупи групи SL(n,K) попарно спряжені.

Наслідок 2. Нехай n О IN, n > 1 і кільце K локальне. Силовські p-підгрупи групи SL(n,K) попарно спряжені тоді і тільки тоді, коли K/radK - кільце Безу.

З наслідку 2, очевидно, випливає, що всі, з точністю до спряженості, силовські p-підгрупи спеціальної лінійної групи довільного степеня n над комутативним локальним кільцем K характеристики p^s, фактор-кільце K/radK якого є кільцем Безу, вичерпуються групою H1 = {X О SL(n,K)| О UT(n,K/radK)} (теорема 3.14).

Висновки

множина матричний зображення комутативний

В дисертаційній роботі з'ясовується, коли множина степенів всіх незвідних матричних зображень скінченної p-групи G порядку |G| > 1 над комутативним локальним кільцем характеристики p^s скінченна. Головним результатом є критерій скінченності множини i(K,G) степенів всіх незвідних матричних зображень групи G над нецілісним комутативним нетеровим локальним кільцем K характеристики p^s. Встановлено, що необхідною і достатньою умовою скінченності множини i(K,G) є скінченність множини степенiв всiх незвiдних полiномiв над полем лишків K/RadK кільця K і виконання ще однієї з умов:

1) |G| = p, s > 1, RadK = pK,

2) |G| = 2, s = 1, (RadK)² = 0,

K - кiльце головних iдеалiв. Цей результат є істотним узагальненням розв'язання аналогічних задач для зображень скінченної p-групи над кільцем класів лишків за модулем p^s (s >1) та зображень циклічної групи порядку p над фактор-кільцем R/P^s, де R - дискретно нормоване кільце, в якому p - простий елемент, P - радикал Джекобсона кільця R і s >1, що випливають з результатів П.М. Гудивка, В.С. Дроботенка, О.І. Ліхтмана, Е.С. Дроботенка, З.П. Жилінської, Є.Я. Погоріляк та Т. Ханнули. Також було побудовано незвiдні матричні зображення скiнченної p-групи G порядку |G| > 2 над цілісним комутативним нетеровим локальним кiльцем характеристики p, яке не є областю головних ідеалів, як завгодно високого степеня.

Крім того, розроблені методи застосовано до з'ясування необхідної і достатньої умови попарної спряженості силовських p-підгруп повної (спеціальної) лінійної групи степеня n над комутативним локальним кільцем K характеристики p^s, яке розвинуло результати П.М. Гудивка, Є. Я. Погоріляк та В.П. Рудька про силовські p-підгрупи повної лінійної групи над областями цілісності характеристики p. Встановлено, що згаданою умовою при n > 1 є умова, що фактор-кільце кільця K за первісним радикалом є кільцем Безу. Також була описана єдина, з точністю до спряженості, силовська p-підгрупа повної (спеціальної) лінійної групи над кільцем K, фактор-кільце якого за первісним радикалом є кільцем Безу.

Публікації автора за темою дисертації

1. Гудивок П.М., Тилищак О.А. Про незвідні модулярні зображення скінченних p-груп над комутативними локальними кільцями // Наук. вісник Ужгород. ун-ту. Сер. матем. - 1998. - Вип. 3. - С. 78-83.

2. Тилищак О.А. Про незвідні зображення скінченних p-груп над деякими локальними кільцями характеристики p // Наук. вісник Ужгород. ун-ту. Сер. матем. - 1999. - Вип. 4. - С. 104-110.

3. Тилищак О.А. Про силовські p-підгрупи повної лінійної групи над комутативним локальним кільцем характеристики p^s // Наук. вісник Ужгород. ун-ту. Сер. матем. і інформ. - 2000. - Вип 5. - С. 95-102.

4. Тилищак О.А. Про силовські p-підгрупи спеціальної лінійної групи над комутативним кільцем характеристики p^s // Наук. вісник Ужгород. ун-ту. Сер. матем. і інформ. - 2001. - Вип 6. -С. 140-142.

5. Гудивок П. M., Тилищак О. A. Про незвідні модулярні зображення скінченних p-груп над деякими кільцями // Матеріали міжнар. наук. конф. "Сучасні проблеми механіки і математики". - Львів. - 1998. - С. 222-223.

6. Тилищак О.А. Про силовські p-підгрупи повної лінійної групи над комутативним локальним кільцем характеристики p^s // Матеріали VIII міжнар. наук. конф. ім. акад. М. Кравчука. - К. - 2000. - С. 370.

7. Тилищак О.А. Про незвідні модулярні зображення скінченних p-груп над локальними кільцями і їх застосування // Міжнар. алгебр. конф. в рамках Укр. мат. конгресу, присвяченого пам'яті М.В. Остроградського. Тези доп. - Ужгород. - 2001. - С. 51.

Размещено на Allbest.ru

...