Асимптотичнi розв’язки сингулярно збурених диференцiальних рiвнянь з iмпульсною дiєю

Размещено на http://www.allbest.ru/

КИЇВСЬКИЙ НАЦIОНАЛЬНИЙ УНIВЕРСИТЕТ IМЕНI ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

АВТОРЕФЕРАТ

дисертацiї на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук

АСИМПТОТИЧНI РОЗВ'ЯЗКИ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З IМПУЛЬСНОЮ ДIЄЮ

Спеціальність: Диференцiальнi рiвняння

Каплун Юлiя Iванiвна

Київ, 2002 рік

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальнiсть теми. Одним з ефективних методiв дослiдження нелiнiйних диференцiальних рiвнянь є асимптотичнi методи. Iдея знаходження розв'язку диференцiального рiвняння, що регулярним чином залежить вiд малого параметра, у виглядi асимптотичного ряду була запропонована в XVIII столiттi Лагранжем Ж. i широко використовувалась при дослiдженнi задач небесної механiки. Проте математичне обґрунтування асимптотичного методу, яким користувався Лагранж Ж., вперше дав Пуанкаре А. лише наприкiнцi XIX столiття.

Згодом теорiя асимптотичних методiв розвивалась в працях Фур'є Ж., Лiувiлля Ж., Штурма Ж., Лiндштедта А., Ван-дер-Поля Б., Стєклова В.А., Мандельштама Л.I., Папалек-сi М.Д., Андронова О.О., Вiтта О.А., Найфе А. та багатьох iнш. Значний вклад в розвиток теорiї асимптотичних методiв внесли Крилов М.М. та Боголюбов М.М., якi запропонували новi методи побудови асимптотичних розв'язкiв.

Разом з тим при дослiдженнi рiзноманiтних фiзичних явищ та процесiв виникає потреба вивчення диференцiальних рiвнянь, що сингулярним чином залежать вiд малого параметра. Однiєю з перших робiт з теорiї сингулярно збурених систем була стаття Тихонова А.М. "О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра", в якiй було доведено неперервну залежнiсть вiд малого параметра розв'язку системи диференцiальних рiвнянь, що мiстить сингулярно збурене рiвняння.

Згодом, розвиваючи iдеї Тихонова А.М., його послiдовники Васильєва А.Б. та Бутузов В.Ф. побудували асимптотичний розв'язок системи Тихонова, довели єдинiсть розв'язку та дослiдили порядок апроксимацiї. В основу їх дослiджень було покладено iдею методу примежових функцiй Прандтля Л. з алгоритму побудови багатомасштабних асимптотичних розкладiв. Метод примежових функцiй був використаний також для побудови розв'язкiв крайових задач, дослiдження явища контрастних структур та розв'язання задачi про iснування перiодичних розв'язкiв для сингулярно збурених диференцiальних рiвнянь.

В подальшому завдяки працям Вазова В., Ван Дайка М.Д., Ердеї А., Дороднiцина А.О., Мiщенка Є.Ф., Розова М.Х., Ломова С.О., Маслова В.П., Доброхотова С.Ю., Омельянова Г.О. та iнших теорiя сингулярно збурених диференцiальних рiвнянь iнтенсивно розвивалась як в теоретичних, так i в прикладних аспектах. Зокрема, її результати широко використовувались в теорiї релаксацiйних коливань. Мiщенко Є.Ф., Розов М.Х., Колєсов Ю.С., Колєсов А.Ю. розвинули методи дослiдження сингулярно збурених систем, що описують релаксацiйнi коливання в бiологiї та медицинi.

Дещо iншi задачi для сингулярно збурених диференцiальних рiвнянь дослiджували Фещенко С.Ф., Шкiль М.I., Сотниченко М.А., Старун I.I., Яковець В.П., Бобочко В.М., Черевко I.М. та iнш. Сингулярно збуренi диференцiальнi рiвняння вивчались також в банахових просторах, в зв'язку з чим слiд згадати працi Крейна С.Г., Жукової Г.С., Чернишова К.I., Зубової С.П., Турбiна А.Ф. та iнш.

Якщо сингулярно збуренi диференцiальнi рiвняння дозволяють описати процеси, яким властивi явища релаксацiйного характеру (швидка змiна фiзичних величин за порiвняно короткий промiжок часу), то за допомогою iншої iдеалiзацiї, - так званих систем з iмпульсною дiєю, описуються фiзичнi явища та процеси, яким властива миттєва змiна деяких характеристик. В зв'язку з цим слiд згадати працi Андронова О.О. та його учнiв, якi вивчали так званi релейнi системи, для опису яких використовувались диференцiальнi рiвняння з розривною правою частиною.

В 60-их роках XX-го столiття Мiльман В.Д., Мишкiс А.Д., Самойленко А.М. запропонували новий пiдхiд до дослiдження задач теорiї диференцiальних рiвнянь з iмпульсною дiєю, що дало потужний поштовх для розвитку iмпульсних систем. До теперiшнього часу дослiджено широке коло питань теорiї iмпульсних систем. Зокрема, в працях Барбашина Є.О., Самойленка А.М., Перестюка М.О., Гургули С.I., Чернiкової О.С. дослiджувались задачi теорiї стiйкостi для iмпульсних систем, Самойленка А.М., Трофимчука С.I. вивчалось явище "биття", в статтях Самойленка А.М., Перестюка М.О., Ахметова М.У., Роговченка Ю.В., Самойленка В.Г., Слюсарчука В.Ю., Собчука В.В., Трофимчука С.I. дослiджувались перiодичнi та майже перiодичнi розв'язки нелiнiйних iмпульсних систем. Ткаченко В.I., Трофимчук С.I. розглядали задачi про iснування тороїдальних многовидiв для систем диференцiальних рiвнянь з iмпульсною дiєю та вивчали лiнiйнi розширення динамiчних систем при умовi iмпульсної дiї. Крайовi задачi для рiвнянь з iмпульсною дiєю та питання застосування чисельно-аналiтичного методу для дослiдження iмпульсних систем вивчались в працях Самойленка А.М., Перестюка М.О., Мартинюка Д.I., Бойчука О.А., Ронто М.Й., Ронто А.М., Трофимчук О.П., Лiсовської В.П. та iнш.

Теорiя асимптотичних методiв для диференцiальних рiвнянь з iмпульсною дiєю бере свiй початок з класичної працi Боголюбова М.М., в якiй вiн в 1937 роцi за допомогою методу усереднення дослiдив математичну модель ударного механiзму годинника. Згодом теорiя асимптотичних методiв розвивалась в працях Митропольського Ю.О., Самойленка А.М., Перестюка М.О., Стрижак Т.Г., Каркiнбаєва I.К., Роговченко С.П., Єлгондиєва К.К., Самойленка В.Г. та iнш.

Значний вклад в розвиток iмпульсних систем зроблено також iноземними вченими, зокрема, Векслером Д., Халанаєм А., Швабiком Ш., Байновим Д., Сiмеоновим П.С., Христовою С., Кiране М., Нiєто Дж. Так, Байнов Д., Дишлiєв А. вивчали явище "биття" для iмпульсних функцiонально-диференцiальних рiвнянь, Байнов Д., Дiмiтрова М.Б., Дишлiєв А.В. дослiджували властивостi диференцiальних рiвнянь з iмпульсною дiєю та запiзненням. Крiм того, цими авторами було розглянуто ряд задач з iмпульсною дiєю та малим параметром. Побудовою асимптотичних розв'язкiв багатоточкових задач для лiнiйних сингулярно збурених диференцiальних рiвнянь займались Каранджулов Л.I. i Бойчук О.А. При розробцi алгоритма для побудови асимптотичних розв'язкiв задач природньо дослiдити породжуючу задачу, що виникає з цих задач при 0, тобто задачу про розривнi розв'язки рiвняння вигляду:

В свою чергу для дослiдження цiєї задачi потрiбно попередньо розглянути задачу про глобальнi розв'язки спiввiдношення, що неявним чином визначає функцiю, тобто рiвняння. Останнi двi задачi носять допомiжний характер при розробцi алгоритма для знаходження асимптотичних розв'язкiв сингулярно збурених диференцiальних рiвнянь з iмпульсною дiєю.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертацiя виконана в рамках тем НДР 97-050 "Побудова та теоретичне обґрунтування ефективних методiв розв'язання лiнiйних та нелiнiйних крайових задач для рiвнянь в частинних похiдних" (номер держреєстрацiї 0198U002031) та НДР 01 БФ 038-04 "Розвиток пiдходiв та методiв некласич-ної механiки та теорiї керування стосовно проблем бiологiї та медицини" (роздiл "Розробка аналiтичних методiв дослiдження нелiнiйних диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними") (номер держреєстрацiї 0201U007891).

Особистий внесок дисертанта в рамках даної теми полягає в проведеннi дослiджень та побудовi асимптотичних розв'язкiв сингулярно збурених диференцiальних рiвнянь, вивченнi розривних розв'язкiв рiвняння, що задає функцiю в неявному виглядi, розробцi алгоритма визначення максимального iнтервала iснування розв'язкiв рiвняння, що задає функцiю неявним чином.

Мета i задачi дослiдження.

Метою дослiдження даної роботи є розробка алгоритма для побудови асимптотичних розв'язкiв сингулярно збурених диференцiальних рiвняь з iмпульсною дiєю та встановлення порядку асимптотики.

Об'єктом дослiдження є сингулярно збуренi диференцiальнi рiвняння з iмпульсною дiєю у фiксованi моменти часу, диференцiальнi рiвняння, права частина яких невизначена на деякiй множинi, рiвняння, що задають функцiю в неявному виглядi.

Предметом дослiдження є вивчення асимптотичних розв'язкiв сингулярно збурених диференцiальних рiвнянь з iмпульсною дiєю, питання iснування, перiодичностi розв'язкiв як породжуючих, так i вихiдних задач.

Методи дослiдження. В данiй дисертацiйнiй роботi використано асимптотичнi методи, метод примежових функцiй, методи якiсної теорiї звичайних диференцiальних рiвнянь.

Наукова новизна одержаних результатiв. Основними результатами, що виносяться на захист, є:

- алгоритм побудови асимптотичних розв'язкiв сингулярно збурених диференцiальних рiвнянь з iмпульсною дією;

- теореми про оцiнку рiзницi мiж точним та наближеними розв'язками, встановлення достатнiх умов iснування перiодичних асимптотичних розв'язкiв для сингулярно збурених диференцiальних рiвнянь з iмпульсною дією;

- необхiднi i достатнi умови iснування розривних розв'язкiв рiвнянь, що не розв'язанi стосовно невiдомої функції;

- умови iснування глобальних розв'язкiв рiвняння g = 0 та алгоритм визначення максимального iнтервала для розв'язкiв такого рiвняння.

Практичне значення отриманих результатiв. Результати дисертацiї мають теоретичний характер. Водночас вони можуть бути використанi при дослiдженнi ряду фiзичних та хiмiчних процесiв.

Особистий внесок здобувача. Всi основнi результати дисертацiї отриманi здобувачем особисто. Науковому керiвнику доктору фiз.-мат. наук, професору Самойленку В.Г. належить постановка задач та обговорення можливих шляхiв розв'язування i результатiв дисертацiї.

Апробацiя результатiв дисертацiї. Результати дисертацiйної роботи доповiдались на семiнарi з якiсної теорiї диференцiальних рiвнянь механiко-математичного факультету Московського державного унiверситету iменi М.В. Ломоносова, спiльному семiнарi кафедри математичної фiзики i кафедри диференцiальних та iнтегральних рiвнянь механiко-математичного факультету Київського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка, а також на Мiжнародних конференцiях: VIII Мiжнароднiй конференцiї iменi академiка М.Кравчука (травень 2000 р., Київ), Мiжнароднiй конференцiї "Диференцiальнi та iнтегральнi рiвняння" (вересень 2000 р., Одеса), П'ятiй Кримськiй мiжнароднiй математичнiй школi "Метод функцiй Ляпунова та його застосування" (вересень 2000 р., Сiмферополь), Мiжнароднiй конференцiї, присвяченiй 100-рiччю вiд дня народження Лаврентьєва М.О. (жовтень - листопад 2000 р., Київ), Мiжнароднiй конференцiї "Dynamical Systems and Ergodic Theory" (серпень 2000 р., Кацiвелi), Мiжнароднiй конференцiї "Differental equations and related topics" (травень 2001 р., Москва), Мiжнароднiй конференцiї "Dynamical systems modelling and stability investigation" (травень 2001 р., Київ), Мiжнародному симпозиумi "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики" (травень-червень 2001 р., Херсон), Українському математичному конгресi (серпень 2001 р., Київ), Мiжнароднiй конференцiї "Диференцiальнi рiвняння i нелiнiйнi коливання" (серпень 2001 р., Чернiвцi).

Структура та об'єм дисертацiї. Дисертацiйна робота складається зi вступу, чотирьох роздiлiв з 12 параграфiв, списку використаних джерел (181 найменування). Загальний обсяг дисертацiї становить 141 стор., основний змiст викладено на 119 стор.

Автор висловлює щиpу подяку своєму науковому керiвнику професору Самойленку Валерiю Григоровичу за постановку розглянутих в дисертацiйнiй роботi задач та постiйну увагу до роботи.

2. ОСНОВНИЙ ЗМIСТ РОБОТИ

У вступi проаналiзовано сучасний стан дослiджень з теорiї сингулярно збурених диференцiальних рiвнянь з iмпульсною дiєю. Обґрунтовано актуальнiсть розглянутих в дисертацiйнiй роботi задач, вказано наукову новизну та практичне значення роботи. Зазначено особистий внесок здобувача, апробацiю роботи та публiкацiї автора.

В першому роздiлi дисертацiї зроблено огляд наукових праць за тематикою дисертацiйної роботи.

В другому роздiлi розглянуто задачу про iснування глобальних розв'язкiв рiвняння, що задає функцiю неявним чином, доведено глобальну теорему про неявну функцiю та дано алгоритм визначення максимального iнтервалу iснування розв'язкiв вiдповiдних рiвнянь. Дано також застосування отриманих результатiв. Зокрема, за допомогою глобальної теореми про неявну функцiю дослiджено питання про продовжуванiсть розв'язкiв диференцiальних рiвнянь на множину, де права частина таких рiвнянь невизначена.

В п. 2.1.1 розглянуто питання про iснування глобальних розв'язкiв рiвняння. Нехай X - вiдкритi лiнiйно-зв'язнi непоpожнi множини з R1, множина D = X - їх декартiв добуток, на якому визначена деяка неперервна функцiя g = g(t,x). При цьому вважається, що функцiя g(t,x) майже скрiзь (за мiрою Лебега) в областi D має неперервнi похiднi пеpшого поpядку стосовно t i x.

Означення 2.1.1 Критичною точкою рiвняння (4) називається точка ?L, будь-який пpоколотий окiл якої мiстить точки з множини L i, або не iснує околу U((t0, x0)) такого, що функцiя g(t,x) неперервно диференцiйовна в кожнiй точцi з U((t0, x0)), або функцiя g(t,x) неперервно диференцiйовна в деякому околi точки (t0, x0), але g'x.

Означення 2.1.2 Непеpеpвна функцiя x = (t), визначена на деякому iнтеpвалi, називається pозв'язком piвняння, якщо виконуються умови:

1. пpи кожному t? точка (t,x(t)) належить областi визначення функцiї g(t,x);

2. для всiх t? спpаведлива рiвнiсть x(t) = 0;

3. множина x(t) не мiстить кpитичних точок.

Якщо (t0, x0) - iзольована точка множини L, то (t0, x0) називається iзольованим pозв'язком piвняння.

В подальшому вважається, що множина критичних точок рiвняння (4) №складається з iзольованих точок i не мiстить точок згущення. Тодi множину можна подати таким чином:, де множини iндексiв B, Bk - деякi (скiнченнi або нескiнченнi) пiдмножини з множини цiлих чисел Z. Точки i?Bk, k?B вважаються впоpядкованими за iндексами. Надалi вважається, що X = R1. Розглянемо множини:

Теорема Лема. Нехай x = x(t) - pозв'язок piвняння, визначений на множинi, де значення є скiнченним. Тодi виконуються такi властивостi:

1. якщо iснує, точка не є кpитичною для piвняння i, то функцiя x(t) визначена в точцi i в данiй точцi функцiя x(t) є непеpеpвно диференційованою;

2. якщо iснує, то точка є кpитичною для piвняння, а функцiя x(t) має веpтикальну асимптоту.

Означення. Розв'язок x = x(t) piвняння визначено на максимальному iнтеpвалi:

Викоpистовуючи теоpеми Лема, можна сфоpмулювати такий алгоpитм визначення максимального iнтеpвала для pозв'язку piвняння: якщо точка (t0, x0) задовольняє умови теоpеми, то згiдно цiєї теоpеми iснує єдиний pозв'язок x = x(t) piвняння, визначений на деякому iнтеpвалi, де, такий, що x(t0) = x0. Отже, розв'язок рiвняння не бiльш, нiж за злiченну кiлькiсть кpокiв, може бути продовжено на iнтеpвал. Аналогiчно розв'язок x(t) може бути продовжено на iнтервал. Таким чином, не бiльш, нiж за злiченну кiлькiсть крокiв, можна визначити максимальний iнтервал iснування розв'язку x(t).

Також розглянуто задачу про iснування та продовжуванiсть розв'язку рiвняння для випадку, коли D - довiльна область з R2.

Кусково неперервна функцiя називається розв'язком задачi якщо:

Така, що:

В четвертому роздiлi мiстяться основнi результати дисертацiї. Тут вивчаються сингулярно збуренi диференцiальнi рiвняння з умовою iмпульсної дiї, коли малий параметр входить в умову iмпульсної дiї та коли умова iмпульсної дiї не залежить вiд параметра. За допомогою методу примежових функцiй розвинуто алгоритм побудови асимптотичних розв'язкiв таких задач та дослiджено їх перiодичнiсть.

ВИСНОВКИ

У дисертацiї дано вирiшення задачi про побудову асимптотичних розв'язкiв сингулярно збурених диференцiальних рiвнянь з умовами iмпульсної дiї у фiксованi моменти часу.

На основi методу примежових функцiй розроблено алгоритм побудови асимптотичних розв'язкiв диференцiальних рiвнянь з малим параметром при старшiй похiднiй для випадку, коли умова iмпульсної дiї мiстить малий параметр, та для випадку, коли умова iмпульсної дiї не залежить вiд малого параметра. Доведено аналог теореми А.Б. Васильєвої, що вказує на порядок, з яким асимптотичний розв'язок задовольняє вихiдну задачу. Знайдено достатнi умови iснування перiодичного асимптотичного розв'язку.

Вивчено породжуючу задачу для сингулярно збуреного рiвняння з умовою iмпульсної дiї, яка мiстить рiвняння, що задає функцiю неявним чином, та умову iмпульсної дiї. Знайдено необхiднi та достатнi умови iснування розривних розв'язкiв рiвняння, що не розв'язане стосовно невiдомої функцiї. Встановлено умови перiодичностi таких розв'язкiв.

Для сингулярно збуреного рiвняння з iмпульсною дiєю, що залежить вiд малого параметра проаналiзовано породжуючу задачу, яка для цього випадку має вигляд рiвняння, шо задає функцiю неявним чином. Встановлено умови iснування глобального розв'язку та запропоновано алгоритм визначення максимального iнтервала. Доведено глобальну теорему про неявну функцiю. диференцiальний рiвняння алгоритм

Дано застосування глобальної теореми про неявну функцiю для розв'язання задачi про продовжуванiсть розв'язкiв звичайного диференцiального рiвняння першого порядку на i через сингулярну множину, тобто множину, де права частина розглядуваного рiвняння не визначена.

СПИСОК ОПУБЛIКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦIЇ

1. Каплун Ю.I. Асимптотичнi розв'язки сингулярно збурених диференцiальних рiвнянь з iмпульсною дiєю: Працi Iн-ту математики // Математика та її застосування. - 2001. - Т. 36. Груповi та аналiтичнi методи в математичнй фiзицi. - С. 111-115.

2. Самойленко В.Г., Каплун Ю.И. О глобальных решениях функциональных уравнений // Дифференц. уравнения. - 2000. - Т. 36, №11. - C. 15-78.

3. Самойленко В.Г., Каплун Ю.I. Рiвняння g(t,x) = 0: iснування та продовжуванiсть його розв'язкiв // Укр. мат. журн. - 2001. - Т. 52, №3. - C. 372-382.

4. Самойленко В.Г., Каплун Ю.І., Павлоцький І.П., Стріанезе М.О продолжимости решений дифференциальных уравнений на сингулярное множество // Труды института прикладной математики и механики НАН Украины. - Том 6. - Донецк. - 2001. - С. 125-127.

5. Kaplun Yu.I., Samoylenko V.Hr., Pavlotsky I.P., Strianese M. Global implicit function theorem and it's application in the theory of ordinary differential equations // Доповiдi НАН України. - 2001. - №6. - P. 38-41.

6. Kaplun Yu.I. Singularly perturbed equations with impulsive effects / Abstracts of International conference "Dynamical systems modelling and stability investigation. - Kyiv. - 2001. - P. 119.

7. Kaplun Yu.I., Samoylenko V.Hr. On prolongation of the solution to the non-autonomous differential equations on the singular set // Book of abstracts of Internatinal conference "Differential Equations and Related Topics" dedicated to the 100th Anniversary of I.G. Petrovskii. - Moscow (Russia). - 2001. - P. 181.

Размещено на Allbest.ru