Елементи абстрактної алгебри
Визначення виду формули за допомогою таблиці істинності. Основні елементи абстрактної алгебри. Фіктивні, значимі змінні для функцій. Розгляд таблиці Келі в дискретній математиці. Множини з алгебраїчними операціями. Рівняння групи з оберненими елементами.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 30.06.2014 |
| Размер файла | 328,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Міністерство освіти і науки України
Національний технічний університет «Київський політехнічний інститут»
Контрольна робота №2
з математики
Дискретна математика
Виконав:
Студент гр. ЗПІ-31
Гречин В.Ю.
Викладач:
к.т.н. Дорогий Я.Ю.
Київ 2014
1. Завдання №1
На множині задати операцію _ так, щоб алгебра , де , була б моноїдом.
Рішення:
Для того щоб була моноїдом повинні виконуватись умови:
і т.д. - асоціативності
Наявності одиниці - , де - одиниця
Операцію _ на множині Т задамо таблицею Келі.
Нехай - одиниця.
|
_ |
||||
Тоді перша строчка та перший стовпець повторюють порядок елементів множини Т.
Перевіремо:
, ,
Задамо для ,так щоб жоден з окрім не був одиницею.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Для , окрім результат операції не повинен дорівнювати або т.я. одиниця має бути тільки одна.
|
_ |
||||
Таким чином отримано таблицю Келі для алгебри , яка є моноїдом. Зауваження: отриманий моноїд є також групою, т.я. всі елементи мають обернені.
2. Завдання №2
Довести рівність за допомогою таблиць істинності:
Рішення: Таблиця істинності для лівої частини
|
a |
b |
c |
d |
b-c |
|||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
Таблиця для правої частини рівності
|
a |
b |
c |
d |
||||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
Ліва і права частини рівні. Рівність доведено.
3. Завдання №3
Довести, що висловлювання є тавтологією.
Доведення:
Побудуємо таблицю істинності висловлювання
|
0 |
F |
F |
F |
T |
F |
T |
T |
|
|
1 |
F |
F |
T |
T |
T |
T |
T |
|
|
2 |
F |
T |
F |
F |
T |
T |
T |
|
|
3 |
F |
T |
T |
F |
T |
T |
T |
|
|
4 |
T |
F |
F |
T |
F |
F |
T |
|
|
5 |
T |
F |
T |
T |
T |
T |
T |
|
|
6 |
T |
T |
F |
T |
F |
F |
T |
|
|
7 |
T |
T |
T |
T |
T |
T |
T |
Отже висловлювання є тавтологією, т.я. на всіх інтерпретаціях значення «Істина» («T» - True).
4. Завдання №4
Записати таблицю істинності: . Знайти ДНФ, КНФ, ДДНФ, ДКНФ.
Рішення:
, тобто
Таблиця істинності має наступний вигляд
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
3 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
4 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
5 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
6 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
7 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
8 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
9 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
10 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
11 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
12 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
13 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
14 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
15 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
Побудуємо ДДНФ та ДКНФ функції :
|
Констітуенти 1 |
Констітуенти 0 |
|||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|||
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|||
|
2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|||
|
3 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|||
|
4 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|||
|
5 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|||
|
6 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|||
|
7 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|||
|
8 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|||
|
9 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|||
|
10 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|||
|
11 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|||
|
12 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|||
|
13 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|||
|
14 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|||
|
15 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
ДДНФ:
ДКНФ:
ДНФ отримаємо з ДДНФ склеюванням 2-х елементарних кон'юнкцій:
КНФ отримаємо з ДКНФ склеюванням 1-ї та 2-ї, 3-ї та 4-ї, 10-ї та 11-ї скобок:
5. Завдання №5
По і , що задані векторно побудувати функцію h:
,
Рішення: Запишемо таблицю істинності функцій , та операції :
|
f |
g |
||||
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
Запишемо таблицю істинності для
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
|
2 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
3 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
4 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
5 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
6 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
7 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
6. Завдання №6
Побудувати ДДНФ та ДКНФ для функції з завдання №5.
Рішення:
|
Констітуенти 1 |
Констітуенти 0 |
||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|||
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|||
|
2 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|||
|
3 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|||
|
4 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|||
|
5 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|||
|
6 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|||
|
7 |
1 |
1 |
1 |
0 |
ДДНФ:
ДКНФ:
7. Завдання №7
Визначити фіктивні та значимі змінні для функцій з завдань 3, 5:
,
Рішення:
Для функції , яка є тавтологією
|
f |
|||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
2 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
3 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
|
4 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
5 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
6 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
|
7 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Всі змінні фіктивні т.я. на всіх наборах даних вона приймає лише одне значення f = 1.
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
2 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
3 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
4 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
5 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
6 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
|
7 |
1 |
1 |
1 |
0 |
Для функції h:
Зміннa є фіктивна тому що:
f(0,0,0) = f(1,0,0) = 1 ()
f(0,0,1) = f(1,0,1) = 0 ()
f(0,1,0) = f(1,1,0) = 1 ()
f(0,1,1) = f(1,1,1) = 0 ()
Змінна значима тому що:
f(0,0,0) = f(0,1,0) = 1 ()
f(1,0,0) = f(1,1,0) = 1 ()
f(0,0,1) = f(0,1,1) = 0 ()
f(1,0,1) = 1 ? f(1,1,1) = 0 ()
Змінна значима тому що:
алгебра абстрактний келі дискретний
f(0,0,0) = 1 ? f(0,0,1) = 0 ()
f(0,1,0) = 1 ? f(0,1,1) = 0 ()
f(1,0,0) = f(1,0,1) = 1 ()
f(1,1,0) = 1 ? f(1,1,1) = 0 ()
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Функціональна повнота системи функцій алгебри логіки. Клас самодвоїстих функцій і його замкненість. Леми теореми Поста. Реалізація алгоритму В середовищі програмування С#, який визначає чи є система функцій алгебри логіки функціонально повна, вид повноти.
курсовая работа [388,6 K], добавлен 17.05.2011Виключення третього як фундаментальний принцип логіки, істинність і хибність як логічні значення пропозиції. Таблиці істинності, поняття тавтології і еквівалентності. Властивості функцій множин і запереченням гіпотези Гольдбаха в термінах квантифікаторів.
реферат [82,7 K], добавлен 03.03.2011Характеристика алгебри логіки. Система числення як спосіб подання довільного числа за допомогою алфавіту символів, які називають цифрами. Представлення чисел зі знаком: прямий, обернений і доповняльний код. Аналіз булевої функції та методів Квайна, Вейча.
курсовая работа [2,6 M], добавлен 05.09.2011Поняття сукупності предметів, об'єднаних за певною характеристичною ознакою. Основні загальноприйняті множини (геометрична фігура, ГМТ, область визначення та значень функції). Позначення множин, їх елементи, належність об'єктів та способи задання.
презентация [517,1 K], добавлен 19.01.2011Зразки вирішення задач по дискретній математиці. Обчислювання череди функцій універсальних множин методами дискретної математиці. Визначення ймовірності послідовного вибору з колоди певних карт. Використання відомих алгоритмів для обчислення шляхів графа.
контрольная работа [42,1 K], добавлен 22.10.2009Аксіоматика і основні метричні формули псевдоевклідової площини. Канонічні рівняння кривих другого порядку (параболи, еліпса, гіперболи). Елементи загальної теорії кривих другого порядку псевдоевклідової площини. Перетворення координат рівняння.
презентация [787,6 K], добавлен 17.01.2015Побудова математичної логіки як алгебри висловлень і алгебри предикатів. Основні поняття логіки висловлювань та їх закони і нормальні форми. Основні поняття логіки предикатів і її закони, випереджена нормальна форма. Процедури доведення законів.
курсовая работа [136,5 K], добавлен 27.06.2008Алгоритми переведення чисел з однієї позиційної системи числення в іншу. Перетворення і передавання інформації. Булеві функції змінних, їх мінімізація. Реалізація функцій алгебри логіки на дешифраторах. Синтез комбінаційних схем на базі мультиплексорів.
курсовая работа [3,2 M], добавлен 02.09.2011Узагальнення учбового матеріалу шкільного курсу алгебри в розділі "Рівняння та нерівності"; розробка пропозицій щодо використання програмно-графічного комплексу Microsoft Mathematics 4.0 для впровадження інтегрованих інноваційних методологій викладання.
дипломная работа [2,2 M], добавлен 16.06.2013Вектори як направлені відрізки, що мають довжину, напрям і положення в таких просторах і розглядаються як вектори-стовпці. Характеристика головних операцій над векторами, їх базис та норми. Дії над матрицями та їх власні значення, принципи нормування.
презентация [50,1 K], добавлен 06.02.2014Розгляд основних відмінностей геометричних систем, побудованих за ідеями Келі. Аналіз геометрії Келі-Клейна поза круговим абсолютом II. Особливості диференціальних метричних форм геометрії Рімана. Характеристика геометричних систем з афінною групою.
дипломная работа [660,6 K], добавлен 09.09.2012Визначення метричного простору. Границя функції у точці. Властивості границь дійсних функцій. Властивості компактних множин. Розв’язок системи лiнiйних рівнянь. Теорема про існування i єдність розв’язку диференціального рівняння. Нумерація формул.
методичка [461,1 K], добавлен 25.04.2014Розв’язання систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гауса. Еквівалентні перетворення системи, їх виконання як елемент методів розв’язування системи рівнянь. Базисні та вільні змінні. Лінійна та фундаментальна комбінації розв’язків, таблиці коефіцієнтів.
контрольная работа [170,2 K], добавлен 16.05.2010Вивчення рівняння з однією невідомою довільного степеня та способів знаходження коренів таких рівнянь. Доведення основної теореми алгебри. Огляд способу Ньютона встановлення меж дійсних коренів алгебраїчних рівнянь. Відокремлення коренів методом Штурма.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 06.10.2012Визначення гіпергеометричного ряду. Диференціальне рівняння для виродженої гіпергеометричної функції. Вироджена гіпергеометрична функція другого роду. Подання різних функцій через вироджені гіпергеометричні функції. Властивості гіпергеометричної функції.
курсовая работа [462,3 K], добавлен 26.01.2011Знаходження коефіцієнтів для рівнянь нелінійного виду та аналіз рівняння регресії. Визначення параметрів емпіричної формули. Метод найменших квадратів. Параболічна інтерполяція, метод Лагранжа. Лінійна кореляція між випадковими фізичними величинами.
курсовая работа [211,5 K], добавлен 25.04.2014Вивчення теорії наближених обчислень і чисельних методів лінійної алгебри. Опис прямих і ітераційних методів вирішення систем лінійних рівнянь, алгоритмізація і точність наближених обчислень функції. Чисельна інтеграція звичайних диференціальних рівнянь.
лекция [103,6 K], добавлен 06.02.2014Основні принципи і елементи комбінаторики. Теорія ймовірностей: закономірності масових випадкових подій, дослідження і узагальнення статистичних даних, здійснення математичного і статистичного аналізу. Постановка і вирішення задач економічного характеру.
курс лекций [5,5 M], добавлен 21.11.2010Вивчення існування періодичних рішень диференціальних систем і рівнянь за допомогою властивостей симетричності (парність, непарність). Основні теорії вектор-функцій, що відбивають. Побудова множини систем, парна частина загального рішення яких постійна.
курсовая работа [87,8 K], добавлен 20.01.2011Методи скінченних різниць або методи сіток як чисельні методи розв'язку інтегро-диференціальних рівнянь алгебри диференціального та інтегрального числення. порядок розв’язання задачі Діріхле для рівняння Лапласа методом сіток у прямокутної області.
курсовая работа [236,5 K], добавлен 11.06.2015
