Асимптотика розв'язків еволюційних рівнянь у банаховому просторі

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет імені Івана Франка

УДК 517. 947

АСИМПТОТИКА РОЗВ'ЯЗКІВ ЕВОЛЮЦІЙНИХ

РІВНЯНЬ У БАНАХОВОМУ ПРОСТОРІ

01.01.01 - математичний аналіз

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Баб'як-Білецька Любов Степанівна

ЛЬВІВ - 2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі математичного та функціонального аналізу Львівського національного університету імені Івана Франка Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник - кандидат фізико-математичних наук, доцент Горбачук Омелян Львович, Львівський національний університет імені Івана Франка, доцент кафедри алгебри і логіки.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Лопушанський Олег Васильович, Інститут прикладних проблем механіки і математики імені Я.С.Підстригача НАН України, завідувач відділу функціонального аналізу;

доктор фізико-математичних наук, доцент Черемних Євген Васильович, Національний університет “Львівська політехніка”, доцент кафедри вищої математики.

Провідна установа - Інститут математики НАН України, відділ функціонального аналізу, Київ.

Захист відбудеться 20 листопала 2003 р. о 15.20 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради К 35.051.07 у Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою: 79000, м. Львів, вул. Університетська, 1, ауд. 377.

З дисертацією можна ознайомитись у Науковій бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка за адресою: м. Львів, вул. Драгоманова, 5.

Автореферат розісланий 18 жовтня 2003 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Бокало М.М.

АНОТАЦІЯ

Баб'як-Білецька Л.С. Асимптотика розв'язків еволюційних рівнянь у банаховому просторі. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. - Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2003.

Дисертацію присвячено дослідженню асимптотики розв'язків неоднорідного еволюційного рівняння у банаховому просторі. Встановлено умови існування і вигляд зображення розв'язку асимптотичної задачі для еволюційного рівняння з неоднорідною частиною у вигляді многочлена. Знайдено умови розв'язності обернених задач для рівняння з неоднорідними частинами у вигляді многочлена або цілої функції. Встановлено необхідні і достатні умови розв'язності деяких обернених (багатоточкових) задач для рівняння з параметрами у рефлексивному банаховому просторі. Знайдено умови існування границі за Чезаро на нескінченності обмежених розв'язків неоднорідного еволюційного рівняння.

Ключові слова: банахів простір, замкнений лінійний оператор, еволюційне рівняння, асимптотика розв'язку, півгрупа класу (С₀), генератор півгрупи, задача Коші, границя функції за Чезаро.

ABSTRACT

Babjak-Biletska L.S. The asymptotic of solutions of evolutionary equations in the Banach space. - Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate degree in Physics and Mathematics on the speciality 01.01.01 - Mathematical Analysis. - Lviv National University named after Ivan Franko, Lviv, 2003.

The thesis is devoted to investigation of asymptotic of solutions for an inhomogeneous evolutionary equation in a Banach space. It is established the conditions for solvability of the asymptotic problem for an evolutionary equation, whose inhomogeneous part is a polynomial and representation of the general solution is given. The solvability conditions for the inverse asymptotic problem for the equation, whose inhomogeneous part is polynomial or an entire function. It is established necessary and sufficient conditions for solvability of the inverse asymptotic problems for the equation with parameters in reflexive Banach space. The conditions for existence of the Chesaro limit at infinity of a bounded solution of the inhomogeneous evolutionary equation are obtained.

Key words: Banach space, closed linear operator, evolutionary equation, asymptotics of a solution, С₀ - semigroup, generator of a semigroup, Cauchy problem, the Chesaro limit.

АННОТАЦИЯ

Бабяк-Билецкая Л.С. Асимптотика решений эволюционных уравнений в банаховом пространстве. -Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. - Львовский национальный университет имени Ивана Франко, Львов, 2003.

Диссертация посвящена исследованию методами теории полугрупп операторов и теории аналитических функций решений неоднородных эволюционных уравнений в банаховом пространстве.

В первом разделе дан обзор литературы по тематике проведенных исследований. Сформулированы основные направления исследований: изучение прямых и обратных задач типа задач управления для неоднородных эволюционных уравнений в банаховом пространстве и исследование поведения на бесконечности ограниченных решений таких уравнений.

Во втором разделе для неоднородного эволюционного уравнения в банаховом пространстве с неоднородной частью в виде многочлена найдены условия существования и представление решения прямой асимптотической задачи. Получены условия разрешимости обратной асимптотической задачи для эволюционного уравнения, неоднородная часть которого имеет вид многочлена или целой функции.

В третьем разделе рассмотрена многоточечная обратная задача для неоднородного эволюционного уравнения с неизвестными параметрами в его неоднородной части. Найдены необходимые и достаточные условия разрешимости такой задачи.

В четвёртом разделе изучено поведение на бесконечности ограниченных решений неоднородного эволюционного уравнения в банаховом пространстве. Найдены необходимые и достаточные условия существования предела по Чезаро на бесконечности ограниченных решений такого уравнения. банаховий простір асимптотичний рівняння

Ключевые слова: банахово пространство, замкнутый линейный оператор, эволюционное уравнение, асимптотика решения, полугруппа класса (С₀), генератор полугруппы, задача Коши, предел функции по Чезаро.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Основи теорії лінійних диференціальних рівнянь у банаховому просторі (а вони охоплюють чимало як звичайних диференціальних рівнянь, так і рівнянь з частинними похідними) були закладені в кінці 40-х років минулого століття у роботах Е.Хілле та К.Іосіди, М.Г.Крейна, Р.Філліпса, Т.Като. Ними були отримані теореми існування розв'язків задачі Коші для таких рівнянь, сформульовані в термінах теорії півгруп операторів. Відтоді ця теорія стала самостійною областю досліджень.

Свого подальшого розвитку зазначений напрям досліджень отримав у численних працях багатьох математиків, серед яких С.Г.Крейн, Ю.І.Любич, П.Є.Соболєвський, Х.Л.Массера, Х.Х.Шеффер та інші. Відповідні результати підсумовані у широко відомих монографіях (див., наприклад: Э.Хилле, Р.Филлипс “Функциональный анализ и полугруппы”, М.: Изд-во иностр. лит., 1962; С.Г.Крейн “Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве”, М.: Наука, 1967; H.O.Fattorini “Second order linear differential equations in Banach spaces”, Amsterdam, 1985; A.Pazy “Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations”, New-York: Springer-Verlag, 1983; S.Zaidman “Functional analysis and differential equations in abstract spaces”, London, New-York, Washington: D.C., 1981).

Одним з важливих питань теорії операторно-диференціальних рівнянь у банаховому просторі є дослідження поведінки їх розв'язків на нескінченності. Саме з цим питанням пов'язано багато задач, які відповідають поняттям стабільності та стійкості явищ, що описуються такими рівняннями. Останнім часом йому було присвячено багато досліджень. У випадку, коли коефіцієнти рівняння є обмеженими, вони носять у деякому сенсі завершений характер. Що ж стосується випадку необмежених коефіцієнтів, то тут теорія далека від повноти, хоча кількість публікацій і в цьому напрямку досить значна.

Потребують також подальшого вивчення обернені (багатоточкові) задачі для диференціальних рівнянь у банаховому просторі, котрі, як відомо, тісно пов'язані з питаннями оптимального керування процесами, що описуються такими рівняннями. Підтвердженням цього є праці А.Д.Іскендерова і Р.Г.Тагієва, Ю.С.Ейдельмана, Д.Г.Орловського, У.А.Ранделла та інших.

Таким чином, дослідження асимптотики розв'язків еволюційних рівнянь у банаховому просторі, постановка і розв'язання задач, пов'язаних з оптимізацією й керуванням різноманітними процесами, яким присвячена дисертація, відносяться до області, що активно розвивається та має важливі застосування, і є актуальними в теорії диференціальних рівнянь у банаховому просторі.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації пов'язана з науковими дослідженнями кафедри математичного та функціонального аналізу Львівського національного університету імені Івана Франка: Мт-196Б “Деякі проблеми теорії операторів у банаховому просторі” (номер держреєстрації 0193 U 004285) та Мт-79Б “Функціонально-аналітичні методи у комплексному аналізі і теорії операторів” (номер держреєстрації 0101 U 001436).

Мета і задачі дослідження.

Метою дисертації є: дослідження прямих та обернених задач типу задач керування для неоднорідних диференціальних рівнянь у банаховому просторі; дослідження поведінки на нескінченності розв'язків зазначених вище рівнянь у термінах узагальнених границь.

Задачі дослідження:

отримати зображення розв'язків неоднорідного диференціального рівняння першого порядку в банаховому просторі, неоднорідною частиною якого є алгебраїчний або тригонометричний поліноми, у вигляді суми стабільного за Чезаро на нескінченності розв'язку відповідного однорідного рівняння та алгебраїчного і, відповідно, тригонометричного полінома;

встановити необхідні і достатні умови розв'язності оберненої задачі: за заданою асимптотикою на нескінченності розв'язку неоднорідного рівняння відновити неоднорідну частину самого рівняння;

отримати умови розв'язності деяких багатоточкових задач для неоднорідного еволюційного рівняння у банаховому просторі;

знайти критерій існування границі за Чезаро для обмежених розв'язків деяких класів неоднорідних диференціальних рівнянь у банаховому просторі.

Об'єктом дослідження є неоднорідні еволюційні рівняння першого порядку у банаховому просторі.

Предметом дослідження є багатоточкові задачі та задачі типу задач керування для неоднорідних операторно-диференціальних рівнянь і стабілізація їх розв'язків на нескінченності.

Методи досліджень. Для розв'язування сформульованих вище задач застосовуються методи теорії лінійних операторів у банаховому просторі, і, перш за все, теорії півгруп, а також методи теорії аналітичних функцій.

Наукова новизна одержаних результатів. Усі одержані у дисертації результати є новими. У дисертації вперше отримано наступні результати:

- одержано зображення розв'язків неоднорідного диференціального рівняння першого порядку в банаховому просторі, неоднорідною частиною якого є алгебраїчний або тригонометричний поліноми, у вигляді суми стабільного за Чезаро на нескінченності розв'язку відповідного однорідного рівняння та алгебраїчного і, відповідно, тригонометричного поліномів;

розв'язано обернену задачу: за заданою асимптотикою на нескінченності розв'язку неоднорідного рівняння відновлено неоднорідну частину самого рівняння;

отримано необхідні й достатні умови розв'язності багатоточкової задачі для неоднорідного диференціального рівняння у банаховому просторі;

для обмежених розв'язків деяких класів неоднорідних диференціальних рівнянь у банаховому просторі знайдено критерій існування границі за Чезаро.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації мають, взагалі кажучи, теоретичний характер і можуть знайти застосування у розв'язанні різних задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації одержано автором самостійно. У спільних з науковим керівником працях йому належать постановки задач.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались на: Міжнародному семінарі "Ланцюгові дроби, їх узагальнення та застосування" (Верхнє Синєвидне, 1994 р.); Всеукраїнській науковій конференції "Розробка та застосування математичних методів в науково-технічних дослідженнях" (м. Львів, 1995 р.); Всеукраїнській науковій конференції "Диференціально-функціональні рівняння та їх застосування" (м. Чернівці, 1996 р.); Всеукраїнській науковій конференції "Нові підходи до розв'язання диференціальних рівнянь" (м. Дрогобич, 1997 р.); Міжнародній науковій конференції "Сучасні проблеми механіки і математики" (м. Львів, 1998 р.); Міжнародній науковій конференції "Сучасні проблеми математики" (м. Чернівці, 1998 р.); Міжнародній науковій конференції "Розробка та застосування математичних методів у науково-технічних дослідженнях" (м. Львів, 1998 р.); Міжнародній конференції з функціонального аналізу "Український математичний конгрес - 2001" (м. Київ, 2001 р.); Міжнародній конференції "Диференціальні рівняння і нелінійні коливання" (м. Чернівці, 2001 р.); Міжнародній науковій конференції "Нові підходи до розв'язування диференціальних рівнянь" (м. Дрогобич, 2001 р.); ІХ Міжнародній науковій конференції імені академіка М.Кравчука (м. Київ, 2002 р.); Міжнародній конференції з функціонального аналізу імені Стефана Банаха (м. Львів, 2002 р.); Львівському регіональному семінарі з математичного аналізу.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано у восьми роботах, з яких шість - у виданнях, включених у Перелік видань, затверджений ВАК України. Решта публікацій у матеріалах Міжнародних наукових конференцій.

Структура і об'єм дисертації. Дисертація складається із вступу, списку умовних позначень, чотирьох розділів, розбитих на підрозділи, висновків та списку використаних джерел. Загальний обсяг дисертації 128 сторінок. Список використаних джерел включає 79 найменувань і займає 9 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі подано загальну характеристику роботи, обґрунтовано актуальність теми, сформульовано мету та теоретичне значення проведених досліджень.

У першому розділі дисертації наведено огляд літератури за темою та визначено основні напрямки досліджень.

У другому розділі дисертації розглядається у банаховому просторі B задача Коші

(1)

(2)

де А - лінійний замкнений оператор зі щільною у просторі B областю визначення D(А), f(t) - сильно неперервна вектор-функція на зі значеннями у просторі B.

Спочатку розглядається випадок, коли неоднорідна частина f(t) рівняння (1) є многочленом вигляду

(3)

де - елементи банахового простору B.

Введемо позначення:

(4)

(у тих випадках, коли дія oберненого оператора A^-1 до оператора А на елементи є визначеною).

ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена дослідженню методами теорії півгруп операторів і теорії аналітичних функцій розв'язків неоднорідних еволюційних рівнянь першого порядку у банаховому просторі.

Одержано такі результати:

- знайдено зображення загального розв'язку неоднорідного диференціального рівняння першого порядку в банаховому просторі, неоднорідна частина якого є алгебраїчним (тригонометричним) поліномом, у вигляді суми розв'язку відповідного однорідного рівняння, асимптотично стійкого за Чезаро, і алгебраїчного (тригонометричного) поліному;

- розв'язано обернену задачу, а саме: за заданою асимптотикою розв'язку неоднорідного еволюційного рівняння відновлена неоднорідна частина цього рівняння;

- одержано необхідні й достатні умови для розв'язності багатоточкової задачі для неоднорідного еволюційного рівняння першого порядку у банаховому просторі;

- для обмежених розв'язків певного класу неоднорідних еволюційних рівнянь у банаховому просторі знайдено критерій існування узагальненої границі.

Результати дисертації мають, взагалі кажучи, теоретичний характер і можуть знайти застосування у розв'язанні різних задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними.

СПИСОК ПУБЛІКАЦІЙ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Баб'як Л.С., Горбачук О.Л. Існування границі за Чезаро обмежених розв'язків еволюційного рівняння з постійним оператором // Сучасні пробл. матем.: Матер. міжнар. наук. конф., ч.1. - Київ: Ін-т математики НАН України. - 1998. - С. 18-21.

Баб'як Л.С., Горбачук О.Л. Існування границі за Чезаро обмежених розв'язків еволюційного рівняння зі змінним оператором // Мат. студії. - 1998. - Т. 10, №2. - С. 199-202.

Баб'як Л.С., Горбачук О.Л. Багатоточкова задача для еволюційного рівняння з параметрами у банаховому просторі // Мат. студії. - 2000. - Т. 13, № 1. - С. 87-92.

Баб'як Л.С., Горбачук О.Л. Обернена задача для еволюційного рівняння з цілою функцією// Вісник Київського ун-ту. Сер. фіз. - мат. науки. - 2000. - Вип. 1. - С. 31-36.

Баб'як Л.С., Горбачук О.Л. Умови розв'язності деяких обернених задач для еволюційного рівняння у банаховому просторі// Вісник Львівського ун-ту. Сер. мех. - мат. - 2002. - Вип. 60. - С. 13-22.

Баб'як-Білецька Л.С., Горбачук О.Л. Про обернену задачу для еволюційного рівняння в банаховому просторі, неоднорідна частина якого є тригонометричним многочленом// Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2002. - Т. 45, № 1. - С. 16-21.

Баб'як-Білецька Л.С., Горбачук О.Л. Існування розв'язку диференціального рівняння з неоднорідною частиною у вигляді многочлена// Матеріали ІХ Міжнар. наук. конф. ім. акад. М.Кравчука. - Київ: НТУУ “КПІ”. - 2002. - 223.

Babjak-Biletska L.S., Horbachuk O.L. The inverse probleme for the inhomogeneous evolutionary equation, where right-hand part is polynomial// International Conference on Functional Analysis and its Applications, dedicated to the 110^th anniversary of Stefan Banach. - Lviv, 2002. - P. 21-22.

Размещено на Allbest.ru