Биография и математические работы А.Н. Колмогорова

Размещено на http://allbest.ru

Содержание

1. Биография А.Н. Колмогорова

1.1 Ранние годы

1.2 Университет

1.3 Профессор

1.4 Послевоенная работа

2. Работы Колмогорова А.Н.

2.1 Колмогоровские аксиомы элементарной теории вероятностей

2.2 Колмогоровская эмпирическая дедукция аксиом

2.3 Аксиома непрерывности и бесконечные вероятностные пространства

2.4 Бесконечные вероятностные пространства и «идеальные события»

2.5 Колмогоровские теоремы

2.5.1 Теорема о нормированных пространствах

2.5.2 Теорема о применимости больших чисел закона

2.5.3 Теорема о применимости больших чисел усиленного закона

3. Общее решение линейных уравнений в конечных разностях

Заключение

колмогоров аксиома вероятность линейный



1. Биография А.Н. Колмогорова

Андрей Николаевич Колмогоров (12 (25) апреля 1903, Тамбов - 20 октября 1987, Москва) - выдающийся отечественный математик, доктор физико-математических наук, профессор Московского Государственного Университета (1931), академик Академии Наук СССР (1939). Колмогоров - один из основоположников современной теории вероятностей, им получены фундаментальные результаты в топологии, математической логике, теории турбулентности, теории сложности алгоритмов и ряде других областей математики и её приложений.

1.1 Ранние годы

Мать Колмогорова - Мария Яковлевна Колмогорова (1871-1903) умерла при родах. Отец - Николай Матвеевич Катаев, по образованию агроном (окончил Петровскую (Тимирязевскую) академию), погиб в 1919 году во время деникинского наступления. Мальчик был усыновлён и воспитывался сестрой матери, Верой Яковлевной Колмогоровой. Тетушки Андрея в своём доме организовали школу для детей разного возраста, которые жили поблизости, занимались с ними - десятком ребятишек - по рецептам новейшей ?едагогики. Для ребят издавался рукописный журнал «Весенние ласточки». В нем публиковались творческие работы учеников - рисунки, стихи, рассказы. В нем же появлялись и «научные работы» Андрея - придуманные им арифметические задачи. Здесь же мальчик опубликовал в пять лет свою ?ервую научную работу по математике. Правда, это была всего-навсего известная алгебраическая закономерность, но ведь мальчик сам её подметил, без посторонней помощи!

В семь лет Колмогорова определили в частную гимназию. Она была организована кружком московской прогрессивной интеллигенции и все время находилась под угрозой закрытия.

Андрей уже в те годы обнаруживает замечательные математические способности, но все-таки ещё рано говорить, что дальнейший путь его уже определился. Были ещё увлечение историей, социологией. Одно время он мечтал стать лесничим. «В 1918-1920 годах жизнь в Москве была нелёгкой, - вспоминал Андрей Николаевич. - В школах серьёзно занимались только самые настойчивые. В это время мне пришлось уехать на строительство железной дороги Казань-Екатеринбург. Одновременно с работой я продолжал заниматься самостоятельно, готовясь сдать экстерном за среднюю школу. По возвращении в Москву я испытал некоторое разочарование: удостоверение об окончании школы мне выдали, даже не потрудившись проэкзаменовать».

1.2 Университет

Когда в 1920 г. Андрей Колмогоров стал думать о поступлении в институт, перед ним возник вечный вопрос: чему себя посвятить, какому делу? Влечет его на математическое отделение университета, но есть и сомнение: здесь чистая наука, а техника - дело, пожалуй, более серьёзное. Вот, допустим, металлургический факультет Менделеевского института! Настоящее мужское дело. Андрей решает поступать и туда и сюда. Но вскоре ему становится ясно, что чистая наука тоже очень актуальна, и он делает выбор в её пользу.

В 1920 г. он поступил на математическое отделение Московского университета. «Задумав заниматься серьёзной наукой, я, конечно, стремился учиться у лучших математиков, - вспоминал позднее учёный. - Мне посчастливилось заниматься у П.С. Урысона, П.С. Александрова, В.В. Степанова и Н.Н. Лузина, которого, по-видимому, следует считать по преимуществу моим учителем в математике. Но они «находили» меня лишь в том смысле, что оценивали приносимые мною работы. «Цель жизни» подросток или юноша должен, мне кажется, найти себе сам. Старшие могут этому лишь помочь».

В месяцы Андрей сдал экзамены за курс. А как студент второго курса он получает право на «сти?ендию»: «…я получил право на 16 килограммов хлеба и 1 килограмм масла в месяц, что, по представлениям того времени, обозначало уже полное материальное благополучие». Те?ерь есть и свободное время. Оно отдаётся попыткам решить уже поставленные математические задачи.

Лекции профессора Московского университета Николая Николаевича Лузина, по свидетельству современников, были выдающимся явлением. У Лузина никогда не было заранее предписанной формы изложения. И его лекции ни в коем случае не могли служить образцом для подражания. У него было редкое чувство аудитории. Он, как настоящий актёр, выступающий на театральной сцене и прекрасно чувствующий реакцию зрительного зала, имел постоянный контакт со студентами. Профессор умел приводить студентов в соприкосновение с собственной математической мыслью, открывая таинства своей научной лаборатории. Приглашал к совместной духовной деятельности, к сотворчеству. А какой это был праздник, когда Лузин приглашал учеников к себе домой на знаменитые «среды»! Беседы за чашкой чая о научных проблемах… Впрочем, почему обязательно о научных? Тем для разговора было предостаточно. Он умел зажечь молодёжь желанием научного подвига, привить веру в собственные силы, и через это чувство приходило другое - понимание необходимости полной отдачи любимому делу.

Колмогоров обратил на себя внимание профессора на одной лекции. Лузин, как всегда, вёл занятия, постоянно обращаясь к слушателям с вопросами, заданиями. И когда он сказал: «Давайте строить доказательство теоремы, исходя из следующего предположения…» - в аудитории поднялась рука Андрея Колмогорова: «Профессор, оно ошибочно…» За вопросом «почему» последовал краткий ответ. Довольный Лузин кивнул: «Что ж, приходите на кружок, доложите нам свои соображения более развернуто». «Хотя моё достижение было довольно детским, оно сделало меня известным в «Лузитании», - вспоминал Андрей Николаевич.

Но через год серьёзные результаты, полученные восемнадцатилетним второкурсником Андреем Колмогоровым, обратили на себя настоящее внимание «патриарха». С некоторой торжественностью Николай Николаевич предлагает Колмогорову приходить в определённый день и час недели, предназначенный для учеников его курса. Подобное приглашение, по понятиям «Лузитании», следовало расценивать как присвоение почётного звания ученика. Как признание способностей.

Со временем отношение Колмогорова к Лузину поменялось. Под влиянием Павла Сергеевича Александрова, также бывшего ученика Лузина, он принял участие в политическом преследовании их общего учителя, так называемом деле Лузина, которое едва не закончилось репрессиями против Лузина. С самим Александровым Колмогоров был связан дружескими узами до конца жизни.

Первые публикации Колмогорова были посвящены проблемам дескриптивной и метрической теории функций. Наиболее ранняя из них появилась в 1923 году. Обсуждавшиеся в середине двадцатых годов повсюду, в том числе в Москве, вопросы оснований математического анализа и тесно с ними связанные исследования по математической логике привлекли внимание Колмогорова почти в самом начале его творчества. Он принял участие в дискуссиях между двумя основными противостоявшими тогда методологическими школами - формально-аксиоматической (Д. Гильберт) и интуицио???тской (Э.Я. Брауэр и Г. Вейль). При этом он получил совершенно неожиданный ?ервоклассный результат, доказав в 1925 г., что все известные предложения классической формальной логики при определённой интерпретации ?ереходят в предложения интуицио???тской логики. Глубокий интерес к философии математики Колмогоров сохранил навсегда.

Особое значение для приложения математических методов к естествознанию и практическим наукам имел закон больших чисел. Разыскать необходимые и достаточные условия, при которых он имеет место, - вот в чем заключался искомый результат. Крупнейшие математики многих стран на протяжении десятилетий безуспешно старались его получить. В 1926 году эти условия были получены аспирантом Колмогоровым.

Многие годы тесного и плодотворного сотрудничества связывали его с А.Я. Хинчиным, который в то время начал разработку вопросов теории вероятностей. Она и стала областью совместной деятельности учёных. Наука «о случае» ещё со времён Чебышева являлась как бы русской национальной наукой. Её успехи преумножили многие советские математики, но современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем в 1929 и окончательно в 1933.

Андрей Николаевич до конца своих дней считал теорию вероятностей главной своей специальностью, хотя областей математики, в которых он работал, можно насчитать добрых два десятка. Но тогда только начиналась дорога Колмогорова и его друзей в науке. Они много работали, но не теряли чувства юмора. В шутку называли уравнения с частными производными «уравнениями с несчастными производными», такой с?ециальный термин, как конечные разности, ?переиначивался в «разные конечности», а теория вероятностей - в «теорию неприятностей».

Норберт Винер, «отец» кибернетики, свидетельствовал: «…Хинчин и Колмогоров, два наиболее видных русских специалиста по теории вероятностей, долгое время работали в той же области, что и я. Более двадцати лет мы наступали друг другу на пятки: то они доказывали теорему, которую я вот-вот готовился доказать, то мне удавалось прийти к финишу чуть-чуть раньше их».

И ещё одно признание Винера, которое он однажды сделал журналистам: «Вот уже в течение тридцати лет, когда я читаю труды академика Колмогорова, я чувствую, что это и мои мысли. Это всякий раз то, что я и сам хотел сказать».

1.3 Профессор

В 1930 г. Колмогоров стал профессором МГУ, с 1933 по 1939 год был директором Института математики и механики МГУ, многие годы руководил кафедрой теории вероятностей механико-математического факультета и Межфакультетской лабораторией статистических методов. В 1935 году Колмогорову была присвоена степень доктора физико-математических наук, в 1939 году он был избран членом АН СССР. Незадолго до начала Великой Отечественной войны Колмогорову и Хинчину за работы по теории вероятностей была присуждена Сталинская премия (1941).

А 23 июня 1941 года состоялось расширенное заседание Президиума Академии наук СССР. Принятое на нем решение кладёт начало ?ерестройке деятельности научных учреждений. Те?ерь главное - военная тематика: все силы, все знания - победе. Советские математики по заданию Главного артиллерийского управления армии ведут сложные работы в области баллистики и механики. Колмогоров, используя свои исследования по теории вероятностей, даёт определение наивыгоднейшего рассеивания снарядов при стрельбе.

1.4 Послевоенная работа

Война завершилась, и Колмогоров возвращается к мирным исследованиям. Трудно даже кратко осветить вклад Колмогорова в другие области математики - общую теорию операций над множествами, теорию интеграла, теорию информации, гидродинамику, небесную механику и т. д. вплоть до лингвистики. Во всех этих дисциплинах многие методы и теоремы Колмогорова являются, по общему признанию, классическими, а влияние его работ, как и работ его многочисленных учеников, среди которых немало выдающихся математиков, на общий ход развития математики чрезвычайно велико.

Когда одного из молодых коллег Колмогорова спросили, какие чувства он испытывает по отношению к своему учителю, тот ответил: «Паническое уважение… Знаете, Андрей Николаевич одаривает нас таким количеством своих блестящих идей, что их хватило бы на сотни прекрасных разработок».

Замечательная закономерность: многие из учеников Колмогорова, обретая самостоятельность, начинали играть ведущую роль в избранном направлении исследований. И академик с гордостью подчёркивает, что наиболее дороги ему ученики, превзошедшие учителя в научных поисках. Можно удивляться колмогоровскому подвижничеству, его способности одновременно заниматься - и небезуспешно! - сразу множеством дел.

Это и руководство университетской лабораторией статистических методов исследования, и заботы о физико-математической школе-интернате, инициатором создания которой Андрей Николаевич являлся, и дела московского математического общества, и работа в редколлегиях «Кванта» - журнала для школьников и «Математики в школе» - методического журнала для учителей, и научная и преподавательская деятельность, и подготовка статей, брошюр, книг, учебников. Колмогорова никогда не приходилось упрашивать выступить на студенческом диспуте, встретиться со школьниками на вечере. По сути дела, он всегда был в окружении молодых. Его очень любили, к его мнению всегда прислушивались. Свою роль играл не только авторитет всемирно известного ученого, но и простота, внимание, духовная щедрость, которую он излучал.

Круг жизненных интересов Андрея Николаевича не замыкался чистой математикой, объединению отдельных разделов которой в одно целое он посвятил свою жизнь. Его увлекали и философские проблемы (например, он сформулировал новый гносеологический принцип - Гносеологический принцип А.Н. Колмогорова), и история науки, и живопись, и литература, и музыка.

Академик Колмогоров - почётный член многих иностранных академий и научных обществ. В марте 1963 года учёный был удостоен международной премии Бальцана (этой премией он был награжден вместе с композитором Хиндемитом, биологом Фришем, историком Моррисоном и главой Римской католической церкви Папой Иоанном XXIII). В том же году Андрею Николаевичу было присвоено звание Героя Социалистического Труда. В 1965 году ему присуждена Ленинская премия (совместно с В.И. Арнольдом).В последние годы Колмогоров заведовал кафедрой математической логики.

«Я принадлежу, - говорил учёный, - к тем крайне отчаянным кибернетикам, которые не видят никаких принципиальных ограничений в кибернетическом подходе к проблеме жизни и полагают, что можно анализировать жизнь во всей её полноте, в том числе и человеческое сознание, методами кибернетики. Продвижение в понимании механизма высшей нервной деятельности, включая и высшие проявления человеческого творчества, по-моему, ничего не убавляет в ценности и красоте творческих достижений человека».

По меткому выражению Стефана Банаха: «Математик - это тот, кто умеет находить аналогии между утверждениями.

Лучший математик - кто устанавливает аналогии доказательств. Более сильный может заметить аналогии теорий. Но есть и такие, кто между аналогиями видит аналогии». К этим редким представителям последних относится и Андрей Николаевич Колмогоров - один из крупнейших математиков двадцатого века.

Колмогоров скончался 20 октября 1987 г. в Москве. Похоронен на Новодевичьем кладбище.



2. Работы Колмагорова А.Н

Научную деятельность начал в области теории функций действительного переменного, где ему принадлежат фундаментальные работы по тригонометрическим рядам, теории меры, теории множеств, теории интеграла, теории приближения функции. В дальнейшем Колмогоров внес существенный вклад в разработку конструктивной логики, топологии (где им создана теория верхних гомологий), механики (теория турбулентности), теории дифференциальных уравнений, функционального анализа. Основополагающее значение имеют работы Колмогорова в области теории вероятностей, где он совместно с А.Я. Хинчиным начал применять методы теории функций действительного переменного (с 1925 г.). Это позволило Колмогорову решить ряд трудных проблем и построить широко известную систему аксиоматического обоснования теории вероятностей (1933), заложить основы теории Марковских случайных процессов с непрерывным временем. Позднее он развил теорию стационарных случайных процессов, процессов со стационарными превращениями, ветвящихся процессов. Он внес важный вклад в теорию информации. Ему принадлежат исследования по теории стрельбы, статистическим методам контроля массовой продукции, применениям математических методов в разработке вопросов математического образования в средней школе и университетах.

2.1 Колмогоровские аксиомы элементарной теории вероятностей

Элементарная теория вероятностей - та часть теории вероятностей, в которой приходится иметь дело с вероятностями лишь конечного числа событий. Теория вероятностей, как математическая дисциплина, может и должна быть аксиоматизирована совершенно в том же смысле, как геометрия или алгебра. Это означает, что, после того как даны названия изучаемым объектам и их основным отношениям, а также аксиомы, которым эти отношения должны подчиняться, всё дальнейшее изложение должно основываться исключительно лишь на этих аксиомах, не опираясь на обычное конкретное значение этих объектов и их отношений. Аксиоматизация теории вероятностей может быть проведена различными способами как в отношении выбора аксиом, так и выбора основных понятый и основных соотношений. Если преследовать цель возможной простоты как самой системы аксиом, так и построения на ней дальнейшей теории, то представляется наиболее целесообразным аксиоматизирование понятии случайного события и его вероятности.

Пусть Щ - множество элементов щ, которые называются элементарными событиями, а F -- множество подмножеств Щ, называемых случайными событиями (или просто -- событиями), а Щ -- пространством элементарных событии.

Аксиома I (алгебра событий). F является алгеброй событий.

Аксиома II (существование вероятности событий). Каждому событию x из F поставлено в соответствие неотрицательное действительное число P(x), которое называется вероятностью события x.

Аксиома III (нормировка вероятности).P(Щ) = 1.

Аксиома IV (аддитивность вероятности). Если события x и y не ?ересекаются, то

P(x+y) = P(x) + P(y).

Совокупность объектов (Щ, F, P), удовлетворяющую аксиомам I-IV, называется вероятностным пространством (у Колмогорова: поле вероятностей).

Система аксиом I--IV непротиворечива. Это показывает следующий пример: Щ состоит из единственного элемента щ, F -- из Щ и невозможного событий (пустого множества) Ш, при этом положено P(Щ) = 1, P(Ш) = 0. Однако эта система аксиом не является полной: в разных вопросах теории вероятностей рассматриваются различные вероятностные пространства.

2.2 Колмогоровская эмпирическая дедукция аксиом

Обычно можно предполагать, что система F рассматриваемых событий x, y, z, которым приписаны определённые вероятности, образует алгебру событий, содержащую в качестве элемента множество Щ (аксиома I, а также первая часть аксиомы II - существование вероятности). Можно практически быть уверенным, что если эксперимент повторен большое число n раз и если при этом через m обозначено число наступления события x, то отношение m/n будет мало отличаться от P(x). Далее ясно, что , так что вторая часть аксиомы II оказывается вполне естественной. Для события Щ всегда m = n, благодаря чему естественно положить P(Щ) = 1 (аксиома III). Если, наконец, x и y несовместны между собой (то есть события x и y не пересекаются как подмножества Щ), то m = m1 + m2, где m,m1,m2 обозначают соответственно число экспериментов, исходами которых служат события x, y. Отсюда следует:

Следовательно, является уместным положить

P(x+y) = P(x) + P(y) (аксиома IV).

2.3 Аксиома непрерывности и бесконечные вероятностные пространства

В отличие от элементарной теории вероятностей, теоремы, которые выводятся в общей математической теории вероятностей, естественно применяются также и к вопросам, связанным с бесконечным числом случайных событии, однако при изучении этих последних применяются существенно новые принципы. В большей части современной теории вероятностей предполагается, что кроме аксиом элементарной теории вероятностей (I--IV) выполняется ещё аксиома V (аксиома непрерывности). Для убывающей последовательности событий из F такой, что Ш, имеет место равенство .

Аксиома непрерывности - это единственная аксиома современной теории вероятностей, относящаяся именно к ситуации бесконечного числа случайных событий. Обычно в современной теории вероятностей вероятностным пространством называется только такое вероятностное пространство (Щ, F, P), которое, кроме того, удовлетворяет аксиоме V. Вероятностные пространства в смысле аксиом I-IV Колмогоров предлагал называть вероятностными пространствами в расширенном смысле (у Колмогорова поле вероятностей в расширенном смысле), сегодня этот термин употребляется крайне редко. Заметим, что если система событий F конечна, аксиома V следует из аксиом I-IV. Все модели с вероятностными пространствами в расширенном смысле удовлетворяют, следовательно, аксиоме V. Система аксиом I-V является, непротиворечивой и неполной. Напротив, для бесконечных вероятностных пространств аксиома непрерывности V является независимой от аксиом I-IV.

Так как новая аксиома существенна лишь для бесконечных вероятностных пространств, то почти невозможно разъяснить её эмпирическое значение, например, так, как это было проделано с аксиомами элементарной теории вероятности (I-IV). При описании какого-либо действительно наблюдаемого случайного процесса можно получать только конечные поля - вероятностные пространства в расширенном смысле. Бесконечные вероятностные пространства появляются как идеализированные схемы действительных случайных явлений. Общепринято молчаливо ограничиваться такими схемами, которые удовлетворяют аксиоме V, что оказывается целесообразным и эффективным в различных исследованиях.



2.4 Бесконечные вероятностные пространства и «идеальные события»

Алгебра F событий пространства элементарных событий Щ называется борелевской алгеброй, если все счётные суммы событий x_n из F принадлежат F. В современной теории вероятностей борелевские алгебры событий обычно называют у-алгебрами событий (сигма-алгебрами).

Пусть дано вероятностное пространство в расширенном смысле (Щ, F₀, P). Известно, что существует наименьшая сигма-алгебра содержащая F₀.

Более того, справедлива теорема (о продолжении). Определённую на (Щ, F₀) неотрицательную счётно-аддитивную функцию множеств всегда можно продолжить с сохранением обоих свойств (не отрицательности и счётной аддитивной) на все множества из F и при этом единственным образом. Итак, каждое вероятностное пространство (Щ, F₀, P) в расширенном смысле может быть математически корректно продолжено до бесконечного вероятностного пространства (Щ, F, P), которое в современной теории вероятностей принято называть просто вероятностным пространством.

Вместе с тем множества из сигма-алгебры F бесконечного вероятностного пространства можно рассматривать только как «идеальные события», которым ничего не соответствует в реальном мире.

Если, однако, рассуждение, которое использует вероятности таких «идеальных событий» приводит к определению вероятностей «реального события» из F, то это определение, вполне понятно, автоматически будет непротиворечивым и с эмпирической точки зрения.

2.5 Колмогоровы теоремы

Колмогоровы теоремы:

1. Теорема о нормированных пространствах (1934);

2. Теорема о применимости закона больших чисел (1928);

3. Теорема о применимости усиленного закона больших чисел (1930, 1933).

2.5.1 Теорема о нормированных пространствах

Нормированное пространство - векторное пространство X, наделенное нормой ||x||, xX. Норма индуцирует на Х метрику

с(x, y) = ||x-y||

и, следовательно, топологию, совместимую с этой метрикой. Полные относительно указанной метрики пространства называются банаховыми пространствами. Нормированное пространство тогда и только тогда является гильбертовым, когда

||x+y|| + ||x-y|| = 2*||x||² + 2*||y||² для x, yX.

Отделимое топологическое векторное пространство нормируемо, если его топология совместима с некоторой нормой. Нормируемость равносильна существованию выпуклой ограниченной окрестности нуля.

2.5.2 Теорема о применимости закона больших чисел

Данная теорема Колмогорова дает ответ на вопрос: при каких условиях суммы Y_n предельно постоянны?

при

при



Необходимо и достаточно для предельного постоянства сумм Y_n . В качестве С_n можно взять.

Если математические ожидания существуют, то легко указать дополнительные условия, при которых можно выбрать С_n = EY_n , что приводит к необходимым и достаточным условиям больших чисел закона в классической формулировке, т.е.

Для последовательности независимых одинаково распределенных величин {X_n} эти условия сводятся, в соответствии с теоремой Хинчина, к существованию математического ожидания.

В то же время для предельного постоянства средних арифметических Y_n в этом случае необходимо и достаточно условие при .

2.5.3 Теорема о применимости усиленного закона больших чисел

В случае независимых слагаемых наиболее известными являются условия приложи, мости больших чисел усиленного закона, установленные А.Н. Колмогоровым: достаточное (1930) - для величин с конечными дисперсиями и необходимое и достаточное (1933) - для одинаково распределенных величин (закрепляющееся в существовании математического ожидания величин X_i).

Теорема Колмогорова для случайных величин X₁, X₂, …, X_n, …с конечными дисперсиями утверждает, что из условия



Вытекает приложимость к последовательности X₁, X₂, …, X_n, … больших чисел усиленного закона

В терминах дисперсий условие

оказывается наилучшим в том смысле, что для любой последовательности положительных чисел b_n с расходящимся рядом можно построить последовательность независимых случайных величин X_n с DX_n не удовлетворяющую больших чисел усиленному закону. Область применения условия

Может быть расширена на основе следующего замечания. Пусть mX_n - медиана X_n. Сходимость ряда

необходима для больших чисел усиленного закона. Из леммы Бореля-Кантелли вытекает, что



с вероятностью 1, начиная с некоторого номера. Поэтому при изучении условий приложимости больших чисел усиленного закона можно сразу ограничиться случайными величинами, удовлетворяющими последнему условию.

В доказательствах А.Я. Хинчина и А.Н. Колмогорова вместо сходимости ряда

устанавливается сходимость ряда

,

где n_k = 2^k. При этом А.Н. Колмогоров использовал носящее его имя неравенство для максимумов сумм случайных величин.



3. Общее решение линейных уравнений в конечных разностях

Перейдём к рассмотрению линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Это - наиболее важный частный случай общей теории. В этом случае можно непосредственно найти нужное число линейно независимых решений, а к этому, как мы видели, и сводится задача решения линейного разностного уравнения. Итак, пусть дано однородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами:

f(x+k)+f(x+k-1)+f(x+k-2)+…+f(x)=0 (1)

Будем искать решения в виде

f(x)=, (2)

где число л подлежит определению. Подставляя в уравнение (1) функцию f(x), взятую из соотношения(2), получим уравнение

-++…+=0,

(+++…+)=0,

+++…+=0, (3)

Уравнение(3) будем называть характеристическим уравнением для конечно-разностного уравнения(1). Корни уравнения(3), естественно, могут быть как однократные, так и многократные. Рассмотрим все возможные случаи. Пусть корни уравнения (3) - все простые. В этом случае, можно указать k различных решений уравнения (1)

, , ,…,, (4)



где суть корни характеристического уравнения. Можно утверждать, что в этом случае k решений (4) линейно независимы. В самом деле, составив из этих решений определитель D[,…,], получим

D=D [,…,] =

Вынося из каждого столбца номера i за знак определителя получим

D=(…

Не нарушая общности, можно считать каждое из чисел отличным от нуля, или, что то же самое, отличным от нуля произведение.

В самом деле, если бы было =0 (но ?0, то наше уравнение имело бы следующий вид:

f(x+k)+f(x+k-1)+f(x+k-2)+…+f(x+1)=0

и, следовательно, было бы порядка k-1, так как, не нарушая общности, можно было бы x заменить через x-1и перейти к уравнению

f(x+k-1)+f(x+k-2)+f(x+k-3)+…+f(x)=0.

Итак, если мы имеем разностное уравнение типа(1) порядка k, то мы должны считать свободный член этого уравнения отличным от нуля, а следовательно, отличным от нуля и все корни характеристического уравнения (3). Возвращаясь к определению D, мы видим, что первый сомножитель, т.е. (…,

тождественно в нуль не обращается, ибо мы указали, что можно считать ?0. Таким образом, вопрос сводится к исследованию величины определителя

Так как все по предположению различны между собой, то ни одна из таких разностей, а следовательно, и определитель (5) в нуль не обращаются.

Поэтому решения (4) будут действительно линейно независимы, и общее решение уравнений (1) изобразится следующим образом:

f(x)=+++…+. (6)

Если среди корней есть комплексные и все корни различны, но мы все же желаем определить действительные решения, то предполагая числа в соотношении (6) комплексными и вспоминая, что комплексные корни встретятся в сопряженных парах (- действительны), мы сумму

+ ,

= p(cosщ+i sinщ),

=p(cosщ-i sinщ),

cosщx+sinщx



Таким образом, в случае, если корни характеристического уравнения простые, решение находится просто.



Заключение

Абсолютно точно я могу заявить, что на лекциях я почерпнула для себя немного нового и интересного. Например, я узнала немного больше о комплексных числах. Я не ожидала, что математика может быть такой интересной и многогранной. Сейчас у меня много дисциплин, в которых есть математика, но каждый раз она является мне в абсолютно другом виде. Благодаря этому предмету, я узнала много интересного об А.Н. Колмогоровe. Так как, это моя первая курсовая работа, я отнеслась к своей задаче со всей серьезностью. Мне понравилось изучение данной дисциплины и хотелось, чтобы нам преподавали ее на старших курсах, так как мой взгляд на математику сейчас поверхностный и мне бы хотелось получить более глубокое представление о ней.

Размещено на Allbest.ru

...