Статистическая проверка законов распределения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

1.Законы распределения

• 1.1 Нормальный закон распределения
• 1.2 Равномерный закон распределения
• 1.3 Показательный (экспоненциальный) закон распределения
• 2.Статистическая гипотеза и общая схема ее проверки
• 3.- критерий Пирсона
• 4.Критерий Колмогорова
• 5.Практическая часть. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности
• 5.1 Задание для работы
• 5.2 Выполнение практического задания
• Список использованной литературы
• 1.Законы распределения
• 1.1 Нормальный закон распределения
• Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью [1, c.127]
• Мы видим, что нормальное распределение определяется двумя параметрами: а и .
• Достаточно знать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение. Покажем, что вероятностный смысл этих параметров таков: а есть математическое ожидание, -- среднее квадратическое отклонение нормального распределения.
• а)По определению математического ожидания непрерывной случайной величины,
• M(X)= [1,c.127]
• Введем новую переменную z = (x--а)/??. Отсюда x=?z+a, dx=?dz. Приняв во внимание, что новые пределы интегрирования равны старым, получим
• M(X)=[1,c.127]
• Первое из слагаемых равно нулю (под знаком интеграла нечетная функция; пределы интегрирования симметричны относительно начала координат). Второе из слагаемых равно а ( интеграл Пуассона ). [1,c.128]
• Итак, М (X) = а, т.е. математическое ожидание нормального распределения равно параметру а.
• б)По определению дисперсии непрерывной случайной величины, учитывая, что
• М (X) =а, имеем
• D(X)= [1,c.128]
• Введем новую переменную z = (x--а)/?у. Отсюда х--a = уz, dx = уdz. Приняв во внимание, что новые пределы интегрирования равны старым, получим D(X)=
• Интегрируя по частям, положив u = z, dv=, найдем D(X)=?у²?
• Следовательно, у (X)=.
• Итак, среднее квадратическое отклонение нормального распределения равно параметру . [1,c.128]
• Замечание 1. Общим называют нормальное распределение с произвольными параметрами а и ( > 0). Нормированным называют нормальное распределение с параметрами а = 0 и =1. Например, если X -- нормальная величина с параметрами а и , то U =(X -- а)/?у -- нормированная нормальная величина, причем M(U)=0, у (U)=1.
• Плотность нормированного распределения
• Эта функция табулирована (см. приложение 1). [1,c.128]
• Замечание 2. Функция F(х) общего нормального
• а функция нормированного распределения
• Функция Fo(x) табулирована. Легко проверить, что F(x)=F₀((x-a)/ у). [1,c.129]
• Замечание 3. Вероятность попадания нормированной нормальной величины X в интервал (0, х) можно найти, пользуясь функцией Лапласа
• P(0<X<x)= [1,c.129]
• Замечание 4. Учитывая, что , и, следовательно, в силу симметрии у(х) относительно нуля , а значит, и Р (- < X < 0)=0,5,
• легко получить, что F₀(x)=0,5+(x).
• Действительно,F₀(x)=P(-<X<x)=P(-<X<0)+P(0<X<x)=0,5+(x). [1,c.129]
• 1.2 Равномерный закон распределения
• Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на отрезке [а, Ь], если ее плотность вероятности ц( Х) постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его, т.е.[2,c.155]
• Теорема. Функция распределения случайной величины Х, распределенной по равномерному закону, есть ее математическое ожидание а дисперсия [2,c.155]
• Кривая распределения ц(Х) и график функции распределения F(x) случайной величины Х
• [2,c.155]
• 1.3 Показательный (экспоненциальный) закон распределения
• Определение: Непрерывная случайная величина Х имеет
• показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром >0,
• если ее плотность вероятности имеет вид:
• [2,c.157]
• Кривая распределения (х) и график функции распределения
• F(х) случайной величины Х приведены на рис. 2 а, б.
• [2,c.158]
• Рис. 2
• Теорема. Функция распределения случайной величины Х, распределенной
• по показательному (экспоненциальному) закону, есть
• ее математическое ожидание
• а дисперсия
• При x<0 функция распределения F(x)=0.
• При x?a по формуле F(x)= ? ц(x)dx
• т.е. формула доказана. [2,c.158]
• Найдем математическое ожидание случайной величины Х, используя
• при вычислении метод интегрирования по частям:
• [2,c.158]
• Для нахождения дисперсии D(Х) вначале найдем:
• с учетом того, что во втором слагаемом несобственный интеграл есть [2,c.159]
• Теперь,
• Из доказанной теоремы следует, что для случайной величины, распределенной по показательному закону, .математическое ожидание равно среднему квадратическому отклонению, т.е.[2,c.159]
• Показательный закон распределения играет большую роль в теории массового обслуживания и теории надежности. Так, например, интервал времени Т между двумя соседними событиями в простейшем потоке имеет показательное распределение с параметром - интенсивностью потока. [2,c.159]
• 2.Статистическая гипотеза и общая схема ее проверки
• С теорией статистического оценивания параметров тесно связана проверка статистических гипотез. Она используется всякий раз, когда необходим обоснованный вывод о преимуществах того или иного способа инвестиций, измерений, стрельбы, технологического процесса, об эффективности нового метода обучения, управления, о
• пользе вносимого удобрения, лекарства, об уровне доходности ценных бумаг, о значимости математической модели и т.д. [2,c. 345]
• Определение: Статистической гипотезой называется любое предположение о виде или параметрах неизвестного закона распределения. [2,c. 345]
• Различают простую и сложную статистические гипотезы. Простая гипотеза, в отличие от сложной, полностью определяет теоретическую функцию распределения случайной величины. Например, гипотезы «вероятность появления события в схеме Бернулли равна 1/2», «закон распределения. случайной величины нормальный с параметрами а=0, у²= 1» являются простыми, а гипотезы «вероятность появления события в схеме Бернyлли заключена между 0,3 и 0,6», «закон распределения не является нормальным» - сложными. [2,c. 345]
• Проверяемую гипотезу обычно называют нулевой (или основной) и обозначают H₀. Наряду с нулевой гипотезой Н₀ рассматривают альтернативную, или конкурирующую, гипотезу H₁, являющуюся логическим отрицанием H₀. Нулевая и альтернативная гипотезы представляют собой две возможности выбора, осуществляемого в задачах проверки статистических гипотез. [2,c. 345]
• Суть проверки статистической гипотезы заключается в том, что используется специально составленная выборочная характеристика (статистика) полученная по выборке X_1…X_n, точное или приближенное распределение которой известно. [2,c. 345]
• Затем по этому выборочному распределению определяется критическое значение - такое, что если гипотеза Н₀ верна, то вероятность = мала; так что в соответствии с принципом практической уверенности в условиях данного исследования событие можно (с некоторым риском) считать практически невозможным. [2,c. 346]
• Поэтому, если в данном конкретном случае обнаруживается отклонение то гипотеза Н₀ отвергается, в то время как появление значения , считается совместимым с гипотезой Н₀, которая тогда принимается (точнее, не отвергается). [2,c. 346]
• Правило, по которому гипотеза Н₀ отвергается или принимается, называется статистическим критерием или статистическим текстом. [2,c. 346]
• Таким образом, множество возможных значений статистики критерия (критической статистики) разбивается на два непересекающихся подмножества: критическую область (область отклонения гипотезы) W и область допустимых значений (область принятия гипотезы) . Если фактически наблюдаемое значение cтатистики критерия попадает в критическую область W, то гипотезу Н₀ отвергают. При этом возможны четыре случая.
• [2,c. 346]
• Определение: Вероятность допустить ошибку l-го рода, т.е. отвергнуть гипотезу Н₀, когда она верна, называется уровнем значимости, или размером, критерия.
• Вероятность допустить ошибку 2-го рода, т.е. принять гипотезу
• Н₀, когда она неверна, обычно обозначают .[2,c. 346]
• Определение: Вероятность не допустить ошибку 2-го рода, т.е. отвергнуть гипотезу Н₀, когда она неверна, называется мощностью (или функцией мощности) критерия. [2,c. 346]
• 3. - критерий Пирсона
• В наиболее часто используемом на практике критерии -Пирсона в качестве меры расхождения U берется величина , равная сумме квадратов отклонений частостей (статистических вероятностей) w_i от гипотетических p_i, рассчитанных по предполагаемому распределению, взятых с некоторыми весами c_i: закон распределение генеральная совокупность
• [2,c. 374]
• Веса c_i вводятся таким образом, чтобы при одних и тех же отклонениях (w_i - p_i)² больший вес имели отклонения, при которых p_i мала, и меньший вес - при которых p_i велика. Очевидно, этого удается достичь, если взять c_i обратно пропорциональными вероятностям p_i. [2,c. 374]
• Взяв в качестве весов можно доказать, что при статистика
• или
• имеет - распределение с k= m-r-1 степенями свободы, где m- число интервалов эмпирического распределения(вариационного ряда); r - число параметров теоретического распределения, вычисленных по экспериментальным данным.
• Числа называются n_i=nw_i и np_i соответственно эмпирическими и теоретическими частотами. [2,c. 375]
• Схема применения критерия для проверки гипотезы Н₀ сводится к следующему:
• _1.Определяется мера расхождения эмпирических и теоретических частот по .[2,c. 375]
• 2.Для выбранного уровня значимости a по таблице -распределения
• находят критическое значение при числе степеней свободы k= m-r-1. [2,c. 375]
• 3.Если фактически наблюдаемое значение больше критического
• т.е. то гипотеза H₀ отвергается, если гипотеза Н₀ не противоречит опытным данным. [2,c. 375]
• Замечание: Как уже отмечено, статистика
• имеет -распределение лишь при , поэтому необходимо, чтобы в каждом интервале бьшо достаточное количество наблюдений, по крайней мере 5 наблюдений. Если в каком-нибудь интервале число наблюдений n_i < 5, имеет смысл объединить соседние интервалы , чтобы в объединенных интервалах n_i было не меньше 5. [2,c. 375]
• 4.Критерий Колмогорова
• На практике кроме критерия часто используется критерий Колмогорова, в котором в качестве меры расхождения между теоретическим и эмпирическим распределениями рассматривают максимальное значение абсолютной величины разности между эмпирической функцией распределения Fn(х) и соответствующей теоретической функцией распределения называемое статистикой критерия Колмогорова. [2,c. 380]
• Доказано, что какова бы ни была функция распределения F(x) непрерывной случайной величины Х, при неограниченном увеличении числа наблюдений () вероятность неравенства стремится к пределу
• [2,c. 381]
• Задавая уровень значимости, из соотношения можно найти соответствующее критическое значение В табл. приводятся критические значения критерия Колмогорова для некоторых .
• [2,c.381]
• Схема применения критерия Колмогорова следующая:
• 1.Строятся эмпирическая функция распределения F_n(x) и предполагаемая теоретическая функция распределения F( х). [2,c. 381]
• 2.Определяется мера расхождения между теоретическим и эмпирическим распределением D по формуле и вычисляется величина
• [2,c. 381]
• 3.Если вычисленное значение , окажется больше критического , определенного на уровне значимости , то нулевая гипотеза Н₀ о том, что случайная величина Х имеет заданный закон распределения, отвергается. Если то считают, что гипотеза Н₀ не противоречит опытным данным. [2,c. 381]
• 5.Практическая часть. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности
• 5.1 Задание для работы
• 1.Из приложения 1 или 2 взять выборку объёма n. Выборку произвести методом, указанным преподавателем.
• 2.Построить гистограмму.
• 3.По виду гистограммы подобрать закон распределения случайной величины
• 4.Проверить согласие закона распределения с опытными данными по критерию при уровне значимости .
• 5.Теоретическую кривую нанести на гистограмму опытных данных.
• 5.2 Выполнение практического задания

980	598	894	744	732	781	553	1138	890	890
501	963	1045	546	1018	360	1001	888	955	955
408	688	620	834	804	985	915	633	951	951
1055	520	1030	725	923	760	854	724	715	715
972	1003	503	1142	570	1098	965	480	585	585
510	880	859	1129	182	580	721	425	656	656
496	590	243	173	225	980	904	545	879	879
579	234	876	456	243	987	123	987	345	765
567	345	785	342	876	765	154	365	987	1032
543	764	324	765	835	265	875	298	407	287
610	547	754	376	276	842	457	937	642	456
487	276	432	856	832	956	363	458	354	287
465	956	234	845	387	867	365	956	376	945
384	394	382	485	594	347	734	520	1030	725
620	834	804	985	915	633	426	982	567	365
498	346	642	679	420	294	248	938	422	1065
880	859	1129	182	904	545	879	879	392	423
760	715	265	422	633	656	456	394	856	275
1098	585	842	482	724	879	287	856	486	957
580	656	956	384	480	345	945	253	378	487

• Решение
• 1.Случайную величину (отклонения от номинального размера) обозначим
• Из выборки приведённого примера находим: .
• Вычисляем: .
• Возьмём длину частичного интервала 113. Левый конец первого интервала возьмём 172,5. Из данной выборки найдём число опытных данных, попавших в каждый частичный интервал.
• Полученные данные сведём в таблицу 5.1.
• Таблица 5.1

i			№
1	172,5 - 285,5	10	6	737,5 - 850,5	22
2	285,5 - 398,5	14	7	850,5 - 963,5	20
3	398,5 - 511,5	17	8	963,5- 1076,5	15
4	511,5 - 624,5	37	9	1076,5 - 1189,5	13
5	624,5 - 737,5	52

• 2.Для каждого частичного интервала найдем : Вычислим значения и S по формулам (9); расчеты поместим в таблицу 5.2.
• Таблица 5.2

i
1	172,5 - 285,5	455	10	207025	4550	2070250
2	285,5 - 398,5	342	14	116964	3762	1286604
3	398,5 - 511,5	229	17	52441	3893	891497
4	511,5 - 624,5	666	37	443556	24642	16411572
5	624,5 - 737,5	794	52	898704	41288	46732608
6	737,5 - 850,5	681	22	463761	14982	10202742
7	850,5 - 963,5	907	20	822649	18140	16452980
8	963,5- 1076,5	1132	15	1282556	20376	23086008
9	1075,5 -1189,5	1020	13	1040400	13260	13525200
?			200		144893	130659461

• Находим: .
• 3.Построим гистограмму частот
• По виду гистограммы можно предположить, что исследуемый признак подчиняются нормальному закону распределения.
• 4.Найдем теоретические частоты по формуле (3) при n=200, ?724,465, S?506,8:
• .
• В первом интервале левый конец изменим на , а в последнем интервале - правый конец на . Таким образом, первый интервал будет , а последний . Значения функции находятся из таблицы (приложение 7). При этом нужно учесть, что , и для >5 значение =0,5.
• Расчёты для нахождения критерия приведены в таблице 5.3.
• Таблица 5.3

i
1 2	285,5 285,5 398,5			0,56
3	398,5 511,5	17	20,4	0,78
4	511,5 624,5	37	34,2	1,74
5	624,5 737,5	52	40,2	4,98
6 7	737,5 850,5 850,5- 963,5			3,72
8	963,5 1076,5	15	22,4	1,86
9	1075,5	13	19,6	1,34
?		200		=14,98

• 5.Число интервалов с учетом объединения частот равно 9. Проверку гипотезы о нормальном распределении проводим при уровне значимости = 0,05 и числе степеней свободы, равном
• Из таблицы (приложение 5) находим
• В нашем примере , т.е. .
• Следовательно, опытные данные не согласуются с нормальным законом распределения, т.е. нулевая гипотеза отвергается.
• Список использованной литературы
• 1.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. 9-е изд., стер. -- М.: Высш. шк. , 2003. -- 479 с.
• 2.Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебник для вузов - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Юнити-Дана, 2004. -- 573 с.
• Размещено на Allbest.ru
...