Дослідження поведінки розв’язків нелінійних систем диференціальних рівнянь в околі їх інваріантних тороїдальних многовидів

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

ДОСЛІДЖЕННЯ ПОВЕДІНКИ РОЗВ'ЯЗКІВ НЕЛІНІЙНИХ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ В ОКОЛІ ЇХ ІНВАРІАНТНИХ ТОРОЇДАЛЬНИХ МНОГОВИДІВ

Спеціальність: Диференціальні рівняння

Давиденко Андрій Анатолійович

Київ, 2003 рік

Актуальність теми. Вивчення інваріантних многовидів систем диференціальних рівнянь є однією з найважливіших проблем теорії звичайних диференціальних рівнянь і диференціальних рівнянь в частинних похідних. Особливу увагу дослідників привертають задачі про знаходження періодичних роз'язків систем диференціальних рівнянь та дослідження їх інваріантних множин, гомеоморфних m-вимірному тору.

До таких задач призводить, наприклад, математична ідеалізація процесів і явищ, що досліджуються в небесній механіці, коли від фізичної системи переходять до системи диференціальних рівнянь з "коливними" розв'язками. Цим проблемам присвячені роботи багатьох вітчизняних та закордонних вчених. Так, перші дослідження інваріантних торів проведено в відомих роботах А. Пуанкаре та А. Данжуа. При обґрунтуванні асимптотичних методів нелінійної механіки М.М. Боголюбовим і М.М. Криловим були отримані перші глибокі результати в теорії інваріантних тороїдальних многовидів систем нелінійної механіки. Пізніше запропоновані ними ідеї знайшли всебічний розвиток в роботах Ю.О. Митропольського. Ці ідеї також: вплинули на характер подальших розробок теорії збурення тороїдальних многовидів і призвели до глибоких результатів С. Ділі-берто, Дж. Хейла, Я. Курцвейля, В. Кайнера, І. Купки. Слід також: згадати дослідження К.О. Фрідріхса періодичних розв'язків додатно-симетричних систем лінійних рівнянь в частинних похідних, а також - швидко-збіжний метод ітерацій Ю. Мозера у застосуванні до нелінійних узагальнень додатно-симетричних систем, що дав нові результати щодо збереження інваріантного тору при збуреннях, а своє продовження ця теорія знайшла в роботах Р. Сакера та Г. Селла.

Цій темі присвячено цикл досліджень А.М. Самойленка, який ввів поняття функції Гріна (Гріна-Самойленка) задачі про інваріантні тори лінійного розширення динамічної системи на торі.

Поняття функції Гріна-Самойленка виявилось надзвичайно плідним і дало новий імпульс до розвитку різних аспектів теорії збурення, стійкості інваріантних торів систем нелінійної механіки, та призвело до нових результатів у цій теорії.

Подальшому розвитку цих результатів із застосуванням знакозмінних функцій Ляпунова присвячені роботи В.Л. Кулика, І.У. Бронштейна, В.І. Ткаченка, В.А. Малькова, С.І. Трофимчука та інших.

Метод А.М. Самойленка вивчення поведінки розв'язків автономних систем диференціальних рівнянь в околі їх інваріантних тороїдальних многовидів, що призводить до дослідження лінійних розширень динамічних систем на торі, вимагає виконання ряду умов. Тому у дисертаційній роботі продовжено вивчення вищезгаданої проблеми для випадку, коли ці умови не виконуються.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Дослідження проводились у відділі диференціальних рівнянь та теорії коливань Інституту математики НАН України згідно з загальним планом науково-дослідних робіт "Методи аналізу диференціальних, імпульсних та еволюційних рівнянь", номер держреєстрації 0198U001998, та "Теорія диференціальних рівнянь і нелінійних коливань", номер держреєстрації 0101U000526.

Мета і задачі дослідження. Метою даної роботи є встановлення умов доповнюваності періодичного репера до періодичного базису, що застосовуються до введення локальних координат в малому околі інваріантного тороїдального многовиду нелінійної системи диференціальних рівнянь, а також дослідження властивостей систем диференціальних рівнянь, що отримуються в цих локальних координатах, та їх лінеаризацій - лінійних розширень динамічних систем на торі.

Наукова новизна одержаних результатів.

Основні результати, які визначають наукову новизну і виносяться на захист, наступні:

- Знайдено нові достатні умови доповнюваності періодичної вектор функції до періодичного базису, що виявились і необхідними у випадку найменших розмірностей вектора та тору, коли існують не доповнювані вектори;

- У випадку недоповнюваної до періодичного базису лінійно незалежної системи періодичних векторів знайдено мінімальну розмірність розширеного (збільшенням кількості координат векторів цієї системи) простору, в якому доповнюваність можлива. Побудовано приклади такого доповнення цієї системи;

- Результати щодо доповнюваності періодичного репера до періодичного базису застосовано до задачі про введення локальних координат в малому околі інваріантного тороїдального многовиду нелінійної системи диференціальних рівнянь;

- Знайдено ряд властивостей системи, що отримується після введення локальних координат в околі інваріантного тороїдального многовиду автономної системи диференціальних рівнянь. Досліджено лінеаризацію даної системи - лінійне розширення динамічної системи на торі.

Практичне значення одержаних результатів.

Дисертаційна робота має теоретичний характер. Отримані в роботі результати можуть бути застосовані для розв'язування багатьох прикладних задач небесної механіки, фізики, вони можуть бути використані також в теорії оптимального керування и автоматичного регулювання.

Висновки

Дослідження, проведене у дисертаційній роботі, присвячено вивченню поведінки розв'язків нелінійних систем диференціальних рівнянь в околі деякого інваріантного тороїдального многовиду цієї системи.

Знайдено нові умови доповнення системи періодичних вектор-функцій до періодичного базису. Отримані результати застосовано для введення локальних координат в малому околі інваріантного тороїдального многовиду автономної системи диференціальних рівнянь. Досліджено ряд важливих властивостей отриманих систем диференціальних рівнянь в локальних координатах та їх лінеаризацій - лінійних розширень динамічних систем на торі. Хоча одержані результати і методика доведень мають, в основному, теоретичне значення, вони можуть бути використані, також, в теорії оптимального керування і автоматичного регулювання, при розв'язуванні багатьох прикладних задач небесної механіки і фізики:

- Результати щодо доповнюваності періодичного репера до періодичного базису застосовано до задачі про введення локальних координат в малому околі інваріантного тороїдального многовиду нелінійної системи диференціальних рівнянь;

- Знайдено ряд властивостей системи, що отримується після введення локальних координат в околі інваріантного тороїдального многовиду автономної системи диференціальних рівнянь. Досліджено лінеаризацію даної системи - лінійне розширення динамічної системи на торі.

Одержані результати і методика доведень мають, в основному, теоретичне значення. Вони можуть, також, застосовуватись для розв'язування багатьох прикладних задач небесної механіки і фізики, використовуватись в теорії оптимального керування і автоматичного регулювання.

Список опублікованих праць здобувача за темою дисертації

1. Burilko A.A., Davydenko A.A. To a Problem of Introduction of Local Coordinates in a Neighbourhood of an Invariant Toroidal Set // Nonlinear Oscillations. - 2001. - Vol. 4, Num. 2. - P. 171-189.

2. Burilko A.A., Davydenko A.A. To the Problem of Complementebility of a Periodic Frame to a Periodic Basis // Nonlinear Oscillations. - 2001. - Vol. 4, Num. 4. - P. 458-470.

3. Давиденко А.А. Про один метод введення локальних координат в околі інваріантної тороїдальної множини // Укр. мат. журн. - 2002. - 54, №10. - С. 1336-1347. рівняння математичний механіка

4. Самойленко A.M., Єрьоменко В.О., Давиденко А.А. Дослідження квазіперіодичних розв'язків лінійних систем диференціальних рівнянь з виродженою симетричною матрицею при похідній // Доповіді НАН України. - 2001. - №4. - С. 21-26.

5. Бурилко О.А., Давиденко А.А. Проблеми введення локальних координат в околі інваріантної тороїдальної множини // Тези доповідей Українського математичного конгресу - 2001. "Диференціальні рівняння і нелінійні коливання". - 2001 - С. 26.

6. Бурилко А.А., Давиденко А.А. К вопросу о дополнении периодического репера до периодического базиса в Rn // Тезисы докладов VI Крымской Международной математичской школы - 2002. - С. 55.

Размещено на Allbest.ru