В багатьох галузях науки і техніки потрібна інформація про вміст частинок в дисперсних середовищах. Для визначення концентрації та розмірів частинок застосовують оптичні методи, дія яких базується на реєстрації розсіяного світла. Цей сигнал пов`язується з розподілом за розмірами в рамках певної моделі. Коректна робота вибраної моделі вимагає відповідної будови оптичної частини та процедури проведення вимірювання. Умовно всі методи можна розділити на дві групи. В першій - розподіл визначається шляхом вимірювання інтенсивності світла, розсіяного окремими частинками. Умовою коректної роботи є однозначна відповідність між сигналом та розміром частинки. Похибки вимірювання зумовлені нерівномірністю освітлення зони реєстрації. Для їх зменшення необхідно ускладнювати оптичну схему вимірювального тракту. У другій групі методів реєструється сигнал, спричинений великим числом частинок, які одночасно перебувають у зоні реєстрації. Виміряна величина зв`язується з розподілом за розмірами певним оператором, найчастіше інтегральним рівнянням. Розв`язування такої задачі ускладнюється значним впливом похибок вимірювання.

Зроблено висновок про доцільність розробки такої моделі визначення розподілу частинок за розмірами, яка б поєднувала переваги обох груп методів, зводячи до мінімуму їхні недоліки.

Розглянуто відомі методи пошуку розв`язку некоректних та погано зумовлених задач, особливістю яких є сильна залежність результату від зміни даних. Тому, навіть малі похибки вимірювань неприпустимо спотворюють розв`язок. Відомі методи прямої підгонки, кумулянтів, гістограм, потребують надто детальної апріорної інформації, і є практично непридатними для складних залежностей.

Методи регуляризації основані на заміні оператора задачі іншим, для якого задача є коректною. Зміни, що вносяться при цьому, характеризуються параметром регуляризації, при прямуванні якого до певного значення (як правило нуля чи безмежності), регуляризуючий оператор переходить у вихідний. Проведений аналіз показує, що методи підбору та псевдорозв`язків складні в реалізації, вимагають інформації про область коректності. Застосування методів регуляризації Лаврентьєва і Бакушинського обмежене вимогою самоспряженості оператора. Метод Тіхонова можна застосовувати для регуляризації цієї задачі, проте отримані результати мають невисоку точність, що обумовлено його недоліками, зокрема, недотриманням умови невід`ємності розв`язку. В існуючих модифікаціях методу, зменшення похибки результату досягається за наявності детальної апріорної інформації, або за рахунок ускладнення процедури розв`язування, роблячи задачу нелінійною. Відомі методи ітераційної регуляризації мають практично такі ж недоліки, як і метод регуляризації Тіхонова.

Робиться висновок, що для розв`язування задачі визначення розподілу за розмірами необхідна розробка нового методу.

Сформульовано основні принципи побудови пристроїв для визначення розподілу частинок за розмірами. У відповідності з сучасними вимогами до чистоти технологічних середовищ, необхідно проводити вимірювання з високою точністю, в широкому діапазоні розмірів, з мінімальними затратами часу. Вибрано схему проведення вимірювання, згідно з якою проводиться реєстрація світла, розсіяного частинками, які перетинають освітлену зону. Робочий об`єм створюється в перетяжці сфокусованого лазерного променя, що забезпечує високу інтенсивність випромінювання, необхідну для реєстрації малих частинок. Для зменшення похибок вимірювання, зумовлених неоднорідністю освітлення, пропонується застосовувати нові методи обробки результатів.

У другому розділі розроблено модель визначення розподілу частинок за розмірами оптичним методом. Проведено аналіз параметрів електричного сигналу, що виникає при реєстрації світла, розсіяного частинкою, яка перетинає сфокусований лазерний промінь. Показано, що при нерівномірно освітленій зоні реєстрації неможливо встановити однозначну відповідність між розміром частинки та амплітудою і тривалістю електричного імпульсу.

Розроблено математичну модель, яка встановлює зв `язок між двома об'єктами. Перший - вектор виміру, який отримується з дискретного розподілу за амплітудою і тривалістю електричних імпульсів. Другий - вектор розподілу частинок за розмірами, компоненти якого рівні відносному вмісту частинок відповідного піддіапазону розмірів, на які розбивається повний інтервал. У рамках припущення, що частинки, які знаходяться в середовищі, являють собою суміш сферичних частинок з однаковими показниками заломлення і визначеним набором діаметрів, значення компонентів першого вектора є лінійною комбінацією компонентів другого вектора. Отримані співвідношення об`єднуються в систему лінійних алгебраїчних рівнянь.

Компоненти матриці цієї системи визначаються процедурою калібрування, яка полягає у визначенні векторів виміру для суспензій, які містять частинки одного розміру. Отримані вектори виміру об'єднуються в матрицю, причому компоненти стовпчиків матриці рівні відповідним компонентам векторів.

Вектор розподілу за розмірами є розв'язком отриманої переозначеної системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Ця система є погано зумовленою. Для її розв`язування необхідно застосовувати регуляризуючий алгоритм.

У третьому розділі розроблено метод регуляризації задачі визначення розподілу частинок за розмірами в дисперсних середовищах. Розглянуто причину неточності результатів, отриманих методом регуляризації Тіхонова. Показано, що похибка є сумою двох складових. Перша - визначається збуренням правої частини системи, а друга - змінами, що вносяться в обернений оператор задачі при заміні його на регуляризуючий оператор. Обидві величини залежать від значення параметра регуляризації. При його зростанні, перша складова похибки зменшується, а друга - збільшується. Тому, при певному значенні параметра регуляризації, похибка досягає мінімального значення, зменшити яке неможливо при даній схемі пошуку розв`язку. Запропоновано підвищити точність розв `язування задачі, шляхом такої процедури регуляризації, яка дозволяє зменшити другу складову похибки. Для цього розроблено метод ітераційної регуляризації на основі методу Тіхонова (надалі ІРТ). Суть методу, при застосуванні його для розв'язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь:

, (1)

де , , полягає в побудові наступного ітераційного процесу.

Початкове наближення визначається за регуляризуючою формулою Тіхонова:

, (2)

де - транспонована матриця ;

- параметр регуляризації за Тіхоновим;

- матриця, компоненти якої рівні: , ; .

Наступні наближення обчислюються через попередні:

, (3)

де . (4)

Обчислювальним експериментом встановлено такі властивості ітераційного процесу (2) - (4).

Ітераційний процес (2) - (4) є регуляризуючою процедурою для задачі (1), за умови невід `ємності компонентів векторів розв'язку та початкового наближення, причому параметром регуляризації є номер ітерації.

При додатному векторі початкового наближення, всі вектори, що є проміжними результатами методу ІРТ є додатними.

При збільшенні (зменшенні) параметра в k разів, для досягнення однакового наближення по нормі до правильного результату, число ітерацій також необхідно збільшити (зменшити) приблизно у k разів.

Розроблено алгоритм пошуку розв`язку лінійної оберненої задачі методом ІРТ, який полягає у виборі оптимального параметра та критерію зупинки ітераційного процесу. Параметр вибирається з умови мінімуму похибки результату при невід'ємності початкового наближення. На рис. 1 зображено типові залежності похибки, значення якої визначається з виразу , та нев`язки - ( евклідова норма), від числа ітерацій. Виходячи з характеру залежностей, пропонується вибирати число ітерацій в області переходу від швидкої зміни нев`язки до зони її практичної стабільності. Такий спосіб застосовується тому, що в практичних задачах є можливість контролювати хід зміни нев`язки в ході ітераційного процесу.

Продемонстровано, що застосування ІРТ дозволяє отримувати точніші результати в порівнянні з методом регуляризації Тіхонова, що ілюструє рис. 2.

Розв`язок з мінімальною похибкою для методу Тіхонова отримано підбором параметра регуляризації. У методі ІРТ застосовано розроблений критерій зупинки ітераційного процесу. Порівняння результатів демонструє, що метод ІРТ не спотворює результат при вузьких розподілах, та не містить від`ємних компонентів, що характерно для методу Тіхонова.

У четвертому розділі описано практичну реалізацію розробленої моделі та обчислювального методу в пристрої для визначення розподілу частинок за розмірами в рідині. Пристрій працює наступним чином. У проточній комірці, сфокусованим лазерним променем, створюється освітлена зона. Потік середовища перетинає промінь в області перетяжки. Завислі в рідині частинки розсіюють світло, яке реєструється фотоприймачем, на виході якого виникають електричні імпульси. З амплітуди і тривалості цих імпульсів визначається вектор виміру. Розподіл за розмірами є розв`язком системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Для знаходження матриці системи розроблено процедуру калібрування, яка дозволяє уникнути неоднозначності результатів, обумовленої фізичними особливостями розсіяння світла сферичними частинками. Проведено порівняння розподілів за розмірами, отриманих методами Тіхонова та ІРТ. На прикладі обробки результатів вимірювання в системі з відомим розподілом за розмірами продемонстровано вищу точність результату, отриманого методом ІРТ.

Розглянуто причини похибки результатів вимірювання. Вони зумовлені недоліками моделі, що визначаються неточністю визначення матриці системи рівнянь, та впливом методу розв`язування оберненої задачі. Іншою причиною є статистичний розкид компонентів вектора виміру. Особливістю задачі оцінки похибки є відсутність еталонних засобів визначення розмірів і концентрації частинок. Інші відомі оптичні лічильники частинок мають низьку точність вимірювань. Електронним мікроскопом неможливо проводити визначення розмірів частинок безпосередньо в середовищі.

Оцінку першої складової похибки проведено за результатами вимірювань в суспензіях монодисперсних латексів, результати яких зображено на рис. 3. Реальний розподіл за розмірами має вигляд одиничного піка у відповідному піддіапазоні розмірів. Півширину виміряних розподілів використовуємо в якості характеристики впливу похибки, причиною якої є недоліки моделі. Проведено порівняння з аналогічними характеристиками для пристроїв, що серійно випускаються, результати якого приведено в Таблиці 1. Точність вимірювання розробленим пристроєм вища на всьому діапазоні розмірів частинок.

Таблиця 1. Роздільна здатність вимірювання розмірів частинок

На рис. 4 приведено результати вимірювання розподілу за розмірами в суспензіях, що містять два види латексів.

За умови, що різниця між розмірами частинок більша від півширини розподілів компонентів, результат вимірювання має вигляд двох розділених піків. Площа під піками є відносним вмістом компонентів. Визначене відношення вмісту складових частин не залежить від ширини розподілу компонентів. Причиною відмінності результатів вимірювання даної величини від точного значення, є похибка визначення вектора виміру. Це дозволяє оцінити значення другої компоненти похибки, для характеристики якої використано величину:

, (5)

де - виміряне значення, - точне значення одної компоненти вектора розподілу частинок за розмірами.

Для визначення проведено серію вимірювань розподілу частинок за розмірами в суспензіях, що містять два види частинок при різних співвідношеннях між компонентами. Суспензії створювались змішуванням двох монодисперсних латексів. Величина , значення якої визначається з виразу:

, (6)

де та - виміряний відносний вміст частинок діаметрами та відповідно, та - об`єми суспензій латексів, використаних для приготування сумішей, повинна бути однаковою для результатів вимірювань однієї серії. Вплив похибок приводить до того, що значення , отримані в різних експериментах, є реалізаціями нормально розподіленої випадкової величини. З вибірки величини , оцінено її середнє значення та дисперсію. З умов проведення експерименту, визначено середні значення та абсолютні похибки об`ємів. Виходячи з цих даних, та співвідношень (5) і (6), методами дисперсного аналізу, проведено оцінку величини . Встановлено, що значення менше 0,1 на всьому діапазоні розмірів.

Результати вимірювань свідчать, що застосування запропонованої моделі дозволяє проводити вимірювання з високою, для даного класу пристроїв, точністю.

Проведено вимірювання розподілів частинок за розмірами в технологічних середовищах на різних етапах синтезу монодисперсних латексів. Результати демонструють придатність пристрою для контролю технологічного процесу, і для оцінки якості кінцевого продукту. В порівнянні з методом електронної мікроскопії, який звичайно застосовується, суттєво зменшується час проведення вимірювань.

Висока роздільна здатність вимірювання розмірів частинок дозволяє розширити сфери застосування розробленого пристрою. Проведено дослідження, які продемонстрували принципову можливість визначення вмісту мікроорганізмів та реєстрації змін у розподілах за розмірами в суспензіях, що їх містять. Така інформація потрібна в процесі виробництва та зберігання ін`єкційних лікарських засобів.

На рис. 5 приведені результати вимірювання розподілів за розмірами в суспензіях, які містять мікроорганізми. Вплив сторонніх домішок виключався проведенням додаткових вимірювань на буферному середовищі. Бактерії реєструються як частинки, діаметри яких знаходяться в межах 0.2-0.3 мкм. Відомо, що розміри даних бактерій знаходяться в межах 0,5 - 5,0 мкм, середній показник заломлення близько 1,40. Результати вимірювань, які зображені на рис. 5, не відповідають довідковим величинам. Причина полягає в тому, що інтенсивність розсіяного світла залежить не лише від розміру частинки, але і від показника заломлення. Результати розрахунків, які приведено на рис. 6, пояснюють причини зменшення виміряних середніх розмірів мікроорганізмів та ширини розподілів порівняно з реальними значеннями.

Можливість реєстрації змін у стані мікроорганізмів демонструють, приведені на рис. 7, результати послідовних вимірювань розподілу за розмірами у культурі мікроорганізму Ps. aeruginosa у фізрозчині. З часом відбувається звуження розподілу та незначне зменшенні середнього розміру. На рис. 8 приведені результати аналогічного експерименту для Ps. aeruginosa в розчині глюкози. Спостерігаються значні зміни в розподілах за розмірами, спричинені розмноженням в глюкозі інших видів бактерій.

Отже, про наявність бактерій в ін`єкційних препаратах, які є живильним середовищах для них, можна робити висновок, виходячи з динамічних змін у розподілах за розмірами та концентрації частинок. Про наявність мікроорганізмів в фізрозчині та аналогічних препаратах, в яких бактерії не можуть розмножуватись, свідчить наявність у результатах вимірювання частинок з розмірами в межах 0,2 - 0,3 мкм, та зміни з часом у розподілі за розмірами в цьому діапазоні.

Проведені дослідження демонструють, що застосування розробленої математичної моделі, в поєднанні з методом розв`язування обернених задач, у пристрої для визначення розподілу частинок за розмірами, дозволяє досягати високої точності вимірювань. Це дозволяє розширити сфери застосування такого класу пристроїв.