Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет імені Івана Франка

УДК 519.6

РОЗВИТОК МОДИФІКОВАНОГО МЕТОДУ ПОСЛІДОВНИХ НАБЛИЖЕНЬ ЗНАХОДЖЕННЯ ХАРАКТЕРИСТИЧНИХ ЧИСЕЛ ЦІЛКОМ НЕПЕРЕРВНИХ ОПЕРАТОРІВ ТА ОПЕРАТОРНИХ ПУЧКІВ

01.01.07 - обчислювальна математика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

ЯРОШКО Світлана Михайлівна

Львів - 2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі програмування у Львівському національному університеті імені Івана Франка, міністерство освіти і науки України. модифікований спектр апостеріорний число

Науковий керівник - доктор фізико-математичних наук, професор ВОЙТОВИЧ Микола Миколайович, завідувач відділу числових методів математичної фізики Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, м. Львів

Офіційні опоненти - доктор фізико-математичних наук, професор ІЛЬЇНСЬКИЙ Анатолій Серафимович, завідувач лабораторії обчислювальної електродинаміки факультету обчислювальної математики та кібернетики Московського державного університету ім. М. В. Ломоносова

- доктор фізико-математичних наук, професор СЛОНЬОВСЬКИЙ Роман Володимирович, професор кафедри прикладної математики національного університету “Львівська політехніка”

Провідна установа - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, факультет кібернетики, кафедра обчислювальної математики

Захист відбудеться 2 жовтня 2003 року о 15.00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 35.051.07 за адресою: м. Львів, вул. Університетська, 1, ауд. 377.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка за адресою: м. Львів, вул. Драгоманова, 5.

Автореферат розісланий 2 вересня 2003 року

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради

кандидат фізико-математичних наукБокало М. М.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Задачі на власні значення виникають при дослідженні багатьох теоретичних і прикладних проблем фізики, механіки, хімії, біології та інших наук. Важливу роль у розвитку теорії спектральних задач та методів їх розв'язування відіграють роботи Ю. Ш. Абрамова, К. Г. Валєєва, С. Гулда, Р. Даффіна, М. В. Келдиша, Л. Коллатца, В. Н. Кублановської, С. Ланцоша, І. О. Луковського, А. Ю. Лучки, А. С. Маркуса, Б. Парлетта, В. Г. Приказчикова, Г. В. Радзієвського, Дж. Уілкінсона та ін.

Достатньо повно вивчені лінійні задачі на власні значення. Для багатьох конкретних класів цих задач існують теоретичні результати, розроблено різні, у тому числі ітераційні, методи знаходження власних значень, оцінки їх точності. Проте залишається багато питань, які вимагають дослідження. Наприклад, складною задачею є обчислення кратних та близьких за модулем власних значень. Узагальнені спектральні задачі, зокрема з поліноміальною залежністю від параметра, досліджені менше.

Великий клас спектральних задач - лінійних та нелінійних - становлять задачі з цілком неперервними операторами. Дослідження, пов'язані з розробкою методів розв'язування цих задач, проводились у роботах П. М. Анселона, Ю. В. Воробйова, С. Г. Міхліна, Дж. Осборна, Н. Польського. Ефективний метод обчислення характеристичних чисел і відповідних їм власних функцій лінійного цілком неперервного оператора - модифікований метод послідовних наближень (ММПН) - був запропонований М. М. Войтовичем та А. І. Ровенчаком¹¹⁾ Войтович Н. Н., Ровенчак А. И. Модификация метода последовательных приближений для однородных задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. - 1982. - Т. 22, № 2. - С. 348 - 357.⁾. Його алгоритм полягає в ітеруванні оператором деякої початкової функції з наступною обробкою всіх проміжних ітерацій, що дозволяє за невелику кількість кроків отримати не тільки перше, але й наступні характеристичні числа оператора і обчислити відповідні їм власні функції. Однією з особливостей ММПН є те, що він найбільш ефективний у випадках, коли спектр оператора містить групу характеристичних чисел, близьких за абсолютною величиною до першого.

Дана робота присвячена дослідженню питань, пов'язаних з теоретичним обгрунтуванням ММПН (зокрема для випадків, коли у спектрі оператора є кратні характеристичні числа, у тому числі неоднакової алгебричної та геометричної кратностей), з апостеріорною оцінкою точності наближених розв'язків, з поширенням на клас узагальнених спектральних задач, з дослідженням ефективності, порівнянням з іншими методами, числовою реалізацією.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження за темою дисертації включено до плану науково-дослідної роботи кафедри програмування Львівського національного університету імені Івана Франка (науково-дослідна тема, що виконується в межах робочого часу викладачів, “Дослідження та розробка сучасних програмних засобів та методів чисельного аналізу”, затверджена наказом ректора № Н-287 від 11.06.2001 р.).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є розвиток модифікованого методу послідовних наближень, що передбачає вирішення таких задач:

уточнення теоретичного обгрунтування ММПН з урахуванням структури спектра лінійного цілком неперервного оператора, що діє у нормованому функціональному просторі;

побудова апостеріорних оцінок точності обчислення характеристичних чисел;

поширення методу на узагальнені спектральні задачі з поліноміальними матричними та операторними пучками;

алгоритмічна та програмна реалізація методу для різних типів лінійних та нелінійних спектральних задач з цілком неперервними операторами;

проведення числових експериментів з метою перевірки ефективності методу.

Об'єктом дослідження є спектральні задачі.

Предметом дослідження є метод обчислення характеристичних чисел і власних функцій лінійного цілком неперервного оператора.

Методи дослідження. У теоретичних дослідженнях використано відомості з функціонального аналізу, теорії функцій комплексної змінної, математичного аналізу, теорії наближення функцій, алгебри. При створенні програм застосовано методи числового інтегрування, розв'язування систем рівнянь, обчислення коренів поліномів, систему символьних обчислень Mathematica 3.0.

Наукова новизна роботи полягає в тому, що в ній розвинуто модифікований метод послідовних наближень обчислення характеристичних чисел і власних функцій лінійного цілком неперервного оператора, що діє у функціональному просторі, наділеному рівномірною або середньоквадратичною нормою, у таких напрямках:

доповнено і уточнено теоретичне обгрунтування методу; вперше доведено теорему, яка обгрунтовує ММПН для випадку, коли серед характеристичних чисел оператора є кратні з різними алгебричною та геометричною кратностями, і запропоновано спосіб обчислення приєднаних функцій, які, разом з власними, відповідають таким характеристичним числам;

вперше запропоновано і обгрунтовано спосіб апостеріорної оцінки точності обчислення характеристичних чисел, і окреслено область найбільш ефективного використання ММПН;

поширено ММПН на клас узагальнених спектральних задач з поліноміальними матричними пучками довільного степеня та квадратичними пучками лінійних цілком неперервних операторів, що діють у гільбертовому просторі;

здійснено числову та програмну реалізацію ММПН, проведено низку числових експериментів, за результатами яких показано переваги ММПН у порівнянні з іншими методами для різних класів задач, апробовано методику апостеріорної оцінки точності методу, виконано апостеріорну оцінку швидкості збіжності наближених розв'язків до точних.

Наукове і практичне значення роботи. Теоретичні результати, отримані в дисертації, є внеском у теорію ітераційних методів розв'язування спектральних задач. Практичне значення роботи полягає у можливості застосування ММПН для розв'язування лінійних та нелінійних спектральних задач з цілком неперервними операторами, в тому числі з матричними. Розроблено комплекс програм, які можуть бути використані в конкретних дослідженнях, де вимагається розв'язування спектральних задач.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації отримані автором самостійно і опубліковані в [1-11]. Роботи [3, 5, 6] опубліковані без співавторів. У роботі [1], опублікованій спільно з М. М. Войтовичем і С. А. Ярошком, науковому керівнику належить постановка задачі, ідея ММПН та доведення теореми, яка обгрунтовує метод, другому співавтору - основні методики числової реалізації методу, здобувачеві - спосіб апостеріорної оцінки точності, отримані числові результати. Роботи [2, 7] опубліковані у співавторстві з Б. М. Подлевським. Йому належить формулювання та обгрунтування способів лінеаризації узагальненої спектральної задачі, здобувачеві - перенесення ММПН на лінеаризовану задачу, формулювання алгоритму методу, числові результати. Роботи [2, 4, 8-11] опубліковані у співавторстві з С. А. Ярошком. У них співавторові належать: у [2, 8-10] - основні ідеї числової реалізації, в [4, 11] - ідея відокремлення похибки методу; здобувачеві належать теоретичні і числові результати.

Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідались на Всеукраїнській науковій конференції “Застосування обчислювальної техніки, математичного моделювання та математичних методів у наукових дослідженнях” (Львів, 1997), на VII Всеукраїнській конференції “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики” (Львів, 2000), на міжнародному науковому семінарі “Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory (DIPED)” (Львів, 1997, 1999; Тбілісі, 2000), на семінарі кафедри обчислювальної математики Київського національного університету імені Тараса Шевченка (Київ, 2001), на регіональному семінарі з математичного аналізу на механіко-математичному факультеті ЛНУ імені Івана Франка (Львів, 2001), на семінарах відділу числових методів математичної фізики Інституту прикладних проблем механіки та математики ім. Я. С. Підстригача НАН України (Львів, 2001, 2003), на семінарах кафедри програмування та факультету прикладної математики та інформатики ЛНУ імені Івана Франка (Львів, 2000, 2001, 2003).

Публікації. За матеріалами дисертації опубліковано шість статей у журналах з переліку ВАК України, три статті у збірниках праць міжнародних наукових семінарів, тези двох доповідей на всеукраїнських наукових конференціях.

Структура дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків і списку використаних джерел. Повний обсяг дисертації - 157 сторінок, список використаних джерел займає 11 сторінок і включає 115 найменувань. Робота містить 15 рисунків і 15 таблиць.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано важливість та актуальність питань, вирішенню яких присвячена дана робота, сформульовано мету дисертації, відзначено її наукову новизну та практичне значення.

У першому розділі проаналізовано сучасний стан проблеми розв'язування різних класів спектральних задач. Подано огляд літератури за вибраною тематикою. Стисло сформульовано основні результати дисертації.

У другому розділі викладено суть модифікованого методу послідовних наближень, проведено його теоретичне обгрунтування, описано обчислювальний алгоритм, розглянуто способи реалізації цього алгоритму у функціональному просторі з рівномірною та середньоквадратичною нормою, наведено числові результати.

У підрозділі 2.1 розглядається задача відшукання характеристичних чисел та відповідних їм власних функцій лінійного цілком неперервного оператора А, що діє у лінійному нормованому функціональному просторі E

u - м Au = 0.(1)

Базуючись на тому, що характеристичні числа цілком неперервного оператора утворюють скінченну або зліченну послідовність, яка може мати єдину точку скупчення на нескінченності, вводиться ціла функція

,(2)

нулями якої є ці і лише ці числа (характеристичний ряд задачі (1)), і розглядається допоміжне рівняння

u - м Au = v₀F(м).(3)

Тут v₀ - ненульова функція з простору E, яку можна розвинути в ряд за власними (і приєднаними, якщо такі є) функціями оператора A. Припускається, що власні та приєднані функції цього оператора утворюють базу в просторі E.

У відповідності з альтернативою Фредгольма рівняння (3) має розв'язок при будь-яких значеннях і довільній функції v₀. Цей розв'язок має вигляд

,(4)

де

,(5)

v_j = Av_j-₁=A^jv₀, j = 1, 2, ...;

c_j - невідомі коефіцієнти характеристичного ряду (2).

Умови, яким у загальному випадку повинні задовольняти коефіцієнти c_j, встановлюють наступні теореми.

Теорема 2.1. Нехай усі характеристичні числа _п лінійного цілком неперервного оператора A: E  E прості, ₁ - найменше за модулем характеристичне число і |₁|  1, а для коефіцієнтів b_n розвинення

(6)

початкової функції v₀  E за його власними функціями u_n, (, n=1, 2, ...) виконується умова

.(7)

Якщо коефіцієнти c_j, j = 1,…,m у визначенні (5) функцій Z_m є коефіцієнтами характеристичного ряду (2), то виконується умова

.(8)

Ця теорема встановлює необхідну умову (8) для коефіцієнтів c_j лінійної комбінації (5). При додаткових обмеженнях на властивості характеристичних чисел оператора доведено, що необхідною і достатньою є сильніша умова:

Теорема 2.2. Нехай усі характеристичні числа _п лінійного цілком неперервного оператора A: E  E прості, і всі коефіцієнти b_n у розвиненні (6) початкової функції v₀  E за його власними функціями u_n, (, n=1, 2, ...) відмінні від нуля. Якщо

,(9)

то коефіцієнти c_j, j = 1,…,m у визначенні (5) функцій Z_m, будуть коефіцієнтами цілої функції , яка перетворюється в нуль на _п. Якщо ця функція не має сторонніх коренів, що співпадають з _п, то для  = _n ряд (4) збігається до a_nu_n, де a_n  0.

Навпаки, якщо всі характеристичні числа _п оператора A дійсні додатні і, починаючи з деякого номера n₀, зростають не повільніше ніж Cn^p, p>1, для коефіцієнтів ряду (6) виконується (7), а коефіцієнти c_j, j = 1,…,m у визначенні (5) функцій Z_m є коефіцієнтами характеристичного ряду (2), то виконується умова (9).

Ця теорема відрізняється від теореми зі статті²²⁾ Див. виноску на с. 1.⁾ тим, що у формулюванні її необхідності умову замінено суттєво слабшою умовою (7) та не вимагається існування , але на оператор накладаються додаткові припущення щодо властивостей його характеристичних чисел, доповнено достатні умови теореми. У дисертації виконано нове доведення необхідності, доведення достатності належить М. М. Войтовичу³³⁾ Там само.⁾.

Теорема 2.2 не гарантує відсутності сторонніх коренів у ряду, коефіцієнти якого задовольняють умову (9). На практиці такі сторонні значення можна легко розпізнати, оскільки для них ряд (4) збігається до тотожнього нуля (як розв'язок однорідної задачі (1) на регулярному значенні параметра ).

У підрозділі 2.2 розглядається випадок, коли оператор задачі (1) має кратні характеристичні числа, геометрична кратність яких на одиницю менша за алгебричну. Кожному такому числу _k, крім власних, відповідає також приєднана функція w_k, яка є розв'язком рівняння

Aw_k - w_k / _k = u_k,(10)

де u_k - власна функція, яка відповідає числу _k. ММПН для цього випадку обгрунтовує

Теорема 2.3. Нехай усі характеристичні числа _n лінійного цілком неперервного оператора A: E  E, крім k-го, прості, алгебрична кратність _k дорівнює двом, а геометрична - одиниці. Нехай також усі коефіцієнти b_n, n = 1,2,…, b_k⁽¹⁾ у розвиненні

(11)

початкової функції v₀  E за власними функціями u_n та приєднаною w_k відмінні від нуля ().

Якщо виконується умова (9), то коефіцієнти c_j, j = 1,…,m у визначенні (5) функцій Z_m, будуть коефіцієнтами цілої функції , яка перетворюється в нуль на _n (враховуючи кратність). Якщо ця функція не має сторонніх коренів, що співпадають з _п, то для  = _n ряд (4) збігається до a_nu_n, де a_n  0.

Навпаки, якщо всі характеристичні числа _п оператора A дійсні додатні і, починаючи з деякого номера n₀, зростають не повільніше ніж Cn^p, p>1, для коефіцієнтів ряду (11) виконується (7), а коефіцієнти c_j, j = 1,…,m у визначенні (5) функцій Z_m є коефіцієнтами характеристичного ряду (2), то виконується умова (9).

Теорему легко узагальнити для випадку, коли в спектрі оператора є декілька характеристичних чисел, алгебрична кратність яких на одиницю більша за геометричну.

У підрозділі 2.3 описано побудований на основі теорем 2.1-2.3 ітераційний алгоритм обчислення наближених характеристичних чисел, власних і приєднаних функцій оператора задачі (1), вказано умови закінчення обчислень.

Для початку обчислень слід вибрати функцію v₀ з урахуванням особливостей конкретної задачі. На m-му кроці алгоритму потрібно: обчислити функцію v_m = Av_m-₁; для забезпечення виконання умови (9) (чи (8)) розв'язати задачу і знайти коефіцієнти (в умовах теореми 2.2 послідовність мінімальних значень _т функціонала мажорується збіжною до нуля послідовністю , звідки випливає, що _m0 при m  ); обчислити корені полінома ; обчислити функції ; проаналізувати можливі випадки: 1) якщо _k^(m) - простий корінь і функція u_k^(m) відмінна від тотожнього нуля, то це є наближене характеристичне число і наближена власна функція задачі (1); 2) якщо _k^(m) - простий корінь і функція u_k^(m)  0, то це є сторонній розв'язок; 3) якщо _k^(m) - кратний корінь і функція u_k^(m)  0, то, потрібно розв'язати задачу повторно, вибравши іншу початкову функцію v₀(x); 4) якщо серед чисел _n^(m), n =1,…,m є двократні _k^(m) = _k+1^(m), і функція u_k^(m) відмінна від тотожнього нуля, то кожному такому числу відповідає ще й приєднана функція w_k^(m), яку слід обчислити за формулами

.

Застосовуючи ММПН на практиці, кожну задачу потрібно розв'язувати декілька разів з різними початковими функціями. Це дає змогу знаходити кратні характеристичні числа, контролювати ситуацію, коли деякі коефіцієнти розвинення (6) (або (11)) дорівнюють нулю, виявляти сторонні розв'язки.

Спосіб мінімізації залежить від способу введення норми у просторі Е. У підрозділах 2.4, 2.5 розглянуто реалізацію алгоритму у просторах з середньоквадратичною та рівномірною нормами відповідно. Крім того, встановлено, що у випадку, коли E - гільбертів простір, на кожному m-му кроці алгоритму ММПН будується скінченновимірний оператор A_m, який діє у підпросторі Крилова K^m(v₁) (базою такого підпростору є елементи v₁, Av₁, ..., A^m-¹v₁) і визначається співвідношенням

A_m = P_mAP_m,(12)

де P_m - проектор з простору E у підпростір K^m(v₁).

Для послідовності операторів (12) виконуються доведені в монографії Ю. В. Воробйова⁴⁴⁾ Воробьев Ю. В. Метод моментов в прикладной математике. М.: Гос. из-во физ.-мат. лит-ры, 1958. - 186 с.⁾ теореми про збіжність, згідно з якими: 1) послідовність операторів A_m, визначених формулами (12), рівномірно (за нормою простору лінійних операторів, що діють у нескінченновимірному просторі Крилова K(v₁), визначеному елементом v₁  E) збігається до оператора A; 2) якщо рівняння (1) має нетривіальний розв'язок в K(v₁), то зі зростанням m один з розв'язків рівняння u_m - _mA_mu_m = 0 прямує до розв'язку задачі (1) швидше ніж геометрична прогресія з довільним як завгодно малим знаменником q>0.

У підрозділі 2.6 наведено приклади застосування ММПН до конкретних задач. Отримані розв'язки порівняно з результатами інших авторів, а також, в окремих випадках, з точними розв'язками. Показано, що за допомогою ММПН характеристичні числа обчислюються за меншу кількість кроків і з більшою точністю, ніж при використанні класичного степеневого методу, методу Коха, методу Рітца. Метод дозволяє обчислювати кратні характеристичні числа та відповідні їм власні і приєднані (якщо такі є) функції заданого оператора. (Порівняння з методом Гальоркіна наведено у підрозділі 3.5).

Третій розділ присвячений дослідженню похибок ММПН.

У підрозділі 3.1 з'ясовано причини виникнення похибки методу, показано, що перше характеристичне число ₁ визначається з максимально досяжною точністю, оскільки інформація про нього зберігається на всіх обчислених ітераціях v_j вигляду . Точність обчислення решти характеристичних чисел _n, n=2,3, ...,M залежить від відношення |₁/_n| і від величини коефіцієнтів b_n.

У підрозділах 3.2, 3.3 запропоновано спосіб апостеріорної оцінки точності обчислення характеристичних чисел, який можна використовувати для різних варіантів алгоритму ММПН.

Теорема 3.1. Нехай усі характеристичні числа лінійного цілком неперервного оператора А прості, обчислено М лінійно незалежних функцій , j = 0, ..., M, N  M, і додатнє число задає абсолютну точність зображення мантиси числа в пам'яті комп'ютера. Тоді лінійна частина похибки наближених характеристичних чисел , обчислених на М-му кроці ММПН має вигляд

.(13)

У формулі (13) P - M  M матриця, стовпцями якої є коефіцієнти поліномів вигляду - вектор з M молодших коефіцієнтів полінома F_M() = (-₁)(-₂)…(-_M);  = MM матриця, елементами якої є _ij = _i-^j, якщо , або _ij = 0, якщо - вектор, складений з M одиниць; - вектор збурення.

Термін “лінійна частина похибки” означає, що одержана оцінка відрізняється від точної на величину порядку квадрата самої похибки. Очевидно, що достовірність такої оцінки тим більша, чим меншою є сама похибка.

У підрозділі 3.4 наведено приклади застосування запропонованої методики, показано, що отримані апостеріорні оцінки точності узгоджуються з реальною точністю обчислень.

У випадку, коли послідовні ітерації (6) можна отримувати аналітично, похибка ММПН відокремлюється від похибок заокруглень. Це дозволяє дослідити, як залежить кількість знайдених наближених характеристичних чисел та їхня точність від кількості виконаних кроків методу, апостеріорно оцінити швидкість збіжності наближених розв'язків до точних. Результати таких досліджень для конкретних задач наведено у підрозділі 3.6.

Наприклад, для інтегрального рівняння

,(14)

де G(x,t) є функцією Гріна одновимірного рівняння Гельмгольца з однорідними крайовими умовами, було виконано 35 кроків ММПН і знайдено 20 наближених характеристичних чисел. Встановлено, що наближені характеристичні числа збігаються до точних _n = n²² зі швидкістю геометричної прогресії зі знаменником від q  0,001 для n=1 до q  0,1 для n=20 (рис. 1). Такі ж оцінки отримано і для інших задач.

З метою проведення описаних у підрозділі досліджень ММПН було реалізовано в середовищі системи символьних обчислень Mathematica 3.0.

У четвертому розділі ММПН поширено на узагальнені спектральні задачі з поліноміальною залежністю від параметра.

У підрозділах 4.1, 4.2 запропоновано два способи розв'язування спектральних задач з поліноміальними матричними пучками довільного степеня. Один з них грунтується на безпосередньому застосуванні ідеї ММПН для задачі вигляду:

L()u = 0,(15)

де

L() = L_nⁿ + L_n-₁ⁿ-¹ + … + L₁ + I;(16)

L₁,…,L_n - матриці розмірів M  M; I - одинична M  M матриця.

Відомо, що задача (15) має nM характеристичних чисел (враховуючи кратні), які є коренями характеристичного полінома

.(17)

Як і в розділі 2, для побудови розв'язку задачі (15) використано допоміжну задачу L()u = v₀F_nM(),v₀  E^M. Цей розв'язок має вигляд

,(18)

де c_j - невідомі коефіцієнти полінома (17); P_i, j визначаються за рекурентними співвідношеннями:

Для обчислення коефіцієнтів c_j, j = 0,1,…,nM-1 при c_nM = 1 отримано nM рівнянь вигляду:

.(19)

Після того, як одним із відомих способів обчислено корені _i полінома (17), за формулами (18) при  = _i можна отримати власні вектори u_i, i = 1,…,nM.

Розглянуто й альтернативний спосіб розв'язування нелінійної спектральної задачі (15). Згідно з ним у просторі - прямій сумі n копій вихідного простору E = E^M (елементи з позначено через ) нелінійній задачі (15) ставиться у відповідність лінійна задача

, (20)

де - одиничний оператор у просторі - супутня пучку (16) матриця розмірів nMnM (лінеаризатор) вигляду

.

Спектральна еквівалентність задач (15) і (20) встановлена Б. М. Подлевським⁵⁵⁾ Подлевський Б. М. Числові методи розв'язування узагальнених спектральних задач для поліноміальних пучків самоспряжених операторів: Дис... канд. фіз.-мат. наук: 01.01.07. - Львів, 1995. - 111с.⁾. Вона означає, що характеристичні числа цих задач співпадають, а власними векторами u_i пучка (16) є перші компоненти обчислених власних векторів задачі (20).

Для знаходження характеристичних чисел ₁,…,_nM лінійної задачі (20) можна застосувати стандартну схему ММПН. Ці числа є коренями полінома вигляду (17). Його коефіцієнти (лема 4.3) визначаються з системи рівнянь

,(21)

де

.(22)

Якщо в якості лінеаризатора матричного пучка (16) вибрати і початковий вектор задати у вигляді , то системи рівнянь (19) та (21) для визначення коефіцієнтів характеристичного полінома (17) співпадають.

У підрозділі 4.4 розглядаються узагальнені спектральні задачі з квадратичними операторними пучками

L() = L₂² + L₁ + I,(23)

де L₁, L₂ - лінійні цілком неперервні оператори, що діють у гільбертовому просторі E; I - одиничний оператор у цьому ж просторі.

Застосовуючи процедуру лінеаризації, у просторі відбувається перехід від нелінійної задачі (15) з квадратичним операторним пучком (23) до спектрально еквівалентної їй лінійної задачі (20). Супутній пучку (23) оператор (лінеаризатор) у цьому випадку має вигляд

.(24)

Спектр характеристичних чисел оператора (24) дискретний і є або скінченним, або має єдину точку скупчення на нескінченності. Це дозволяє використати ММПН для розв'язування лінійної спектральної задачі (20) з оператором (24). У цьому випадку його обгрунтовують теореми 4.1, 4.2, що є аналогами теорем 2.1, 2.2 у просторі . Характеристичні числа _i, i = 1,2,… та власні функції цієї задачі обчислюють за звичайною схемою методу, викладеною у розділі 2.

Як і для випадку матричного пучка, характеристичні числа _i, i = 1,2,… задачі (20) є характеристичними числами пучка (23). Власними функціями цього пучка є перші компоненти власних вектор-функцій .

У підрозділах 4.3, 4.5 наведено приклади числового розв'язування спектральних задач з поліноміальними матричними пучками різних степенів та з квадратичними пучками лінійних цілком неперервних операторів. Проведено порівняння отриманих результатів з відомими.

У висновках сформульовані основні результати дисертаційної роботи і намічені напрямки можливого продовження досліджень.

ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена вирішенню наукового завдання - розвитку модифікованого методу послідовних наближень, призначеного для обчислення характеристичних чисел лінійних цілком неперервних операторів та операторних пучків, що діють у банаховому та гільбертовому просторах, а також розробці алгоритмічної та програмної реалізації цього методу для лінійних та нелінійних спектральних задач.

У роботі отримані такі основні результати:

Уточнено та доповнено теоретичне обгрунтування методу, зокрема, обгрунтовано його для випадку, коли спектр заданого лінійного цілком неперервного оператора містить кратні характеристичні числа, алгебрична кратність яких на одиницю більша за геометричну; вказано спосіб обчислення відповідних приєднаних функцій.

Запропоновано і обгрунтовано спосіб апостеріорної оцінки точності наближених характеристичних чисел, отриманих модифікованим методом послідовних наближень.

Метод поширено на клас узагальнених спектральних задач з поліноміальними матричними пучками та з квадратичними пучками лінійних цілком неперервних операторів, що діють у гільбертовому просторі.

На основі результатів проведених числових експериментів показано переваги методу у порівнянні з іншими і окреслено область його найбільшої ефективності, апробовано методику апостеріорної оцінки точності.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Войтович М. М., Ярошко С. М., Ярошко С. А. Апостеріорна оцінка похибки обчислення характеристичних чисел модифікованим методом послідовних наближень // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2000. - Т. 43, № 1. - С. 59-67.

Подлевський Б. М., Ярошко С. М., Ярошко С. А. Розв'язання спектральної задачі для поліноміальних пучків матриць модифікованим методом послідовних наближень // Вісник Львівського університету. Сер. прикл. матем. та інф-ка. - 1999. - Вип. 1. - С. 191-195.

Ярошко С. М. Обчислення власних значень квадратичного операторного пучка модифікованим методом послідовних наближень // Вісник Львівського університету. Сер. прикл. матем. та інф-ка. - 2000. - Вип. 2. - С. 72-76.

Ярошко С. М., Ярошко С. А. Про збіжність модифікованого методу послідовних наближень у гільбертовому просторі // Вісник Львівського університету. Сер. прикл. матем. та інф-ка. - 2001. - Вип. 3. - С. 117-124.

Ярошко С. М. Про обгрунтування модифікованого методу послідовних наближень знаходження характеристичних чисел лінійних цілком неперервних операторів // Вісник Львівського університету. Сер. прикл. матем. та інф-ка. - 2001. - Вип. 4. - С. 71-79.

Ярошко С. М. Апостеріорна оцінка швидкості збіжності розв'язків, отриманих модифікованим методом послідовних наближень, для окремого класу спектральних задач. // Вісник Львів. ун-ту, Сер. прикл. матем. інформ. - 2003. - Вип. 6. - С. 98-105.

Podlevskiy B. M., Yaroshko S. M. Modification of the Successive Approximation Method in Generalized Spectrum Problems for Quadratic Matrix Beams // Proc. of III-rd International Seminar/Workshop on Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory. - Lviv: IAPMM NASU. - 1998. - P. 76-80.

Yaroshko S. M., Yaroshko S. A. Error Estimation of Characteristic Numbers in the Modificated Successive Approximation Method // Proc. of IV-th International Seminar/Workshop on Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory. - Lviv: IAPMM NASU. - 1999. - P. 65-69.

Yaroshko S. M., Yaroshko S. A. Calculation of Multiple Characteristic Numbers of a Completely Continuous Operator Using The Modificated Metod of Successive Approximations // Proc. of V-th International Seminar/Workshop on Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory. - Tbilisi: Tbilisi State University. - 2000. - P. 80-84.

Ярошко С. М., Ярошко С. А. Модифікований ітераційний метод обчислення близьких за модулем власних значень і власних функцій лінійних операторів // Тези Всеукраїнської наукової конференції “Застосування обчислювальної техніки, математичного моделювання та математичних методів у наукових дослідженнях”. - Львів: Наукове товариство ім. Т. Г. Шевченка, ЛДУ ім. І. Франка. - 1997. - С. 101.

Ярошко С. М., Ярошко С. А. Про точність модифікованого методу послідовних наближень // Тези VII Всеукраїнської наукової конференції “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики”. - Львів: Наукове товариство ім. Т. Г. Шевченка, ЛНУ ім. І. Франка. - 2000. - С. 93.

АНОТАЦІЯ

Ярошко С. М. Розвиток модифікованого методу послідовних наближень знаходження характеристичних чисел цілком неперервних операторів та операторних пучків. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.07 - обчислювальна математика. - Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2003.

У роботі обгрунтовано і розвинуто модифікований метод послідовних наближень (ММПН), призначений для обчислення характеристичних чисел (простих і кратних) лінійного цілком неперервного оператора, що діє у нормованому функціональному просторі, а також відповідних їм власних і приєднаних (якщо такі є) функцій. Запропоновано спосіб апостеріорної оцінки точності отриманих характеристичних чисел. ММПН поширено на узагальнені спектральні задачі з поліноміальними матричними пучками і квадратичними пучками лінійних цілком неперервних операторів, що діють у гільбертовому просторі. Розроблено алгоритми і програми числової та аналітичної реалізації методу. На прикладах розв'язування багатьох задач продемонстровано високу ефективність ММПН, його переваги у порівнянні з іншими методами розв'язування спектральних задач.

Ключові слова: цілком неперервний оператор, характеристичне число, власна функція, приєднана функція, модифікований ітераційний метод, апостеріорна оцінка, матричний пучок, операторний пучок.

АННОТАЦИЯ

Ярошко С. М. Развитие модифицированного метода последовательных приближений определения характеристических чисел вполне непрерывных операторов и операторных пучков. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.07 - вычислительная математика. - Львовский национальный университет имени Ивана Франка, Львов, 2003.

Работа посвящена развитию модифицированного метода последовательных приближений (ММПП), предназначенного для вычисления характеристических чисел и собственных функций линейного вполне непрерывного оператора, действующего в нормированном функциональном пространстве. Осуществлено обоснование метода как для случая простых, так и для кратных характеристических чисел, алгебраическая кратность которых равна или на единицу больше геометрической.

Сформулирован итерационный алгоритм ММПП вычисления приближенных характеристических чисел, собственных и присоединенных (если такие есть) функций. Алгоритм состоит в итерировании заданным оператором некоторой начальной функции с последующей обработкой всех промежуточных итераций. Такой подход позволяет вычислять за небольшое число итераций не только первое, но и последующие характеристические числа. При этом и первое характеристическое число получается существенно быстрее и с большей точностью, чем, например, в обычном степенном методе.

Рассмотрены особенности реализации этого алгоритма в функциональных пространствах с равномерной и среднеквадратической нормой. Для случая гильбертового пространства показано, что на каждом шаге алгоритма метода строится конечномерный оператор определенного вида, действующий в m-мерном подпространстве Крылова. При m, стремящемся к бесконечности, последовательность таких операторов равномерно сходится в бесконечномерном пространстве Крылова к заданному вполне непрерывному оператору, а решения конечномерных задач стремятся к решению исходной задачи со скоростью геометрической прогрессии со сколь угодно малым знаменателем.

Исследованы вопросы точности вычислений. Указаны причины возникновения погрешности метода, обусловленной конечным числом выполненных итераций с учетом ошибок округления. Предложен и обоснован способ апостериорной оценки погрешности вычисления характеристических чисел. Показано, что наивысшая точность достигается для первого характеристического числа и для следующих, близких к нему по абсолютной величине. Исследована скорость сходимости метода для случая, когда вычисления проводятся аналитически, и погрешность метода отделяется от погрешностей округлений.

Метод перенесен на класс обобщенных спектральных задач с полиномиальными пучками матриц и квадратичными пучками линейных вполне непрерывных операторов, действующих в гильбертовом пространстве. Для задач с полиномиальными матричными пучками предложено два альтернативных способа решения: непосредственное применение идеи ММПП к нелинейной задаче и линеаризация задачи с последующим применением ММПП. Указаны условия, при которых оба способа совпадают.

Разработаны алгоритмы и программы численной реализации метода. Все теоретические результаты подтверждены результатами расчетов. На конкретных численных примерах показаны преимущества ММПП по сравнению с другими методами решения линейных спектральных задач. Продемонстрирована его эффективность в случае наличия в спектре оператора группы характеристических чисел, близких по абсолютной величине к первому. Подтверждена практическая возможность вычисления кратных характеристических чисел (как с одинаковыми, так и с различными алгебраической и геометрической кратностями), а также соответствующих собственных и присоединенных функций. В результате расчетов получены апостериорные оценки точности вычислений и показано, что они хорошо согласуются с реально достигнутой точностью. Для конкретных задач выполнена апостериорная оценка скорости сходимости метода. Получены решения нелинейных спектральных задач с пучками различных степеней вещественных и комплексных матриц, а также с квадратичными пучками вполне непрерывных операторов. Для ряда модельных задач результаты решения сопоставлены с известными.

Ключевые слова: вполне непрерывный оператор, характеристическое число, собственная функция, присоединенная функция, модифицированный итерационный метод, апостериорная оценка, матричный пучок, операторный пучок.

ANNOTATION

Yaroshko S. M. Development of the Modified Method of Successive Approximations for Characteristic Numbers Obtaining of Completely Continuous Operators and Operator Pencils. - A manuscript.

The thesis for the Candidate of Physical and Mathematical Sciences degree on the speciality 01.01.07 - calculation mathematics. - Lviv National University after Ivan Franko, Lviv, 2003.

The modified method of successive approximations (MMSA) is grounded and developed in this work. The MMSA is used to calculate characteristic numbers (single and multiple), eigen and associated functions of a given linear completely continuous operator acting in a normed functional space. The way of aposteriori estimation of the characteristic numbers precision is proposed. The MMSA is extended for generalized spectral problems with a polinomial matrix pencil or with a quadratic pencil of linear completely continuous operators acting in a gilbert space. Algorithms and programs of numerical and analitical realizations of the method are created. The effectiveness of the MMSA and its advantages over other methods that usually are applied to spectral problems are demonstrated by many examples of MMSA using to solve linear and generalized spectral problems.

Key words: completely continuous operator, characteristic number, eigenfunction, associated function, modified method of successive approximations, aposteriori estimation, matrix pencil, operator pencil.

Формат 6084/16. Папір офсет. Офсет. друк.

Ум. друк. арк. 0,9. Замовл. 312-3.

Наклад 100.

Надруковано з готового оригінал-макету

у ВПК “Глобус”

79035 Львів,

вул. Зелена, 101/5

Размещено на Allbest.ru

...