Власні вектори квазілінійних операторів

Дисертацію присвячено опису структури множини нормованих власних векторів квазілінійних операторів. Дано опис топологічних властивостей многовиду самоспряжених операторів, у яких певні власні значення мають певну кратність, і многовиду пар (оператор, власний вектор). Введено поняття компактного квазілінійного самосопряженого цілком неперервного зображення квазілінійних операторів. На квазілінійні оператори поширено поняття номера і кратності власного значення та виділено клас типових зображень, що породжують оператори із простими власними значеннями. В термінах індексу перетину многовидів дано гомотопічну класифікацію типових зображень і опис структури множини нормованих власних векторів, що відповідають операторам із цих класів. Дано застосування одержаної класифікації для дослідження малих власних векторів (функцій), нормованих власних векторів і віток власних векторів.

Ключові слова: квазілінійне зображення, власний вектор, многовид самоспряжених операторів, многовид пар (оператор, власний вектор), індекс перетину, гомотопічна класифікація.

Дымарский Я.М. Собственные векторы квазилинейных операторов. - Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. - Физико-технический институт им. Б.И.Веркина НАН Украины, Харьков, 2003.

Диссертация посвящена описанию структуры множества нормированных собственных векторов квазилинейных операторов. Теория нормированных собственных векторов нелинейных операторов в основном развита для потенциальных и монотонных операторов, а также для операторов, инвариантных относительно некоторой группы преобразований (Л.А.Люстерник, М.А.Красносельский, И.В.Скрыпник, С.И.Похожаев, J.Schwartz, F.Browder, P.L.Lions, E.N.Danser). Pезультатов о нормированных собственных векторах операторов общего вида известно немного. Прежде всего, это классические теоремы о собственном векторе на четномерной поверхности и теорема Биркгофа-Келлога-Роте. Отметим работы Ю.Г.Борисовича и О.В.Кунаковской, в которых получены достаточные условия сушествования второго нормированного собственного вектора. Особое место занимает статья Л.А.Люстерника (1941 г.) и примыкающие к ней работы (J.H.Wolkowisky, H.Berestycky, M.J.Crendall, P.H.Rabinowtz, Я.М.Дымарский, П.Е.Жидков), в которых описана глобальная структура множества нормированных собственных векторов исследуемых операторов. Нелинейные операторы, рассматриваемые во всех этих работах, обладают существенной особенностью: с каждым из них связано некоторое (ассоциированное) семейство самосопряженных линейных операторов с исключительно простым спектром. В настоящей работе решена проблема описания глобальной структуры множества нормированных собственных векторов квазилинейных операторов, имеющих компактное квазилинейное самосопряженное вполне непрерывное представление. (Понятие квазилинейного представления введено А.И.Перовым, результаты которого были развиты П.П.Забрейко и А.И.Поволоцким). Таким операторам сопоставляется ассоциированное семейство линейных самосопряженных операторов, обладающих конечнократным (но не обязательно простым) спектром. Квазилинейный вид исследуемых операторов позволяет свести проблему нормированных собственных векторов к проблеме пересечения двух банаховых подмногообразий: подмногообразия пар (самосопряженный оператор, собственный вектор) и графика квазилинейного представления.

Получены следующие основные результаты.

1. Описана гладкая структура и взаимное расположение подмногообразий компактных самосопряженных операторов, у которых собственные значения определенного номера имеют определенную кратность. Cформулированы достаточные условия истинности гипотезы В.И.Арнольда о наличии гладкой структуры у подмножеств, содержащих симметрические дифференциальные операторы, собственные значения которых имеют определенную кратность.

2. Описано многообразие пар (самосопряженный компактный оператор, нормированный собственный вектор). Впервые описаны гладкая и гомотопическая структуры многообразия собственных функций семейства периодических операторов Штурма-Лиувилля.

3. Дано определение квазилинейного оператора, имеющего компактное квазилинейное самосопряженное вполне непрерывное представление. Введены понятия номера и кратности собственного значения и собственного вектора квазилинейного оператора. Выделены классы типичных квазилинейных представлений, порождающих квазилинейные операторы с простым спектром. В терминах пересечения многообразия пар и графика квазилинейного представления дана геометрическая интерпретация собственного вектора, его номера и кратности.

4. С помощью квазилинейного представления получены новые теоремы о сходимости проекционного метода в проблеме собственных векторов квазилинейных операторов.

5. Описаны свойства квазилинейных операторов. Дано харак-теристическое описание операторов, допускающих усиленно непрерывное квазилинейное представление. Построено квазилинейное вполне непрерывное представление для вполне непрерывных операторов, имеющих в нуле квадратичную нелинейность.

6. Обосновано существование и исследованы свойства ориентированного индекса пересечения подмногообразия пар и графика квазилинейного представления. В терминах индекса пересечения дана гомотопическая классификация типичных квазилинейных представлений и указана связь этой классификации с разрешимостью проблемы нормированных собственных векторов.

7. Предложена новая методика исследования бифуркаций в случае двукратного вырождения собственного значения линеаризованной задачи. Доказаны новые теоремы о структуре нормированных собственных векторов (функций) и ветвей собственных векторов для квазилинейных абстрактных операторов, а также дифференциальных и интегро-дифференциальных операторов.

Ключевые слова: квазилинейное представление, собственный вектор, многообразие самосопряженных операторов, многообразие пар (оператор, собственный вектор), индекс пересечения, гомотопическая классификация.

Dymarskii Ya.M. Eigenvectors of quasi-linear operators. - The manuscript. Thesis for doctor's degree by speciality 01.01.01 - mathematical analysis. - B.Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering, NAS of Ukraine, Kharkov, 2003.

The thesis is devoted to the description of the set of normalized eigenvectors of quasi-linear operators. The topological properties of the submanifold of self-adjoined operators and manifold of pairs (an operator, an eigenvector) are obtained. The notion of compact quasi-linear self-adjoined completely continuous representation is introduced. The definitions of the number and the multiplicity of eigenvalue are carried over to the quasi-linear operators. The class of typical representations that generate operators with simple eigenvalues is distinguished. The homotopic classification of typical representations and the description of set of normalized eigenvectors are given in terms of intersection number. The applications of this classifications to investigation of small eigenvectors (eigenfunctions), normalized eigenvectors end branches of eigenvectors are given too.

Key words: quasi-linear representation, eigenvector, manifold of self-adjoined operators, manifold of pair (operator, eigenvector), intersection number, homotopic classification.

Размещено на Allbest.ru