Багатоточкові задачі для гіперболічних рівнянь та рівнянь, не розв’язаних відносно старшої похідної

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет

імені Івана Франка

Клюс Ірина Степанівна

УДК 517.956+511.37

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

БАГАТОТОЧКОВІ ЗАДАЧІ ДЛЯ ГІПЕРБОЛІЧНИХ РІВНЯНЬ ТА РІВНЯНЬ, НЕ РОЗВ'ЯЗАНИХ ВІДНОСНО СТАРШОЇ ПОХІДНОЇ

01.01.02 - диференціальні рівняння

Львів - 2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у відділі математичної фізики Інституту прикладних проблем механіки і математики імені Я. С. Підстригача НАН України.

Науковий керівник:доктор фізико-математичних наук, професор, член-кор. НАН України ПТАШНИК Богдан Йосипович, Інститут прикладних проблем механіки і математики імені Я. С. Підстригача НАН України, завідувач відділу математичної фізики.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор ЛАВРЕНЮК Сергій Павлович, Львівський національний університет імені Івана Франка, кафедра диференціальних рівнянь;

кандидат фізико-математичних наук, доцент МЕДИНСЬКИЙ Ігор Павлович, Національний університет “Львівська політехніка”, кафедра прикладної математики.

Провідна установа:Київський національний університет імені Тараса Шевченка, кафедра математичної фізики, м. Київ.

Захист відбудеться 4 грудня 2003 року о 15.20 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради К 35.051.07 у Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою: 79000, Львів, вул. Університетська, 1, аудиторія 377.

З дисертацією можна ознайомитись в науковій бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка за адресою: м. Львів, вул. Драгоманова, 5.

Автореферат розісланий 1 листопада 2003 року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради М. М. Бокало.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Інтерес до задач з багатоточковими умовами для гіперболічних рівнянь та рівнянь з частинними похідними, не розв'язаних відносно старшої похідної за часом, зумовлений як потребами загальної теорії крайових задач, так і їх практичним застосуванням.

Основи теорії рівнянь, не розв'язаних відносно старшої похідної, були закладені в роботах С.Л. Соболєва. Такі рівняння виникають при дослідженні ряду задач гідродинаміки: при вивченні малих коливань ідеальної та в'язкої рідини в посудині, що обертається; фільтрації рідини в тріщинуватих породах; при описанні малих рухів нестискуючої експоненціально-стратифікованої рідини, що обертається, тощо. Результати досліджень початково-крайових задач для загальних рівнянь із частинними похідними, не розв'язаних відносно старшої похідної за часом, викладені в книзі С.В. Успенського, Г.В. Демиденка та В.Г. Перепєлкіна, а для рівнянь динаміки стратифікованих рідин - у книзі С.А. Габова і А.Г. Свєшнікова. Крайові задачі для рівнянь з частинними похідними та диференціально-операторних рівнянь, не розв'язаних відносно старшої похідної, досліджувались також у працях Р.А. Александряна, Р.Т. Денчева, В.М. Масленникової, А.Г. Костюченка і Г.І. Ескіна, А.Ш. Кахраманова, М.Й. Вишика, М.Л. Горбачука та І.В. Федака, В.К. Романка та ін.

Встановленню класів однозначної розв'язності багатоточкових задач для рівнянь і систем рівнянь з частинними похідними та диференціально-операторних рівнянь присвячені праці В.М. Борок, П.І. Каленюка, М.Й. Юрчука, Ю.М. Валіцького, С.Х. Нурметова, С.Р. Умарова, Є.Р. Атамонова та інших авторів, де, переважно, виділені випадки коректно поставлених задач, які виключають появу малих знаменників, або аксіоматично накладаються умови відокремленості від нуля малих знаменників, що забезпечує розв'язність задач.

Багатоточкові задачі, для рівнянь з частинними похідними, в тому числі гіперболічних і не розв'язаних відносно старшої похідної за часом, є, взагалі, умовно коректними, а їх розв'язність для обмежених областей у багатьох випадках пов'язана з проблемою малих знаменників.

У працях Б.Й. Пташника та його учнів Б.О. Салиги, П.І. Штабалюка, В.В. Фіголя, В.М. Поліщук, В.С. Ільківа, Л.П. Силюги, П.Б. Василишина, М.М. Симотюка, Л.І. Комарницької на основі метричного підходу досліджено в обмежених областях коректність задач з багатоточковими умовами за часовою змінною для лінійних гіперболічних, параболічних та безтипних рівнянь і систем рівнянь зі сталими та змінними коефіцієнтами, а також для деяких рівнянь, не розв'язаних відносно старшої похідної за часом, коли порядок оператора при старшій похідній за часом співпадає з порядком операторів при молодших похідних.

У випадку безмежних областей багатоточкові задачі для полілінійних рівнянь та систем рівнянь зі сталими коефіцієнтами досліджені в роботах П. І. Каленюка, З. М. Нитребича та Я. М. Плешівського, де для побудови розв'язків задач використовується операційний метод, який ґрунтується на узагальненій схемі відокремлення змінних.

У даній дисертаційній роботі продовжено і розвинено два останні з вказаних вище напрямки досліджень, а саме, досліджено багатоточкові задачі для рівнянь та систем рівнянь з частинними похідними зі сталими та змінними коефіцієнтами, не розв'язаних відносно старшої похідної за часом, при різних співвідношеннях між порядками операторів (за просторовими координатами) при старшій та молодших похідних за часовою змінною в обмежених областях, а також для деяких гіперболічних рівнянь зі сталими коефіцієнтами у необмежених областях.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Результати дисертації отримані в рамках виконання бюджетних тем відділу математичної фізики Інституту прикладних проблем механіки і математики імені Я. С. Підстригача НАН України: ”Розробка методів дослідження та побудови розв'язків некласичних та умовно коректних задач для рівнянь з частинними похідними (номер держреєстрації 0197U008960)”, “Розробка функціонально-операторних методів дослідження побудови розв'язків некласичних задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними (номер держреєстрації 0193U033341)”.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є дослідити коректність і побудувати розв'язки багатоточкових задач для рівнянь та систем рівнянь з частинними похідними, не розв'язаних відносно старшої похідної за часом, в обмежених областях та деяких гіперболічних рівнянь у безмежній смузі.

Задачі дослідження:

- встановити умови однозначної розв'язності багатоточкових задач в обмеженій області для лінійних рівнянь та систем рівнянь з частинними похідними зі сталими коефіцієнтами, не розв'язаних відносно старшої похідної за часом;

- дослідити розв'язність багатоточкових задач для лінійних рівнянь з частинними похідними зі змінними за коефіцієнтами, не розв'язаних відносно старшої похідної за часом, а також для аналогічних рівнянь, збурених нелінійним інтегро-диференціальним виразом;

- довести метричні твердження про оцінки знизу малих знаменників, які виникають при побудові розв'язків розглядуваних задач;

- побудувати розв'язки та встановити класи однозначної розв'язності багатоточкових задач для гіперболічних рівнянь у необмежених областях.

Об'єкт дослідження: задачі з багатоточковими умовами за виділеною змінною для диференціальних рівнянь з частинними похідними.

Предмет дослідження: багатоточкові задачі для рівнянь з частинними похідними, не розв'язаних відносно старшої похідної за часом, в обмежених областях та гіперболічних рівнянь у необмежених областях.

Методи досліджень: метод Фур'є; операційний метод, індукований узагальненою схемою відокремлення змінних; принципи нерухомих точок Шаудера та Качіополі - Банаха; методи метричної теорії чисел.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертаційній роботі отримано такі нові результати:

- встановлено умови коретності та побудовано явні зображення розв'язків задач з багатоточковими умовами за часовою змінною для рівнянь з частинними похідними, не розв'язаних відносно старшої похідної за часом в обмежених областях: 1) лінійних рівнянь та систем рівнянь зі сталими коефіцієнтами з довільним еліптичним оператором при старшій похідній за часом; 2) лінійних рівнянь зі змінними за коефіцієнтами в циліндричних областях; 3) лінійних рівнянь, збурених нелінійним інтегро-диференціальним виразом; 4) лінійних рівнянь з псевдодиференціальними операторами;

- доведено метричні теореми про оцінки знизу малих знаменників, з яких випливає однозначна розв'язність розглянутих задач для майже всіх (стосовно міри Лебега) параметрів задачі.

- на основі узагальненої схеми методу відокремлення змінних побудовано розв'язок та встановлено класи однозначної розв'язності задачі з багатоточковими умовами за часовою змінною для гіперболічних операторів, що розпадаються на лінійні множники першого порядку зі сталими коефіцієнтами в безмежній смузі;

- досліджено коректність задачі з триточковими умовами за часовою змінною для рівняння малих коливань безмежної струни;

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації мають теоретичний характер і є певним внеском у побудову загальної теорії крайових задач для рівнянь з частинними похідними. Вони стали джерелом нових задач метричної теорії діофантових наближень. Їх можна використати при вивченні конкретних задач практики, які моделюються за допомогою розглянутих у роботі задач, а також у подальших теоретичних дослідженнях задач з багатоточковими умовами для лінійних та нелінійних рівнянь із частинними похідними.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації отримані автором самостійно. У спільних з науковим керівником роботах [1-3,5,7,9] Б. Й. Пташнику належить постановка задач, передбачення та аналіз одержаних результатів. У роботі [6] співавтором З.М. Нитребичем запропоновано методику дослідження задачі та обговорено кінцеві результати.

Апробація роботи. Результати дисертації доповідались і обговорювались на: Міжнародних наукових конференціях імені академіка М. Кравчука (Київ, 1996, 2000 рр.), Міжнародній науковій конференції “Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения” (Київ, 1996 р.), Міжнародній науковій конференції “Nonlinear Partial Differential Equations” (Львів, 1999р.), Міжнародній науковій конференції “Нові підходи до розв'язування диференціальних рівнянь” (Дрогобич, 2001 р.), наукових читаннях в Інституті прикладних проблем механіки і математики імені Я. С. Підстригача НАН України, присвячених пам'яті академіка Я.С. Підстригача (Львів 1996, 1998 рр.), засіданнях львівського міського семінару з диференціальних рівнянь (Львів,2000,2002 рр.), засіданні наукового семінару кафедри математичного аналізу та теорії ймовірностей НТУУ “Київський політехнічний інститут” (Київ, 2001 р.), засіданнях наукового семінару імені В.Я.Скоробагатька Інституту прикладних проблем механіки і математики імені Я.С. Підстригача НАН України (1998, 1999, 2000 рр.).

Публікації. Результати дисертації опубліковані в 12 роботах, з яких 7 - у наукових фахових виданнях, що входять до переліку ВАК України, 1 - у збірнику наукових праць, 4 - у матеріа-лах та тезах міжнародних наукових конференцій.

Структура і обсяг роботи. Дисертаційна робота складається з переліку умовних позначень, вступу, п'яти розділів, висновків та списку використаних джерел, що містить 124 найменування на 13 сторінках. Загальний обсяг роботи становить 154 сторінки.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Надалі використовуються такі позначення: - -вимірний тор, утворений ототожненням протилежних граней куба ; ; - простір -періодичних за комплекснозначних функцій для яких скінченна норма .

У вступі дисертації обґрунтовано актуальність теми, сформульовано мету і задачі дослідження, вказано наукову новизну результатів, їх апробацію, практичне значення.

У першому розділі подано огляд праць за темою дисертації, а в другому - викладено основні методи дослідження та допоміжні відомості, які використовуються в роботі.

Третій розділ дисертації присвячений дослідженню багатоточкових задач для лінійних рівнянь та систем рівнянь з частинними похідними зі сталими коефіцієнтами, не розв'язаних відносно старшої похідної за часом.

У підрозділі 3.1 в області розглянуто задачу

(1)

(2)

де - еліптичний диференціальний вираз, .

Теорема 3.1. Для єдиності розв'язку задачі (1), (2) в просторі необхідно і досить, щоб виконувалась умова

(3)

Теорема 3.2. Нехай , виконується умова (4) та існують додатні сталі і такі, що для всіх (крім скінченного числа) векторів справджується нерівність

(4)

Якщо , то існує розв'язок задачі (1), (2) з простору , який неперервно залежить від .

У підрозділі 3.2 розглянуто багатоточкову задачу з загальнішими, ніж (2), умовами для однорідного та неоднорідного рівнянь вигляду (1), коли при старшій похідній за часом стоїть довільний еліптичний оператор зі сталими коефіцієнтами.

У підрозділі 3. 3 розглянуто задачу з умовами (2) для рівняння

(5)

де ;,- псевдодиференціальні оператори.

Теорема 3.29. Нехай , існують такі додатні сталі і , що для всіх (крім скінченного числа) векторів виконується нерівність

(6)

Якщо , то існує розв'язок задачі (5), (2) з простору , , який неперервно залежить від .

Встановлено, що при певному нерівність (11) справджується для майже всіх (стосовно міри Лебега в ) чисел , майже всіх векторів .

У підрозділі 3.4 в області для системи рівнянь з частинними похідними другого порядку, не розв'язаних відносно старшої похідної за часом, досліджено задачу

(7)

(8)

,,

Доведено метричні твердження (теореми 3.37 - 3.39) про можливість виконання оцінок, з яких випливає коректність задачі для майже всіх чисел та майже всіх векторів, компоненти яких визначаються через коефіцієнти .

У четвертому розділі результати попереднього розділу поширено на випадок рівнянь зі змінними за коефіцієнтами.

У підрозділі 4.1 в області , , для рівняння

(9)

розглянуто задачу з умовами (6) та умовами

(10)

де.

Підрозділ 4.2 присвячений вивченню в довільній циліндричній області задачі

(11)

(12)

(13)

Теорема 4.8. Нехай та існують такі додатні сталі , що для всіх (крім скінченного числа) значень виконуються нерівності

(14)

(15)

Якщо , то в просторі , , існує розв'язок задачі, який неперервно залежить від .

П'ятий розділ присвячений дослідженню задач з багатоточковими умовами за часовою змінною для гіперболічних рівнянь в необмежених областях.

У підрозділі 5.1 в області досліджено задачу

(16)

(17)

Теорема 5.1. Для єдиності розв'язку задачі у просторі необхідно і достатньо, щоб число було ірраціональним.

Встановлено, що для майже всіх чисел в просторі існує розв'язок задачі (27),(28), який неперервно залежить від .

У підрозділі 5. 2 в області досліджено задачу

(18)

(19)

де .

На основі операційного методу, індукованого узагальненою схемою відокремлення змінних, встановлено класи однозначної розв'язності задачі.

ВИСНОВКИ

Дисертація присвячена дослідженню задач із багатоточковими умовами за часовою змінною для рівнянь з частинними похідними, не розв'язаних відносно старшої похідної за часом в обмежених областях та для деяких класів гіперболічних рівнянь у необмежених областях .

Отримано такі нові результати:

- встановлено умови однозначної розв'язності багатоточкових задач для рівнянь з частинними похідними, не розв'язаних відносно старшої похідної за часом в обмежених областях: 1) лінійних рівнянь та систем рівнянь зі сталими коефіцієнтами з довільним еліптичним оператором при старшій похідний за часом; 2) лінійних рівнянь зі змінними за коефіцієнтами в циліндричних областях з умовами типу умов Діріхле на бічних поверхнях областей; 3) лінійних рівнянь зі змінними за коефіцієнтами, збурених нелінійним інтегро-диференціальним виразом; 4) лінійних рівнянь з псевдодиференціальними операторами;

- доведено метричні теореми про оцінки знизу малих знаменників, з яких випливає однозначна розв'язність розглядуваних задач для майже всіх (стосовно міри Лебега) векторів, компоненти яких виражаються через параметри задачі;

- досліджено коректність задачі з триточковими умовами за часовою змінною для рівняння малих коливань безмежної струни;

- на основі узагальненої схеми відокремлення змінних побудовано розв'язок та встановлено класи однозначної розв'язності багатоточкової задачі для гіперболічного оператора, що розпадається на лінійні множники першого порядку, в безмежній смузі.

Результати роботи мають теоретичний характер. Вони стали джерелом нових задач метричної теорії діофантових наближень. Їх можна використати при подальших дослідженнях багатоточкових задач для лінійних та нелінійних рівнянь з частинними похідними.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Клюс І. С., Пташник Б. Й. Триточкова задача для хвильового рівняння // Вісник Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. - 1996. - Вип. 45. - С.78-86.

2. Клюс І. С., Пташник Б. Й. Багатоточкова задача для рівнянь із частинними похідними зі сталими коефіцієнтами, не розв'язаних відносно старшої похідної за часом // Вісник держ. ун-ту “Львівська політехніка”. Прикладна математика. - 1998. - Т.1, №337. - С. 112-115.

3. Клюс І. С., Пташник Б. Й. Багатоточкова задача з комплексними коефіцієнтами для рівнянь із частинними похідними, не розв'язаних відносно старшої похідної // Мат. методи і фіз.- мех. поля. - 1998. -Т.41, №4. - С. 83-88.

4. Клюс І. С. Двоточкова задача для системи рівнянь із частинними похідними, не розв'язаних відносно старшої похідної // Мат. методи і фіз.- мех. поля. - 1998. - Т.42, №2. - С. 75-81.

5. Клюс І. С., Пташник Б. Й. Багатоточкова задача для рівнянь із частинними похідними, не розв'язаних відносно старшої похідної за часом // Укр. мат. журн. - 1999. - Т. 51, №12. - С. 1604-1613.

6. Клюс І. С., Нитребич З. М. Багатоточкова задача для диференціального рівняння із частинними похідними, що розкладається в добуток лінійних відносно диференціювання множників // Вісник держ. ун-ту “Львівська політехніка”. Прикладна математика. - 2000, №407. - С. 220-226.

7. Клюс І. С., Пташник Б. Й. Багатоточкова задача для псевдодиференціальних рівнянь // Укр. мат. журн. - 2003. - Т.55, №1. - С. 22-29.

8. Клюс І. С. Триточкова задача для гіперболічного рівняння другого порядку в безмежній смузі // Нелинейные краевые задачи математической физики и их прилож. - Киев: Ин-т математики НАН Украины. - 1996. - С. 139-141.

9. Клюс Ірина, Пташник Богдан. Триточкова задача для гіперболічних рівнянь другого порядку // Матеріали Міжнар. наук. конф. ім. акад. М. Кравчука.-Київ.-1996.- С.183.

10. Klyus I. S. The problem with multipoint conditions for the partial equations, which are not solved as to the highest derivative in time, with variable coefficients // Thesis of International conference “Nonlinear partial equations”. - Lviv. - 1999. - P. 105.

11. Клюс І. С. Багатоточкова задача для рівнянь зі змінними коефіцієнтами, не розв'язаних відносно старшої похідної за часом // Тези Міжнар. наук. конф. “Нові підходи до розв'язування диференціальних рівнянь”. - Дрогобич. - 2001. - С.68.

12. Клюс І. С. Багатоточкова задача для інтегро-диференціальних рівнянь з частинними похідними, не розв'язаних відносно старшої похідної за часом // Матеріали IX Міжнар. наук. конф. ім. акад. М. Кравчука. - Київ. - 2002. - С. 93.

АНОТАЦІЯ

Клюс І.С. Багатоточкові задачі для гіперболічних рівнянь та рівнянь, не розв'язаних відносно старшої похідної . - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2003.

У дисертації на основі метричного підходу досліджено задачі з багатоточковими умовами за часовою змінною для рівнянь з частинними похідними, не розв'язаних відносно старшої похідної за часом в обмежених областях: лінійних рівнянь та систем рівнянь зі сталими коефіцієнтами з довільним еліптичним оператором при старшій похідній за часом; лінійних рівнянь зі змінними за просторовими координатами коефіцієнтами в циліндричних областях; лінійних рівнянь зі змінними за х коефіцієнтами, збурених нелінійним інтегро-диференціальним виразом; рівнянь з псевдодиференціальними операторами. Доведено метричні теореми про оцінки знизу малих знаменників, які виникають при побудові розв'язків розглядуваних задач. Побудовано розв'язки та встановлено класи однозначної розв'язності багатоточкових задач для гіперболічних рівнянь у необмеженій області.

Ключові слова: рівняння, не розв'язані відносно старшої похідної за часом, гіперболічні рівняння, еліптичний оператор, багатоточкові умови, малі знаменники, міра Лебега.

АННОТАЦИЯ

Клюс И. С. Многоточечные задачи для гиперболических уравнений и уравнений, не разрешенных относительно старшей производной. Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 дифференциальные уравнения. Львовский национальный университет имени Ивана Франко, Львов, 2003. багатоточковий рівняння знаменник метричний

В данной работе установлены условия однозначной разрешимости задач с многоточечными условиями по временной переменной для уравнений, не разрешенных относительно старшей производной по времени в ограниченных областях: линейных уравнений и систем уравнений с постоянными коэффициентами с произвольным эллиптическим оператором при старшей производной по времени; линейных уравнений с переменными по коэффициентами в цилиндрических областях; линейных уравнений, возмущенных нелинейным интегро-дифференциальным выражением; псевдодифференциальных уравнений. Доказаны метрические теоремы об оценках снизу малых знаменателей, из которых следует однозначная разрешимость рассматриваемых задач для почти всех (в смысле меры Лебега) параметров области, коэффициентов уравнений и граничных условий. Построены решения и установлены классы корректной разрешимости многоточечных задач для гиперболических уравнений в бесконечном слое.

Ключевые слова: уравнения, не разрешенные относительно старшей производной по времени, гиперболические уравнения, эллиптический оператор, многоточечные условия, малые знаменатели, мера Лебега.

ABSTRACT

Klyus I.S. Multipoint problems for hyperbolic equations and equations not solved relative to the highest derivative. Manuscript.

The thesis for obtaining Candidate of Science (Physics and Mathematics) degree in speciality 01.02.02 - Differential equations. Lviv National University named after Ivan Franko, Lviv, 2003.

The dissertation is devoted to the research of a correctness of the problems with multipoint conditions on a time variable for the partial equations not solved relative to the highest derivative with respect to time in the limited domains and hyperbolic equation in the unlimited domains.

The studying of problems with multipoint conditions on a chosen variable began rather recently and was dictated by both theoretical interest and importance of their physical interpretation.

The equations not solved concering the highest derivative arise in studying of the set of problems of hydrodynamics. The basis of theory of such equations was established in Sobolev's works in studying small oscillations of ideal liquid in revolving invessel.

The analysis showed that multipoint problems for the partial equations including not solved relative to the highest derivative once and hyperbolic, are classical incorrect and their solvability in many cases connected with a problem of small denominators.

Mathematical effect of small denominators is that solutions of the equations that are represent as Fourier serieses, contain infinite number of terms with coefficients, which denominators are however close to zero, that yields a divergence of these serieses.

In the given thesis on the basis of the metric approach the conditions of the unique solvability of the problems with multipoint conditions in the time variable for such equations not solved relative to the highest derivative with respect to time are established:

1) linear equations with constant coefficients with arbitrary elliptic operator at the highest derivative with respect to time;

2) linear equations with pseudodifferential operators;

3) linear equations with the variable in coefficients in the parallelepiped and in the arbitrary limited cylyndrical domain with certain boundary conditions on their lateral surface;

4) linear equations with the variable in space coordinates coefficients, perturbed by the nonlinear integro-differential operator.

Two-point problem for a system of the second order equations not solved relative to the highest derivative with respect to time is investigated.

The formulas have been obtained to solve the linear problems in the form of series in the system of orthogonal functions, while for the nonlinear problems it has been shown algorithm of the construction of approximate solutions.

On the basis of contemporary methods and results of metric theory of numbers metric theorems on lower bounds of small denominators, that appear in constructing the solutions of the problems, are proved. From these assertions the correctness of the problems for almost all (with respect to Lebesgue measure) parameters of the domains, coefficients of equations and boundary conditions follows.

Moreover, problem of three-point conditions on time variable for small oscillations of infinite string is investigated.

On the basis of generalized separation of variables method the multipoint problem for the hyperbolic operators, which decompose in product of linear with respect to differentiation factors at the infinite layer is investigated. The solution of the problem is constructed and the classes of univalent solvability are chosen.

The results of dissertation work have a theoretical character. They have become a source of new tasks of problems of the metric theory of Diophantine approximations. They can be used for further study of multipoint problems for linear and nonlinear partial differential equations as well as for specific applied problems that are being simulated by the considered problems.

Key words: partial equations not solved relative to the highest derivative with respect to time, hyperbolic equations, elliptic operator, multipoint conditions, small denominators, Lebesgue measure.

Размещено на Allbest.ru

...