Нерівності типу Колмогорова і екстремальні задачі аналізу

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

01.01.01- Математичний аналіз

Нерівності типу Колмогорова і екстремальні задачі аналізу

Кофанов Володимир Олександрович

Київ 2003

Дисертацією є рукопис

Робота виконана на кафедрі теорії функцій Дніпропетровського національного університету Міністерства освіти і науки України.

Науковий консультант: доктор фізико-математичних наук, професор БАБЕНКО Владислав Федорович, Дніпропетровський національний університет, завідувач кафедри.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук КОНОВАЛОВ Віктор Миколайович, Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник;

доктор фізико-математичних наук, професор ЛИГУН Анатолій Олександрович, Дніпродзержинський державний технічний університет, професор;

доктор фізико-математичних наук, професор ВАКАРЧУК Сергій Борисович, Дніпропетровська академія митної служби України, проректор з наукової роботи.

Провідна установа: Київський національний університет імені Тараса Шевченка.

Захист відбудеться “23 ” грудня 2003 року о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26. 206. 01 в Інституті математики НАН України за адресою: 01601, Київ 4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий " 11 " листопада 2003 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Романюк А. С.

1. Загальна характеристика роботи

нерівність тригонометричний колмогоров поліноміальний

Актуальність теми. Нерівності, що оцінюють - норму проміжної похідної функції через - норму функції і - норму її старшої похідної, мають велике значення для багатьох областей математики та їх застосувань (математичний аналіз, теорія апроксимації, диференціальні рівняння, теореми вкладення, обчислювальна математика, теорія некоректних задач, оптимізація алгоритмів та інших). Найбільш цікавими є непокращувані нерівності такого типу тому, що саме вони мають найяскравіші застосування і протягом майже сторіччя, починаючи з Е. Ландау, Ж. Адамара, Г. Харді, Дж. Літлвуда і Д. Поліа, зусилля математиків багатьох країн світу були направлені на отримання саме таких нерівностей. Кожне досягнення у цьому напрямку вимагало і вимагає створення своїх методів дослідження, і як самі точні нерівності, так і методи, розроблені для їх отримання, знаходили важливі застосування.

Одним з фундаментальних результатів в цій тематиці є результат А.М. Колмогорова. Саме тому нерівності для норм проміжних похідних диференційовних функцій і їх аналоги стали називати нерівностями типу Колмогорова. Для доведення своєї нерівності А.М. Колмогоров отримав так звану теорему порівняння. Ця теорема стала важливим інструментом при дослідженні проблеми про точні сталі в нерівностях типу Колмогорова. Зокрема, теорема порівняння Колмогорова була успішно застосована в роботах В.М. Габушина. В його роботах на основі теореми порівняння Колмогорова був створений метод локального порівняння похідних функцій малої гладкості, який виявився дуже корисним при розв'язанні ряду задач даної дисертації. Не менш важливим є метод порівняння переставлень і -переставлень М.П. Корнєйчука. Зокрема, ці методи були успішно застосовані в роботах А.О. Лигуна, в яких було отримано суттєве узагальнення результату А.М. Колмогорова для періодичних функцій і доведено нерівності типу Колмогорова, що враховують число змін знаку похідних функцій. Ці методи також широко використовувались при проведенні досліджень задач даної дисертації.

Б.С. Надь для функцій, що задані на числовій прямій і мають там похідну 1-го порядку, одержав точні нерівності, що оцінюють - норму функції через - норму функції і - норму її похідної. Нерівності такого типу називають нерівностями типу Надя або нерівностями різних метрик. Їх можна розглядати як спеціальний випадок нерівностей типу Колмогорова, коли оцінюється похідна нульового порядку, тобто сама функція. Л. Хермандер отримав узагальнення нерівності А.М. Колмогорова, в якому оцінюються норми додатних і від'ємних частин похідних і враховуються обмеження на додатні і від'ємні частини старших похідних (несиметричний варіант нерівності А.М. Колмогорова). І. Шенберг і А. Каваретта отримали аналог нерівності А.М. Колмогорова на півпрямій.

Нерівності типу Колмогорова для функцій багатьох змінних мають велике значення в теорії диференціальних рівнянь з частковими похідними і в теорії вкладення класів гладких функцій. Питання про нерівності такого типу досліджувались в роботах О.В. Бєсова, І.П. Ільїна, С.М. Нікольського та інших. Деякі точні нерівності для норм "проміжних" похідних функцій багатьох змінних представлені в роботах В.М. Коновалова, Дінь-Дзунга і В.М. Тихомирова, А.П. Буслаєва і В.М. Тихомирова, В.Г. Тимофєєва, В. Чена і З. Діціана, О.А. Тимошина.

При дослідженні багатьох екстремальних задач аналізу з'ясувалось, що вони тісно пов'язані з точними нерівностями типу Колмогорова. Важливу роль в цьому плані відіграли роботи М.П. Корнєйчука, в яких метод проміжного наближення був успішно застосований для точного розв'язання задачі найкращого наближення класів функцій тригонометричними поліномами, і роботи С.Б. Стєчкіна про наближення необмежених операторів обмеженими. Дослідженню цих взаємозв'язків присвячені також роботи Л.В. Тайкова і В.В. Арестова (для функцій, що задані на прямій або півпрямій), а також роботи А.О. Лигуна і Б.Є. Клоца (для періодичних функцій). В роботах А.О. Лигуна за допомогою точних нерівностей типу Колмогорова отримані нові точні нерівності типу Бернштейна для тригонометричних поліномів і поліноміальних сплайнів.

В зв'язку з великою складністю задач про точні константи в нерівностях типу Колмогорова повний розв'язок задач такого типу одержано лише у невеликій кількості ситуацій. Це стосується і функцій однієї змінної, і особливо функцій багатьох змінних, де дослідження направлені на отримання точних нерівностей типу Колмогорова по суті справи тільки розпочинаються.

Тому задача про точні константи в нерівностях типу Колмогорова залишається актуальною. Особливо важливим завданням в цьому напрямку є вдосконалення відомих методів розв'язання задач такого типу (деякі з них були зазначені вище), а також створення нових методів дослідження.

Важливим завданням залишається виявлення подальших взаємозв'язків нерівностей типу Колмогорова з іншими екстремальними задачами аналізу.

Дослідження даної дисертації як раз і присвячені розв'язку вищевказаних задач.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконувалась в рамках науково-технічного проекту (науковий керівник - проф. В.Ф. Бабенко), який отримав в 1995-1996 р.р. фінансову підтримку Міжнародного наукового фонду і уряду України (соросівській грант U92200), в 1997 р. - додатковий грант цього фонду, а в 1998 р. - грант Міжнародної науково-освітньої програми.

Крім того, дисертацiя виконувалась в рамках держбюджетних тем N 09-95-58 "Екстремальні задачі аналізу та їх застосування", номер державної реєстрації N 0198U003742 і N 09-207-01 "Нерівності для похідних і екстремальні задачі аналізу", номер державної реєстрації N 0101V001526, що проводились на кафедрі математичного аналізу Дніпропетровського національного університету.

Мета і завдання дослідження. Об'єктом дослідження є нерівності типу Колмогорова. Предметом дослідження є точні нерівності такого типу та їх взаємозв'язки з іншими екстремальними задачами аналізу. Мета і основні задачі дослідження полягали у наступному.

- Одержання нових точних нерівностей типу Колмогорова-Надя для періодичних функцій, а також для функцій, що визначені на півосі, осі та скінченому інтервалі.

- Одержання точних нерівностей типу Колмогорова для функцій багатьох змінних.

- Дослідження взаємозв'язків нерівностей типу Колмогорова з іншими екстремальними задачами аналізу.

- Застосування отриманих результатів до дослідження екстремальних властивостей поліномів та сплайнів, точного розв'язку таких екстремальних задач, як наближення одного класу функцій іншим, дослідження екстремальних властивостей підпросторів в задачі про поперечники за Колмогоровим, обчислення характеристик типу K-функціоналу та інших задач.

- Подальше вдосконалення методу порівняння похідних функцій та їх переставлень, як одного з найдійовіших методів дослідження задачі про точні нерівності типу Колмогорова.

Охарактеризуємо коротко методи розв'язання поставлених задач. В першому розділі при доведенні точних нерівностей типу Колмогорова для періодичних функцій однієї змінної застосовувались класичні методи дослідження задачі про точні константи в нерівностях типу Колмогорова: методи порівняння похідних функцій та їх переставлень. Крім того, подальший розвиток отримав метод локального порівняння Габушина. Це дало змогу отримати точні нерівності типу Колмогорова для періодичних функцій малої гладкості з рівномірно обмеженою старшою похідною в найбільш загальній ситуаії, а також одержати точні нерівності типу Колмогорова з так званими локальними "нормами". Зокрема, було отримано підсилення нерівності і теореми порівняння Колмогорова. Доведення деяких нерівностей типу Колмогорова з першого розділу базується на новій теоремі порівняння - переставлень Корнєйчука.

В другому розділі наведені нові точні нерівності типу Надя для періодичних функцій довільної гладкості. Метод доведення цих нерівностей заснований на нових теоремах порівняння переставлень.

В третьому розділі розглядаються застосування нових нерівностей типу Колмогорова - Надя, отриманих в попередніх розділах, до дослідження екстремальних властивостей поліномів і сплайнів. А саме, отримано ряд нових нерівностей типу Бернштейна - Нікольського для поліномів і сплайнів. Зокрема, отримані нерівності такого типу з локальними "нормами". Для розв'язання цих задач ефективним є метод дослідження, що був розроблений в роботах А.О. Лигуна.

В четвертому розділі наведено несиметричний аналог результату І. Шенберга і А. Каваретти. Схема доведення цього результату така ж, як і в роботі І. Шенберга і А. Каваретти, але метод доведення істотно відрізняється від методу І. Шенберга і А. Каваретти. Крім того, в четвертому розділі (в підрозділі 4.3) запропонована схема доведення адитивних нерівностей типу Колмогорова. Зокрема, виявлено взаємозв'язок між точною константою при нормі функції в адитивній нерівності типу Колмогорова і точною константою у відповідній нерівності типу Маркова - Нікольського для алгебраїчних поліномів. А саме, доведено, що ці константи збігаються. Згадана схема доведення адитивних нерівностей типу Колмогорова заснована на розвиненні функцій в ряд Тейлора з подальшим застосуванням методу проміжного наближення, причому в якості класу "проміжних" функцій виступає множина алгебраїчних многочленів фіксованої степені. Поєднання цих двох методів виявилося простим і ефективним способом знаходження точної константи при нормі функції в адитивних нерівностях типу Колмогорова.

В п'ятому розділі наведено нові точні нерівності типу Колмогорова для функцій багатьох змінних. В підрозділі 5.1 розглядаються мультиплікативні нерівності типу

Колмогорова для періодичних функцій багатьох змінних. У випадку функцій однієї змінної нерівності типу Колмогорова для похідних можуть розглядатися як нерівності для первісних. У випадку функцій багатьох змінних це вже не так і саме нерівності для первісних виявилися корисними для проблем апроксимації класів функцій іншими класами (див. розділ 6). В підрозділі 5.1 представлені точні нерівності, що оцінюють L2 - норми "проміжних" (змішаних) похідних періодичних функцій багатьох змінних через L? - норми цих функцій і їх часткових похідних (вищого порядку) з кожної змінної. Крім того, представлені точні нерівності, що оцінюють L2 - норми "проміжних" (змішаних) первісних через L? - норми функцій і їх первісних (вищого порядку) з кожної змінної. Метод доведення цих нерівностей заснований на класичному гармонічному аналізі функцій багатьох змінних з використанням концепції дробових похідних і первісних в смислі Вейля.

В підрозділі 5.2 розглядаються адитивні нерівності типу Колмогорова для диференційовних відображень банахових просторів, зокрема для функцій багатьох змінних. А саме, представлені узагальнення результатів підрозділу 4.3 на такі відображення.

В шостому розділі наведена теорема еквівалентності, що описує взаємозв'язки нерівностей типу Колмогорова, записаних у формі нерівностей для опорних функцій опуклих множин, з іншими екстремальними задачами аналізу. При її доведенні використовувались методи опуклого аналізу. Розглянуто різноманітні застосування цієї теореми і точних нерівностей типу Колмогорова, що наведені в попередніх розділах. Зокрема, за допомогою точних нерівностей для первісних періодичних функцій багатьох змінних були отримані оцінки найкращих наближень в інтегральній метриці класів функцій, що визначаються обмеженнями на L2 - норми змішаних похідних фіксованого порядку сумами функціональних класів, які визначаються обмеженнями на L1 - норми часткових похідних (вищого порядку) з кожної змінної. За допомогою методу проміжного наближення були отримані точні значення наближень квазіполіномами в L1-метриці класів функцій, що визначаються обмеженнями на L2 - норми змішаних похідних .

В сьомому розділі отримані точні значення наближень алгебраїчними многочленами в інтегральній метриці класів функцій Рімана-Ліувілля, що задаються обмеженнями на старшу похідну дробового порядку. Метод дослідження задач даного розділу полягає в поєднанні класичних методів теорії наближення і теорії екстремальних задач з оригінальними технічними прийомами.

Наукова новизна одержаних результатів. Всі результати дисертації є новими і становлять значний інтерес для теорії наближень. Наступні результати відносяться до числа основних.

1. Отримано ряд нових точних нерівностей типу Колмогорова-Надя як для функцій однієї змінної, так і для функцій багатьох змінних.

2. Доведено теореми еквівалентності, що описуюють взаємозв'язки між нерівностями типу Колмогорова та рядом важливих екстремальних задач аналізу, такими як наближення одного класу функцій іншим, точні оцінки верхніх граней функціоналів на класах функцій, оцінки характеристик типу K-функціоналу.

3. Виявлено взаємозв'язок між точними константами при нормі функції в адитивних нерівностях типу Колмогорова і точними константами у відповідних нерівностях типу Маркова-Нікольського для алгебраїчних поліномів. А саме доведено, що ці константи збігаються. Тим самим вдалося знайти точні константи при нормі функції в адитивних нерівностях типу Колмогорова в тих випадках, коли константи у відповідних нерівностях типу Маркова-Нікольського відомі.

4. За допомогою одержаних нерівностей типу Колмогорова доведено ряд нових точних нерівностей типу Бернштейна-Нікольського для тригонометричних поліномів і поліноміальних сплайнів.

5. Одержано нові оцінки в задачі наближення класів періодичних функцій іншими функціональними класами. Це дало змогу, зокрема, отримати нові точні результати по наближенню класів функцій багатьох змінних квазіполіномами.

6. Отримано нові теореми порівняння похідних функцій, їх переставлень і -переставлень Корнєйчука.

7. Відомі результати М.П. Корнєйчука і А.О. Лигуна про верхні грані функціоналів на класах представлені як нерівності типу Колмогорова для опорних функцій опуклих множин, що дало змогу включити їх за допомогою теореми еквівалентності в ряд еквівалентних між собою тверджень і отримати нові твердження, що еквівалентні вказаним вище результатам М.П. Корнєйчука і А.О. Лигуна.

8. Одержані точні нерівності типу Колмогорова з локальними "нормами".

9. Знайдені точні значення найкращих наближень алгебраїчними многочленами в інтегральній метриці класів функцій Рімана-Ліувілля, тобто класів функцій, що є дробовими інтегралами від сумовних на відрізку функцій, інтегральні норми яких не перевищують 1.

Практичне значення одержаних результатів. Результати, отриманi в дисертацiї носять теоретичний характер, але вони мають i практичне значення, яке полягає в наступному. При побудові чисельних алгоритмів необхідно вміти оцінювати похибку даного алгоритму. Для цього, в свою чергу, необхідно знати точне значення величини, що обчислюється. А оскільки всі основні результати дисертації дають остаточний розв'язок відповідних проблем, то це дає можливість обчислювати точне значення констант в розглянутих задачах з будь-якою точністю, що в свою чергу дає змогу оцінювати похибки відповідних чисельних алгоритмів.

Результати, одержані в роботі сприяють подальшому розвитку досліджень в галузі теорії наближень і можуть знайти застосування у дослідженнях екстремальних задач теорії наближення, які проводяться в Інституті математики НАН України, Інституті прикладної математики і механіки НАН України, Київському, Дніпропетровському, Львівському, Донецькому, Одеському університетах.

Особистий внесок здобувача. Результати роздiлу 7, пiдроздiлiв 1.3 - 1.5, 3.4, 4.2, 6.7, а також теореми 2.1.8, 2.2.2, 3.1.3, 3.2.3, 3.3.3, 6.3.3 отримані автором одноособово. З результатів, що опубліковані в сумісних з В.Ф. Бабенком і С.О. Пічуговим і М.П. Корнєйчуком роботах, автору належать теореми 1.1.3, 1.1.5, перше твердження теореми 2.1.1, теореми 4.1.3, 4.3.2, 6.3.5, 6.5.1, 6.8.2. Результати підрозділу 6.9 отримані у спiвавторствi з М.П. Корнєйчуком, В.Ф. Бабенком і С.О. Пічуговим, решта результатів - у спiвавторствi з В.Ф. Бабенком і С.О. Пічуговим.

Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідались автором на

- міжнародній конференції "First conference of program designers" (Будапешт, 1985);

- міжнародній конференції, присвяченій 75-річчю Дніпропетровського державного університету (Дніпропетровськ, 1993 р.);

- міжнародній конференції “Теорія функцій і математична фізика”, присвяченій 100-річчю Н. І. Ахієзера (Харків, 2001 р.);

- Українському математичному конгресі, присвяченому 200-річчю з дня народження М. В. Остроградського (Київ, 2001 р.);

- міжнародній конференції з функціонального аналізу та його застосувань, присвяченій 110-річчю з дня народження С. Банаха (Львів, 2002 р.);

- розширеному науковому семiнарi Iнституту математики НАН України;

- міждержавних науково-практичних конференціях "Комп'ютерне моделювання" (Дніпродзержинськ, 2000, 2001 рр.);

- підсумкових конференціях Дніпропетровського національного університету (Дніпропетровськ, 1998 - 2002 рр.);

- наукових семінарах з теорії функцій (Дніпропетровський національний університет, керівники семінару: член-кор. НАН України, проф. Моторний В. П., проф. Бабенко В.Ф.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в роботах [131], опубліковано також 12 тез доповідей, що були представлені на різні наукові конференції.

Структура і обсяг дисертації. Дисертація обсягом 302 сторінки машинописного тексту складається з вступу, семи розділів, висновків і списку літератури, який містить 127 найменувань.

2. Основний зміст дисертаційної роботи

У вступі визначено об'єкт і предмет дослідження, обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовані мета і задачі, визначаються методи дослідження, його наукова новизна, теоретичне і практичне значення, коментується повнота викладення матеріалу в наукових працях та його ступінь апробації, наведено також структуру дисертаційної роботи.

Символом G будемо позначати скінченний інтервал I, дійсну вісь R, піввісь R+, одиничне коло T, що реалізоване у вигляді проміжку [р, р] з ототожненими кінцевими точками. Будемо розглядати простори Lp(G), , всіх вимірних функцій x: G > R таких, що , де

якщо ,

.

Позначимо через найкраще наближення функції в -метриці, , константами. Для скорочення замість будемо писати , а замість . Для через позначимо простір функцій таких, що локально абсолютно неперервна, а . Для покладемо

.

Важливу роль в багатьох екстремальних задачах аналізу відіграють нерівності

, , , (1)

для функцій , і їх аналоги, в яких норми замінено найкращими наближеннями константами. Усі такі нерівності називають нерівностями типу Колмогорова. Найбільш цікавими є нерівності з непокращуваними константами (точні нерівності).

Перший розділ дисертаційної роботи присвячено отриманню точних нерівностей типу (1) для періодичних функцій. Серед таких нерівностей найбільш цікавими є нерівності з максимально можливим показником. Клоц встановив, що такий показник визначається співвідношенням:

. (2)

Відомо порівняно небагато випадків, коли точні нерівності типу (1) з показником доведено для всіх . Це такі випадки:

(Колмогоров, Ландау, Адамар, Шилов);

q = p = s = 2 (Харді-Літлвуд-Поліа);

q = p = s = 1 (Стейн);

та , (Лигун);

, (Шадрін).

В першому розділі отримано точні нерівності типу (1) для періодичних функцій з показником для всіх () у наступних випадках:

, , або (теореми 1.1.1 та 1.1.4);

, (теорема 1.3.10);

, , (теорема 1.1.5);

, , (теорема 1.3.11).

У підрозділі 1.3 отримано нову теорему порівняння -переставлень Корнєйчука (теорема 1.3.9), що складає основу доведення точних нерівностей у випадках 2) і 4).

В підрозділах 1.4 і 1.5 для функцій отримані точні нерівності типу

, , , (3)

з локальними "нормами"

, (4)

,

для довільних , . Зазначимо, що показник в (3) максимально можливий. При нерівність (3) є підсиленням нерівності Лигуна.

Другий розділ присвячено отриманню точних нерівностей типу Надя, тобто нерівностей типу (1) при . Вперше точні нерівності такого типу для функцій отримав Надь. В нерівності Надя

.

В другому розділі отримано точні нерівності типу Надя для періодичних функцій довільної гладкості , які мають нулі, у випадку

, , (теорема 1.2.1).

Вимога про те, що має нулі в цій теоремі істотна. Отримано також різноманітні варіанти нерівностей типу Надя для , в яких норми замінено на найкращі та найкращі односторонні наближення константами, а також на характеристики типу , де константа найкращого наближення функції в метриці простору (теореми 2.2.2 2.2.5). Зокрема, доведені точні нерівності виду

для довільних , , де

, (теорема 2.2.2).

В підрозділі 2.1 отримано нові теореми порівняння переставлень (теореми 2.1.1 2.1.8), що складають основу доведення нерівностей другого розділу.

Третій розділ присвячено застосуванням нерівностей типу Колмогорова-Надя, що отримані в розділах 1 і 2, для дослідження екстремальних властивостей поліномів і сплайнів. А саме отримано ряд точних нерівностей типу Бернштейна-Нікольського

, , (5)

для тригонометричних поліномів порядку не вище n () та -періодичних поліноміальніх сплайнів порядку дефекту 1 з вузлами в точках , , (). Точні нерівності типу (5) для відомі у випадках:

(Бернштейн (), Зігмунд і Арестов ) ;

, (Тайков);

, (Лигун).

Для точні нерівності типу (5) відомі у випадках:

(Тихомиров);

, і , (Лигун).

В третьому розділі отримано точні нерівності типу (5) як для , так і для у випадках:

, (теореми 3.1.1 і 3.1.2);

, (теорема 3.1.3);

, , (теореми 3.2.2 і 3.3.2).

Отримано також різноманітні варіанти точних нерівностей типу (5), в яких норми замінено найкращими та найкращими односторонніми наближеннями і величинами типу .

В підрозділі 3.4 отримано то чні нерівності типу Бернштейна-Нікольського

, , (6)

з локальними "нормами", що означені рівністю (4), як для , так і для при довільних q ? 1 і p > 0 (теореми 3.4.1 і 3.4.3). Точна нерівність (6) у випадку p = ? є підсиленням нерівностей Бернштейна і Тайкова (для ) та Тихомирова і Лигуна (для ). Зазначимо, що показник в (6) найменший з можливих.

Четвертий розділ дисертаційної роботи присвячено отриманню точних нерівностей типу Колмогорова-Хермандера для функцій, що задані на півосі . Відомо, що для функцій, що задані на чи , задача отримання точної нерівності типу (1) еквівалентна наступній екстремальній задачі:

; , . (7)

Для функцій ( у випадку ) ця задача розв'язана Ландау, Маторіним, Шенбергом і Кавареттою. Для функцій, що задані на прямій (у випадку ), Хермандер розв'язав більш загальну задачу:

; , , . (8)

В четвертому розділі задача (8) розв'язана для функцій, що задані на півпрямій (теорема 1.2.6). Тим самим отримано узагальнення результату Шенберга-Каваретти.

Для функцій, що задані на відрізку , задача (7) вже не еквівалентна нерівності (1). Більше того, для функцій нерівність (1) взагалі не виконується. Природною формою нерівностей для норм проміжних похідних функцій є адитивна форма:

. (9)

Буренков встановив, що , де береться по таких , що (9) з деякою константою виконується для всіх . З іншого боку , де береться по таких , що (9) з деякою константою виконується для всіх . Таким чином, важливою є задача знаходження цього . При ця задача розв'язана Буренковим (дослідження питання про пари можливих констант в нерівності (9) у випадку проводились в роботах Шадріна).

В розділі 4 повністю розв'язана задача про знаходження цього . Нехай

(p,q):=

точна константа в нерівності Маркова, де простір алгебраїчних многочленів степені не вищої за . В теоремі 4.3.2 доведено, що (9) для всіх виконується якщо і тільки якщо . При цьому

.

В розділі 5 це твердження (у випадку q = p = s = ?) узагальнене на довільні диференційовні відображення банахових просторів (теорема 5.2.1), зокрема на функції багатьох змінних (теорема 5.2.5).

П'ятий розділ дисертаційної роботи присвячено отриманню точних нерівностей типу Колмогорова для функцій багатьох змінних. Окрім щойно згаданого результату про точну константу при нормі функції в адитивній нерівності, в цьому розділі отримані точні нерівності типу Колмогорова для періодичних з кожної змінної функцій.

Нехай , ; ; дробова похідна (первісна) порядку в смислі Вейля; ,…, стандартний базис в Rm.

Для періодичних функцій багатьох змінних x таких, що , , одержано точну нерівність виду

, (10)

де () (теорема 5.1.4).

Крім того, для сумовних періодичних функцій багатьох змінних x таких, що , , отримано точну нерівність виду

, (11)

де (), найкраще наближення в -метриці функції множиною функцій, що не залежать від -ї змінної (теорема 5.1.5).

Зазначимо, що для функцій однієї змінної нерівності (10) і (11) еквівалентні і є спеціальним випадком нерівності Лигуна. Для функцій багатьох змінних ці нерівності вже не еквівалентні, і саме точні нерівності типу (11) знаходять застосування в теорії наближення (див. розділ 6).

Шостий розділ дисертаційної роботи присвячено застосуванням точних нерівностей типу Колмогорова, що отримані в попередніх розділах, до розв'язання різноманітних екстремальних задач аналізу. Головну роль тут відіграє теорема еквівалентності (теорема 6.2.1), що описує взаємозв'язки точних нерівностей типу Колмогорова з іншими екстремальними задачами.

Нехай X лінійний простір, p(x) норма (взагалі кажучи несиметрична), X' алгебраїчно спряжений простір,

, ,

, ,

опорна функція множини , ,

поляра множини М,

,

, де сублінійний функціонал.

Для і покладемо

,

де випукла конічна оболочка множини . Через позначимо множину півнеперервних знизу вігнутих функцій . Покладемо

, якщо , і , якщо , і нехай

, , перетворення Лежандра.

Теорема 6.2.1. Нехай H, H1,…,Hm опуклі множини в , що містять нуль; . Тоді наступні твердження еквівалентні:

Якщо , , і то

.

2) Якщо такий же, як і в п 1), і , то

.

3) Для довільного

.

4) Для довільного сублінійного функціоналу такого, що і , , і довільного

.

5) Якщо сублінійний функціонал такий, як в п. 4), причому , то

.

6) Для довільних і

.

У випадку коли , і одиничні кулі в і відповідно, а , , еквівалентність тверджень 1), 3) і 5) доведена раніше А.О. Лигуном.

Твердження 1) і 2) теореми 6.2.1 це абстрактні версії нерівностей типу Колмогорова для опорних функцій опуклих множин, 3) абстрактна версія наближення одного класу функцій іншим, 4) і 5) абстрактні версії нерівностей для верхніх граней функціоналів на класах функцій, 6) оцінка характеристики типу -функціоналу.

Для , ; , розглянемо соболевські простори

,

де множина -періодичних з кожної змінної функцій таких, що , ; множина функцій, що представимі у вигляді

, , ,…, .

Через позначимо відповідні соболевські класи

.

За допомогою нерівності (11) і теореми еквівалентності 6.2.1 отримано оцінку для величини наближення в -метриці класу класом (теорема 6.4.5). Використовуючи цю оцінку методом проміжного наближення отримано точні значення наближень в -метриці класу функцій квазіполіномами. Для , покладемо

,

де , , .

Теорема 6.5.1. Нехай , , , . Тоді для довільних Nj > 0, ,

,

,

ідеальний сплайн Ейлера порядку .

Теорема 6.5.3. Нехай ,, , , . Тоді

,

де .

У випадку квазіполіноми стають тригонометричними поліномами і теорема 6.5.1 зводиться до результату Нікольського, а теорема 6.5.3 до результату Тайкова (при ).

Застосування нерівностей типу Колмогорова-Надя для періодичних функцій, що були отримані в розділах 1 і 2, проілюструємо на прикладі нерівності

, , , (12)

для функцій ( теорема 1.3.10).

Для і покладемо .

Теорема 6.3.3. Нехай , . Тоді для довільних

, (13)

.

Константи при і непокращувані.

Твердження, що аналогічні теоремі 6.3.3, виводяться за допомогою теореми еквівалентності також з інших нерівностей, що отримані в розділах 1 і 2 .

За допомогою оцінки (13) наближення одного класу функцій іншим отримано наступне твердження про екстремальні підпростори в задачі про поперечники. Нехай

,

поперечник за Колмогоровим множини в , де береться по всіх підпросторах розмірності не більшої . Кажуть, що підпростір , , реалізує поперечник , якщо

.

Теорема 6.5.1. Нехай . Якщо підпростір розмірності , m = 2n ? 1 або m = 2n, реалізує поперечник , то цей же підпростір реалізує поперечники для всіх , .

Вперше твердження такого типу були отримані Лигуном.

Символом позначимо клас неперервних -періодичних функцій таких, що , t > 0, де - модуль неперервності функції , а - заданий модуль неперервності. Нехай далі , , - клас -періодичних r раз неперервно диференційовних функцій таких, що . Символом позначимо множину 2р-періодичних функцій обмеженої варіації.

В роботах Корнєйчука і Лигуна були отримані оцінки верхніх граней функціоналів на класах , r=0,1,…, які стали основою розв'язання багатьох принципово важливих задач теорії наближень. В підрозділах 6.8 і 6.9 показано (теореми 6.8.2 і 6.9.10), що ці результати можна розглядати як нерівності типу Колмогорова для опорних функцій опуклих множин. Це дозволило за допомогою теореми еквівалентності 6.2.1 включити ці результати Корнєйчука і Лигуна в ряд еквівалентних тверджень і, зокрема, отримати нові результати, що їм еквівалентні.

Теорема 6.8.2. Нехай - довільний модуль неперервності. Тоді справедливі наступні еквівалентні твердження:

Для довільних і N > 0

.

Для довільного

.

Для будь-якого сублінійного функціоналу такого, що і скінченні, і довільного

.

4) Для будь-яких і t > 0

.

Для a > 0 нехай , якщо і , якщо t ? a. Для покладемо , якщо і , якщо . Для заданого модуля неперервності , , , , означимо функцію

, ,

.

Нехай далі

, .

Теорема 6.9.10. Нехай - опуклий угору модуль неперервності, або ; . Тоді справедливі наступні еквівалентні твердження:

Для довільної функції , , ,

.

Для довільної функції , , і будь-якого

.

Для будь-якого

.

Для будь-якого сублінійного функціоналу на такого, що і скінченні, і довільного N > 0

.

Для будь-якого сублінійного функціоналу такого як в п 4), ,

.

6) Для будь-якої функції і довільного t > 0

.

Сьомий розділ присвячено отриманню точних значень верхніх граней наближень алгебраїчними многочленами в інтегральній метриці класів дробових інтегралів (в смислі Рімана-Ліувіля) від сумовних на відрізку функцій, інтегральні норми яких не перевищують 1. Нехай . Для покладемо

,

; ,

де Г(r) ? гамма-функція Ейлера, ? множина алгебраїчних многочленів степені не вищої за .

Нікольський знайшов асимптотичну поведінку величин при . В кандидатській дисертації автором знайдені точні значення величин для . А саме доведено, що

, n ? r ? 1 , (14)

.

В сьомому розділі доведена

Теорема 7.1.1. Для всіх , , і , , виконується рівність (14).

В дисертаційній роботі подальший розвиток отримав метод порівняння похідних функцій, їх переставлень та -переставлень. Наведемо деякі з таких тверджень, що склали основу доведення багатьох точних нерівностей типу Колмогорова з перших двох розділів.

Наступна теорема є підсиленням теореми порівняння Колмогорова.

Для і л > 0 покладемо , де константа ar обрана таким чином, щоб сплайн зростав на проміжку .

Теорема 1.4.4. Нехай , і число обрано за умовою

.

Нехай далі - проміжок монотонності функції такий, що для всіх ; . Тоді якщо для точки точка обрана так, що

,

.

Теорема 1.4.4 є основою доведення нерівностей (3) з локальними "нормами".

Наступна теорема є підсиленням відомої теореми порівняння -переставлень КорнєйчукаЛигуна. Нехай -переставлення Корнєйчука 2р-періодичної функції x, а -переставлення звуження на , де a нуль сплайну .

Теорема 1.3.9. Нехай , r ? 3. Якщо для функції , що має нулі, число обрано так, що

, (15)

то майже для всіх

. (16)

Якщо при цьому в (15) виконується рівність, то для будь-якого .

Якщо ж число обрано за умовою ,

то виконується (15) і для довільного

.

Основним твердженням теореми є імплікація (15) (16). За теоремою КорнєйчукаЛигуна (16) виконується при сильнішій за (15) умові . Теорема 1.3.9 є основою доведення точної нерівності (1) для періодичних функцій у випадках: , (теорема 1.3.10) і , , (теорема 1.3.11).

Для L-періодичної, L > 0, вимірної за Лебегом функції x нехай r(|x|, •) переставлення звуження її модуля |x| на [0, L].

Теорема 2.1.8. Нехай , . Якщо існує (0,?) таке, що

||x+||s = ||x_||s, а число обрано за умовою

,

де (0, s), то

для довільного t > 0. Зокрема, ||x||q для будь-якого q > p

Теорема 2.1.8 і інші теореми такого типу (теореми 2.1.1 ? 2.1.7) є основою доведення нерівностей типу Надя з другого розділу.

Висновки

Дисертація присвячена отриманню точних нерівностей типу Колмогорова для функцій з різноманітними областями визначення та їх застосуванням до розв'язання різноманітних екстремальних задач аналізу.

В дисертаційній роботі подальший розвиток отримали методи розв'язання вищевказаних задач, що дозволило одержати істотні результати, які полягають в наступному.

1. Отримано ряд нових нерівностей типу Колмогорова-Надя для періодичних функцій, для функцій, що задані на півосі та скінченному відрізку, а також для функцій багатьох змінних.

2. Виявлено взаємозв'язки точних нерівностей типу Колмогорова, записаних у найбільш загальному вигляді (у вигляді нерівностей для опорних функцій опуклих множин), з рядом важливих екстремальних задач аналізу, таких як наближення одного класу функцій іншим, точні оцінки верхніх граней функціоналів на класах функцій, оцінки характеристик типу K-функціоналу. Також виявлено взаємозв'язок точних констант при нормі функції в адитивних нерівностях типу Колмогорова з точними константами у відповідних нерівностях типу Маркова-Нікольського для алгебраїчних поліномів.

Виявлені взаємозв'язки дозволили розв'язати ряд важливих екстремальних задач аналізу, зокрема отримати нові точні результати по наближенню класів функцій багатьох змінних квазіполіномами.

3. За допомогою отриманих нерівностей типу Колмогорова-Надя доведено ряд нових точних нерівностей типу Бернштейна-Нікольського для тригонометричних поліномів і поліноміальних сплайнів.

4. Отримано нові теореми порівняння похідних функцій, їх переставлень і -переставлень Корнєйчука.

5. Знайдені точні значення найкращих наближень алгебраїчними многочленами в інтегральній метриці класів дробових інтегралів (в смислі Рімана-Ліувілля) від сумовних на відрізку функцій, інтегральні норми яких не перевищують 1.

Список опублікованих праць за темою дисертації

Кофанов В.А. Приближение алгебраическими многочленами классов функций, являющихся дробными интегралами от суммируемых функций // Analysis mathematica. 1988. 13. P. 211 229.

Babenko V. F., Kofanov V.A., Pichugov S.A. On inequalities of Landau Hadamard Kolmogorov type for the -norms of intermediate derivatives // East J. Approx. 1996. 2, № 3 P. 343 368

Babenko V. F., Kofanov V.A., Pichugov S.A. Multivariate Inequalities of Kolmogorov Type and their Applications // Multivariate Approximation and Splines. G. Nurnberger, J.W. Smidt and G. Walz (eds) by Birkhauser. Basel. ISBN 3-7643-5654-5. 1997 P. 1 12.

Babenko V. F., Kofanov V.A., Pichugov S.A. Exact inequalities of Kolmogorov type for multivariate functions and their applications // East J. Approx. 1997. 3, № 2 P. 155 186.

Babenko V. F., Kofanov V.A., Pichugov S.A. Inequalities for norms of intermediate derivatives of periodic functions and their applications // East J. Approx. 1997. 3, № 3 P. 351 376.

Бабенко В.Ф., Кофанов В.А., Пичугов С.А. О точных неравенствах типа ЛандауАдамараКолмогорова для функций многих переменных // Докл. Рос. АН. 1997. 356, № 1. С. 7 9.

Бабенко В.Ф., Кофанов В.А., Пичугов С.А. Об аддитивных неравенствах для норм промежуточных производных // Докл. Рос. АН. 1997. 356, № 2. С. 154 156.

Бабенко В.Ф., Кофанов В.А., Пичугов С.А. Неравенства типа Колмогорова для операторов и экстремальные задачи теории приближений // Докл. Рос. АН. 1997. 356, № 4. С. 439 441.

Бабенко В.Ф., Кофанов В.А., Пичугов С.А. О точных неравенствах для промежуточных производных дифференцируемых отображений банаховых пространств // Допов. НАН України. 1997. № 1. С. 22 25.

Бабенко В.Ф., Кофанов В.А., Пичугов С.А. О точных неравенствах типа Ландау КолмогороваХермандера на полуоси // Допов. НАН України. 1997. № 4. С. 34 38.

Бабенко В.Ф., Кофанов В.А., Пичугов С.А. Об аддитивных неравенствах для промежуточных производных функций, определенных на конечном интервале // Укр. мат. журн. 1997. 49, № 5. С. 619 628.

Babenko V. F., Kofanov V.A., Pichugov S.A. Inequalities of Kolmogorov type and some their applications in approximation theory// Rendiconti del circolo matematico di Palermo 1998. Serie II , Suppl. 52 . P. 223 237.

Бабенко В.Ф., Кофанов В.А., Пичугов С.А. Об аддитивных неравенствах для промежуточных производных дифференцируемых отображений банаховых пространств // Мат. заметки. 1998. 63, № 3. С. 332 342.

Бабенко В.Ф., Кофанов В.А., Пичугов С.А. О точных неравенствах типа Колмогорова в случае малых гладкостей // Допов. НАН України. 1998. № 6. С. 11 14.

Бабенко В.Ф., Кофанов В.А., Пичугов С.А. Некоторые новые точные неравенства типа Колмогорова для периодических функций // Допов. НАН України. 1998. № 7. С. 7 10.

Бабенко В.Ф., Корнейчук Н.П., Кофанов В.А., Пичугов С.А. Неравенства для верхних граней функционалов и некоторые их применения в теории аппроксимации // Допов. НАН України. 1999. № 1. С. 24 29.

Бабенко В.Ф., Кофанов В.А., Пичугов С.А. О неравенствах типа Ландау Колмогорова Хермандера на полуоси // Мат. заметки. 1999. 65, № 2. С. 175 185.

Бабенко В.Ф., Корнейчук Н.П., Кофанов В.А., Пичугов С.А. O неравенствах для верхних граней функционалов на классах и некоторых их приложениях // Укр. мат. журн. 2000. 52, № 1. С. 66 84.

Бабенко В.Ф., Кофанов В.А., Пичугов С.А. Неравенства типа Надя для периодических функций // Допов. НАН України. 2000. № 6. С. 7 10.

Кофанов В.А. О неравенствах типа Ландау Колмогорова Хермандера на отрезке и вещественной прямой // Укр. мат. журн. 2000. 52, № 12. С. 1676 1688.

Кофанов В.А. Неравенства разных метрик для дифференцируемых периодических функций, полиномов и сплайнов // Укр. мат. журн. 2001. 53, № 5. С. 597 609.

Кофанов В.А. Об одном усилении неравенства Колмогорова // Віс. Дніпропетровського ун-ту: Математика. Дніпропетровськ, 2001, вип. 6. С. 63 67.

Бабенко В.Ф., Кофанов В.А., Пичугов С.А. Точные неравенства типа Колмогорова с ограниченной старшей производной в случае малых гладкостей // Укр. мат. журн. 2001. 53, № 10. С. 1298 1308.

Babenko V.F., Kofanov V.A., Pichugov S.A. Comparison of Rearrangements and Kolmogorov Nagy Type Inequalities for Periodic Functions // Approximation Theory. A volume dedicated to Blagovest Sendov (Ed. Bojanov B.) . 2002. P. 24 53.

Кофанов В.А. Усиление теоремы сравнения и неравенства Колмогорова и их приложения // Укр. мат. журн. 2002. 54, № 10. С. 1348 1355.

Kofanov V.A. On exact inequalities of Kolmogorov type // Матем. физика, анализ, геометрия. 2002. 9, № 3. С. 412 419.

Kofanov V.A. Comparison of rearrangements and inequalities of various metrics // East J. Approx. 2002. 8, № 3 P. 24 53.

Кофанов В.А. О точных неравенствах типа Колмогорова и Бернштейна // Теорія наближень та гармонічний аналіз: Праці Укр. мат. конгресу. 2001. Київ: Ін-т математики НАН України. С. 84 99.

Кофанов В.А. О некоторых свойствах перестановок функций малой гладкости // Віс. Дніпропетров. ун-ту: Математика. Дніпропетровськ, 2002, вип. 7. С. 43 51.

Кофанов В.А. О некоторых неравенствах типа Колмогорова, учитывающих число перемен знака производных // Укр. мат. журн. 2003. 55, № 4. С. 456 469.

Kofanov V.A. Exact inequalities of Kolmogorov Type and Comparison of Korneichuk's -rearrangements // East J. Approx. 2003. 9, № 1. С. 67 94.

Кофанов В.А. Приближение алгебраическими многочленами классов функций Римана-Лиувилля // International Conference " First conference of program designers" : Book of abstracts. Budapest. 1985. P. 137 142.

Бабенко В.Ф., Кофанов В.А., Пичугов С.А. О неравенствах для производных на отрезке // Международная конференция "Теорія наближень і задачі обчислювальної математики", присвячена 75річчю ДДУ (Дніпропетровськ, 1993): тези доповідей. С. 12.

Kofanov V.A. Inequalities of various metrics for differentiable periodic functions, polynomials and splines // International Akhieser Centenary Conference "Theory of functions and mathematical physics": Book of abstracts. Kharkiv, 2001. P. 47 48.

Kofanov V.A. Some Kolmogorov type inequalies and their applications // Український математичний конгрес, присвячений 220річчю з дня народження М.В. Остроградського ( Київ, 2001): тези доповідей ( секція "Теорія наближень та гармонічний аналіз"). С. 33.

Kofanov V.A. Exact Inequalities of Kolmogorov Type and Comparison of Korneichuk's -Rearrangements // Book of abstracts International Conference on Functional Analysis and its Applications dedicated to the 110-th anniversary of Stefan Banach. Lviv, 2002. P. 105 106.

Анотація

Кофанов В.О. Нерівності типу Колмогорова і екстремальні задачі аналізу. Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 математичний аналіз. Ін-т математики НАН України, Київ, 2003.

Дисертація присвячена отриманню точних нерівностей для норм проміжних похідних функцій з різноманітними областями визначення та розв'язанню на цій основі важливих екстремальних задач аналізу.

В дисертації отримано нові точні нерівності типу Колмогорова для періодичних функцій, для функцій, заданих на півосі, осі і скінченному інтервалі, а також для функцій багатьох змінних.

Виявлено взаємозв'язки точних нерівностей типу Колмогорова, записаних у вигляді нерівностей для опорних функцій опуклих множин, з рядом екстремальних задач аналізу таких як: наближення одного класу функцій іншим, точні оцінки верхніх граней функціоналів на класах функцій, оцінки характеристик типу K-функціоналу. Виявлено також взаємозв'язок точних констант при нормі функції в адитивних нерівностях типу Колмогорова з точними константами у відповідних нерівностях типу Маркова-Нікольського для алгебраїчних поліномів.

На цій основі розв'язано ряд екстремальних задач аналізу, зокрема, отримано нові точні результати по наближенню класів функцій багатьох змінних квазіполіномами, доведено ряд нових точних нерівностей типу Бернштейна-Нікольського для тригонометричних поліномів і поліноміальних сплайнів.

Отримано нові теореми порівняння похідних функцій, їх переставлень і -переставлень Корнєйчука.

Знайдені точні значення найкращих наближень алгебраїчними многочленами в інтегральній метриці класів дробових інтегралів (в смислі Рімана-Ліувілля) від сумовних на відрізку функцій, інтегральні норми яких не перевищують 1.

Ключові слова: нерівності для похідних, нерівності типу Колмогорова, нерівності різних метрик, теореми порівняння, нерівності типу Бернштейна-Нікольського, переставлення, - переставлення, найкраще наближення, поліном, сплайн.

Аннотация

Кофанов В.А. Неравенства типа Колмогорова и экстремальные задачи анализа. Рукопись. Дисертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.01 математический анализ. Ин-т математики НАН Украины, Киев, 2003.

Диссертация посвящена получению точных неравенств для норм промежуточных производных функций з разнообразными областями определения и решению на этой основе важных экстремальних задач анализа.

В диссертации получены новые точные неравенства типа Колмогорова для периодических функций, для функций, заданных на полуоси, оси и конечном интервале, а также для функций многих переменных. В частности, для периодических функций доказаны точные неравенства вида

Для периодических функций многих переменных получены точные неравенства, которые оценивают -нормы смешанных производных через - нормы этих функций и их частных производных высшего порядка по каждой переменной. Получены также точные неравенства, которые оценивают L2 - нормы смешанных первообразных через L?- нормы функций и их первообразных высшего порядка по каждой переменной.

Для функций, заданных на полуоси, получено несимметричное обобщение неравенства Шенберга и Каваретты в том же смысле, в котором неравенство Хермандера является обобщением неравенства Колмогорова.

Для функций, заданных на отрезке I доказано, что аддитивное неравенство имеет место для всех функций с некоторой константой B > 0 если и только если A ? Mr,k(p, q), где точная константа в неравенстве Маркова, пространство алгебраических многочленов степени не выше r ? 1. При этом inf A = Mr,k(p, q). Этот результат в случае q = p = s = ? обобщен на произвольные дифференцируемые отображения банаховых пространств, в частности, на функции многих переменных.

Выявлена взаимосвязь точных неравенств типа Колмогорова, записанных в форме неравенств для опорных функций выпуклых множеств, с рядом важных экстремальных задач анализа, таких как приближение одного класса функций другим, точные оценки верхних граней функционалов на классах функций, оценки характеристик типа K-функционала.

На этой основе получено решение ряда экстремальных задач анализа, в частности, получены новые точные результаты по приближению классов функций многих переменных квазиполиномами. С помощью полученных в диссертации неравенств типа Колмогорова доказан ряд новых точных неравенств типа Бернштейна-Никольского. В частности, для тригонометрических полиномов и полиномиальных сплайнов получены точные неравенства вида

Получены новые теоремы сравнения производных функций, их перестановок и - перестановок Корнейчука, которые составляют основу доказательств новых неравенств типа Колмогорова-Надя, полученных в диссертации.

Найдены точные значения наилучших приближений алгебраическими многочленами в интегральной метрике классов дробных интегралов (в смысле Римана-Лиувилля) от суммируемых на отрезке функций, интегральные нормы которых не превосходят 1.

Ключевые слова: неравенства для производных, неравенства типа Колмогорова, неравенства разных метрик, теоремы сравнения, неравенства типа Бернштейна-Никольского, перестановки, - перестановки, наилучшие приближения, полином, сплайн.

Summary

Kofanov V.A. Inequalities of Kolmogorov type and Extremal Problems of Analysis. Manuscript. Thesis for doctor degree in Physics and Mathematics speciality 01.01.01 mathematical analysis. Institute of mathematics, National Academy of Sciens of Ukraine, Kyiv, 2003.

The thesis is devoted to obtaining of the exact inequalities for norms of intermediate derivatives of functions and to solution of the various extremal problems of analysis on this basis.

The new exact inequalities of Kolmogorov type for periodic functions, for functions defined on semiaxis, on a finite interval as well as for functions of many variables are obtained in the thesis.

General theorems which give connections between inequalities of Kolmogorov type and various extremal problems of analysis are established. These problems are the following: an estimation of approximation of one set of functions by another, an estimation for upper bounds of seminorms on classes of functions, an estimate of K-functionals. The connection between the exact constants in additive inequalities of Kolmogorov type and the exact constants in the inequalities of Markov-Nikolskii type for polynomials are also established.

On this basis the various extremal problems of analysis are solved. In particular, the exact value of the best - approximation of the classes of functions many variables by quasipolynomials are found.

With the help of the inequalities of Kolmogorov type the series of new exact inequalities of Bernstein-Nikolskii type for polynomials and splines are obtained.

The new comparison theorems for rearrangemets and -rearrangements are proved. These theorems are basis for the main results of the thesis.

The exact values of the best - approximation of Riemann-Liuville function classes by algebraic polynomials are found.

Key words: inequalities for derivatives, inequalities of Kolmogorov type, inequalities of various metrics, comparison theorems, inequalities of Bernstein-Nikolskii type, rearrangements, - rearrangements, best approximation, polynomial, spline.

Размещено на Allbest.ru

...