Математичне моделювання фізико-механічних полів з гвинтовим типом симетрії методом R-функцій

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МАШИНОБУДУВАННЯ ІМ.А.М.ПІДГОРНОГО

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ФІЗИКО-МЕХАНІЧНИХ ПОЛІВ З ГВИНТОВИМ ТИПОМ СИМЕТРІЇ МЕТОДОМ R-ФУНКЦІЙ

01.05.02 -- математичне моделювання та обчислювальні методи

МАКСИМЕНКО-ШЕЙКО КИРИЛО ВОЛОДИМИРОВИЧ

Харків 2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України.

Науковий керівник: академік НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор Рвачов Володимир Логвинович, Інститут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України, завідувач відділу прикладної математики та обчислювальних методів

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Яковлев Сергій Всеволодович Національний університет внутрішніх справ, начальник факультету управління та інформатики

кандидат фізико-математичних наук Тоніца Олег Володимирович Національний технічний університет “ХПІ” доцент кафедри комп'ютерної математики та математичного моделювання

Провідна установа: Київський національний університет ім. Тараса Шевченка, факультет кібернетики, кафедра математичних методів еколого-економічних досліджень

Захист відбудеться “04” березня 2004 р. о 14 годині в аудиторії №1112 на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.180.01 в Інституті проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України за адресою: 61046, м. Харків, вул. Дм. Пожарського, 2/10.

З дисертацію можна ознайомитись у бібліотеці Інституту проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України за адресою: 61046, м. Харків, вул. Дм. Пожарського, 2/10.

Автореферат розісланий “27” січня 2004 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради, к.т.н. Б.П.Зайцев

АНОТАЦІЯ

Максименко-Шейко К.В. Математичне моделювання фізико-механічних полів з гвинтовим типом симетрії методом R-функцій. --Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 -- математичне моделювання та обчислювальні методи. -- Інститут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України, Харків, 2003.

В дисертації вперше метод R-функцій застосовано до математичного моделювання фізико-механічних полів, що мають гвинтовий тип симетрії, в криволінійних неортогональних координатах.

Задача побудови математичних моделей полів, що мають гвинтовий тип симетрії, виникає в різних областях: наприклад, скручені труби є простим і зручним засобом для надання потокові обертального руху; в теплотехніці відомі численні випадки використання змійовиків.

За допомогою теорії R-функцій вперше побудовані нормалізовані рівняння скручених циліндрів та змійовиків некласичного перерізу. В криволінійних неортогональних координатах побудовані основні диференціальні інваріанти, векторні співвідношення для змійовиків та скручених циліндрів.

Показано, що за умови наявності відповідної геометричної та фізичної симетрії розмірність крайових задач може бути знижена. Всі побудовані диференціальні інваріанти та векторні співвідношення можуть бути використані при побудові математичних моделей полів різної фізичної природи. Доведено необхідну умову розв'язання неоднорідної крайової задачі Неймана для рівняння Пуассона для тиску, яке випливає з рівнянь Нав'є-Стокса.

Досліджений вплив кута закрутки та геометричних параметрів змійовика на характер розподілу електричного потенціалу і характер течії нестисливої в'язкої рідини.

Ключові слова: математичне моделювання, локус, гвинтовий тип симетрії, криволінійна неортогональна система координат, скручені циліндри, змійовики, рівняння Нав'є-Стокса, метод R-функцій.

АННОТАЦИЯ

Максименко-Шейко К.В. Математическое моделирование физико-механических полей с винтовым типом симметрии методом R-функций. --Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 -- математическое моделирование и вычислительные методы. -- Институт проблем машиностроения им. А.Н.Подгорного НАН Украины, Харьков, 2003.

В диссертации впервые метод R-функций применен в математическом моделировании физико-механических полей, обладающих винтовым типом симметрии, в криволинейных неортогональных координатах.

Задача построения математических моделей полей, обладающих винтовым типом симметрии, возникает в различных областях: например, скрученные трубы являются простым и удобным средством для придания потоку вращательного движения; в теплотехнике известны многочисленные случаи применения змеевиков. Использование закрутки потока имеет большие перспективы в вихревых МГД-генераторах, для регулирования тяги ракетных двигателей, в камерах ядерных энергетических установок, в химической, нефтяной, газовой и других отраслях промышленности.

В диссертации с помощью теории R-функций впервые построены нормализованные уравнения скрученных цилиндров и змеевиков неклассического поперечного сечения. В криволинейных неортогональных координатах с помощью аппарата тензорного анализа построены основные дифференциальные инварианты, векторные соотношения для змеевиков и скрученных цилиндров.

Показано, что при наличии соответствующей геометрической и физической симметрии может быть понижена размерность краевых задач. Сформулирована и доказана соответствующая теорема. Все построенные дифференциальные инварианты и векторные соотношения могут быть использованы при построении математических моделей полей различной физической природы. В качестве примеров построены математические модели скалярных и векторных задач: задач электростатики и движения несжимаемой вязкой жидкости (уравнения Навье-Стокса) для скрученных цилиндров и змеевиков. Доказано необходимое условие разрешимости неоднородной краевой задачи Неймана для уравнения Пуассона для давления, которое является следствием уравнений Навье-Стокса.

Для оценки достоверности построения математических моделей с помощью аппарата тензорного анализа была построена основная система уравнений движения несжимаемой вязкой жидкости в цилиндрической системе координат, и результат сравнивался с приведенным в работах Лойцянского Л.Г., Ландау Л.Д, Лифшица Е.М. Для оценки достоверности решения поставленных задач проводилось тестирование задач для случаев при известных точных решениях задачи электростатики для прямоугольника и задачи о ламинарном течении в каналах круглой, эллиптической, треугольной и прямоугольной форм сечения.

Исследовано влияние угла закрутки и геометрических параметров змеевика на характер распределения электрического потенциала и характер течения несжимаемой вязкой жидкости. Численные результаты для скрученных труб показали правильность построения математической модели, т.к. совпали с экспериментальными данными (подтвердилось равенство нулю радиальной компоненты вектора скорости).

Ключевые слова: математическое моделирование, локус, винтовой тип симметрии, криволинейная неортогональная система координат, скрученные цилиндры, змеевики, уравнение Навье-Стокса, метод R-функций.

SUMMARY

Maksymenko-Sheyko K.V. Mathematical modeling of physical and mechanical fields having helical symmetry type with the R-functions method.

The thesis for a Physical-Mathematical Sciences Candidate's Degree, speciality 01.05.02 -- mathematical modeling and computational methods. -- Institute for problems in machinery named after A.M.Pidgorny, National Academy of Sciences of Ukraine, Kharkiv, 2003.

In the thesis for the first time the R-functions method is applied in mathematical modeling of physical and mechanical fields having helical symmetry type in curvilinear non-orthogonal coordinates.

The problem of mathematical models of fields construction having helical symmetry type arises in different areas: for example, the twisted tubes are the simple and convenient means for collimating of rotary motion to a flow; in thermotechnics the numerous applications of coil pipes are known.

With the help of the R-functions theory the normalized equations of twisted cylinders and coil pipes of nonclassical cross section are constructed for the first time. In curvilinear non-orthogonal coordinates the basic differential invariants and vectorial ratio for coil pipes and twisted cylinders are obtained.

It is shown that if there is the conforming geometrical and physical symmetry then the dimension of boundary value problems can be reduced. All constructed differential invariants and vectorial ratio can be used at construction of mathematical models of the different physical nature fields. The necessary condition of decidability of Neumann inhomogeneous boundary value problem for a Poisson equation for pressure is demonstrated, which one is a consequent of Navier-Stokes equations.

The influence of a corner of twist and geometrical parameters of the coil pipe on nature of electric potential distribution and incompressible viscous liquid flow pattern is investigated.

Keywords: mathematical modeling, locus, helical symmetry type, curvilinear non-orthogonal coordinate system, twisted cylinders, coil pipes, Navier-Stokes equation, R-functions method.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Однією з перших робіт, в якій ефективно використовувались криволінійні неортогональні координати, була стаття А.І.Лур'є та Г.Ю.Джанелідзе, де був отриманий в загальному вигляді розв'язок задачі Сен-Венана для закрученого стрижня. В роботах В.М.Марченка, А.К.Рухадзе, А.Я.Горгідзе, А.Я.Александрова, Ю.І.Соловйова, Ю.С.Воробйова, Б.Ф.Шорра та інших також розглядалися задачі про деформації закручених стрижнів. Всі побудовані математичні моделі відносились до задач механіки деформівного твердого тіла. Однак задача побудови математичних моделей полів, що мають симетрію гвинтового типу, виникає також в інших областях: наприклад, скручені труби є простим та зручним засобом для надання потокові обертального руху; в теплотехніці відомі численні застосування змійовиків. Використання закрутки потоку має великі перспективи в вихорових МГД-генераторах, для регулювання тяги ракетних двигунів, в камерах ядерних енергетичних установок, при утриманні плазми із струмом в стані рівноваги, в хімічній, нафтовій, газовій та інших галузях промисловості. Деякі автори пропонують формальне використання методів розрахунку, що були розроблені для осьових потоків, для закручених потоків на основі принципу зпрямлення ліній току, що можливо лише з незначною інтенсивністю закрутки. Актуальність цих досліджень неодноразово підкреслювалась і в роботах А.А.Халатова, в одній з монографій якого наведені деякі принципові конструктивні схеми складних перерізів скручених каналів.

Більшість математичних моделей задач розрахунку фізико-механічних полів сформульовано в декартових, сферичних, циліндричних, рідше -- в еліпсоїдальних, параболічних, тороїдальних, біполярних та інших криволінійних ортогональних координатах. Відомо, що вдалий вибір системи координат в разі наявності геометричної та відповідної фізичної симетрії дозволяє досить часто звести тривимірну крайову задачу до двовимірної, тобто понизити розмірність задачі, що розв'язується. Метод R-функцій використовувався в математичному моделюванні фізико-механічних полів в криволінійних ортогональних координатах (Рвачов В.Л., Слесаренко А.П., Курпа Л.В., Проценко В.С., Синєкоп Н.С., Шейко Т.І.). З методами побудови рівнянь локусів на основі теорії R-функцій добре поєднуються класичні прийоми побудови рівнянь поверхонь тіл обертання, призматичних і конічних тіл, в тому числі скручених циліндрів та змійовиків некласичного перерізу. Все це робить метод R-функцій, з одного боку, принадним для математичного моделювання полів з гвинтовим типом симетрії, а з іншого -- потребує розвитку його конструктивних засобів для роботи в криволінійних неортогональних координатах.

Формулювання основних фізичних законів і побудова відповідних математичних моделей, як правило, проводиться за допомогою таких основних диференціальних інваріантів, як градієнт, дивергенція, ротор, лапласіан і т.ін. Це дозволяє за допомогою апарата тензорного аналізу легко переходити від однієї системи координат до іншої та використовувати їх при моделюванні полів різної фізичної природи: силових, деформаційних, теплових, електромагнітних, гідродинамічних, магнітогідродинамічних та ін. У зв'язку з цим актуальною є задача підготовки інформаційних потоків і розробка обчислювальних методів для математичного моделювання фізико-механічних полів, що мають симетрію гвинтового типу.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась у відділі прикладної математики та обчислювальних методів Інституту проблем машинобудування ім.А.М.Підгорного Національної академії наук України з 2001 по 2003 рік у рамках науково-дослідних робіт за темами:

№ 1 “Розвиток теорії R-функцій (RFM), поширення її предметної області, удосконалення конструктивних програмних засобів” (№0198U004125);

№ 22 “Розвиток чисельних методів теорії R-функцій і їх застосування” (2002-2005 рр.)

Мета і задачі дослідження. Підготовка інформаційних потоків для математичного моделювання полів, що мають гвинтовий тип симетрії, в криволінійних неортогональних координатах. Побудова математичних моделей скалярних та векторних полів для скручених циліндрів та змійовиків. Виділення класів тривимірних задач для скручених циліндрів і змійовиків, що зводяться до двовимірних. Розвиток методу R-функцій для задач розрахунку полів, що мають симетрію гвинтового типу.

Задачами роботи, зумовленими метою, є:

побудова коваріантних та контраваріантних компонент метричних тензорів, символів Кристоффеля, основних векторних співвідношень і диференціальних інваріантів в різних криволінійних неортогональних координатах;

побудова нормалізованих рівнянь поверхонь скручених циліндрів та змійовиків некласичного перерізу;

виділення класів тривимірних задач та обгрунтування можливості зведення їх до двовимірних за умови наявності відповідної геометричної та фізичної симетрії;

побудова математичних моделей скалярних та векторних полів на прикладах задач електростатики та гідродинаміки;

чисельна реалізація скалярних та векторних задач, що мають симетрію гвинтового типу.

Об'єкт дослідження. Об'єктом дослідження є математичні моделі фізико-механічних полів в криволінійних неортогональних координатах.

Предмет дослідження. Предметом дослідження є тривимірні скалярні та векторні крайові задачі математичної фізики в областях, що мають гвинтовий тип симетрії.

Методи дослідження. В роботі використовуються: тензорний аналіз для переходу в інші системи координат, метод R-функцій для побудови нормалізованих рівнянь поверхонь та врахування геометричної інформації, варіаційні методи для чисельного розв'язання обраних крайових задач.

Наукова новизна отриманих результатів полягає у такому:

за допомогою теорії R-функцій вперше побудовані нормалізовані рівняння скручених циліндрів та змійовиків некласичного перерізу;

в криволінійних неортогональних координатах для змійовиків та скручених циліндрів за допомогою апарата тензорного аналізу побудовані основні диференціальні інваріанти, векторні співвідношення, скалярний, векторний та змішаний добутки, тобто вперше в повній мірі підготовлені інформаційні потоки для побудови математичних моделей фізико-механічних полів, що мають гвинтовий тип симетрії;

сформульовано і доведено теорему про зведення тривимірної крайової задачі до двовимірної у випадку наявності геометричної і фізичної гвинтової симетрії;

в криволінійних неортогональних координатах вперше побудовані математичні моделі скалярної задачі електростатики для скрученого циліндра та змійовика;

в криволінійних неортогональних координатах вперше побудовані математичні моделі течії нестисливої в'язкої рідини по скручених трубах та змійовиках;

доведено необхідну умову розв'язання неоднорідної крайової задачі Неймана для рівняння Пуассона для тиску, що випливає з рівняння Нав'є-Стокса.

Практичне значення отриманих результатів. Побудовані векторні співвідношення і диференціальні інваріанти в криволінійних неортогональних координатах для областей з гвинтовим типом симетрії можуть бути використані при побудові математичних моделей температурних, деформаційних, електромагнітних, магнітогідродинамічних та інших полів. Отримані в роботі математичні моделі течії нестисливої в'язкої рідини по скручених трубах некласичного перерізу дозволять проводити дослідження теплообмінних та гідродинамічних процесів в полях відцентрових масових сил в Інституті технічної теплофізики НАН України та інших організаціях, що займаються дослідженнями закручених потоків. Результати обчислювальних експериментів, отримані для ламінарних закручених течій для реальних принципових конструктивних схем перерізів скручених труб, дозволяють визначати характер течії та спостерігати процес формування тангенціальної компоненти вектора швидкості.

Особистий внесок автора. Всі результати дисертаційної роботи отримані особисто автором. В роботах, опублікованих у співавторстві, автору належать такі результати: в роботі [2] -- побудова математичної моделі скалярної задачі для скрученого циліндра, зведення її до двовимірної і чисельна реалізація на прикладі задачі електростатики; в роботі [3] -- побудова математичної моделі скалярної задачі для змійовика, зведення її до двовимірної і чисельна реалізація на прикладі задачі електростатики; в роботі [5] -- побудова математичної моделі руху нестисливої в'язкої рідини по змійовиках в криволінійних неортогональних координатах, зведення задачі до двовимірної; в роботі [6] -- побудовані рівняння Нав'є-Стокса в криволінійних неортогональних координатах, для ламінарної течії задачу зведено до відшукання однієї компоненти вектора швидкості; в роботі [7] -- побудова математичної моделі руху нестисливої в'язкої рідини по скручених трубах в криволінійних неортогональних координатах, зведення задачі до двовимірної.

Апробація результатів дисертації. Основні положення і результати роботи доповідались та обговорювались на:

Міжнародній молодіжній науковій конференцїї “XXIX Гагаринские чтения” (Росія, Москва, “МАТІ”-РДТУ ім.К.Е.Циолковського, 8-11 квітня 2003 р.);

“Інформаційні технології: наука, техніка, технологія, освіта, здоров'я”. XI міжнародна науково-практична конференція. (Україна, Харків, Національний технічний університет “Харківський політехнічний інститут”, 15-16 травня 2003 г.);

8^th International Conference “Mathematical Modelling and Analysis” (May 28-31, 2003. Trakai, Lithuania);

Міжнародній конференції з математичного моделювання, присвяченій 100-річчю з дня народження Дж. ф. Неймана (Україна, Херсон, Херсонський державний технічний університет, 10-14 вересня 2003 г.);

наукових семінарах відділу прикладної математики та обчислювальних методів Інституту проблем машинобудування ім.А.М.Підгорного Національної академії наук України (Україна, Харків, ІПМаш ім.А.М.Підгорного НАНУ, березень 2002, жовтень 2003).

Публікації. Основні наукові положення дисертації опубліковані в 12 роботах, серед яких вісім -- статті в наукових журналах, три -- тези доповідей на конференціях, 1 -- доповідь на конференції.

Структура та обсяг дисертаційної роботи. Дисертація складається зі вступу, п'яти розділів, висновків, списку використаних джерел та додатків. Повний обсяг дисертації становить 166 сторінок, серед яких 137 сторінок основного тексту, 26 рисунків, 3 таблиці та 116 найменувань використаних джерел (на 10 стор).

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовується актуальність теми дисертаційної роботи, формулюється мета та завдання досліджень, вказуються об'єкт, предмет та методи досліджень, визначається наукова новизна та практичне значення отриманих результатів, а також особистий внесок автора в роботах, виконаних у співавторстві, апробація результатів дисертації та кількість публікацій, виконаних за темою дисертаційної роботи.

У першому розділі наведено огляд літератури за темою дисертаційної роботи та обрано напрям досліджень.

Проаналізовані задачі математичного моделювання та вимоги до проведення обчислювального експеримента, які є одним з методів пізнання реального світу в період формування інформаційного суспільства як інтелектуального ядра інформаційних технологій. Розглянуті математичні моделі фізико-механічних полів в криволінійних ортогональних і неортогональних координатах. Відзначається, що вдалий вибір системи координат в разі наявності геометричної і фізичної симетрії задачі дозволяє звести її до двовимірної або навіть одновимірної, а в деяких випадках отримати точний розв'язок задачі. Апарат тензорного аналізу дає можливість легко переходити від однієї системи координат до іншої. Тензорне обчислення часто дозволяє простежити на відносно простій математичній моделі зміну складних кількісних характеристик при переході від однієї системи координат до іншої. Поряд з декартовими координатами широко використовуються полярні, циліндричні, еліптичні, сферичні, тороїдальні, біполярні та інші криволінійні ортогональні координати. В класичній та довідковій литературі широко відомі формулювання основної системи рівнянь механіки деформівного твердого тіла, рівнянь Нав'є-Стокса, законів електродинаміки в декартових, циліндричних, сферичних координатах (С.П.Тимошенко, Н.І.Мусхелішвілі, П.Ф.Папкович, Л.Д.Ландау, Є.М.Ліфшиц, Л.Г.Лойцянський та ін.). Набагато рідше, наприклад, в роботах Л. А.Захарова, В.Д.Шафранова (рівновага плазми з током в змійовиках), А.І.Лур'є, Г.Ю.Джанелідзе, В.М.Марченка, А.К.Рухадзе, Ю.С.Воробйова, Б.Ф.Шорра (задачі механіки деформівного твердого тіла для закручених стрижнів) можна зустріти математичні моделі, побудовані в криволінійних неортогональних координатах.

Однак задачі побудови фізико-механічних полів, що мають гвинтовий тип симетрії, виникають і в інших областях: теплофізиці, гідродинаміці, електродинаміці, магнітній гідродинаміці і т.ін. Тому ставиться задача розробки методів математичного моделювання полів різної фізичної природи в криволінійних неортогональних координатах для скручених циліндрів та змійовиків.

Як зазначено в роботах А.А.Халатова, В.К.Щукіна, А.А.Авраменка, І.В.Шевчука, скручені труби є простим і зручним засобом для надання потокові обертального руху. Закрутка потоку широко використовується в енергетичних установках та інших технічних пристроях для організації та інтенсифікації різних процесів.

Всі відомі математичні моделі в циліндричній системі координат можуть бути використані в основному для осесиметричних каналів. У випадку закручених труб та змійовиків некласичного перерізу використання циліндричної системи координат є незручним, що підтверджує необхідність реалізації поставленої задачі.

У другому розділі проведено аналіз методів урахування геометричної інформації при розв'язанні крайових задач, в тому числі методом R-функцій. Наведено поняття структури розв'язку крайової задачі та розглянуто методи відшукання невизначених компонент структур розв'язків. Побудовані нормалізовані рівняння поверхонь скручених каналів та змійовиків некласичного перерізу (рис. 1 а), б).).

Нормалізоване рівняння поверхні нескінченного скрученого циліндра має вигляд:

,

де: , , -- нормалізоване рівняння перерізу.

Нормалізоване рівняння поверхні нескінченного змійовика:

,

де: , , -- нормалізоване рівняння перерізу.

В третьому розділі підготовлені інформаційні потоки для побудови математичних моделей в криволінійних неортогональних координатах для областей, що мають гвинтовий тип симетрії. При цьому необхідне застосування тензорного обчислення, що викликано зручністю і наочністю математичних формулювань законів, записаних в тензорній формі. Обчислені коваріантні і контраваріантні складові метричного тензора, фізичні та криволінійні координати векторів , символи Кристофеля першого та другого роду. Також обчислені основні диференціальні інваріанти, такі, як лапласіан скалярної функції , градієнт , дивергенція , ротор абсолютного вектора . Обчислені перші та другі контраваріантні похідні вектора, скалярний , векторний та змішаний добутки векторів, контраваріантні компоненти вектора . Користуючись отриманими формулами, можна побудувати практично будь-яку математичну модель в криволінійній системі координат для областей, що мають гвинтовий тип симетрії.

В четвертому розділі наведені формулювання скалярних крайових задач: двовимірних (Задачі А) та тривимірних (Задачі В) і доведено теорему, що встановлює зв'язок між їхніми розв'язками, тобто теорему про зведення просторових скалярних крайових задач для скручених каналів до двовимірних.

Задачі А.

Знайти розв'язок рівняння

, (1)

де в області , яка є перерізом скрученого циліндра, з граничними умовами одного з трьох типів або їхньою комбінацією (для змішаних задач):

(2)

(3)

. (4)

Задачі В. Знайти розв'язок рівняння

 (5)

в області , яка є нескінченним скрученим циліндром,

де ,

, з граничними умовами одного з трьох типів або їхньою комбінацією (для змішаних задач):

; (6)

; (7)

, (8)

де .

Теорема. Якщо -- розв'язок рівняння (1) в області з граничними умовами одного з трьох типів (2)-(4) або їхньою комбінацією, то є розв'язком рівняння (5) в області з граничними умовами одного з трьох типів (6)-(8) або їхніх комбінацій відповідно.

В роботі доведено додатну визначеність оператора задачі А.

Наведено рівняння Нав'є-Стокса в узагальнених координатах для контраваріантних компонент у вигляді

. (9)

Підставляючи в (9) обчислені в п.3.1 перші та другі контраваріантні похідні, лапласіан вектора швидкості, вводячи фізичні компоненти векторів та переходячи до безрозмірного вигляду, в стаціонарному випадку отримаємо рівняння Нав'є-Стокса для скрученого циліндра в криволінійних неортогональних координатах :

. (10)

Тут:

.

Гранична умова формулюється як умова прилипання частинок рідини до твердої стінки:

. (11)

Рівняння нерозривності руху набуває вигляду:

. (12)

Відзначимо, що при отримаємо систему рівнянь Нав'є-Стокса і нерозривності в декартових координатах.

За відомим розподілом швидкості розподіл тиску в рідині може бути знайдений шляхом розв'язання рівняння типу Пуассона, яке одержали, дотримуючись підходу, що описаний в роботі П.Роуча:

(13)

з граничними умовами Неймана

(14)

В роботі доведено виконання необхідної умови розв'язання задачі (13)-(14).

Тут доречно зауважити, що під час розв'язання (13)-(14) методом Рітца з'являється інтеграл по границі області, що створює в деяких випадках незручності з точки зору обчислень чи програмування. Перехід від інтеграла по границі до інтеграла по області можна здійснити таким чином. Нехай -- нормалізоване рівняння . Тоді для будь-якої функції справедлива рівність: .

Показано, що для ламінарної течії по скрученій трубі рівняння (10)-(14) набувають вигляду:

I. .

Для змійовиків рівняння Нав'є-Стокса в криволінійних неортогональних координатах має вигляд:

(15)

де

,

.

Рівняння нерозривності руху записується як

. (16)

Відзначимо, що при отримуємо систему рівнянь Нав'є-Стокса і нерозривності в циліндричних координатах.

Розподіл тиску в рідині може бути знайдено аналогічно попередньому з такого рівняння:

(17)

Гранична умова:

(18)

Показано, що для ламінарного руху по змійовику рівняння (15)-(18) набувають вигляду:

II. .

У п'ятому розділі наведені результати чисельної реалізації побудованих математичних моделей задач електростатики і гідродинаміки для скручених циліндрів і змійовиків. При цьому використовувалися методи R-функцій та Рітца, структури розв'язків однорідної та неоднорідної задач Діріхле, а умови Неймана враховувались як природні. Як апроксимаційні засоби використовувались фінітні кубічні сплайни. Проводилось тестування задач для випадків при відомих точних розв'язках задачі електростатики для прямокутника і гідродинамічної задачі для ламінарної течії в каналах круглого, еліптичного, трикутного і прямокутного перерізу.

Як приклад в роботі розглянуто модельну задачу електростатики. Два провідники і обмежують циліндричну область =, котрі після закручування стають: , , . На лівому проводнику заданий потенціал, що дорівнює “-1”, а на правому -- “1”. Треба знайти потенціальну функцію , що задовольняє рівнянню Лапласа в .

. (19)

З використанням сформульованої і доведеної в роботі теореми задачу зведено до двовимірної зі змінними коефіцієнтами. Нижче наведені результати розв'язку (рис.2).

Отримані результати свідчать про те, що малі кути закрутки, як і передбачалось, слабо впливають на картину поля. Із зростанням кута закрутки линії рівня в центральній зоні роздвигаються, що свідчить про утворення зон “плато” та великих градієнтів.

Аналогічна задача розв'язувалась для змійовиків некласичного перерізу (рис.3).

Результати показують, що залежність розв'язку від кроку виявляється слабо, більше впливає значення .

В роботі проведено чисельну реалізацію задач I і II. Розв'язання проводиться методом R-функцій, варіаційними методами Рітца та найменших квадратів. Як апроксимаційні засоби використовуються фінітні кубічні сплайни. Результати наведені на рис.4, 5, 6.

Із зростанням кута закрутки спостерігається перебудова профілю швидкості, течія стискається до центру канала. Такий ефект обумовлено появою тангенціальної компоненти вектора швидкості, формування якої показано на наступному рисунку. При зміні геометричних характеристик змійовика спостерігається порушення симетрії розподілу швидкості по перерізу, що обумовлено присутністю відцентрових масових сил.

Обчислювальні експерименти проводились в умовах експлуатації системи ПОЛЕ, розробленої в ІПМаш ім. А.М.Підгорного НАНУ під керівництвом академіка НАНУ Рвачова В.Л., SAGE, розробленої у Вісконсинському університеті під керівництвом професора Шапіро В., а візуалізація поверхонь в 3D -- за допомогою системи РАНОК, розробленої в Запорізькому державному університеті під керівництвом доцента Толока О.В.

ОСНОВНІ ВИСНОВКИ ПО РОБОТІ

математичний моделювання гвинтовий симетрія

В дисертації вперше метод R-функцій застосований в математичному моделюванні фізико-механічних полів, що мають гвинтовий тип симетрії, в криволінійних неортогональних координатах. Показано, що при наявності відповідної геометричної і фізичної симетрії може бути знижена розмірність крайових задач. Всі побудовані диференціальні інваріанти та векторні перетворення можуть бути використані при побудові математичних моделей полів різної фізичної природи.

Основні результати роботи:

за допомогою теорії R-функцій та перетворення координат вперше побудовані нормалізовані рівняння скручених циліндрів та змійовиків некласичного перерізу;

побудовані основні диференціальні інваріанти в криволінійних неортогональних координатах для областей, що мають гвинтовий тип симетрії;

доведено теорему про зведення тривимірної скалярної крайової задачі з гвинтовим типом симетрії в нескінченних скручених циліндрах до двовимірної завдяки переходу в неортогональну криволінійну систему координат;

з застосуванням методу R-функцій та варіаційних методів (Рітца, найменших квадратів) отримано розв'язки крайових задач для областей некласичної форми, притому точно задовольняючи граничним умовам в криволінійних неортогональних координатах;

досліджено вплив кута закрутки на характер розподілу електричного потенціалу і характер течії нестисливої в'язкої рідини. При цьому встановлено, що при зростанні кута закрутки утворюються зони “плато” та великих градієнтів;

для оцінки вірогідності побудови математичних моделей за допомогою апарата тензорного аналізу побудовано основну систему рівнянь руху нестисливої в'язкої рідини в циліндричній системі координат. Результат співпав з наведеними в роботах Лойцянського Л.Г., Ландау Л.Д, Ліфшица Є.М.;

оцінку вірогідності розв'язку поставлених задач проведено за допомогою тестування задач для випадків порівняно з відомими точними розв'язками задачі електростатики для прямокутника та задачі про ламінарну течію в каналах круглого, еліптичного, трикутного та прямокутного перерізів. Максимальна похибка склала 0.6%;

чисельно встановлено, що радіальна компонента вектора швидкості в скручених трубах дорівнює нулю, що співпадає з експериментальними даними та підтверджує правильність побудови математичної моделі.

ОПУБЛІКОВАНІ ПРАЦІ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Максименко-Шейко К.В. Исследование течения несжимаемой вязкой жидкости в скрученных каналах сложного профиля методом R-функций // Пробл. машиностроения.--2001.-- Т.4, №3-4.--С. 108-116.

2. Рвачев В.Л., Максименко-Шейко К.В., Шейко Т.И. Математические модели физических полей в скрученных цилиндрах произвольного сечения // Вісн. Запоріз. держ. ун-ту.-- Запоріжжя, 2001.-- №1. --С. 54-60.

3. Максименко-Шейко К.В., Шейко Т.И. Математические модели скалярных полей в змеевиках произвольного сечения // Вісн. Запоріз. держ. ун-ту.-- Запоріжжя, 2002.-- №2. --С. 65-74.

4. Максименко-Шейко К.В. Некоторые новые классы пространственных краевых задач, сводящиеся к двумерным // Доп. НАН України.--2003.--№1.--С.25-28.

5. Рвачев В.Л., Максименко-Шейко К.В., Шейко Т.И. Математические модели движения несжимаемой вязкой жидкости по змеевикам // Вісн. Запоріз. держ. ун-ту.-- Запоріжжя, 2002.-- №3. --С. 69-76.

6. Рвачев В.Л., Максименко-Шейко К.В., Шейко Т.И. Математические модели движения несжимаемой вязкой жидкости по змеевикам в криволинейных неортогональных координатах // Пробл. машиностроения.--2003.--Т.6, №3.--С.64-69.

7. Рвачев В.Л., Максименко-Шейко К.В. Математические модели движения несжимаемой вязкой жидкости по скрученным трубам // Математические методы и физико-механические поля.-- 2003.--46, №2.--С.81-88.

8. Максименко-Шейко К.В. Метод R-функций и новые классы трехмерных задач, сводящихся к двухмерным, для скрученных цилиндров // Вестн. НТУ “ХПИ”. Сб. науч. работ. Тем. вып.: Динамика и прочность машин. Харьков, НТУ “ХПИ”.--2003.--№8, т 3.--С.3-10.

9. Максименко-Шейко К.В. Метод R-функций (RFM) в скалярных и векторных краевых задачах математической физики для скрученных цилиндров и змеевиков // “XXIX Гагаринские чтения”. Тез. докл. Междунар. молодеж. науч. конф., Россия, М., 8-11 апр. 2003 г.-- М.: Изд-во “МАТИ”--РГТУ им. К.Э.Циолковского.-- 2003.-- Т.2.--С.40-41.

10. Максименко-Шейко К.В. Метод R-функций и новые классы трехмерных задач, сводящихся к двухмерным, для скрученных цилиндров // Інформ. технології: наука, техніка, технологія, освіта, здоров'я: Анот. доп. XI міжнар. наук.-практ. конф. 15-16 травня 2003 р.-- Харків, НТУ “ХПІ”.--2003.--С.105.

11. Maksymenko K.V. Mathematical model of placed current of a viscous liquid in twisted pipes // Eighth Intern. Conf. Math. Modeling and Analysis Abstract.-- May 28-31, 2003.-- Trakai, Lithuania, 2003.--P.46.

12. Максименко-Шейко К.В. Математическое моделирование движения несжимаемой вязкой жидкости в скрученных каналах // Материалы VI Междунар. конф. по мат. моделированию (9-14 сент. 2003 г., г.Херсон). Вестн. Херсон. гос. техн. ун-та.--Вып.3(19).--Херсон, ХГТУ.--2003.--С.249-252.

Размещено на Allbest.ru

...