Екстремальні властивості класів функцій Геринга і Макенхаупта

Размещено на http://www.allbest.ru/

Одеський національний університет ім. І.І. Мечникова

Малаксіано Микола Олександрович

УДК 517.5

екстремальні властивості класів ФУНКЦіЙ ГЕРИНГА і МАКЕНХАУПТА

01.01.01 - математичний аналіз

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Одеса - 2003

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Одеському національному університеті ім. І. І. Мечникова Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: кандидат фізико-математичних наук, доцент Кореновський Анатолій Олександрович, Одеський національний університет ім. І.І. Мечникова, доцент кафедри математичного аналізу.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Шевчук Ігор Олександрович, Київський національний університет ім. Тараса Шевченка, завідувач кафедри математичного аналізу;

кандидат фізико-математичних наук Кирилов Сергій Олександрович, Одеський національний морський університет, доцент кафедри вищої та прикладної математики.

Провідна установа: Дніпропетровський національний університет, кафедра теорії функцій, Міністерство освіти і науки України, м. Дніпропетровськ.

Захист відбудеться “ 06 ” червня 2003 р. о 15:00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 41.051.05 при Одеському державному університеті ім. І.І. Мечникова за адресою: 65026, м. Одеса, вул. Дворянська, 2, аудиторія 73.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Одеського національного університету за адресою: 65026, м. Одеса, вул. Преображенська, 24.

Автореферат розісланий 05 травня 2003 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Вітюк О. Н.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

монотонний функція клас макенхаупт

Актуальність теми. Активні дослідження властивостей класів вагових функцій Макенхаупта і Геринга почалися відразу після робіт B. Muckenhoupt'а і F. W. Gehring'а, опублікованих у 1972 і 1973 роках, де вперше були введені ці класи. Деякі властивості і застосування даних класів описані в оглядових роботах Е. М. Динькина і Б. П. Осиленкера, J. Garcia-Cuerva і J. L. Rubio de Francia, J.-O. Strmberg'а і A. Torchinsky. Але незважаючи на те, що вивченню властивостей цих класів присвячена велика кількість робіт, багато питань все ще залишаються відкритими. Так, задачі визначення точних показників у вкладеннях класів Геринга і Макенхаупта присвячені роботи B. Bojarski, L. D'Apuzzo, C. Sbordone, А. О. Кореновського, M. B. Korey, J. Kinnunen'а, C. J. Neugebauer'а та інших авторів, проте, остаточні розв'язки були одержані лише для деяких з цих задач.

R. Johnson'ом, C. J. Neugebauer'ом і S. M. Buckley були досліджені властивості добутку вагових функцій. Заміна змінної у вагової функції розглядалася в роботах R. Johnson'а і C. J. Neugebauer'а. Деякі властивості суперпозицій із зовнішніми степеневими функціями були одержані J.-O. Stromberg'ом, R. L. Wheeden'ом та іншими авторами, проте, в загальному випадку властивості суперпозицій дотепер залишалися нез'ясованими.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана на кафедрі математичного аналізу Одеського національного університету в рамках науково-дослідної роботи за темою № 229 (2001-2005 р.) "Теорія наближення функцій і теорія сингулярних операторів із зсувом" і є також складовою частиною досліджень, що виконуються за проектом Державного Фонду Фундаментальних Досліджень (ДФФД), грант Ф7/329-2001.

Мета і задачі дослідження. Об'єкт дослідження - співвідношення між класами функцій, які визначаються у термінах відносних локальних характеристик. Мова йде про такі класи функцій як класи Макенхаупта, Геринга, ВМО, Гурова - Решетняка та інші. У ряді випадків залежність між цими класами досліджувалась різними авторами, проте точні значення параметрів у співвідношеннях між ними відомі лише в деяких випадках. Водночас, точні значення параметрів важливі для застосувань.

Предмет дослідження - точні вкладення класів функцій Геринга і Макенхаупта і властивості суперпозицій із функціями з цих класів. Мета дисертаційної роботи полягає в наступному:

знаходження в одновимірному випадку граничного значення показника у вкладенні класу Макенхаупта в клас Геринга а також в оберненому вкладенні;

встановлення необхідних і достатніх умов для зовнішньої функції , при яких для будь-якої функції f з одного заданого класу Геринга (або Макенхаупта) суперпозиція буде належати до іншого заданого класу Геринга (або Макенхаупта).

Методи дослідження. Всюди в роботі використовуються методи теорії функцій дійсної змінної, теорії вагових просторів, теорії вкладення функціональних просторів. При узагальненні результатів для монотонних функцій на випадок довільних функцій однієї змінної використовуються екстремальні властивості рівновимірних переставлень. Для визначення точних меж показників у вкладеннях класів Геринга і Макенхаупта нами запропонований метод "порівняння зі степеневою функцією". У розділі 1.3 дисертації показано як цей метод може бути використаний для здобуття нових доведень вже відомих результатів.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати роботи є новими і полягають в наступному:

в одновимірному випадку одержані точні межі показників у вкладеннях класів Макенхаупта в класи Геринга й в обернених вкладеннях;

знайдені необхідні і достатні умови на зовнішню монотонну функцію, за якими суперпозиція з функціями з одного заданого класу Геринга або Макенхаупта належить до іншого заданого класу Геринга або Макенхаупта. Аналогічні результати одержані для граничних випадків класів Геринга і Макенхаупта.

Практичне значення одержаних результатів. Робота носить теоретичний характер. Результати роботи можуть бути використані для подальших досліджень властивостей класів функцій Геринга і Макенхаупта. Результати роботи також можуть знайти застосування в теорії вагових просторів, теорії квазіконформних відображень та при дослідженні властивостей розв'язків диференціальних рівнянь з частинними похідними.

Апробація результатів. Подані результати неодноразово доповідалися на семінарах з теорії функцій в Одеському національному університеті, у Київському національному університеті, на Міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (11 - 14 травня 2000 р., Київ), на Воронезькій зимовій математичній школі “Современные методы теории функций и смежные проблемы” (27 січня - 4 лютого 2001 р., Воронеж), на Міжнародній науковій конференції “Functional Methods in Approximation Theory, Stochastic Analysis and Statistics” (19 - 22 жовтня 2001 р., Київ), на Саратовській зимовій математичній школі “Современные проблемы теории функций и их приложения” (28 січня - 4 лютого 2002 р., Саратов), на конференції молодих вчених у Московському державному університеті (8 - 13 квітня 2002 р., Москва), на Міжнародній науковій конференції, присвяченої 110 річчю Стефана Банаха “Functional Analysis and its Applications” (28 - 31 травня 2002 р., Львів).

Публікації. Основні результати роботи опубліковані в чотирьох фахових виданнях [1 - 4], одній статті, депонованій в ДНТБ України [5], та у восьми матеріалах і тезах наукових конференцій [6 - 13].

Структура і обсяг дисертації. Дисертація складається з вступу, двох розділів, висновків і списку використаних джерел, що містить 57 найменувань. Повний обсяг роботи складає 119 сторінок.

Хочу виразити глибоку вдячність своєму науковому керівнику А. О. Кореновському за постановку задач, постійну увагу до роботи, плідні обговорення та поради.

ОСНОВНий ЗМІСТ роботи

У вступі розглянуто сутність і стан наукової проблеми, що розглядається в дисертації, її актуальність, наведена мета роботи та наукова новизна отриманих результатів.

У розділі 1 в одновимірному випадку одержані точні межі показників у вкладеннях класів Макенхаупта в класи Геринга й в обернених вкладеннях.

У розділі 2 знайдені необхідні і достатні умови на зовнішню монотонну функцію, за якими суперпозиція з функціями з одного заданого класу Геринга або Макенхаупта належить до іншого заданого класу Геринга або Макенхаупта. Аналогічні результати одержані для граничних випадків класів Геринга і Макенхаупта.

Класи функцій Макенхаупта і низка споріднених їм класів виникли при дослідженні вагових оцінок вигляду

(1)

і відповідної нерівності слабкого типу

, , (2)

де T - сингулярний інтегральний оператор або максимальний оператор Харді - Літтлвуда. Як відомо, при максимальний оператор Харді - Літтлвуда і низка класичних сингулярних інтегральних операторів задовольняють (1) і (2) при q>1. У роботах G. H. Hardy і J. E. Littlewood'а, E. M. Stein'а та інших авторів вивчалися нерівності (1) і (2) для класичних операторів із степеневими вагами .

У 1972 р. B. Muckenhoupt (Weighted norm inequalities for the Hardy maximal function // Trans. Amer. Math. Soc. - 1972. - Vol. 165. - P. 207-226) розв'язав проблему вагових оцінок для максимального оператора Харді - Літтлвуда. А саме, у випадку однакових ваг він знайшов необхідну і достатню умову на вагову функцію (Aq умова (див. означення 1)), за якою справедлива оцінка (1). У цій же роботі B. Muckenhoupt одержав повний опис усіх пар вагових функцій , для яких має місце нерівність слабкого типу (2) (у випадку це A1 умова). R. Hunt, B. Muckenhoupt і R. L. Wheeden (Weighted norm inequalities for the conjugate function and Hilbert transform // Trans. Amer. Math. Soc. - 1973. - Vol. 176. - P. 227-251) довели, що у випадку однакових вагових функцій необхідною і достатньою умовою обмеженості одновимірного оператора Гільберта у ваговому просторі Lq також є приналежність вагової функції до класу Aq.

Незабаром рядом авторів було показано, що Aq умова Макенхаупта або близькі до неї умови є необхідними і достатніми для обмеженості цілої низки операторів у різноманітних вагових просторах. Крім того, класи Геринга, Макенхаупта та близькі до них класи набули широкого застосування в теорії квазіконформних відображень, теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними, теорії наближень і в низці інших областей аналізу. Слід зазначити, що деякі результати щодо оцінок вигляду (1) були відомі до згаданої роботи B. Muckenhoupt'а. Так, H. Helson і G. Szeg (A problem in prediction theory // Ann. Mat. Pura Appl. - 1960. - Vol. 51. № 4. - P. 107-138) одержали необхідну і достатню умову на вагову функцію, за якою має місце (1) у випадку, коли T є одновимірним оператором Гільберта, і q=2.

Класи Геринга Gp (див. означення 2) дуже близькі до класів Aq. Вперше вони були використані у фундаментальній роботі F. W. Gehring'а (The Lp-integrability of the partial derivatives of a quasiconformal mapping // Acta Math. - 1973. - Vol. 130. - P. 265-277), яка присвячена дослідженню властивостей квазіконформних відображень. Перші результати про зв'язок класів Геринга і Макенхаупта були одержані в роботі R. R. Coifman'а і C. Fefferman'а (Weighted norm inequalities for maximal functions and singular integrals // Studia Math. - 1974. - Vol. 51, № 3. - P. 241-250). В цій роботі автори спростили відомі доведення вагових оцінок а також одержали нові оцінки для загальних сингулярних інтегралів. Хоча класи Геринга і Макенхаупта виникли при дослідженні різних задач, як виявилося, області їх застосування значно перетинаються (так, наприклад, приналежність функції до класу Gp є необхідною і достатньою умовою для обмеженості деяких операторів у відповідних вагових просторах). Завдяки цьому, а також через близькість властивостей, дослідження класів Геринга і Макенхаупта часто проводяться паралельно.

Далі нам знадобляться деякі означення.

Скрізь де не оговорено, всі функції будемо вважати невід`ємними і вимірними на деякому кубі . Всюди в роботі розглядаються куби зі сторонами, паралельними координатним вісям. Позначатимемо міру Лебега множини E через |E|, а

.

Означення 1. Нехай q>1 і B>1. Говорять, що функція f належить до класу Макенхаупта Aq(B) на кубі Q0, якщо для будь-якого підкуба Q має місце нерівність

, (3)

де B не залежить від Q. Прийнято позначати .

Наступна теорема містить фундаментальну властивість класів Макенхаупта, яка відіграє важливу роль у багатьох питаннях.

Теорема A (B. Muckenhoupt). Якщо q>1 і B>1, то знайдеться таке , що для будь-якого існує така стала B1= B1(n,q,B,q1), для якої має місце вкладення .

Означення 2. Нехай Q0 - довільний куб, p>1 і C>1. Говорять, що функція f належить до класу Геринга Gp(C) на кубі Q0, якщо для будь-якого підкуба Q функція f задовольняє "обернену нерівність Гьольдера" (умову Геринга):

, (4)

де C не залежить від Q. Прийнято позначати .

В літературі класи Gp часто позначають RHp (Reverse Hlder). В згаданій вище роботі F. W. Gehring'а була доведена така фундаментальна

Теорема B. Якщо p>1 і C>1, то знайдеться таке , що для будь-якого існує така стала C1= C1(n,p,C,p1), для якої має місце вкладення .

Зміст теорем А і В полягає в тому, що класи Геринга і Макенхаупта мають властивість "самопокращення показника", або, як говорять, властивість "надсумовності" ("higher integrability" property). Ця властивість є фундаментальною для вищезазначених класів.

Легко бачити, що нерівності (3) і (4) являють собою окремі випадки "оберненої нерівності Йенсена":

, (5)

де - опукла вниз функція. Дійсно, якщо покласти , то остання нерівність перетворюється на (3); якщо покласти , то дістанемо (4).

В силу відомої нерівності Йенсена, для строго опуклої вниз функції при M=1 нерівності (5) можуть задовольняти лише функції f, що еквівалентні сталим. Таким чином, у теоремах А і В зрозумілі вимоги того, щоб сталі В и С були більшими, ніж 1.

Зв'язок між класами Геринга і Макенхаупта досліджувався в ряді робіт. Так, в роботі R. R. Coifman'а і C. Fefferman'а були доведені такі дві теореми.

Теорема С. Якщо q>1 і B>1, то знайдуться такі p = p(n,q,B)>1 і C = C(n,q,B,p)>1, що .

Теорема D. Якщо p>1 і C>1, то знайдуться такі q=q(n,p,C)>1 і B=B(n,p,C,q)>1, що .

В роботі B. Bojarski (Remarks on the stability of reverse Hlder inequalities and quasiconformal mappings // Ann. Acad. Sci. Fenn. A. Math. - 1985. - Vol. 10. - P. 291-296) вивчалася задача знаходження граничного значення в теоремі B. Асимптотична залежність при одержана B. Bojarski і I. Wik'ом. Для одновимірного випадку в рішенні поставленої задачі вдалося просунутися далі. Так, для монотонної функції f точне значення знайдено в роботі L. D'Apuzzo і C. Sbordone (Reverse Hlder inequalities. A sharp result // Rendiconti di Math. Ser. VII. - 1990. - Vol. 10. - P. 357-366). А саме, показано, що якщо незростаюча на [a,b] функція f належить до Gp(C), то для будь-якого існує таке C1, яке залежить лише від p, C і , що , де число визначається як корінь рівняння

,

причому значення , взагалі кажучи, не можна збільшити.

А. О. Кореновський (О точном продолжении обратного неравенства Гёльдера и условия Макенхаупта // Матем. заметки. - 1992. - Т. 52, № 6. - С. 32-44) узагальнив останній результат на випадок довільної функції f однієї змінної а також знайшов точне значення в теоремі А. А саме, показано, що якщо функція f належить до Aq(B) на [a,b], то для будь-якого існує таке B1, яке залежить лише від q, B і , що , де число визначається рівністю

,

причому значення , взагалі кажучи, не можна збільшити.

J. Kinnunen (Sharp results on reverse Hlder inequalities. - Helsinki: Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I. Math. Dissertationes, 1994. - 34 p.) в роботі, присвяченій знаходженню точних меж показників у вкладеннях і , розглядав ці класи не "по кубам", як звичайно, а "по всіляким багатовимірним сегментам" із сторонами паралельними координатним вісям. Раніше питання точного вкладення A1(C) в Gp(C1) було вирішено в одновимірному випадку в роботі B. Bojarski, C. Sbordone і I. Wik'а (The Muckenhoupt class A1(R) // Studia Math. - 1992. - Vol. 101, № 2. - P. 155-163).

C. J. Neugebauer (The precise range of indices for the RHR- and AP- weight classes - preprint. - 1998) розглядав задачу точних меж показників у вкладеннях класів Геринга і Макенхаупта, але не в класичному формулюванні, а в термінах факторизуючих множників. Щоб сформулювати його результати, нам знадобляться означення класу Макенхаупта A1 і теорема Джонса про факторизацію функцій з класу Aq (Jones P. W. Factorization of Ap weights // Ann. Math. - 1980. - Vol. 111, № 3. - P. 511-530).

Означення 3. Кажуть, що функція f належить до класу A1 на кубі Q0, якщо

,

де точна верхня межа береться по всім підкубам Q куба Q0.

Теорема E (Jones P. W. Factorization of Ap weights // Ann. Math. - 1980. - Vol. 111, № 3. - P. 511-530). Нехай q>1. Функція f належить до класу Aq тоді, і тільки тоді, коли існують дві функції u і з класу A1 такі, що майже скрізь

.

C. J. Neugebauer'ом доведена така

Теорема F. Нехай

де , і число . Тоді для всіх , а якщо , то належність функції f до класу Gp, взагалі кажучи, не має місця.

Аналогічно, в термінах властивостей факторизуючих множників C. J. Neugebauer'ом знайдені точні межі показників для вкладень, і . В природньому формулюванні задачі для того, щоб для функції f з Aq(B) визначити, до якого класу Gp вона належить, слід використовувати тільки значення q і B - параметрів класу Aq(B). C. J. Neugebauer же для вже фіксованої факторизациії функції з Aq знаходить клас Gp, до якого належить ця функція, використовуючи властивості факторизуючих множників. Перехід від теореми F до тверджень в природньому формулюванні зводиться до дослідження властивостей факторизуючих функцій в теоремі E, що само по собі є складною і, наскільки нам відомо, невирішеною задачею. Це пов'язано з відсутністю простих конструктивних доведень теореми про факторизациію функцій з Aq. Очевидно, функцію з Aq можна подати у вигляді добутку функцій неоднозначно. У відомих доведеннях теореми Джонса для фіксованої функції f з Aq спеціальним чином знаходиться лише одна пара факторизуючих функцій u і з A1, але і для цієї пари і невідомі. І навіть якщо властивості факторизуючих множників стануть відомі для всіх можливих факторизацій, немає ніякої впевненості в тому, що це дозволить з теореми F здобути твердження в природньому формулюванні.

A. Popoli розглядав більш загальні класи функцій (де p<q, , K>1), що визначені умовою

В його роботі (Optimal integrability in classes // Le matematiche. - 1997. - Vol. 52, № 1. - P. 159-170) в одновимірному випадку знаходяться точні межі показників сумовності для функцій з класу . Результат A. Popoli об'єднує та у деякому сенсі узагальнює роботи L. D'Apuzzo, C. Sbordone і А. О. Кореновського, але не дає можливість знайти точні показники у вкладеннях Aq(B) в Gp(C) або Gp(C) в Aq(B). Доведення A. Popoli майже цілком повторюють міркування з робіт C. Sbordone і А. О. Кореновського для монотонної функції f, а перехід до загального випадку здійснюється таким же чином, як і у А. О. Кореновського.

Отже, в одновимірному випадку питання визначення точних меж показників, за якими мають місце вкладення вигляду

 і ,

цілком вирішене. Для вкладень вигляду

і

питання визначення точних меж показників, наскільки нам відомо, залишалось відкритим. Один з головних результатів даної роботи наведений у наступних двох теоремах, що містяться в підрозділі 1.2 дисертації.

Теорема 1.2 (див. [1]). Нехай n=1, p>1 і C>1, а число q0>1 визначається як корінь рівняння

.

Тоді для будь-якого q>q0 існує така стала B=B(p,C,q)>1, що має місце вкладення

.

Якщо ж , то це вкладення втрачає силу при будь-якому B>1.

Теорема 1.4 (див. [2]). Нехай n=1, q>1 і B>1, а число p0>1 визначається як корінь рівняння

.

Тоді для будь-якого існує така стала C=C(q,B,p)>1, що має місце вкладення

.

Якщо ж , то це вкладення втрачає силу при будь-якому C>1.

Доведення цих теорем не можна було проводити за аналогією з доведенням теорем C або D у роботі R. R. Coifman'а і C. Fefferman'а. Це пов'язано з використанням у їхніх доведеннях проміжного вкладення в клас , що приводило до втрати точності. Для доведення теорем 1.2 і 1.4 ми спочатку розглядаємо їхні аналоги для монотонних функцій. Потім за допомогою відповідної точної нерівності для рівновимірних переставлень здійснюємо перехід від монотонних функцій до довільних. Ця точна нерівність була доведена А. О. Кореновським і використана для переходу від монотонних функцій до довільних функцій однієї змінної при знаходженні точних меж показників у вкладеннях Aq(B) в Aq1(B1) або Gp(C) в Gp1(C1). Раніше такого типу нерівності були одержані M. Franciosi, G. Moscariello і C. Sbordone, проте, неточні сталі в їхніх результатах не давали можливості досягти точності у вкладеннях класів Геринга і Макенхаупта.

Як вже відзначалося, основним етапом у доведенні теорем 1.2 і 1.4 є доведення їхніх аналогів для монотонних функцій. При визначенні точних меж показників у вкладеннях Aq(B) в Aq1(B1) або Gp(C) в Gp1(C1) для монотонних функцій C. Sbordone і А. О. Кореновський будували свої доведення на застосуванні відомої нерівності Харді:

,

де r>1, а функція g не зростає на [a,b]. Проте, для вкладень Aq(B) в Gp(C) або Gp(C) в Aq(B) застосування цієї нерівності результатів не дало. Для доведення теорем 1.2 і 1.4 ми пропонуємо інший метод, відмінний від використаного в роботах L. D'Apuzzo, C. Sbordone і А. О. Кореновського, який полягає в порівнянні монотонних функцій із степеневими. За допомогою цього метода можна здобути і деякі вже відомі результати. Так, в підрозділі 1.3 знайдені найкращі показники у вкладеннях Aq(B) в Aq1(B1) та Gp(C) в Gp1(C1).

Другий розділ даної роботи присвячений дослідженню суперпозицій із функціями з класів Геринга і Макенхаупта. Торкаючись цієї теми, не можна не згадати про зв'язок класів Aq і Gp з так званим простором ВМО функцій з обмеженим середнім коливанням. Легко бачити, що f належить до Aq тоді і тільки тоді, коли ln f належить до BMO. Дослідженню такого типу зв'язків між простором ВМО і класами Геринга і Макенхаупта присвячена низка робіт різних авторів. Завдяки такому зв'язку результати, здобуті для Aq, переносяться на ВМО і навпаки. Прикладом використання такого зв'язку є доведена P. W. Jones'ом теорема про факторизацію функцій з Aq. Проте, пізніше J. L. Rubio de Francia (A new technique in the theory of Ap weights // Top. Mod. Harmonic Analysis Proc. Semin. Toronto and Milano, May - June 1982. - Vol. 2. - 1983. - P. 571-579) подав доведення теореми Джонса про факторизацію Aq ваг без притягнення властивостей ВМО. Є ряд інших прикладів, коли використання зв'язку між ВМО і Aq дозволило отримати нові результати. Очевидно, функція f, що належить до деякого класу Геринга (Макенхаупта), після множення на сталу або після лінійної заміни змінної буде належати до того ж класу Геринга (Макенхаупта). R. Johnson і C. J. Neugebauer (Change of variable results for Ap- and reverse Hlder RHr- classes // Trans. Amer. Math. Soc. - 1991. - Vol. 328, № 2. - P. 639-666) і S. M. Buckley досліджували властивості добутків функцій із класів Геринга і Макенхаупта. Визначенню всіх припустимих замін таких, що для будь-якої f з Gp (або Aq) вірно (або Aq1), присвячені роботи R. Johnson'а і C. J. Neugebauer'а.

В даній роботі вивчаються такі зовнішні функції, суперпозиція з якими переводить заданий клас Геринга (або Макенхаупта) в інший заданий клас Геринга (або Макенхаупта).

Ряд авторів досліджували властивості суперпозицій вигляду , де f належить до Gp (або Aq), а - степенева функція. Так, у роботі J.-O. Stromberg'а і R. L. Wheeden'а (Fructional integrals on weighted Hp and Lp spaces // Trans. Amer. Math. Soc. - 1985. - Vol. 287. - P. 293-321) доведена така

Теорема G. Функція f належить до Gp при деякому p>1 тоді, і тільки тоді, коли f p належить до .

Ця теорема часто застосовується при вивченні класів Геринга. Альтернативне доведення теореми G дано R. Johnson'ом і C. J. Neugebauer'ом. Існує низка інших тверджень про властивості функцій з класів Геринга і Макенхаупта, піднесених до степеня. Проте, нам не відомі роботи, в яких досліджуються властивості суперпозицій із функціями з класів Геринга або Макенхаупта, де зовнішня функція не є степеневою. У дисертаційній роботі ми знаходимо необхідну і достатню умову для монотонної зовнішньої функції , за якою для будь-якої f з Gp (або Aq) справедливо (або ).

Для формулювання результатів нам зручно використати наступне

Означення 5. Будемо називати функцію майже зростаючою (відповідно майже спадною) на R+, якщо існує така стала C>0, що для (відповідно ).

Головні результати другого розділу подані в таких трьох теоремах.

Теорема 2.5 (див. [3]). Нехай задана довільна неспадна функція і довільні числа p1>1 і p2>1 . Для того, щоб для будь-якої функції f з Gp1 на кубі Q0 суперпозиція належала до Gp2, необхідно і достатньо, щоб для будь-якого функція майже спадала на R+.

Теорема 2.6 (див. [3]). Нехай задана довільна неспадна функція і числа . Для того, щоб для будь-якої функції f з Aq1 на кубі Q0 суперпозиція належала до Aq2, необхідно і достатньо, щоб для будь-якого функція майже спадала на R+.

Теорема 2.7 (див. [3]). Нехай задана довільна неспадна функція і числа . Для того, щоб для будь-якої функції f з Aq1 на кубі Q0 суперпозиція належала до Aq2, необхідно і достатньо, щоб для будь-якого функція майже спадала на R+.

Наприкінці підрозділу 2.2 показано, як теорема 2.5 узагальнює теорему G. В підрозділі 2.3, опираючись на вже одержані результати, знайдено необхідні і достатні умови на зовнішню функцію , за якими суперпозиція із функціями з класів , Gp, Aq, A1, або належить до одного з заданих класів , Gp або Aq. Ці результати опубліковані в роботі [4].

ВИСНОВКИ

Дисертація присвячена визначенню точних меж показників у вкладеннях класів функцій Геринга і Макенхаупта та дослідженню властивостей суперпозицій із функціями з цих класів.

Основним результатом першого розділу є визначення точних меж показників у вкладеннях класів Макенхаупта в класи Геринга і в обернених вкладеннях в одновимірному випадку. Ці результати сформульовані в теоремах 1.2 і 1.4. Для доведення теорем 1.2 і 1.4 запропонований новий метод, який полягає в порівнянні монотонних функцій із степеневими. Показано, як за допомогою цього метода можна одержати деякі вже відомі твердження. Результати першого розділу підтверджують гіпотезу про те, що степеневі функції є екстремальними не тільки для вкладень і , але і для перехресних вкладень.

В другому розділі знайдені необхідні і достатні умови для монотонної зовнішньої функції , за якими суперпозиція з довільною функцією з класу X буде належати до класу Y, де X - один з класів , Gp, Aq, A1, або , а Y один з класів , Gp або Aq. Як наслідок цих результатів, одержане нове доведення однієї теореми J.-O. Stromberg'а і R. L. Wheeden'а (теорема G).

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ за темою дисертації

Малаксиано Н. А. О точных вложениях классов Геринга в классы Макенхаупта // Матем. заметки. - 2001. - Т. 70, № 5. - С. 742-750.

Malaksiano N. A. The precise embeddings of one-dimensional Muckenhoupt classes in Gehring classes // Acta Sci. Math., Szeged. - 2002. - Vol. 68. - P. 237-248.

Малаксиано Н. А. О суперпозициях функций из классов Геринга и Макенхаупта // Вiсник Одеськ. держ. ун-ту., Фiз.-мат. науки. - 2001. - Т. 6, № 3. - С. 16-20.

Malaksiano N. A. About the superpositions with functions from Gehring's, Muckenhoupt's and related classes // Математичні студії, - 2002. - Т. 18, № 1. С. 107-112.

Малаксиано Н. А. О точных соотношениях между классами функций Геринга и Макенхаупта // Одес. гос. ун-т. - Одесса, 2000. -18с. -Библиогр.: 12 назв. -Рус. - Деп. в ГНТБ Украины 27.04.2000, №93 - Ук 2000.

Малаксиано Н. А. О точных соотношениях между классами функций Геринга и Макенхаупта // Матеріали VII Міжнародної наукової конференції імені академіка М. Кравчука. - Київ: Інститут математики НАН України. - 2000. - С. 320.

Малаксиано Н. А. Точные показатели во вложениях классов Геринга и Макенхаупта // Тезисы докладов Воронежской зимней математической школы “Современные методы теории функций и смежные проблемы”. - Воронеж: Воронежский гос. ун-т. - 2001. - С. 182-183.

Малаксиано Н. А. О точных границах показателей во вложениях классов функций Геринга и Макенхаупта // Тезисы докладов Междунар. научн. конф. “Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений”. - Минск: Белорусский гос. ун-т. - 2001. - С. 106-107.

Малаксиано Н. А. О суперпозициях функций из классов Геринга и Макенхаупта // Abstracts of conference “Functional Methods in Approximation Theory, Stochastic Analysis and Statistics”. - Kyiv: Kyiv National Taras Shevchenko University. - 2001. - P. 47.

Малаксиано Н. А. О суперпозициях функций из классов Геринга и Макенхаупта // Тезисы докладов 11-й Саратовской зимней школы. “Современные проблемы теории функций и их приложения”. - Саратов: Изд-во ГосУНЦ “Колледж”. - 2002. - С. 131-132.

Малаксиано Н. А. О суперпозициях функций из классов Геринга и Макенхаупта // Труды конференции молодых ученых. - Москва: Московский гос. ун-т. - 2002. - С. 116-119.

Малаксиано Н. А. Суперпозиции с функциями из класса Макенхаупта и близких ему классов // Матеріали VII Міжнародної наукової конференції імені академіка М. Кравчука. - Київ: Інститут математики НАН України. - 2002. - С. 323.

Малаксиано Н. А. О суперпозициях с функциями из классов Макенхаупта, Геринга и близких им классов // Book of abstracts of International Conference dedicated to the 110th anniversary of Stefan Banach “Functional Analysis and its Applications”. - Lviv: Lviv Ivan Franko National University. - 2002. - P. 129-130.

Анотація

Малаксіано М. О. Екстремальні властивості класів функцій Геринга і Макенхаупта. Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. Одеський національний університет ім. І. І. Мечникова, Одеса, 2003.

В дисертації в одновимірному випадку знайдені точні межі показників у вкладеннях класів Макенхаупта в класи Геринга й в обернених вкладеннях. В роботі запропонований новий метод доведення, що заснований на порівнянні монотонних функцій із степеневими. За допомогою цього методу можна дістати і деякі вже відомі результати.

Знайдено необхідні і достатні умови для монотонної зовнішньої функції , за якими суперпозиція з довільною функцією з одного фіксованого класу Макенхаупта (Геринга) буде належати до іншого фіксованого класу Макенхаупта (Геринга). Аналогічні питання розглянуті для граничних випадків класів Геринга і Макенхаупта.

Ключові слова: класи Геринга, класи Макенхаупта, обернена нерівність Гьольдера.

Abstract

Malaksiano M. O. The extremal properties of the Gehring and Muckenhopt function classes. Manuscript.

The thesis for obtaining Candidate of Science (Physics and Mathematics) degree (Ph. D.) by speciality 01.01.01 - mathematical analysis. Odessa I. I. Mechnikov National University, Odessa, 2003.

In the thesis the sharp bounds of exponents, for which inclusions of Muckenhoupt classes in Gehring classes are valid, are obtained for the one-dimensional case. The reverse inclusion is obtained as well. Since this result can't be proved by a known sachem, a new method is introduced which is based on a comparison of a monotone function with a power function. This method can be used to prove some already known results.

The necessary and sufficient condition for the monotone external function is found such that the superposition with an arbitrary function from one fixed Muckenhoupt (Gehring) class belongs to the other fixed Muckenhoupt (Gehring) class. The analogous questions for the limiting cases of Gehring and Muckenhoupt classes are solved as well.

Key words: Gehring classes, Muckenhoupt classes, reverse Hlder inequality.

Аннотация

Малаксиано Н. А. Экстремальные свойства классов функций Геринга и Макенхаупта. Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. Одесский национальный университет им. И. И. Мечникова, Одесса, 2003.

Диссертация посвящена нахождению точных границ показателей во вложениях классов функций Геринга и Макенхаупта и исследованию свойств суперпозиций с функциями из этих классов. Активные исследования свойств классов функций Макенхаупта и Геринга начались сразу после работ B. Muckenhoupt'а и F. W. Gehring'а, опубликованных в 1972, 1973 годах, в которых впервые были введены эти классы, и продолжаются в настоящее время. Но несмотря на то, что изучению свойств этих классов посвящено большое количество работ, ряд вопросов все еще остается открытым. Так, нахождению точных показателей во вложениях классов Геринга и Макенхаупта друг в друга посвящены работы B. Bojarski, L. D'Apuzzo, C. Sbordone, А. А. Кореновского, M. B. Korey, J. Kinnunen'а, C. J. Neugebauer'а и ряда других авторов, однако окончательные решения были получены лишь в некоторых случаях R. Johnson'ом, C. J. Neugebauer'ом и S. M. Buckley исследованы вопросы умножения весовых функций. Замена переменной у весовой функции исследовалась в работах Johnson'а и C. J. Neugebauer'а. Некоторые свойства суперпозиций со степенными функциями получены O. Stromberg'ом, R. L. Wheeden'ом и другими авторами, однако в общем случае вопрос о суперпозиции до сих пор оставался нерешенным.

Одним из главных результатов работы является нахождение точных границ показателей во вложениях классов Макенхаупта в классы Геринга и в обратных вложениях в одномерном случае. Для этого в диссертации предложен метод доказательства, основанный на сравнении монотонных функций со степенными. С помощью этого метода можно получить новые доказательства некоторых уже известных результатов.

Для доказательства упомянутых выше вложений сначала рассматривается их аналог для монотонных функций. Затем с помощью соответствующего точного неравенства для равноизмеримых перестановок осуществляется переход от монотонных функций к произвольным. Это точное неравенство было доказано А. А. Кореновским и применено для перехода от монотонных функций к произвольным функций одной переменной при получении точных границ показателей во вложениях классов Макенхаупта в классы Макенхаупта и для включений классов Геринга в классы Геринга. Ранее такого типа неравенства были получены M. Franciosi, G. Moscariello и C. Sbordone, однако неточные постоянные в их оценках равноизмеримых перестановок не давали возможности достичь точности во вложениях классов Геринга и Макенхаупта. Полученные в диссертации результаты подтверждают гипотезу о том, что степенные функции являются экстремальными не только для включений классов Макенхаупта в классы Макенхаупта и для включений классов Геринга в классы Геринга, но и для перекрестных включений.

Также в работе найдены необходимые и достаточные условия для монотонной внешней функции , при которых суперпозиция с произвольной функцией из одного фиксированного класса Макенхаупта (Геринга) будет принадлежать другому фиксированному классу Макенхаупта (Геринга). Аналогичные вопросы рассмотрены для предельных случаев классов Геринга и Макенхаупта. Как следствие получено новое доказательство одной теоремы J.-O. Stromberg'а и R. L. Wheeden'а.

Ключевые слова: классы Геринга, классы Макенхаупта, обратное неравенство Гёльдера.

Размещено на Allbest.ur

...