Структурування та дослідження стійкості динамічних систем дискретного аргументу

Размещено на http://www.allbest.ru/

Київський національний університет

імені Тараса Шевченка

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

01.05.04 - системний аналіз і теорія оптимальних рішень

СТРУКТУРУВАННЯ ТА ДОСЛІДЖЕННЯ СТІЙКОСТІ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ ДИСКРЕТНОГО АРГУМЕНТУ

Киращук Дмитро Дмитрович

Київ-2003

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

нелінійний дискретний дробовий ляпунов

Актуальність теми. При системному аналізі дискретних динамічних процесів в соціології, медицині, біології та інших галузях природознавства останнім часом знайшли широке застосування різницеві рівняння з нелінійною правою частиною. Такі рівняння насамперед дозволяють моделювати процеси, що змінюються з дискретним часом. Більше того, при чисельному дослідженні неперервних процесів аналіз диференціальних рівнянь зводять теж до різницевих, тому всі питання комп'ютерного моделювання диференціальних рівнянь фактично трансформуються до дослідження різницевих рівнянь.

Розробкою методів системного аналізу дискретних систем із застосуванням різницевих рівнянь займалось багато вітчизняних та іноземних вчених. Слід відзначити роботи Чебишова П.Л., Маркова А.А., Гельфонда А.О., Беллмана Р. Дослідження якісної теорії систем різницевих рівнянь проводилось в роботах Мартинюка Д.І., Халаная А., останнім часом вийшли праці Гайшуна І.В., Elaydi S., Kelley W.G. Проблеми оптимального керування дискретними системами розглядались Кунцевичем В.М., Личаком М.М., Бубликом Б.М., Наконечним О.Г., Кириченком М.Ф., Гаращенком Ф.Г., крайові задачі для систем різницевих рівнянь - Бойчуком О.А., Чуйком С.М. Питання стійкості дискретних систем розглядались в роботах Барбашина Є.А., Мартинюка А.А., Валєєва К.Г.

Різницеві рівняння з дробово-раціональною правою частиною використовуються для системного аналізу багатьох актуальних математичних задач. Це - модель конкурентного існування типу "хижак-жертва", що враховує різноманітні зовнішні чинники; моделі динаміки популяції, що розглядаються в екології; моделі роботи фізичних приладів (система колектора з рівномірною освітленістю). Дробово-раціональні системи виявляються корисними при аналізі протікання онкозахворювань, при дослідженні динаміки розповсюдження вірусу СНІД та інших інфекційних захворювань. Багато ферментативних реакцій в хімії також описуються подібними системами.

Важливою вимогою при системному аналізі екологічних процесів та соціальних явищ є врахування стану системи за досить великий проміжок часу. В таких випадках використовується інший важливий клас математичних моделей - різницеві рівняння із запізненням. Проблеми, що виникають при дослідженні дискретних систем з запізненням, почали вивчатися відносно недавно, зокрема, в роботах Хейла Дж., Колмановського В.Б., Іванова А.Ф. Слід зазначити, що у випадку коли запізнення є ірраціональним числом, фазовий простір динамічних систем є нескінченновимірним, а одержати конструктивні умови стійкості останніх дуже важко.

Важливість і актуальність аналізу систем різницевих рівнянь вказаних типів і визначає актуальність дисертаційної роботи.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота проводилась згідно з планами наукових досліджень кафедри моделювання складних систем факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка № 01БФ015-05 "Розробка структурованих математичних та програмних технологій для моделювання, аналізу, оцінки та оптимізації складних систем". Ряд результатів одержано під час виконання проекту ДКНТ України, № 01.07/00081.

Мета і задачі досліджень. Метою дисертаційної роботи є розробка методів структурування динамічних систем та алгоритмів зведення дискретних систем до уніфікованого дробово-матричного вигляду; одержання умов стійкості лінійних дискретних систем великої розмірності та нелінійних систем з дробово-раціональною правою чистиною з запізненням; обчислення оцінок характеристик перехідних процесів структурованих дискретних динамічних систем дробово-раціонального вигляду; доведення теорем другого методу Ляпунова з умовою Разуміхіна стосовно загальних нелінійних дискретних систем з післядією; розробка методів і алгоритмів побудови оптимальних функціоналів Ляпунова-Красовського в задачах дослідження дискретних данамічних систем із запізненням.

Об'єкт дослідження - динамічні системи дискретного аргументу, які використовуються при розробці математичних моделей в економіці, медицині, різноманітних галузях природознавства.

Предмет дослідження - лінійні різницеві рівняння великої розмірності, лінійні різницеві рівняння із запізненням, різницеві рівняння з дробово-раціональною правою частиною.

Методи дослідження. Для дослідження лінійних різницевих систем великої розмірності та систем з дробово-раціональною правою частиною було використано другий (прямий) метод Ляпунова з додатковою умовою Разуміхіна. Для дослідження лінійних різницевих рівнянь із запізненням було використано метод функціоналів Ляпунова-Красовського. Для розробки алгоритму побудови оптимальних функціоналів Ляпунова-Красовського було використано методи опуклої оптимізації.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертаційній роботі одержано нові методи аналізу різницевих систем великої розмірності та нелінійних різницевих систем. Зокрема:

математично обґрунтовано використання методу функціоналів Ляпунова-Красовського для дослідження лінійних різницевих систем з запізненням;

доведено нові теореми про асимптотичну стійкість та обчислені оцінки характеристик збіжності розв'язків;

для систем з дробово-раціональною правою частиною без запізнення та з запізненням одержано нові оцінки гарантованої області збіжності розв'язків.

Практичне значення отриманих результатів. Результати, що одержані в дисертації можуть бути використані в біології, соціології та медицині при досліджені динаміки систем, які описуються різницевими рівняннями з дробово-раціональною правою частиною, а також при аналізі систем великої розмірності. Використання запропонованої методики знаходження "оптимальних функціоналів Ляпунова-Красовського" допоможе найбільш точно оцінювати умови стійкості та параметри перехідних процесів.

Результати дисертації використовувались в лекціях з динаміки систем з післядією для студентів старших курсів факультету кібернетики.

Особистий внесок здобувача. Проф. Іванову А.Ф. в роботах [2, 4] та науковому керівникові проф. Хусаінову Д.Я. в роботах [1, 2, 4, 7] належать постановка задач та їх обговорення, доц. Бичкову О.С. в роботах [4, 7]- обговорення задач з стійкості лінійних систем. Доведення всіх результатів дисертації, які виносяться на захист, проведено автором самостійно.

Апробація результатів роботи. Результати роботи доповідалися на Міжнародній конференції “Dinamical System Modelling and Stability Investigation” (Київ, травень, 1999р.), Міжнародній Кримській математичній школі “Метод функцій Ляпунова та його застосування” (Крим, Алушта, вересень, 2000р.), Міжнародній конференції “Моделювання та оптимізація складних систем” (Київ, січень, 2001р.), Міжнародній конференції “Автоматика - 2001” (Одеса, вересень, 2001р.), наукових семінарах факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка, Інституту математики НАН України, Інституту кібернетики НАН України.

Публікації. За темою дисертації у виданнях, затверджених ВАК України, опубліковано 4 статті, 3 тези.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, трьох розділів, висновку та списку використаної літератури (146 назв), основний зміст викладений на 121 стор., повний зміст дисертації складає 133 стор.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі до роботи обґрунтовано актуальність проблематики дисертації, сформульовано мету роботи, розглянуто її зміст за розділами з висвітленням найважливіших результатів.

У першому розділі проведено аналіз розвитку теорії стійкості розв'язків систем різницевих рівнянь, висвітлено основні положення використання другого методу Ляпунова. Приведений огляд робіт, присвячений використанню нелінійних дискретних систем з дробово-раціональною правою частиною при моделюванні процесів в біології та медицині. Розроблено апарат уніфікованого запису систем з дробово-раціональною нелінійністю. Приведено алгоритм перетворення деяких класів систем до уніфікованого вигляду.

Другий розділ присвячено дослідженню лінійних систем великої розмірності з запізненням, застосуванню методів функціоналів Ляпунова-Красовського та функцій Ляпунова для дослідження різницевих рівнянь з запізненням. Окремо досліджені різницеві системи з дробово-раціональною правою частиною.

Перший параграф другого розділу присвячений дослідженню динаміки лінійних різницевих систем великої розмірності. Нехай вихідна система складається з т взаємно зв'язних підсистем, динаміка кожної з яких описується системою різницевих рівнянь

Відповідно замкнута система з урахуванням взаємозв'язків підсистем без запізнення має вигляд

Нехай - симетричні, додатно визначені матриці, що визначаються матричними різницевими рівняннями Ляпунова

Позначимо

де - симетричні, додатно визначені матриці, що визначені матричним різницевим рівнянням Ляпунова, матриця, елементи якої визначаються наступним чином

Одержано наступні умови стійкості системи (2).

Теорема 2.1. Нехай для кожної з підсистем (1) існують додатно визначені матриці,, що є розв'язками (3), при яких матриця асимптотично стійка (тобто всі її власні числа). Тоді вихідна система (2) також асимптотично стійка і для її розв'язку справедлива експоненціальна оцінка збіжністі

Введемо матриці,,. Через позначимо матриці, які отримано з шляхом виборки елементів, що відповідають одинаковим, упорядкованим по зростанню

Мають місце наступні умови і оцінки експоненціальної збіжності.

Теорема 2.2. Нехай існують додатно визначені матриці і сталі при яких виконуються нерівності.

Тоді вихідна система (5) стійка. Причому при всіх, лише,

Розглядається використання методу функціоналів Ляпунова-Красовського при дослідженні лінійних різницевих систем з запізненням вигляду.

Теорема 2.3. Нехай існують додатно визначені мартиці і, при яких матриця також додатно визначена. Тоді система (9) асимптотично стійка. Причому для будь-якого її розв'язку буде виконуватися лише тільки,

Теорема 2.4. Нехай існують додатно визначені матриці, і величина, при яких матриця. також додатно визначена. Тоді система (9) асимптотично стійка і для її розв'язків вірна наступна оцінка збіжності. В наступному параграфі проведено дослідження нелінійних різницевих систем загального вигляду з запізненням методом функцій Ляпунова. Векторна функція визначена і неперервна в,, - деяка область, що містить початок координат і.

Одержано достатні умови стійкості нульового розв'язку системи (16) і оцінки збігання довільного розв'язку до стану рівноваги. Для лінійних систем (9) одержаний результат має наступний вигляд.

Твердження 2.5. Нехай існує додатно визначена матриця, при якій виконуються умови.

Тоді система (9) буде асимптотично стійкою. Причому для її розв'язків справедлива експоненціальна оцінка збіжності.

З використанням розробленої методології в четвертому параграфі цього розділу досліджуються нелінійні системи з дробово-раціональною правою частиною. Розглядаються три випадки. Першим розглядаються системи без запізнення.

Теорема 2.6. Нехай - асимптотично стійка матриця. Тоді тривіальний розв'язок системи (22) асимптотично стійкий. Область стійкості містить кулю радіуса. Досліджуються системи з дробово-раціональною правою частиною з одним запізненням.

Для дослідження стійкості нульового розв'язку системи з запізненням було застосовано перехід до нових змінних.

Тоді система (23) буде мати вигляд:

- матриця розмірності, у якої -й рядок співпадає з вектором, а всі інші елементи нульові, - матриця, у якої -й рядок співпадає з вектором, а всі інші елементи нульові, - нульові матриці відповідних розмірностей.

Теорема 2.7. Нехай - асимптотично стійка матриця. Тоді тривіальний розв'язок системи з запізненням (23) асимптотично стійкий.

Систему (25) замінюємо еквівалентною, записаною в наступній формі

Тут,, коефіцієнти, вибираються з умови “максимальної” асимптотичної стійкості “модельної” системи і “малості” “збуреної” частини (в найпростішому випадку можна покласти).

Теорема 2.8. Нехай існують сталі, і додатно визначена матриця, при яких виконується нерівність. Тоді положення рівноваги, системи (25) стійке за Ляпуновим. Область стійкості містить кулю радіусу, де є мінімальним додатнім коренем рівняння

Виконання умов (26) гарантує не лише стійкість, а й асимптотичну стійкість. При доведенні асимптотичної стійкості і обчисленні характеристик перехідних процесів було використано неавтономну функцію Ляпунова.

Теорема 2.9. Нехай існують сталі, і додатно визначена матриця, при якій виконується умова (26) теореми 2.8. Тоді розв'язок системи (25) асимптотично стійкий. Куля,, входить в область асимптотичної стійкості і для розв'язків з цієї області виконується. Тут є мінімальним додатнім розв'язком нерівності, а величина визначена в (27).

Третій розділ дисертаційної роботи присвячений оптимізації умов стійкості в класі квадратичних функціоналів Ляпунова-Красовського.

Як було показано в другому розділі, дослідження стійкості лінійної системи з післядією (9) зводиться до пошуку пари додатно визначених матриць і, при яких матриця (11) також буде додатно визначена.

В третьому розділі розглянуто задачу отримання гарантованої умови стійкості в класі функціоналів (10), тобто знаходження додатно визначених матриць і при яких матриця "максимально" додатно визначена. Відповідно, функціонал Ляпунова-Красовського називається оптимальним в заданому класі функціоналів. Фактично розглянуто оптимізаційну задачу на множині, що складається з пар додатно визначених матриць.

Нехай лінійний нормований простір, що складається з пар симетричних матриць Н і G, з нормою. Позначимо через підмножину L, що складається з пар симетричних додатно напіввизначених матриць, що знаходяться в середині одиничної сфери. Задача знаходження гарантованої умови стійкості в класі функціоналів виду (10) розглядається як оптимізаційна задача

Лема 3.1. Задача оптимізації (28),(29) має розв'язок.

Лема 3.2. Функція на множині опукла.

Лема 3.3. Узагальненим градієнтом функції у внутрішній точці буде пара матриць, де - одиничний вектор розмірності, на якому квадратична форма досягає мінімального значення.

Необхідні і достатні умови існування оптимального функціоналу Ляпунова-Красовського дають наступні твердження.

Твердження 3.1. Щоб функція досягала свого мінімального значення в точці необхідно і достатньо, щоб узагальнений градієнт функції в точці задовольняв умові.

Причому точка лежить на границі.

В наступному параграфі вводиться функція Лагранжа і задача оптимізації з обмеженнями зводиться до задачі оптимізації без обмежень. Функція Лагранжа має вигляд:

Необхідні та достатні умови існування розв'язку задач оптимізації (28), (29), в термінах існування сідлової точки дає наступне твердження.

Твердження 3.2. Для того, щоб функція в точці досягала мінімального значення необхідно і достатньо, щоб існували сталі, при яких трійка, була сідловою точкою функції Лагранжа (36).

Більш конструктивними являються твердження в термінах узагальненого градієнта (градієнтних множин). Подібного типу твердження використовуються при чисельних методах розв'язку відповідних задач оптимізації.

Означення 3.1. Назвемо узагальненим градієнтом функції Лагранжа по змінній в точці пару матриць, що задовольняє умові.

Лема 3.4. Узагальненим градієнтом функції Лагранжа по змінній у внутрішній точці, є пара матриць

Означення 3.2. Градієнтною множиною функції Лагранжа по змінній в точці називається множина пар матриць, що задовольняє (31).

Необхідні та достатні умови існування розв'язку оптимізаційних задач в термінах узагальненого градієнта мають наступний вигляд.

Твердження 3.3. Пара матриць є розв'язком задачі (28),(29) тоді і тільки тоді, коли існує вектор, при якому виконуються умови:

1) Градієнтна множина функції Лагранжа no змінній в точці містить пару нульових матриць, тобто.

2) Виконуються умови доповнюючої нежорсткості

Метод оптимальних функціоналів Ляпунова-Красовського, розроблений в третьому розділі, обумовлює алгоритм побудови функціоналів квадратичного типу, що надає гарантовані умови стійкості у даному класі.

ВИСНОВКИ

В дисертації наведено вирішення наукової задачі розробки методів дослідження стійкості та оцінки перехідних процесів структурованих дискретних динамічних систем з дробово-раціональною правою чистиною, а також лінійних систем великої розмірності, які мають істотне значення для системного аналізу дискретних динамічних процесів.

Основними науковими результатами роботи є:

1. Розроблено метод та побудовано алгоритм структурування для класу динамічних систем дискретного аргумету з дробово-раціональною правою частиною.

2. Математично обґрунтовано використання методу функцій Ляпунова з умовами типу Разуміхіна для нелінійних різницевих систем з післядією.

3. Доведено умови стійкості та обчислено характеристики збіжності розв'язків лінійних систем великої розмірності з післядією та нелінійних структурованих дискретних систем з дробово-раціональною правою частиною.

4. Застосування методу функціоналів Ляпунова-Красовського до лінійних дискретних систем з запізненням дозволило одержати оцінки збіжності їх розв'язків.

5. Розроблено алгоритм побудови оптимальних функціоналів Ляпунова-Красовського в задачах оцінки перехідних процесів дискретних динамічних систем з післядією.

Одержані результати можуть бути використані в дослідженні процесів в медицині, соціології, біології та інших галузях природознавства.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

1.Хусаінов Д.Я., Киращук Д.Д. Дослідження стійкості різницевих систем з дробово-раціональною правою частиною з запізненням. //Вісник Київського університету. Серія: Фізико-математичні науки. - 1999. - в.1. - С.239-242.

2.Хусаінов Д.Я., Іванов А.Ф., Киращук Д.Д. Використання функціоналів Ляпунова-Красовського для дослідження лінійних фукціонально-різницевих систем з запізненням. //Вісник Київського університету. Серія: Фізико-математичні науки. - 2001. - в.1. - С.306-314.

3.Киращук Д.Д. Дослідження стійкості систем з запізненням методом функціоналів Ляпунова Красовського. //Вісник Київського університету. Серія: Фізико-математичні науки. - 2001. - в.2. - С.256-261.

4.Хусаинов Д.Я., Иванов А.Ф., Бычков А.С. Киpащук Д.Д. “Исследование устойчивости pазностных систем большой pазмеpности с запаздыванием”//Журнал обчислювальної та прикладної математики. - 2002. - №1(87). - С.3-10.

5.Киращук Д.Д. Дослідження лінійних різницевих систем великої розмірності. //Тези міжнародної конференції “Моделювання та оптимізація складних систем”. Київ.-2001.-С.120.

6.Киращук Д.Д. Оптимизационный метод построения функционалов Ляпунова-Красовского для линейных разностных систем. //Тези міжнародної конференції “Dinamical System Modeling and Stabality Investigation”. Київ.-2001.-С.58.

7.Хусаинов Д.Я., Киращук Д.Д., Бычков А.С. Исследование устойчивости и получение оценок сходимости решений разностных систем. //Тези міжнародної конференції з управління “Автоматика - 2001”. Одеса.-2001.-С.56-57.

Размещено на Allbest.ru