Точність наближення розподілів сум незалежних випадкових величин

Размещено на http://www.allbest.ru/

УЖГОРОДСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

ТОЧНІСТЬ НАБЛИЖЕННЯ РОЗПОДІЛІВ СУМ НЕЗАЛЕЖНИХ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН

Теорія ймовірностей і математична статистика

ПОЛЯК ІВАН ЙОСИПОВИЧ

Ужгород - 2003

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Ужгородському національному університеті на кафедрі математичного аналізу

Науковий керівник: кандидат фізико-математичних наук, доцент Слюсарчук Петро Володимирович

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Гусак Дмитро Васильович, провідний співробітник Інституту математики НАН України

кандидат фізико-математичних наук Курченко Олександр Олексійович, доцент кафедри математичного аналізу механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка

Провідна установа: :Національний технічний університет України “Київський політехнічний інститут”, кафедра математичного аналізу та теорії ймовірностей

Захист відбудеться “27” жовтня2004 року о 14 годині на засіданні спеціалізованої ради Д 26.001.37 у Київському університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 030220, м. Київ-207, просп. Академіка Глушкова, 6, корпус 7, механіко-математичний факультет

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка(01033, м.Київ, вул. Володимирська, 58)

Автореферат розісланий “_25_”_09_2003 р.

Вчений секретар спеціалізованої ради Моклячук М.П.

АНОТАЦІЯ

Поляк І.Й. Точність наближення розподілів сум незалежних випадкових величин. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05 - теорія ймовірностей та математична статистика. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2003.

Розглядаються оцінки швидкості збіжності в локальній граничній теоремі для густин як рівномірні так і нерівномірні з використанням різного виду псевдомоментів, досліджується збіжність до нормального закону в деяких імовірнісних метриках : в рівномірній , рівномірно квадратичній, як для однаково розподілених так і для різнорозподілених випадкових величин. Розглядаються оцінки щільностей розподілів двох сум. В одержаних оцінках окремо виділяється випадок, коли псевдомоменти близькі до нуля. Одержані результати доповнюють деякі результати Золотарьова В.М., Каробліса А., Слесорайтене Р., Студнева Ю.П. та інших вчених, які займалися застосуванням псевдомоментів.

Ключові слова: псевдомомент, щільність, ймовірнісні метрики, близькість розподілів, швидкість збіжності.

АННОТАЦИЯ

Поляк И.И. Точность приближения распределения сумм независимых случайных величин. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05. - теория вероятностей и математическая статистика. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченка, Киeв ,2003.

Диссертация посвящена точности приближения распределений сумм независимых случайных величин. Рассматриваются оценки скорости сходимости в предельной теореме для плотностей для одинаково раcпределенных случайных величин с нулевым математическим ожиданием и конечной дисперсией, с использованием различного вида псевдомоментов. Получены как равномерные так и неравномерные оценки в локальной предельной теореме для плотностей. В некоторых из полученных оценок указаны вид констант входящих в эти оценки. В полученных оценках отдельно рассматривается случай близости псевдомоментов к нулю. Данные оценки дополняют исследования Кароблис А. и Слесорайтене Р. и обобщают некоторые результаты Игнат Ю.И., Слюсарчук П.В.

В работе исследуется скорость сходимости к нормальному закону в равномерной метрике для характеристических функций и в равномерно квадратической метрике. Полученные оценки также выражаются через псевдомоменты. При исследовании скорости сходимости в равномерной метрике для функций распределения исследуется случай, когда несколько моментов случайных величин слагаемых совпадают с соответствующими моментами нормального закона, эти результаты дополняют исследования Студнева Ю.П. Кроме этого для разнораспределенных независимых случайных величин получено прямое обобщение одного результата Золотарева В.М.

В работе исследуется близость плотностей распределения двух сумм независимых одинаково распределенных случайных величин. При этом на одну из последовательностей случайных величин налагаем условие, которое использует

Золотарев В.М.: модуль характеристической функции не превышает Оценки близости плотностей также формулируются в терминах псевдомоментов. Как частный случай, получаются оценки скорости сходимости к устойчивым законам. Полученные в работе результаты являются новыми.

Ключевые слова: псевдомомент, плотность, вероятностные метрики, близость распределений, скорость сходимости.

ABSTRACT

Polyak I.I. An exactness of an approximation of distribution of the sums of independent random variables. - Manuscript.

Thesis for obtaining of a scientific degree of the candidate of physical and mathematical sciences on a speciality 01.01.05. - theory of probabilities and mathematical statistics, - Kyiv national Taras Shevchenko university, Kyiv, 2003.

The estimations of a velocity of convergence in the limit theorem for densencities both uniform and non-uniform with use of the pseudomoments are considered, the velocity of convergence to the normal law in some probability metrics is investigated: in the uniform, in regular intervals quadratic, uniform metric for characteristic functions, both for the equally distributed random variables and for different distributed random variables. In the obtained outcomes a case separately is considered, when the pseudo-moments are close to zero. The estimations of aproximity of density functions two sums are considered. The obtained estimations supplement some estimations of Zolotarev B.M., Karoblis A., Slesorajtene R., Studnev Y.P., and other scientists which were in using pseudomoments.

Key words: the pseudomoment, dencities, probabilitу metrics, closeness of distributions, a velocity of convergence.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Граничні теореми завжди були і залишаються одним із найважливіших аспектів досліджень в теорії ймовірностей. Серед граничних теорем важливе місце займають теореми, в яких наводяться оцінки близькості розподілів сум до граничного. Раніше такі результати, враховуючи і класичний результат A.Беррі i C.Eссейна , формулювались в термінах абсолютних моментів. Починаючи з роботи Золотарьова В.М.(1962) для оцінки швидкості збіжності в граничних теоремах почали широко використовувати псевдомоменти, які, порівняно з абсолютними моментами, мають ту перевагу, що враховують близькість розподілів доданків до граничного. Нехай - послідовність незалежних однаково розподілених випадкових величин з і відповідно функція розподілу і характеристична функція , - функція розподілу суми , ,

При накладених на обмеженнях, очевидно, при але важливою в теорії ймовірностей задачею є оцінка величини .

Відомий результат A. Беррі i C. Eссeена : для всіх С- абсолютна стала, не враховує близькість доданків до граничного.

Якщо , то але права частина наведеної нерівності відмінна від нуля, а було б добре, щоб при цьому і права частина була нулем. Цей недолік усувається із використанням псевдомоментів. Після згаданої роботи Золотарьова В.М. такі задачі викликали значний інтерес у багатьох дослідників. Золотарьов В.М. (1965) одержав результат, що враховує близькість розподілів i :

Даний результат пізніше був покращений В. Паулаускасом (1969), в якому порядок по досягнутий такий, як у нерівності Беррі-Ессеєна. Етапною в цьому напрямку є робота Золотарьова В.М., в якій отримані оцінки: для всіх

Введені псевдомоменти і краще враховують близькість розподілів і в околі нуля. Згадана робота викликала значний інтерес у багатьох дослідників по вивченню ролі псевдомоментів у граничних теоремах . Значна кількість результатів, що присвячені узагальненню і уточненню граничних теорем із використанням псевдомоментів, відображені в роботах Нагаєва С.В.і Ротаря В.І., Паулаускаса В.Й., Ротаря В.Й., Салахутдінова Р.З.,Сенатова В.В., Студнєва Ю.П., Ульянова В.В., Ігната Ю.І.

В локальних граничних теоремах псевдомоменти ще не знайшли широкого використання. Нам відомі роботи Каробліс А., Каробліс А.і Слесорайтене Р., Слюсарчук П.В. і Ігнат Ю.І.- де проводяться оцінки з використанням псевдомоментів.

Мета і задачі дослідження.

Мета даної роботи - розглянути оцінки, які краще враховують близькість розподілів доданків до граничного, по можливості узагальнити вже відомі результати із використанням псевдомоментів. Ці оцінки розглянути, як для однаково розподілених так і для різнорозподілених випадкових величин із використанням різних імовірнісних метрик. Поряд з цим розглянути оцінки швидкості збіжності до нормального закону та одержати оцінки швидкості збіжності до стійких законів розподілу. В одержаних оцінках вказати явний вигляд сталих. Методами дослідження даної роботи є одержання оцінок швидкості збіжності за допомогою характеристичних функцій.

Зв'язок з науковими програмами, планами, темами.

Робота виконана в Ужгородському національному університеті і її тема входить до планових наукових досліджень кафедри математичного аналізу. А також пов'язана з держбюджетними темами, що виконувались на кафедрі математичного аналізу, державна реєстрація №0193V019658.

Наукова новизна одержаних результатів.

Основними результатами, які визначають наукову новизну та виносяться на захист, є такі :

1.Одержано рівномірні і нерівномірні оцінки швидкості збіжності в локальній граничній теоремі для густин, що виражаються через псевдомоменти різного виду.

2.Одержано оцінки швидкості збіжності до нормального закону в деяких імовірнісних метриках:

швидкість збіжності до нормального закону в рівномірній метриці;

швидкість збіжності в рівномірній метриці для характеристичних функцій;

швидкість збіжності в рівномірно квадратичній метриці;

швидкість збіжності до нормального закону для різнорозподілених випадкових величин.

3.Одержано оцінку близькості густин розподілів двох сум ,із яких одержуються оцінки збіжності до стійких законів розподілів.

Практичне значення одержаних результатів.

Результати дисертації мають теоретичний характер і доповнюють відповідні дослідження швидкості збіжності з використанням різного вигляду псевдомоментів Золотарьова В.М., Каробліс А. і Слесорайтене Р., Студнева Ю.П., Ігната Ю.І., Слюсарчука П.В.

Особистий внесок здобувача.

Основні результати роботи опубліковані в [1] - [12]. В роботах [1],[4],[5],[8]-[12] Слюсарчуку П.В. належать постановки задач, деякі ідеї доведення.

Апробація результатів дисертації.

Результати дисертації доповідались і обговорювались на наукових конференціях професорсько-викладацького складу математичного факультету Ужгородського національного університету(Ужгород,1993-1995,1998-2002); Міжнародних наукових конференціях імені академіка М.Кравчука (Київ,1996,1997); на XYI семінарі з проблем стійкості стохастичних моделей (Угорщина,Егер 1994р.); на першій Українсько-Скандінавській конференції (Ужгород,1995р.); першій Українсько-Угорській конференції (Мукачево,1996р.); науковому семінарі математичного факультету Ужгородського національного університету (Ужгород,2003)

ПУБЛІКАЦІЇ. Основні результати опубліковані в 12 роботах. Із них - 7 у наукових журналах, 5 - у матеріалах та тезах конференцій.Серед публікацій - 3 праці у наукових фахових виданнях .

Структура і обсяг роботи. Дисертаційна робота складається з вступу, чотирьох розділів, висновків, та списку використаних джерел. Повний обсяг роботи складає 113 сторінки.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Зміст роботи складається із вступу, чотирьох розділів та списку використаної літератури.

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовані мета та задачі роботи, наведено загальну характеристику роботи та одержані в ній наукові дослідження.

В першому розділі подано огляд літератури, окреслено основні етапи розвитку по використанню псевдомоментів, висвітлено роботи попередників.

В другому розділі розглядаються оцінки швидкості збіжності в локальній граничній теоремі для густин. Що стосується уточнення локальних граничних теорем, то результати формулювались, як в термінах абсолютних моментів: Майстер В., Шахайдарова Н., Чистяков Г.П., а також з використанням псевдомоментів: Каробліс А., Каробліс А. і Слесорайтене Р., Слюсарчук П.В. і Ігнат Ю.І.

Основний зміст другого розділу першого підрозділу складають результати, які наводяться в п'яти теоремах. Окремо виділяється випадок, коли псевдомоменти близькі до нуля , оскільки, саме в цьому їх перевага.

Нехай - послідовність незалежних однаково розподілених випадкових величин з =, функцією розподілу , характеристичною функцією

Позначимо через щільність розподілу випадкової величини , щільність стандартного нормального закону.

Нами отримані оцінки з використанням різного вигляду псевдомоментів, а саме:

r>0 ,

Ми вимагаємо, що xарактеристична функція абсолютно інтегровна: (умова (2.1)) . Наведемо деякі результати із проведених досліджень, виділяючи окремо випадок близькості псевдомоментів до нуля.

Теорема 2.1.

Нехай виконується умова (2.1) і, то при i

, ,

а при ,

де - сталі , що залежать тільки від .

Теорема 2.2.

Нехай виконується умова ( 2.1 ).

Тоді для будь-якого i > 1 , 2 < r 3

при ,а при ,

де - додатні сталі, що залежать тільки від с і r.

В розглянутих теоремах вказано явний вигляд сталих.

Теорема 2.3.

Нехай виконується умова (2.1). Тоді для будь-яких

псевдомомент ймовірнісний метрика збіжність

m=1,...,[r], 2<r і є=

при ,при ,

де при i при < де - сталі, що залежать тільки від

Теорема 2.4.

Нехай виконується умова (2.1),

, .

Якщо , то константи, що залежать тільки від с, .

Теорема 2.5.

Нехай ,

1. - деяке число;

2. виконується умова (2.1);

3. іcнyє - найменша додатня величина, для якої при будь-яких справедлива нерівність;

Тоді при ,

- абсолютні сталі.

В теоремах 2.1, 2.2 розглянуто псевдомоменти , в яких одержано оцінку швидкості збіжності в локальній граничній теоремі для густин. В теоремах 2.3, 2.4 одержано нерівномірні оцінки в локальній граничній теоремі для густин з використанням псевдомоментів , .

В теоремі 2.5 одержано оцінку з використанням псевдомоменту і, поклавши s=0;1;3, одержуємо оцінки, що виражаються через псевдомоменти

Доведення результатів другого розділу першого підрозділу базується на оцінках для характеристичних функцій, що мають самостійний інтерес. В підрозділі 2.3 проводиться доведення результатів другого розділу першого підрозділу.

В третьому розділі розглядаються оцінки швидкості збіжності до нормального закону в деяких ймовірнісних метриках. Крім рівномірної метрики ми використовуємо метрики , які використовує В.М.Золотарьов.

Так в теоремі 3.1 ми розглядаємо оцінку швидкості збіжності до нормального закону в рівномірній метриці з використанням псевдомоменту .

Теорема 3.1.

Нехай ,

Тоді для всіх справедлива нерівність

Одержана оцінка узагальнює оцінку Золотарьова В.М. .

В теоремі 3.1.2 для одержання оцінки збіжності до нормального закону використовуються псевдомоменти за допомогою яких одержано:

Теорема 3.2.

Для всіх - абсолютна стала.

Нехай N - випадкова величина із функцією розподілу .Розглянемо рівномірну метрику для характеристичних функцій :

Теорема 3.3.

Нехай ,

1. - деяке число;

2. виконується умова (2.1);

3. іcнyє - найменша додатня величина, для якої при будь-яких справедлива нерівність;4..

Характеристики вдається використовувати при побудові оцінок швидкості збіжності в граничних наближеннях при досить загальних припущеннях. Одержані результати доповнюють деякі результати Золотарьова В.М.. Поклавши одержимо оцінки, що виражаються через Рівномірно квадратична метрика , для довільних випадкових величин Х і У визначається співвідношенням

Використовуючи зображення в термінах характеристичних функцій, одержуємо оцінку збіжності в рівномірно квадратичній метриці з використанням псевдомоменту .

Нами розглядається пряме узагальнення деяких результатів роботи Золотарьова В.М. на випадок різнорозподілених випадкових величин. . Нехай - послідовність незалежних випадкових величин з , функцією розподілу (ф.р.) , характеристичною функцією (х.ф.) - ф.р. стандартного нормального закону, - ф.р. випадкової величини

Теорема 3.4 Нехай додатня величина, для якої при деякому для всіх t виконується нерівність

m(s)1 .

Тоді існує числова стала А(s ) така , що при

Покладаючи в теоремі одержимо оцінки що виражаються через псевдомоменти .

Паулаускасом В.Й. одержана оцінка, що враховує близькість розподілів і нами аналогічно одержано нерівномірну оцінку в ЦГТ з використанням псевдомоменту

.В четвертому розділі розглядається близькість густин розподілів двох сум. Нехай послідовності незалежних однаково розподілених випадкових величин відповідно з функціями розподілу F(x) i G(x), характеристичними функціями f(t) i g(t). Будемо припускати, що для всіх

t є R, умова (4.1))

Позначимо через і - густини розподілу відповідних випадкових величин

то теорема 4.1. дає оцінки швидкості збіжності до стійких законів розподілу в рівномірній метриці для густин і в метриці .

Теорема 4.1.

Нехай 1) виконується умова (4.1);

2) існують >0 такі, що при всіх;

3) виконується умова (2.1);

Тоді для всіх

- абсолютні сталі, - таке, що при , ,

Так як умова 1) для стійких розподілів виконуються, то із теореми можна одержати оцінки швидкості збіжності до стійких законів розподілу.

ВИСНОВКИ

В роботі одержано оцінки, які краще враховують близькість розподілів доданків до граничного, так як виражаються через різного виду псевдомоментів. Ці оцінки одержано, як для однаково розподілених так і для різнорозподілених випадкових величин. Одержані рівномірні і нерівномірні оцінки швидкості в локальній граничній теоремі для густин, що доповнюють результати робіт [14],[15],[40],[41]. Поряд з цим одержано оцінки швидкості збіжності до нормального закону в деяких ймовірнісних метриках:

в рівномірній метриці;

в рівномірній метриці для характеристичних функцій;

в рівномірно квадратичній метриці.

Оцінка швидкості збіжності в рівномірні метриці узагальнює одну оцінку Золотарьова В.М.

Нами одержане пряме узагальнення деяких результатів роботи Золотарьова В.М. на випадок рівнорозподілених випадкових величин. Одержано оцінки близькості щільності розподілів двох сум із яких одержуються оцінки швидкості збіжності до стійких законів розподілів. Поряд з цим в роботі одержані оцінки для характеристичних функцій, які мають самостійний інтерес. В одержаних оцінках окремо виділяється випадок, коли псевдомоменти близькі до нуля, оскільки саме в цьому їх перевага. В деяких із одержаних оцінок вказано явний вигляд сталих.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ОПУБЛІКОВАНО В ТАКИХ ПРАЦЯХ

1. Слюсарчук П.В., Поляк И.И. О близости плотностей распределения двух сумм // Теория вероятностей и ее применения.- 1992. - Т.37, вып. 4. - C.803 - 804.

2. Поляк І.Й. Близькість густин розподілів двох сум // Науковий вісник Київського університету ім. Тараса Шевченка.Серія: Фізико-математичні науки. - 2002. Вип.4. - С.27 - 30.

3. Поляк І.Й. Одна оцінка швидкості збіжності до нормального закону // Теорія ймовірностей та математична статистика. - 2003 . - Вип.68.- С.134 -137.

4. Слюсарчук П.В., Поляк І.Й. Нерівномірна оцінка в локальній граничній теоремі для щільності // Науковий вісник Ужгородського університету. Серія математика. - 1994 . - Вип. 1.- С.106 - 112.

5. Слюсарчук П.В., Поляк І.Й. Деякі оцінки швидкості збіжності в центральній граничній теоремі // Науковий вісник Ужгородського університету. Серія математика.- 1997.- Вип . 2.- С.104 - 107.

6. Поляк І.Й. Одна нерівномірна оцінка в центральній граничній теоремі // Науковий вісник Ужгородського університету. Серія математика.- 1998.- Вип.3.- С.169-170.

7. Поляк І.Й. Про збіжність до нормального закону в рівномірній метриці для характеристичних функцій //П'ята Міжнародна Наукова конференція ім. Акад. М.Кравчука .Тези доповідей. Київ, 1996.- С.347.

8. Поляк І.Й. , Слюсарчук П.В. Швидкість збіжності до нормального закону в термінах одного вигляду псевдомоментів // Тези доповідей підсумкової наукової конференції проф. - викл. складу мат. факультету УжДУ. Ужгород , 1994.- С. 22.

9. Поляк І.Й. , Слюсарчук П.В. Про швидкість збіжності до нормального закону //Шоста Міжнародна Наукова конференція ім. Акад. М.Кравчука .Тези доповідей. Київ, 1997.- С.318.

10. Слюсарчук П.В., Поляк І.Й. Швидкість збіжності до нормального закону в рівномірно квадратичній метриці // Тези доповідей підсумкової наукової конференції проф.- викл.складу математичного факультету Ужгородського державного університету .Ужгород,1993.- С.10.

11. Слюсарчук П.В., Поляк І.Й. Про оцінку залишкового члена в ценральній граничній теоремі // Підсумкова наукова конференція проф.- викл. складу матем. ф-ту УжДУ .Тези доповідей. Ужгород ,1995.- С.13.

12. Слюсарчук П.В., Поляк І.Й. Узагальнення одного результату В.М.Золотарьова // Науковий вісник Ужгородського університету.Серія математика .- 1998.- Вип.3. - С.184 - 189.

Размещено на Allbest.ru

...