Асимптотичні методи статистики лічильних процесів

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут прикладної математики і механіки

УДК 519.21

Асимптотичні методи статистики лічильних процесів

01.01.05 - теорія ймовірностей та математична статистика

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Ніколаєва Оксана Анатоліївна

Донецьк 2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті прикладної математики та механіки НАН України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Ліньков Юрій Миколайович.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Моклячук Михайло Павлович, кафедра теорії ймовірностей та математичної статистики, Київський національний університет імені Тараса Шевченка;

кандидат фізико-математичних наук, Жирний Георгій Георгійович, доцент кафедри теорії ймовірностей та математичної статистики, Донецький національний університет.

Провідна установа: Інститут математики НАН України, м. Київ, відділ теорії випадкових процесів.

Захист відбудеться 25.12. 2003 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 11.193.02 при Інституті прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р.Люксембург, 74.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р. Люксембург, 74.

Автореферат розісланий 19.11.2003 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Чані О.С.

семімартингальний правдоподібність асимптотичний

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Вивчення асимптотичних властивостей відношення правдоподібності (або, іншими словами, процесу локальної щільності мір) є дуже важливим при розв'язанні задач математичної статистики для різних схем спостережень. Створення асимптотичних методів математичної статистики, які використовують асимптотичні властивості відношення правдоподібності, почалось у роботах А. Вальда та Л. Ле Кама. Перші роботи у цьому напрямку були присвячені спостереженням послідовностей незалежних випадкових величин, причому використовувалась центральна гранична теорема для логарифму відношення правдоподібності. Це привело до появи поняття локальної асимптотичної нормальності (ЛАН) сімей імовірнісних мір, які породжуються величинами, що спостерігаються (Л. Ле Кам). Потім стали розглядатися послідовності випадкових величини з довільною залежністю, для яких була побудована досить загальна асимптотична теорія оцінювання параметрів та перевірки гіпотез. Ця теорія використовувала асимптотичні властивості відношення правдоподібності. У цьому напрямку треба відмітити роботи Д.М. Чібісова, Я. Гаєка, Дж. Русаса, І.А. Ібрагімова та Р.З. Хасьмінского, К.О. Джапарідзе.

Поширення результатів з послідовностей випадкових величин на випадкові процеси з неперервним часом пов'язано з розвитком теорії випадкових процесів. Здобуті за останній час формули для локальної щільності мір та граничні теореми для випадкових процесів дали змогу розглядати різні класи спостережень. На цьому етапі основні результати отримані у роботах І.А. Ібрагімова та Р.З. Хасьмінского, К.О. Джапарідзе, Б.Л. Прокаcи Рао, Е. Огати, Ю.А. Кутоянца, А.Ф. Тараскина, Ю.М. Лінькова та ін.

Потім Д.М. Чібісовим, І.А. Ібрагімовим та Р.З. Хасьмінским було помічено, що асимптотичний метод має загальний характер. Його можна застосовувати до любої схеми спостережень. Спочатку треба вивчати властивості статистичних процедур для схем спостережень довільної природи, накладаючи обмеження на відношення правдоподібності, а потім ці результати застосовувати до конкретних схем спостережень. Суттєві результати тут отримали І.А. Ібрагімов та Р.З. Хасьмінский, Б.Л. Прокаcа Рао, Ю.М. Ліньков. Близькими до даної тематики є роботи К.О. Джапаридзе, Е. Валкейли, П. Спрея. Але у цих роботах вивчаються властивості процесів та інтегралів Гелінгеру, які відіграють суттєву роль при доведенні граничних теорем для відношення правдоподібності.

Дана дисертація присвячена поширенню методів А. Вальда, Л. Ле Кама та їх послідовників на спостереження лічильних процесів. Ці питання вперше були розглянуті у роботах Ю.А. Кутоянца, Е. Огати, Ю.М. Лінькова для процесів з неперервними компенсаторами. Потім у роботах Ю.М. Лінькова та Муніра аль Шахфа було вивчено асимптотичні властивості відношення правдоподібності для лічильних процесів з розривними компенсаторами. Але результати було здобуто при жорстких умовах, коли мартингальна складова у семімартингальному розкладенні логарифму відношення правдоподібності була процесом з локально інтегрованою варіацією.

Таким чином, задача послаблення умов, за якими існують семімартингальні розкладення логарифму локальної щільності мір, доведення граничних теорем для логарифму відношення правдоподібності та застосування цих результатів до вивчення властивостей статистичних критеріїв і оцінок параметрів є безсумнівно актуальною.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Вивчення розглянутих у дисертації питань відповідає основному науковому напрямку роботи відділу теорії ймовірностей та математичної статистики. Дослідження проводились у рамках бюджетної тематики 1.1.4.5. Граничні теореми для випадкових процесів та їх застосування у задачах статистики процесів та стохастичних диференціальних рівнянь, номер держреєстрації 0199U001611 . Крім того, дослідження було підтримано грантом INTAS-99-00016.

Мета і задачі дослідження. Одержання семімартингальних розкладень для логарифму локальної щільності мір, використання яких дозволяє довести граничні теореми для логарифму відношення правдоподібності. Застосування здобутих теорем у дослідженні асимптотичних властивостей критерію Неймана-Пірсона, а також вивчення асимптотичних властивостей оцінок максимальної правдоподібності та байєсовських оцінок невідомих параметрів.

Наукова новизна отриманих результатів. У роботі здобуто достатні умови, при яких логарифм процесу локальної щільності мір є семімартингал, спеціальний семімартингал та виписано відповідні розкладення. Здобуто канонічне представлення логарифму відношення правдоподібності як семімартингалу та знайдено відповідний триплет передбачуваних характеристик.

Для логарифму відношення правдоподібності у непараметричній постановці доведено закон великих чисел, теореми про слабку збіжність. У параметричній постановці для випадку близьких гіпотез здобуто асимптотичне розкладення логарифму відношення правдоподібності та встановлено властивості нормованого відношення правдоподібності. Окрім того, доведено теореми про великі відхилення для лічильних процесів з детермінованими компенсаторами, які змінюються періодично.

Здобуті результати застосовано до вивчення асимптотичних властивостей логарифму локальної щільності мір у випадку процесів відновлення. Також використовуючи здобуті результати, вивчено асимптотичні властивості критерію Неймана-Пірсона, оцінок максимальної правдоподібності та байєсовських оцінок.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації мають теоретичне значення. Їх можна застосовувати при обробці експериментальних даних у медицині, біології, фізиці, у теорії надійності та масового обслуговування, тому що лічильні процеси являють собою математичну модель багатьох явищ у цих галузях. Приклади застосування лічильних процесів можна знайти у роботах Д. Льюіса, Р.М. Мещерського, Д.Л. Снайдера.

Особистий внесок здобувача. Визначення загального плану діяльності і постановка задачі належить науковому керівнику Ю.М. Лінькову. Доведення всіх результатів дисертації проведено автором.

Апробація результатів дисертації. Результаті дисертації доповідались на Всеукраїнській конференції молодих науковців України (Київ, 16-18 травня 1995р.), на конференції "Функціональні методи у теорії наближень, теорії операторів, стохастичному аналізі та статистиці" (Київ, 19-22 жовтня 2001р.), на міжнародній конференції, присвяченій 90-річчю Б.В. Гнеденко (Київ, 3-7 червня 2002р.), на семінарах відділу теорії ймовірностей та математичної статистики ІПММ НАНУ, відділу теорії випадкових процесів Інституту математики НАНУ, відділу теорії ймовірностей та математичної статистики Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Публікації. Основні результаті дисертації опубліковано у роботах [1] - [7] та тезах [8] - [13].

Структура та об'єм дисертації. Дисертація складається із вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел і містить 132 сторінку друкованого тексту. Список використаних джерел містить 63 найменування.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі обґрунтовано актуальність теми, сформульовано мету дослідження, проведено стислий переказ отриманих результатів.

Перший розділ присвячено основним результатам для випадкових процесів, які використовуються нижче.

У підрозділі 1.1 приведено необхідні результаті з загальної теорії випадкових процесів. Введено класи випадкових процесів, дано означення та позначення для випадкових мір, стохастичних інтегралів по локальним мартингалам, семімартингалам, випадковим та мартингальним мірам.

У підрозділах 1.2 та 1.3 приведено факти, що стосуються лічильних процесів.

Нехай - простір траєкторій лічильного процесу , тобто простір таких кусково-постійних функцій, які не спадають, неперервні справа, мають границю зліва та або для будь-якого , - найменша -алгебра, що породжується циліндричними множинами, - фільтрація на , та - дві імовірнісні міри на , а .

Нехай - -повний стохастичний базис, де - -поповнення , та - компенсатори лічильного процесу відносно та, відповідно. Крім того, будемо розглядати базиси та , які взагалі не задовільняють звичайним умовам по Делашері. У підрозділі 1.2 введено інтеграл Гелінгера порядку для мір та та процес Гелінгера порядку для мір та . У лемі 1.2.6 приведено достатні умови локальної абсолютної неперервності міри відносно міри та дано вид процесу локальної щільності , де , а та - звуження мір та на -алгебру .

Лема 1.2.6. Нехай - лічильний процес, - -компенсатор, а - -компенсатор процесу . Нехай виконуються наступні умови:

I. існує невід'ємний передбачуваний процес такий, що (-м.з.) ;

II. якщо для деякого , то (-м.з.);

III. (-м.з.) для будь-якого .

Тоді та процес локальної щільності міри відносно міри має вигляд:

,

де - локальний - мартингал виду

.

Крім того, у підрозділі 1.2 надано вид процесу Хелінгера при умові локальної абсолютної неперервності (лема 1.2.7). На закінчення підрозділу 1.2 розглянуто параметричній випадок, коли на задано параметричне сімейство імовірнісних мір , де - деяка множина з . У підрозділі 1.3 здобуто умови, при яких процес є семімартингал та здобуто відповідне розкладення (теорема 1.3.1). Також надано канонічне представлення семімартингалу та знайдено відповідний триплет передбачуваних характеристик (теорема 1.3.2). Далі використовуються такі означення із загальної теорії випадкових процесів: - клас чисто розривних локальних мартингалів відносно фільтрації та міри ; - клас -погоджених процесів обмеженої варіації; - клас -погоджених зростаючих процесів; - клас спеціальних семімартингалів відносно фільтрації та міри . Теорема 1.3.3 дає умови, при яких процес є спеціальний семімартингал.

Теорема 1.3.3. Нехай виконуються умови леми 1.2.6 та дві наступні умови:

IV'. ;

V'. .

Тоді процес є спеціальний семімартингал із класу та має місце наступне розкладення, єдине з точністю до -нерозрізненості

Де

а міри та на мають вигляд:



,

де , - борелівська -алгебра множин з , - індикатор множини .

У розділі 2, використовуючи семімартингальні розкладення, досліджуються асимптотичні властивості логарифму відношення правдоподібності як у параметричному, так і в непараметричному випадках. У підрозділі 2.1 розглядається непараметричний випадок та доведено граничні теореми для при . У теоремі 2.1.1 надано достатні умови справедливості закону великих чисел для при .

Теорема 2.1.1. Нехай виконуються умови теореми 1.3.3. Крім того, фіксовано, - додатна неспадаюча детермінована функція така, що при , та виконуються наступні дві умови:

,

де - детермінована невід'ємна функція така, що ;

де міра для будь-якого та ( - борелівська -алгебра множин на ) має вигляд

.

Тоді має місце наступне співвідношення:

.

Крім того, приведено достатні умови слабкої збіжності при , де - квазінеперервний зліва процес з незалежними приростами на деякому стохастичному базисі .

У підрозділі 2.2 розглянуто параметричний випадок та досліджено асимптотичні властивості процесу локальної щільності міри відносно міри . У теоремі 2.2.1 здобуто асимптотичне розкладення для , де залежить від та при , наступного вигляду

,

де - додатно означена симетрична матриця така, що при , - векторний -вимірний випадковий процес виду



- векторний -вимірний випадковий процес, а - матрично значний порядку випадковий процес такі, що

.

Тут - закон розподілу відносно міри , - нормальний закон розподілу з вектором середніх та кореляційною матрицею , - одинична матриця, штрих означає транспонування матриць, а означає слабку збіжність імовірнісних законів. У випадку з асимптотичного розкладення теореми 2.2.1 випливає локальна асимптотична нормальність сімейства імовірнісних мір при у точці . У теоремі 2.2.2 доведено рівномірно по локальну асимптотичну нормальність для любого компакта . Теореми 2.2.3 та 2.2.4 дають для нормованого відношення правдоподібності наступні властивості:

рівномірно по при всіх

,

де та ;

для будь-якого компакта та будь-якого рівномірно по ,

,

де .

У підрозділі 2.3 розглянуто процес відновлення. Нехай - моменти стрибків лічильного процесу , де - додатні незалежні випадкові величини з функціями розподілу та . Такий лічильний процес називають процесом відновлення. У випадку різно розподілених випадкових величин у термінах їх функцій розподілу здобуто умови, при яких мають місце семімартингальні розкладення та канонічне представлення логарифму відношення правдоподібності (теореми 2.3.1-2.3.3). Теорема 2.3.4 дає закон великих чисел для логарифму відношення правдоподібності у випадку процесу відновлення для різно розподілених величин . У випадку однаково розподілених випадкових величин здобуто теореми про слабку збіжність логарифму відношення правдоподібності. У підрозділі 2.4 розглянуто теореми про великі відхилення для процесів з детермінованими компенсаторами, які періодично змінюються.

Розділ 3 присвячено застосуванню властивостей відношення правдоподібності до задач статистики. У підрозділі 3.1 розглянуто задачу перевірки двох простих гіпотез та по спостереженню лічильного процесу . Припускається, що при всіх , де та - розподіли спостереження при гіпотезах та відповідно, та , причому (м.з.). Для розрізнення гіпотез та розглянуто критерій Неймана-Пірсона рівня :



,

де - логарифм відношення правдоподібності, а та - параметри критерію, які знаходяться з умови . Тут - ймовірність помилки першого роду критерію . Через позначимо ймовірність помилки другого роду критерію . Теорема 3.1.1 дає за умов теореми 2.1.1 наступну імплікацію:

Де

Далі введено умову: при , де - додатна детермінована функція, - детермінована функція, а - імовірнісний закон розподілу з функцією розподілу , яка строго зростає на , де ( тут , - закон розподілу відносно міри , символ означає слабку збіжність законів).

Теорема 3.1.2 у випадку для всіх , при дає умови справедливості та наступну імплікацію для всіх :

,



де - -квантіль закону . Теорема 3.1.3 у випадку та при , дає умови справедливості та наступну імплікацію для всіх :

,

де - -квантіль закону .

Імплікації з теорем 3.1.1 - 3.1.3 дають змогу дослідити швидкість спадання помилки другого роду.

Далі припустимо, що компенсатори лічильного процесу детерміновані. Введемо наступну умову:

(H) для всіх існує границя

де при , а - власна випукла диференційована на функція з .

Теорема 3.1.5 за умов леми 1.2.6 та умови (H) дає наступну імплікацію:

де , та - єдиний розв'язок рівняння відносно .

У підрозділі 3.2 за допомогою теорем з підрозділу 2.2 для байєсовської оцінки доведено наступні твердження (теорема 3.2.1) для будь-якого компакту :

1) при

2)

рівномірно по всім ;

3) для будь-якої функції , що має поліноміальну мажоранту,

4) рівномірно по всім , де - -вимірний вектор з розподілом ;

5) сімейство оцінок асимптотично ефективно у по відношенню до сімейства функцій втрат , де , а - будь-яка точка з .

Подібні твердження доведено для оцінки максимальної правдоподібності (теорема 3.2.2).

ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена вивченню асимптотичних властивостей відношення правдоподібності у випадку лічильних процесів. У роботі отримано наступні результати:

1. Здобуто семімартингальні розкладення логарифму локальної щільності мір, канонічне представлення логарифму локальної щільності мір та відповідний триплет передбачуваних характеристик.

2. Доведено граничні теореми для логарифму відношення правдоподібності у непараметричній постановці.

3. Здобуто асимптотичне розкладення логарифму відношення правдоподібності у параметричному випадку та встановлено властивості нормованого відношення правдоподібності.

4. Для процесів з детермінованими періодичними компенсаторами здобуто теореми про великі відхилення.

5. Для процесу відновлення здобуто умови, при яких існують семімартингальні розкладення логарифму локальної щільності мір, доведено закон великих чисел та теореми про слабку збіжність для логарифму відношення правдоподібності.

6. Встановлено асимптотичні властивості критерію Неймана-Пірсона, оцінок максимальної правдоподібності та байєсовских оцінок.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗДОБУВАЧА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Василенко О.А. Большие уклонения в задаче различения считающих процессов. - Сучасні фізико-математичні дослідження молодих науковців України, Зб. наук. праць, Київ. ун-т, Київ, 1995, с. 13-19

2. Lin'kov Yu.N. and Vasilenko O.A. Large deviations in testing problems for some semimartingales. - Theory of Stochastic Processes, Vol. 3(19), no. 3-4, 1997, pp. 287-295.

3. Василенко О.А., Линьков Ю.Н. Большие уклонения в задаче различения считающих процессов с детерминированными компенсаторами. - Доповіді Національної академії наук України, № 9, 1998, с. 13-17.

4. Николаева О.А. Семимартингальные разложения логарифма отношения правдоподобия для считающих процессов. - Труды ИПММ НАНУ, т. 4, 1999, с.120-126.

5. Nikolaeva O.A. Limit theorems in hypotheses testing problems for counting processes. - Theory of Stochastic Processes, Vol. 5(21), no. 3-4, 1999, pp.171-180.

6. Линьков Ю.Н., Николаева О.А. Свойства отношения правдоподобия для считающих процессов в задаче оценивания неизвестных параметров. - УМЖ, т. 52, № 9, 2000, с. 1257-1268

7. Yu.N. Lin'kov and O.A. Nikolaeva. Semimartingale decompositions and large number law for logarithm of local density processes of renewal processes. Appl. Statistics. Actuarial and Financial Mathematics, 2001, no. 1, p. 74-87.

8. Василенко О.А. Большие уклонения в задаче различения считающих процессов. - Донецкий коллоквиум “Вероятность и статистика”, посвященный 80-летию И.И. Гихмана (Донецк, 24-27 мая 1998 г.). Тезисы докладов. - Донецк, 1998. - С. 6-8.

9. Nikolaeva O.A. Limit theorems in statistics of counting processes. - The Third Ukrainian-Scandinavian Conference in Probab. Theory and Math. Statist. (8-12 June, 1999, Kyiv, Ukraine). - Abstracts. - 1999. - P. 108.

10. Линьков Ю. Н., Николаева О. А. Семимартингальные разложения логарифма отношения правдоподобия для считающих процессов. - Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2000, т. 7, № 2, с. 509.

11. Lin'kov Yu. N., Nikolaeva O. A. Semimartingale decompositions of logarithm of likelihood ratio for counting processes. - The International Conference on Stochastic Analysis and its Applications (10-17 June 2001, L'viv, Ukraine ). Abstracts. - L'viv, 2001, p.48.

12. Nikolaeva O. A. Semimartingale decompositions of logarithm of likelihood ratio for counting processes. - Intern. Conf. on Functional Methods in Approx. Theory, Operator Theory, Stoch. Analysis and Statistics (Kyiv, October 19-22, 2001). Abstracts. - Kiev, 2001, p. 57.

13. Nikolaeva O.A. Asymptotical problems of statistics for renewal processes. - A conference dedicated to the 90^th anniversary of B.V.Gnedenko (Kyiv, June 3-7, 2002), Abstracts. - Kyiv, 2002, p.97.

АНОТАЦІЇ

Ніколаєва О.А. Асимптотичні методи статистики лічильних процесів. - Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05 - теорія ймовірностей та математична статистика. Інститут прикладної математики та механіки НАН України. Донецьк, 2003.

Дисертаційна робота присвячена асимптотичним властивостям відношення правдоподібності у випадку лічильних процесів. У роботі здобуто семімартингальні розкладення логарифму локальної щільності мір, канонічне представлення логарифму локальної щільності мір та відповідний триплет передбачуваних характеристик. Доведено граничні теореми для логарифму відношення правдоподібності у непараметричній постановці. Здобуто асимптотичне розкладення логарифму відношення правдоподібності у параметричному випадку та встановлено деякі властивості нормованого відношення правдоподібності. У випадку процесу відновлення здобуто умови, при яких мають місце семімартингальні представлення логарифму відношення правдоподібності, доведено закон великих чисел та теореми про слабку збіжність для логарифму локальної щільності мір. Для процесів з детермінованими компенсаторами здобуто теореми про великі відхилення для логарифму відношення правдоподібності, причому компенсатори процесу періодично змінюються. Встановлено асимптотичні властивості критерію Неймана-Пірсона, оцінок максимальної правдоподібності та байєсовских оцінок.

Ключові слова: лічильний процес, відношення правдоподібності, семімартингальні розкладення, канонічне представлення, критерій Неймана-Пірсона, оцінки максимальної правдоподібності, байєсовські оцінки.



Nikolaeva O.A. Asymptotic methods of statistics for counting processes. - Manuscript. Thesis for Candidate degree by speciality 01.01.05 - probability theory and mathematical statistics. Institute of Applied Mathematics and Mechanics of NAS Ukraine. Donetsk, 2003.

The properties of likelihood ratio is considered for the counting processes. Semimartigale decomposition of the logarithm of local density process, canonical representation of logarithm of the local density process and corresponding triplet are obtained. In nonparametric case limit theorems for the logarithm of likelihood ratio are proved. In parametric case asymptotic decomposition of logarithm of likelihood ratio is obtained. Some properties of normalized likelihood ratio are given. The large deviations theorems are proved for processes with deterministic periodical compensators. Asymptotical properties of Neyman-Pearson tests, maximum likelihood estimators and Bayesian estimators are investigated.

Key words: counting process, likelihood ratio, semimartingale decomposition, canonical representation, Neyman-Pearson test, maximum likelihood estimator, Bayesian estimator.

Николаева О.А. Асимптотические методы статистики считающих процессов. - Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика. Институт прикладной математики и механики НАН Украины. Донецк, 2003.

Диссертация посвящена асимптотическим свойствам отношения правдоподобия для считающих процессов. В работе получены семимартингальные представления логарифма локальной плотности. Доказаны предельные теоремы для логарифма отношения правдоподобия в непараметрической постановке. Получено асимптотическое разложение логарифма отношения правдоподобия в параметрическом случае и установлены свойства нормированного отношения правдоподобия. Для процессов с детерминированными периодически меняющимися компенсаторами доказаны теоремы о больших уклонениях. Установлены асимптотические свойства критерия Неймана-Пирсона, оценок максимального правдоподобия и байесовских оценок.

Работа состоит из введения, трех разделов, выводов и списка использованных источников. Во введении освящается актуальность тематики, приводится цель работы, дается краткий обзор полученных результатов.

Можно выделить следующие важные положения диссертации.

В подразделе 1.3, используя вид локальной плотности мер, получено разложение логарифма отношения правдоподобия как семимартингала. Кроме того, найдено каноническое представление логарифма отношения правдоподобия и выписан соответствующий триплет предсказуемых характеристик. Также получено единственное разложение логарифма отношения правдоподобия как специального семимартингала.

Второй раздел посвящен предельным теоремам для логарифма отношения правдоподобия. Доказаны закон больших чисел и теорема о слабой сходимости для логарифма отношения правдоподобия в непараметрической постановке. Далее рассматривается параметрический случай, когда на измеримом пространстве задано семейство вероятностных мер, зависящих от некоторого параметра, который является неизвестным параметром распределения считающего процесса. Получено асимптотическое разложение логарифма отношения правдоподобия, доказана локальная асимптотическая нормальность семейства вероятностных мер. Кроме того, получены свойства нормированного отношения правдоподобия. Затем рассматриваются процессы восстановления. Получены условия, при которых имеют место семимартингальные разложения логарифма отношения правдоподобия, доказан закон больших чисел и теоремы о слабой сходимости для логарифма отношения правдоподобия в случае процессов восстановления. Далее рассматриваются процессы с детерминированными компенсаторами. Для них найден вид интеграла Хеллингера, и получены теоремы о больших уклонениях в случаях, когда компенсаторы процесса непрерывны и периодически, а также, когда компенсаторы процесса чисто разрывные и скачки периодически меняются.

Третий раздел посвящен применению асимптотических свойств отношения правдоподобия в задачах статистики считающих процессов. Рассматривается задача проверки двух простых гипотез по наблюдению считающего процесса. На основании полученных предельных теорем исследуется зависимость между поведением уровня критерия Неймана-Пирсона и поведением вероятности ошибки второго рода. Затем рассматривается задача оценки параметров. Используя свойства процесса локальной плотности мер в параметрическом случае, исследуются асимптотические свойства байесовских и минимаксных оценок неизвестных параметров.

Ключевые слова: считающий процесс, отношение правдоподобия, семимартингальные представления, критерий Неймана-Пирсона, оценка максимального правдоподобия, байесовская оценка.

Размещено на Allbest.ru

...