Вiдображення нелiнiйних керованих систем на лiнiйнi

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вiдображення нелiнiйних керованих систем на лiнiйнi

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Одним з нових напрямків теорії диференціальних рівнянь, що інтенсивно розвивається, є дослідження якісних властивостей керованих систем: їх керованості, стабілізовності, спостережуваності, опис множин досяжності та ін. Ці дослідження лежать в основі сучасних побудувань в області оптимального керування і теорії синтезу позиційних керувань. Зазначимо, що історично вказані питання вивчалися, перш за все, для лінійних керованих систем, теорія яких на теперішній час носить цілком завершений характер.

Теорія нелінійних керованих систем, навпаки, є далекою від завершення. Незважаючи на те, що відносно нелінійних систем отримано велику кількість результатів, залишаються нерозв'язаними багато важливих задач. Нині в нелінійній теорії керованих систем застосовуються різні методи, в тому числі ті, що активно залучають і розвивають нові ідеї і підходи із багатьох розділів математики - звичайних диференціальних рівнянь і рівнянь в частинних похідних, варіаційного числення, функціонального аналізу, диференціальної геометрії, алгебри та інші. Як конкретні методи дослідження задач нелінійної теорії керування, які в тій чи іншій мірі пов'язані з дисертацією, назвемо такі: дослідження нелінійних керованих систем за їх лінійним наближенням, вилучення і подальше вивчення систем із спеціальними нелінійностями, відображення нелінійних систем на лінійні, залучення теорії груп Лі і диференціальної геометрії, використання алгебраїчних методів та спеціальних рядів та інші.

Зокрема, важливим інструментом вивчення властивостей нелінійних керованих систем є відображення їх на системи більш простого вигляду, властивості яких можуть бути вивчені відомими засобами. Наприклад, якщо нелінійна система є відображуваною на лінійну систему, то, по-перше, це дозволяє встановити низку якісних властивостей вихідної нелінійної системи (керованість, стабілізовність та ін.), та, по-друге, отримати конкретні розв'язки різних задач, наприклад, задачі синтезу або оптимальної швидкодії.

Важливий клас нелінійних систем, що припускають відображення на лінійні системи, - це трикутні системи, які описують низку фізичних процесів (орієнтація супутника на орбіті, керування роботом-маніпулятором та інші). Клас трикутних систем був введений і вперше розглянутий В.І. Коробовим в 1973 році1 у зв'язку з дослідженням керованості і стабілізовності нелінійних систем. В цій роботі запропоновано конструктивний метод відображення трикутної системи на лінійну за допомогою заміни змінних і заміни керування, що згодом стало предметом численних узагальнень. Так, О.М. Ковальовим цей результат був розповсюджений на трикутні нестаціонарні системи, В.М. Кунцевичем і М.М. Личаком отримано подібний результат для різницевих систем, подальші дослідження здійснені S. Celikovsky'м і H. Nijmeijer'ом, В.І. Коробовим і С.С. Павличковим та іншими. Зауважимо, що важливою особливістю початкового підходу до дослідження трикутних систем є мінімальні вимоги до гладкості правих частин відображуваних систем, що, проте, не отримало достатньо повного розвитку. Більш того, у існуючій в теперішній час теорії нелінійних систем загального вигляду задача відображуваності, як і багато інших питань, традиційно вивчається в нескінченно-диференційовному випадку. Це пов'язано з тим, що вимога нескінченної диференційовності є загальноприйнятою в диференціальній геометрії, методи якої активно застосовуються в нелінійній теорії керування. Проте зауважимо, що нескінченна диференційовність, взагалі кажучі, може не відповідати природі фізичної моделі, поведінку якої описує керована система.

Отже, актуальною є задача подальшого розвитку теорії трикутних систем, а також застосування ідей і техніки трикутних систем до дослідження відображуваності нелінійних систем загального вигляду при мінімальних вимогах до гладкості їх правих частин. На цьому шляху найбільш природною постановкою є відображуваність на лінійні системи за допомогою так званої адитивної заміни керування; зокрема, це дозволяє зберегти обмеження на керування, що, як правило, є важливим при розв'язанні задач оптимального керування.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження проводилося у математичному відділі Фізико-технічного інституту низьких температур НАН України в межах тематичного плану ФТІНТ за відомчою тематикою ``Крайові задачі гідродинаміки в областях з дрібнозернистою і вільною границею'' (шифр теми 1.4.10.23.2).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є повний опис множини нелінійних керованих систем класу з одновимірним керуванням, які можливо відобразити на лінійні системи за допомогою двічі неперервно-диференційовної заміни змінних та адитивної заміни керування класу , конструктивне знаходження цієї заміни, а також розв'язання на цій основі деяких задач теорії керування для нелінійних систем, що відображуються на лінійні.

Об'єкт дослідження. Нелінійні керовані системи звичайних диференціальних рівнянь, задачі швидкодії та позиційного синтезу для таких систем.

Предмет дослідження. Необхідні і достатні умови відображуваності нелінійних керованих систем на лінійні системи за допомогою заміни змінних та адитивної заміни керування. Умови відображуваності нелінійних керованих систем на лінійні без заміни керування.

Методи дослідження. В дослідженнях дисертаційної роботи використовуються методи теорії диференціальних рівнянь, класичного нелінійного анализу, лінійної алгебри і теорії оптимального керування.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в тому, що в роботі дістала суттєвого розвитку теорія трикутних систем, а також вперше одержано розв'язок задачі відображуваності нелінійних систем класу на лінійні. А саме, в роботі вперше:

1. Для трикутних систем за певними вимогами до їх гладкості отримано

- необхідні і достатні умови локальної в області відображуваності на лінійні системи за допомогою заміни змінних класу та адитивної заміни керування класу ,

- необхідні і достатні умови відображуваності на лінійні системи без заміни керування,

- достатні умови глобальної відображуваності.

Вказано явний вигляд відображення.

2. Для нелінійних систем загального вигляду класу отримано

- необхідні і достатні умови локальної в області відображуваності на лінійні системи за допомогою заміни змінних класу та адитивної заміни керування класу ,

- необхідні і достатні умови відображуваності на задану лінійну систему без заміни керування.

На основі цих результатів:

3. Для спеціального класу трикутних систем (так званих адитивних за останнім аргументом) отримано явний вигляд керування, яке розв'язує задачу керованості.

4. Для нелінійних систем, що відображуються на лінійні за допомогою адитивної заміни керування, показано існування граничного керування та наведено алгоритм для його знаходження.

5. Для нелінійних систем, що відображуються на лінійні без заміни керування, а також для нестаціонарних систем за першим наближенням розв'язано задачу синтезу позиційного обмеженого керування.

6. Для нелінійних систем, що відображуються на лінійні без заміни керування, розв'язано задачу швидкодії.

Практичне значення одержаних результатів. Робота носить в цілому теоретичний характер. В дисертації отримала подальший розвиток теорія нелінійних керованих систем. Зокрема, дано повний опис множини усіх нелінійних систем класу , що відображуються на лінійні. Це дозволяє розглядати низку конкретних, в тому числі практичних, задач теорії керування для систем вказаного класу, використовуючи розв'язки цих задач для лінійних систем. Крім того, в дисертації отримано нові результати щодо трикутних систем, що може бути використано в прикладних дослідженнях, які пов'язані із трикутними системами (орієнтація супутника, керування роботом тощо).

Особистий внесок здобувача. Всі результати, що винесено на захист, отримані автором особисто. В роботі [1] автору дисертації належать теореми 1, 2 і доведення теореми 3, в роботі [2] автору належать теореми 1 та 2, в роботі [7] - теореми 1 та 2.

Апробація результатів диссертації. Результати дисертации доповідалися та обговорювалися на Кримській Міжнародній математичній школі «Метод функций Ляпунова и его приложения», що присвячена 60-річчю директора Інституту Математики НАН України А.М. Самойленка (Алушта, 1998); на Міжнародному науковому семінарі в Інституті Математики Щецинського університету (Szczecin, Poland, 1999, 2001); на Міжнародній науковій конференції «Проблемы оптимального управления в динамике космических полетов» (Greifswald, Germany, 1999); на Міжнародній науковій конференції «Дифференциальные и интегральные уравнения» (Одеса, 2000), на Міжнародному науковому семінарі «Анализ, управление и стабилизация динамических систем» (Warszawa, Poland, 2001); на науковому семінарі по теорії керування механіко-математичного факультету Харківського національного університету.

Публикації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковано в 8 роботах, з яких 7 статей у виданнях з переліку, затвердженого ВАК України.

Структура і обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, шести розділів, висновків та списку використаних джерел. Повний обсяг дисертації складає 141 сторінку, список літератури складається із 108 найменувань. Результати, що винесено на захист, формулюються і доводяться в розділах 2 -6.

Oсновний зміст роботи

лінійний адитивний заміна керування

У вступі розкрито сутність і стан наукової проблеми, що розглядається в дисертації, її актуальність, наведена мета роботи та наукова новизна отриманих результатів.

У розділі 1 наведено огляд літератури за темою дисертації, обґрунтовується вибір напрямків досліджень та наводяться основні результати дисертації.

У розділі 2 розглянуто задачу про глобальну відображуваність систем диференціальних рівнянь на лінійні системи. В підрозділах 2.1, 2.2 розглядаються системи без керування. Для системи отримані необхідні і достатні умови існування заміни змінних, що відображує її на лінійну систему де - стала матриця у формі Фробеніуса.

Далі в цьому підрозділі для n=2 та n=3 наведено явний вигляд систем (1), що відображуються на лінійні канонічні системи. Існування відображення на канонічну систему дає можливість отримати точний розв'язок задачі швидкодії для вихідної нелінійної системи при обмеженнях на керування вигляду . Наведено відповідний приклад.

В підрозділі 2.4 обговорюється питання про відображуваність системи з m-вимірним керуванням на лінійну систему.

У підрозділі 3.2 розв'язується задача локальної керованості системи (3) з обмеженнями на керування. Показано (теорема 3.3), що якщо точка 0 є точкою спокою системи, тобто то система (3) є локально 0-керованою з обмеженнями на керування вигляду.

У розділах 4, 5, які є основними у роботі, розв'язана загальна задача про відображуваність нелінійних систем на лінійні, як з адитивною заміною керування, так і без заміни керування.

Основний результат розділу міститься в теоремах 4.2, 4.3, що дають повний опис класу трикутних систем, що локально в області відображуються на лінійні за допомогою заміни змінних класу з невиродженим якобіаном та адитивної заміни керування класу , а також без заміни керування у сенсі означення 1.2. Далі, в теоремах 4.4, 4.5 дані достатні умови глобальної відображуваності у сенсі означення 1.3.

Підрозділ 4.4 присвячено питанню про глобальну відображуваність трикутної системи. Зазначимо, що в загальному випадку питання глобальної відображуваності є більш складним і потребує істотних припущень, які, взагалі кажучи, важко перевірити. Проте для трикутних систем достатні умови глобальної відображуваності набувають досить простого вигляду.

Остання теорема дозволяє, зокрема, отримати достатні умови глобальної керованості трикутної системи при наявності обмежень на керування вигляду А саме, враховуючи, що канонічна система є глобально керованою, маємо наступну теорему.

У підрозділі 4.5 наведено тривимірну трикутну систему, що є глобально відображуваною на лінійну, для неї дано розв'язок задачі швидкодії.

Центральне місце в розділі 5 займає наступна теорема.

При цьому якщо умову (13) виконано для деякого розв'язку , що задовольняє решті умов пункту 3), то її виконано і для будь-якого такого розв'язку.}

Зазначимо, що ця теорема узагальнює умови Brockett'a щодо відображуваності3 на випадок систем класу . Зокрема, вона показує, що для системи, що відображується на лінійну з адитивною заміною керування, вектор-функції не обов'язково існують. Проте, навіть якщо вони існують, умови Brockett'a не є достатніми в класі . Дійсно, для системи, що має лише один раз неперервно-диференційовну праву частину, існують і задовольняють умовам Brockett'a (оскільки), показано, що не існує заміни змінних класу і адитивної заміни керування, що відображують систему на лінійну. А саме, показано, що якщо заміна має вигляд z=F(x), то з необхідністю тобто F(x) не є функцією класу .

В підрозділі 5.2 розглянуто питання про відображуваність на лінійну систему без заміни керування.

Прикладом системи є система в області з один раз неперервно-диференційовною правою частиною. Показано, що ця система задовольняє умовам теореми 5.3 і відображується на лінійну канонічну систему за допомогою заміни змінних Як приклад застосування отриманих результатів, в теоремі 5.5 дані умови локальної 0-керованості з обмеженим керуванням для системи (11), що має точку спокою в початку координат і відображується на лінійну в околі нуля.

Розділ 6 присвячено застосуванню отриманих результатів про відображуваність систем до розв'язання задачі швидкодії і задачі припустимого синтезу для систем вигляду (11) в околі точки спокою x=0 при наявності обмежень на керування вигляду . В підрозділі 6.1 розглянуто питання про існування граничного керування (тобто кусково-сталого, що набуває значень і має не більш ніж n-1 переключення), яке переводить початкову точку до нуля в силу системи (9). А саме, показано (теорема 6.1), що якщо система (9) задовольняє умовам теореми 5.3 в деякому околі нуля Q, причому a(0)=0, то знайдеться окіл нуля , такий, що для будь-якої точки існує граничне керування, що переводить точку до нуля в силу цієї системи.

Твердження спирається на існування граничних керувань для системи (10), до якої система (11) зводиться за допомогою заміни змінних.

Запропоновано алгоритм знаходження граничного керування.

В підрозділі 6.2 на основі методу функції керованості показано (теорема 6.2), що якщо система (11) задовольняє умовам теореми 5.1, де , то існує такий окіл нуля і таке керування, що при і будь-який розв'язок системи з початковою умовою задовольняє співвідношенню для деякого. В роботі вказано вигляд такого керування u(x), а також наведено приклад тривимірної системи, для якої розв'язано задачу синтезу. Крім того, в підрозділі 6.2 розглянуто розв'язання задачі синтезу для неавтономних систем за першим наближенням (теорема 6.3).

Підрозділ 6.3 присвячено розв'язанню задачі швидкодії для нелінійних систем, що відображуються на лінійні без заміни керування. Для системи (11), що задовольняє умовам теореми 5.3, побудовано розв'язок задачі швидкодії в околі нуля з використанням аналітичного вигляду розв'язку задачі швидкодії для лінійної канонічної системи.

Висновки

Питання про відображуваність нелінійних систем на лінійні до теперішнього часу було докладно вивчено в нескінченно-диференційовному випадку. В той же час, відомо, що для трикутних систем ця вимога до гладкості може бути істотно знижена. В даній дисертаційній роботі результати щодо відображуваності нелінійних керованих систем на лінійні розвиваються та поширюються на випадок однократно диференційовних систем з використанням методів теорії трикутних систем. При цьому як основний випадок розглядається відображуваність з адитивною заміною керування, яка, зокрема, дозволяє зберегти обмеження на керування, що присутні в постановках низки задач оптимального керування. Основні результати, отримані в роботі, такі:

1. Для трикутних систем

в яких функції припускаються (n-i+1) разів неперервно-диференційовними, отримано необхідні і достатні умови локальної в заданій області відображуваності на лінійну систему за допомогою заміни змінних класу з невиродженим якобіаном та адитивної заміни керування класу , відображуваності без заміни керування, а також достатні умови глобальної відображуваності на лінійну систему.

2. Для нелінійних систем класу отримано необхідні і достатні умови локальної в заданій області відображуваності на лінійну систему за допомогою заміни змінних класу та адитивної заміни керування класу з невиродженим якобіаном, а також умови відображуваності на задану лінійну систему без заміни керування.

3. Для трикутних систем, що є адитивними за останнім аргументом, отримано явний вигляд керування, яке розв'язує задачу керованості.

4. Для нелінійних систем, що відображуються на лінійні, розв'язано деякі задачі теорії керування, а саме, знахождення граничного керування, задачу синтезу позиційного обмеженого керування і задачу швидкодії.

Список опублікованих робіт за темою дисертації

[1] Коробова Е.В., Cкляр Г.М. Один конструктивный метод отображения нелинейных систем на линейные // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. - 1991. - №55. - C. 68-74.

[2] Бессонов Г.А., Коробова Е.В. Решение задачи позиционного управления для некоторых классов нелинейных систем // Вестник Харьк. ун-та. - 1991. - №361: Прикладная математика и механика. - C. 27 - 33.

[3] Скляр Е.В. Нахождение в явном виде управления и траекторий, решающих задачу управляемости для некоторых нелинейных систем // Вiсник Харкiвського унiверситету. Серiя «Математика, прикладна математика i механiка». - 1999. - №458. - С. 3 - 14.

[4] Скляр Е.В. О классе нелинейных управляемых систем, отображающихся на линейные // Математическая физика, анализ, геометрия. - 2001. - №2/4. - С. 205 - 214.

[5] Cкляр К.В. Необхiднi та достатнi умови вiдображення трикутних керованих систем на лiнiйнi // Доп. НАН України. - 2001. - №7. - С. 33-36.

[6] Скляр Е.В. Отображение треугольных управляемых ситем на линейные без замены управления // Дифференц. уравнения. - 2002. - Т. 38, №1. - С. 34-43.

[7] Луценко А.В., Скляр Е.В. Об аналитическом представлении классов управлений, решающих задачи управляемости и стабилизации // Вiсник Харкiвського унiверситету. Серiя «Математика, прикладна математика i механiка». - 2002. - №542. - С. 85 - 95.

[8] Sklyar E.V. Conditions for mappability of triangular systems to linear ones without substitution on control // Тези доповідей Міжнар. конфер. «Диференціальні та інтегральні рівняння». - Одеса, 2000. - Р. 358-359.

Размещено на Allbest.ru