Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

УДК 517.5

НАБЛИЖЕННЯ ГОЛОМОРФНИХ ФУНКЦІЙ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ В ПОЛІКРУЗІ ТА В ОДИНИЧНІЙ КУЛІ В

01.01.01 - математичний аналіз

Автореферат дисертації

на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

САВЧУК Марина Володимирівна

Київ - 2003

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті математики НАН України

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор, член--кореспондент НАН України СТЕПАНЕЦЬ Олександр Іванович, Інститут математики НАН України, заступник директора з наукової роботи.

Офіційні опоненти : доктор фізико-математичних наук, професор, ЗАДЕРЕЙ Петро Васильович Київський національний університет технологій та дизайну, завідувач кафедри вищої математики;

кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник НАЗАРЕНКО Микола Олексійович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, доцент кафедри математичного аналізу

Провідна установа: Дніпропетровський національний університет МОН України.

Захист відбудеться "21 " жовтня 2003 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 в Інституті математики НАН України за адресою 01601 Київ 4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Інституту математики НАН України

Автореферат розіслано " 19 " вересня 2003 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради

доктор фіз.-мат. Наук А.С. Романюк



АНОТАЦІЯ

Савчук М.В. Наближення голоморфних функцій багатьох змінних в полікрузі та в одиничній кулі в C972- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01- математичний аналіз. - Інститут математики НАН України, Київ, 2003.

Дисертацію присвячено дослідженню наближення голоморфних функцій багатьох змінних частинними сумами кратних рядів Тейлора і знаходженню співвідношення між повним та частинними найкращими многочленними наближеннями голоморфних функцій багатьох змінних.

Виведено залежність між величинами норм мультиплікаторів m-кратних (m=2,3,...) рядів Тейлора, згрупованих в ряди по однорідних многочленах і величинами норм таких самих мультиплікаторів однократних рядів Тейлора голоморфних функцій відповідно m і однієї змінної. А саме, доведено, що норми таких мультиплікаторів не залежать від числа m.

Знайдено оцінки похибок наближення функцій з класів -інтегралів голоморфних функцій багатьох змінних прямокутними і трикутними сумами кратних рядів Тейлора. голоморфний многочленний змінний сума

Ключові слова: полікруг, одинична куля в , найкраще многочленне наближення, мультиплікатор, прямокутна частинна сума, радіальний -інтеграл.



АННОТАЦИЯ

Савчук М.В. Приближения голоморфных функций многих переменных в поликруге и единичном шаре в . - Рукопись

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. - Институт математики НАН Украины, Киев, 2003.

Диссертация посвящена исследованию приближения голоморфных функций многих переменных частными суммами кратных рядов Тейлора и нахождению соотношений между полным и частными наилучшими приближениями голоморфных функций многих переменных.

В первом разделе приведен краткий обзор опубликованных результатов по теме диссертационного исследования. Рассмотрены только те результаты, которые в той или иной степени касаются приближений голоморфных функций, определенных в областях в и функций, -периодических по каждой переменной.

Во втором разделе исследуются мультипликаторы кратных рядов Тейлора и рядов Фурье, просуммированных по треугольным областям. В частности, выведена зависимость между величинами норм мультипликаторов m-кратных (m=2,3,...) рядов Тейлора и величинами норм таких же мультипликаторов однокраных рядов Тейлора голоморфных функций соответственно m и одной переменной.

Основной результат второго раздела содержится в следующем утверждении.

В третьем разделе исследуются приближения голоморфных функций из классов -интегралов частными суммами их кратных рядов Тейлора. Рассмотрены случаи когда в качестве частных сумм выбираются прямоугольные и треугольные частные суммы. В первом случае результат оказался вполне аналогичным известным ранее результатам по приближению -дифференцируемых функций, -периодических по каждой переменной прямоугольными суммами кратных рядов Фурье. Во втором случае, благодаря применению теоремы 2.3.1, погрешность приближения на всем классе -интегралов оказался такой же как и в случае приближения классов -интегралов функций одой переменной обыкновенными суммами Тейлора. Иными словами установлено, что погрешность приближения голоморфной функции частными треугольными суммами не зависит от количества переменных.

В четвертом разделе приведено одно из возможных применений теоремы 2.3.1 в задачах теории приближений голоморфных функций многих переменных. А именно, получены новые соотношения между величинами полного и частных наилучших приближений голоморфных функций многих переменных. Также полностью решена задача о нахождении величины наилучшего линейного приближения на классах -интегралов многочленами треугольного вида и о построении наилучшего линейного метода.

Ключевые слова: поликруг, единичный шар в , наилучшее многочленное приближенние, мультипликатор, прямоугольная частнная сумма, радиальный -интеграл.



ABSTRACT

Savchuk M.V. Approximations of holomorphic function of several variables in the polydisc and unit ball in . - Manuscript

Thesis for a degree by speciality 01.01.01 - mathematical analysis.- The Institute of mathematics of National Academy of Science of Ukraine, Kyiv, 2003.

The main object of the thesis is to research an approximation of holomorphic functions of several variables by partial sums of multiple Taylor series and to find a ratio between full and partial best polynomial approximations of holomorphic functions of several variables.

It is proved that absolute values of norms of multiplications of m-multiple (m=1,2,3,...) Taylor series and absolute value of norms of the same multiplications of one-multilple Taylor series of holomorphic functions of m-variables and one-variable, correspondingly, are equal.

The error of approximation functions on classes of -integrals of holomorphic functions of several variables by rectangular and triangular sums of multiple Taylor series are estimated.

Key words: polydisc, unit ball in , best polynomial approximation, multiplier, rectangular partial sum, radial -integral.



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Темою дисертаційного дослідження є наближення голоморфних функцій багатьох змінних в полікрузі та в одиничній кулі в .

Дослідження проводяться в напрямку розв'язання двох задач теорії наближення голоморфних функцій багатьох змінних, які в загальній постановці формулюються наступним чином.

Задача 1. Як співвідносяться між собою величини повного та частинного (по групі змінних) найкращого многочленного наближення голоморфних функцій багатьох комплексних змінних?

Задача 2. Як співвідносяться між собою похибки наближення голоморфних функцій багатьох комплексних змінних частинними сумами їх кратних рядів Тейлора та величини найкращих многочленних наближень (повних і частинних)?

Актуальність теми. Розв'язок задачі 1 дає змогу звести дослідження конструктивних властивостей функцій по сукупності всіх змінних до дослідження її конструктивних властивостей по заданій групі змінних.

Ця задача була поставлена С. Н. Бернштейном і розв'язана для функцій двох дійсних змінних.

Подальші дослідження, що в тій чи іншій мірі стосувалися задачі 1, проводилися в напрямках, які умовно можна розбити на три групи.

До першої групи відносяться дослідження, спрямовані на поширення результатів С. Н. Бернштейна на випадок функцій довільного числа змінних.

До другої групи відносяться дослідження, спрямовані на уточнення на підмножинах неперервних чи сумовних функцій, які визначаються тією чи іншою характеристичною властивістю, співвідношень між повним і частинними найкращими поліноміальними наближеннями, що були знайдені С. Н. Бернштейном на всьому просторі неперервних функцій.

Нарешті, до третьої групи відносяться дослідження, спрямовані на поширення чи знаходження аналогів результатів попередніх двох груп досліджень на множини функцій багатьох змінних, що задані на многовидах, в чи .

Зрозуміло, що дослідження третьої групи по самій постановці є більш загальними, ніж дослідження, віднесені до перших двох груп, хоча a priori і орієнтуються на них. Цим, очевидно, можна пояснити відносно невелику кількість результатів у цьому напрямку.

У даній роботі зосереджено увагу на відшуканні співвідношень між повним і частинними (''трикутними'') найкращими поліноміальними наближеннями функцій, голоморфних в полікрузі та в одиничній кулі в .

Розв'язок задачі 2 дає змогу зробити висновок про те, наскільки ефективним є застосування частинних сум кратних рядів Тейлора в наближеннях голоморфних функцій багатьох комплексних змінних. ''Еталоном'' такої ефективності природно вважати величини повного і частинних найкращих многочленних наближень.

У зв'язку з цією задачею виникають питання про те, що слід вважати частинною сумою кратного ряду та як будувати ''оптимальну'', в певному розумінні, частинну суму. Зрозуміло, що прямокутні суми мають певну перевагу перед іншими частинними сумами, насамперед, з точки зору простоти їх побудови, хоча з точки зору їх ''оптимальності'' вони в багатьох випадках поступаються перед трикутними, сферичними, гіперболічними та іншими частинними сумами.

На даний час досить повно вивчені ті питання, що стосуються наближення функцій, визначених на (періодичних по кожній змінній) прямокутними частинними сумами. Зокрема, для багатьох важливих класів 2-періодичних по кожній змінній функцій розв'язано задачу Колмогорова-Нікольського про знаходження асимптотичних рівностей для верхніх меж відхилень прямокутних сум Фур'є від функцій з даного класу. Звичайно, результати, отримані в цьому напрямку, можуть бути використані для розв'язання задачі 2. Проте при цьому, напевне, буде втрачатися точність таких результатів, насамперед, в значенні констант, що стоять біля головних членів асимптотик. Тому вважаємо за доцільне більш детально дослідити наближення, що здійснюються прямокутними і трикутними сумами Тейлора функцій, голоморфних в полікрузі .

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Роботу виконано у відділі теорії функцій Інституту математики НАН України згідно з науково-дослідною темою : ''Структурні та апроксимаційні властивості функціональних множин'', номер державної реєстрації 0198U001990.

Мета і задачі дослідження.

Метою дослідження є наступне.

1. Вивести залежність між величинами норм мультиплікаторів кратних рядів Тейлора, згрупованих в ряди по однорідних многочленах, і величинами норм таких самих мультиплікаторів однократних рядів Тейлора голоморфних функцій відповідно декількох і однієї змінної. Застосувати одержаний результат до знаходження співвідношень між величинами повного та частинних (по групі змінних) найкращих многочленних наближень голоморфних функцій багатьох змінних. З'ясувати, які інші застосування може мати одержаний результат в задачах наближення голоморфних функцій багатьох змінних.

2. Знайти оцінки похибок наближення функцій з класів -інтегралів голоморфних функцій багатьох змінних прямокутними і трикутними сумами кратних рядів Тейлора. Такі оцінки виразити в термінах послідовностей , що визначають функціональний клас, та величин повних і частинних найкращих многочленних наближень.

На шляху досягнення поставленої мети виникли такі задачі.

1. Обчислити константи Лебега - Ландау для трикутних частинних сум кратних рядів Тейлора.

2. Знайти інтегральні зображення відхилень ''прямокутних'' многочленів, породжених лінійними методами підсумовування кратних рядів Тейлора від функцій з класів -інтегралів.

3. Знайти аналоги нерівності Лебега - Ландау для функцій, голоморфних в полікрузі.

4. Знайти асимптотичні рівності для верхніх граней відхилень частинних сум кратних рядів Тейлора на класах -інтегралів.

5. Знайти співвідношення між повним і частинними найкращими наближеннями голоморфних функцій багатьох комплексних змінних.

6. Знайти точні значення величин найкращих наближень ''трикутними'' многочленами класів голоморфних функцій, що визначаються радіальними -похідними.

Об'єктом дослідження є наближення голоморфних функцій багатьох змінних в полікрузі та в одиничній кулі в .

Предметом дослідження є наближення голоморфних функцій багатьох змінних частинними сумами кратних рядів Тейлора і співвідношення між повним та частинними найкращими многочленними наближеннями голоморфних функцій багатьох змінних.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в наступному:

1. Виведено залежність між величинами норм мультиплікаторів кратних рядів Тейлора, згрупованих в ряди по однорідних многочленах, і величинами норм таких самих мультиплікаторів однократних рядів Тейлора голоморфних функцій відповідно декількох та однієї змінної.

2. Обчислено константи Лебега - Ландау для трикутних частинних сум кратних рядів Тейлора функцій, голоморфних в полікрузі та в одиничній кулі в .

3. Знайдено інтегральні зображення відхилень ''прямокутних'' многочленів, породжених лінійними методами підсумовування кратних рядів Тейлора, від функцій, голоморфних в полікрузі з класів -інтегралів.

4. Знайдено аналоги нерівності Лебега - Ландау для функцій, голоморфних в полікрузі та в одиничній кулі з класів -інтегралів.

5. Знайдено асимптотичні рівності для верхніх меж відхилень прямокутних частинних сум 2-кратних і трикутних сум m-кратних рядів Тейлора на класах -інтегралів.

6. Знайдено співвідношення між повним і частинними найкращими наближеннями голоморфних функцій багатьох комплексних змінних.

7. Знайдено точні значення величин найкращих наближень ''трикутними'' многочленами класів голоморфних функцій, що визначаються радіальними -похідними.

Практичне значення одержаних результатів. В дисертації наведено кілька застосувань результату дисертаційного дослідження, описаного в пункті 1, до задач теорії наближення голоморфних функцій багатьох змінних. Цей результат, безсумнівно, знайде свої застосування і в інших розділах теорії функцій багатьох змінних. Результати пунктів 2 - 7 мають теоретичний характер, проте можуть бути практично застосовані при дослідженні голоморфних функцій багатьох змінних.

Особистий внесок здобувача. Визначення напрямку дисертаційного дослідження належить науковому керівникові. Результати підрозділів 2.3, 2.4 і 4.1 одержано в співавторстві з В.В. Савчуком. Внесок обох авторів у результати цих підрозділів є рівноцінним. Решту результатів одержано здобувачем самостійно.

Апробація результатів роботи. Результати дисертаційного дослідження доповідалися на :

- семінарах відділу теорії функцій Інституту математики НАН України, керівник семінару член-кореспондент НАН України О. І. Степанець;

- об'єднаному семінарі з теорії функцій (Інститут математики НАН України, керівники семінару : академік НАН України М. П. Корнєйчук, член-кореспондент НАН України О.І. Степанець, професор П.М. Тамразов);

- Міжнародній конференції ''Теорія наближень та її застосування'', присвяченій пам'яті В.К. Дзядика (Київ, 1999);

- Міжнародній конференції присвяченій М.А. Лаврентьєву з нагоди дня його народження (Київ, 2000);

- Українському математичному конгресі, присвяченому 200-річчю з дня народження М.В. Остроградського (Секція 10 : Теорія наближень та гармонічний аналіз) (Київ, 2001).

Публікації. Основні результати дисертаційного дослідження опубліковано в чотирьох наукових статтях [1-4].

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, що містять 14 підрозділів, списку цитованої літератури, що містить 64 найменування , та переліку умовних позначень. Обсяг роботи складає 125 сторінок машинописного тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У першому розділі дано огляд результатів щодо задачі 1 і задачі 2. До уваги приймалися лише ті результати, які в тій чи іншій мірі стосуються наближення голоморфних функцій, визначених в областях з , та 2-періодичних по кожній змінній функцій багатьох змінних.

У другому розділі виведено залежність між величинами норм мультиплікаторів кратних рядів Тейлора, згрупованих в ряди по однорідних многочленах, і величинами норм таких самих мультиплікаторів однократних рядів Тейлора голоморфних функцій відповідно декількох і однієї змінної.

Нехай

Відкриту одиничну кулю в та її межу позначатимемо відповідно через та , тобто



Полікруг в та його межу будемо позначати відповідно і :

Всюди далі, де це не обумовлено, буде означати або кулю , або полікруг . Через будемо позначати межу області . Символом позначатимемо або нормовану борелівську міру на , інваріантну відносно повороту, або нормовану міру Лебега на .

Простором Харді називається простір голоморфних в функцій f з нормою

Нехай функція f є голоморфною в і

- її розклад в m-кратний степеневий ряд (ряд Тейлора). Тут - множина впорядкованих наборів з m невід'ємних цілих чисел.

Поклавши



розклад функції f в m-кратний степеневий ряд можемо записати у вигляді

Нехай - довільна послідовність комплексних чисел. За допомогою цієї послідовності задамо лінійний оператор , який кожній функції f, голоморфній в , на основі її розкладу в ряд (1) ставить у відповідність (формально) ряд

Якщо оператор діє з H_p в H_p, , то під нормою оператора будемо розуміти число

де B_p:={f H_p : ||f||_p 1} - одинична куля простору H_p.

Якщо ж діє з H_p,1 в H_p,1, то норму оператора будемо позначати через .

Теорема 2.3.1. Нехай , і - оператор, породжений послідовністю комплексних чисел , який діє за правилом (2). Тоді



Ця теорема стверджує, що норми мультиплікаторів m-кратних рядів Тейлора, що діють за правилом (2) рівні між собою для всіх m=1,2,3,...

Розглянемо тепер послідовність лінійних операторів , заданих на просторі H_p, які діють за правилом

де - елементи нескінченної нижньо-трикутної матриці , над полем комплексних чисел.

Таким чином, будь-яка числова нижньо-трикутна матриця породжує за правилом (4) певний лінійний поліноміальний метод наближення (-метод) по трикутниках функцій простору H_p.

Послідовність чисел

будемо називати константами ("трикутними" ) Лебега - Ландау методу в просторі H_p(). У випадку, коли m=1, будемо записувати L_n(, p) замість L_n(, p,1).

Наслідок 2.3.1. Нехай і - фіксована нижньо-трикутна матриця над полем комплексних чисел. Тоді

Наведемо приклад. Нехай V_l:=- матриця, елементи якої визначаються за правилом



де l - невід'ємне ціле число, не більше n. Тоді матриця задає послідовність (по n) операторів, які кожній голоморфній функції f ставлять у відповідність трикутну суму

Валле-Пуссена порядку n з індексом l її m-кратного степеневого ряду:

При l=n останню суму покладаємо рівною нулеві.

За наслідком 2.3.1 та результатами Е. Ландау і С.Б. Стєчкіна мають місце співвідношення

Також в другому розділі показано, що для функцій, визначених на , які є радіальними граничними значеннями дійсних частин голоморфних функцій з простору Харді H_p(), норми мультиплікаторів рядів Фур'є, підсумованих по трикутних областях, також не залежать від кратності цих рядів.

В третьому розділі розглядається наближення голоморфних функцій багатьох змінних з класів -інтегралів частинними сумами їх кратних рядів Тейлора.

Нехай L_p(), - простір функцій, сумовних в p-тому степені (при p= - істотно обмежених) на і - m-кратна послідовність комплексних чисел.

Клас означається як множина функцій f, голоморфних в , коефіцієнти Тейлора яких мають вигляд

,

де g деяка функція (своя для кожної функції f) з одиничної кулі простору Харді H_p(), іншими словами, це множина функцій, які мають розклад

Функцію g при цьому називають -похідною функції f і позначають . Навпаки, якщо задано функцію gB_p(), то породжену нею за правилом (6) функцію f називають -інтегралом функції g і позначають .

Нехай - множина, що складається з перших m натуральних чисел, тобто :={1,2,…,m}, - непорожня впорядкована підмножина множини ,~ # - кількість елементів множини і - доповнення множини до множини .

Нехай

- сукупність послідовностей комплексних чисел і - m-~кратна послідовність комплексних чисел таких, що



Якщо для даної функції gB_p()₊ і даної фіксованої множини ряд

де під сумою розуміємо кратну суму , в якій індекси

є m-кратним рядом Тейлора функції f, то її назвемо -інтегралом функції g по групі змінних Навпаки, якщо функцію f можна зобразити у вигляді ряду (7), де g - деяка функція з , то функцію g називають -похідною по групі змінних і позначають .

Клас радіальних -інтегралів породжується однократною послідовністю комплексних ненульових чисел і означається наступним чином де

Нехай - множина функцій, голоморфних в , що є алгебраїчними многочленами степеня не більшого , по змінній z_j і нехай



Таким чином, - це множини функцій з H_p, які є алгебраїчними многочленами відповідно по групі змінних z_j, і по всіх змінних z_j, , степенів не більших n_j.

Прямокутним частинним найкращим наближенням функції по групі змінних z_j, , відповідно степеня n_j , , називають величину

Якщо , то величина

є частинним найкращим наближенням по одній змінній z_j, якщо ж , то величина

є повним найкращим наближеннями алгебраїчними поліномами функції f.

Нехай і - набір m довільних нескінченних нижньо-трикутних матриць над полем комплексних чисел : :=. Покладемо



і розглянемо оператор , який кожній функції f, голоморфній в

на основі її розкладу в m-кратний ряд Тейлора ставить у відповідність функцію вигляду

де - нульовий вектор і запис означає, що , j=1,m.

В підрозділі 3.2 знайдено інтегральне зображення для відхилень для функцій з класів , зокрема знайдено інтегральне зображення для відхилень

- прямокутна частинна сума m-кратного ряду Тейлора функції f.

Нехай - множина неперервних на півосі додатних функцій

які є опуклими донизу і прямують до нуля на нескінченності, та - підмножина в функцій, для яких



Теорема 3.2.5. Нехай , функції визначені правилом за

і - функції з множини такі, що для заданого многочлена

Тоді :

1) якщо , то для будь-якої функції в кожній точці і майже в кожній точці

2) якщо , то для будь-якої функції в кожній точці і майже в кожній точці виконується рівність (8) і у випадку, коли



В підрозділі 3.3 на основі теореми 3.2.5 отримано оцінки відхилень прямокутних частинних сум m-кратних рядів Тейлора функцій з класів , виражені в термінах величин повних і частинних найкращих многочленних наближень.

Для функції О.І. Степанець ввів такі характеристики

за допомогою яких проводиться розбиття множини на підмножини

де К_1, К₂ - константи, які можуть залежати від функції

Теорема 3.3.1. Нехай функції

і задовольняють умову

Тодi для будь-якої функції



Де є або , або , - величина, яка допускає оцінку

K- величина, рiвномірно обмежена вiдносно та мультиіндекса .

Співвідношення (9) є аналогом нерівності Лебега - Ландау для голоморфних функцій в полікрузі. Аналогічне співвідношення знайдено для функцій з класів у випадку, коли , а також для класів , де .

В підрозділі 3.4 знайдено асимптотичні рівності для верхніх меж відхилень прямокутних частинних сум 2-кратних і трикутних m-кратних рядів Тейлора на класах , .Мова йде про величини

де S(f) означає або прямокутну частинну суму , або трикутну частинну суму .

Нехай означає клас функцій, голоморфних в бікрузі $\mb D^2$, які задовольняють умови

K_i, i=1,2,3, - деякі невід'ємні числа.

Кажуть, що задача Колмогорова - Нікольського є розв'язаною на класі , якщо в явному вигляді вказано додатну функцію двох змінних таку, що

при довільному прямуванні чисел n і m до нескінченності.

Тут через позначили прямокутну частинну суму функції f, тобто

Теорема 3.4.1. Для будь-яких невід'ємних цілих чисел r,s,r₁,s₁ має місце рівність

при довільному зростанні чисел n і m.

Зауваження. Співвідношення (10) дає повний розв'язок задачі Колмогорова - Нікольського в тому випадку, коли

Так, напевне, буде у тому випадку, коли r_1=r і s_1=s.

Четвертий розділ присвячено знаходженню співвідношень між повним і частковими найкращими наближеннями голоморфних функцій багатьох змінних і знаходженню точного значення величин найкращих наближень ''трикутними'' многочленами функцій з класів .

Нехай . Позначимо через множину функцій P голоморфних в , вигляду

Таким чином, - це множина голоморфних функцій, що є"трикутними" алгебраїчними многочленами порядку n по групі змінних .

Підмножину в функцій, які є алгебраїчними многочленами по кожній змінній відповідно степеня будемо позначати через

,

Теорема 4.1.3 Нехай - фіксований мультиіндекс. Тоді для будь-якої функції є правильною рівність



в якій і O(1) - величина, рівномірно обмежена відносно .

При m=2 і цей результат є поширенням результату В.Н.Тємлякова на класи Харді в одиничній кулі в .

У підрозділі 4.2 наведено застосування теореми 2.3.1 до задачі обчислення точних значень величин найкращих наближень ''трикутними'' многочленами класів функцій, голоморфних в полікрузі та в одиничній кулі в .

Нехай - послідовність додатних чисел і .

Візьмемо клас голоморфних функцій і розглянемо задачу знаходження точного значення величини

для кожного натурального n, де.

Величину називають найкращим наближенням класу трикутними многочленами в метриці простору .

Нехай - нескінченна нижньо-трикутна матриця над полем комплексних чисел і - оператор, визначений на множині функцій, голоморфних в , який діє за правилом (4).

Величину



де інфімум береться за всіма можливими нижньо-трикутними матрицями , називають найкращим лінійним наближенням класу трикутними многочленами в метриці простору .

Теорема 4.2.1. Нехай , і функція . Тоді для кожного



ВИСНОВКИ

В дисертаційному дослідженні отримано наступне.

1. Виведено залежність між величинами норм мультиплікаторів m-кратних (m=2,3,…) рядів Тейлора, згрупованих в ряди по однорідних многочленах, і величинами норм таких самих мультиплікаторів однократних рядів Тейлора голоморфних функцій відповідно m і однієї змінної. А саме доведено, що норми таких мультиплікаторів не залежать від числа m.

Наведено застосування цього факту в дослідженнях найкращих наближень голоморфних функцій в полікрузі та в одиничній кулі в . А саме, знайдено співвідношення між величинами повного та частинних (по групі змінних) найкращих многочленних наближень голоморфних функцій багатьох змінних. Знайдено точні значення величин найкращого та найкращого лінійного наближень класів радіальних -інтегралів голоморфних функцій ''трикутними'' многочленами.

2. Знайдено оцінки похибок наближення функцій з класів -інтегралів голоморфних функцій багатьох змінних прямокутними і трикутними сумами кратних рядів Тейлора. Такі оцінки виражено в термінах послідовностей , що визначають функціональний клас, та величин повних і частинних найкращих многочленних наближень. У важливих частинних випадках розв'язано задачу Колмогорова - Нікольського про знаходження асимптотичних рівностей для верхніх меж відхилень прямокутних частинних сум двократних рядів Тейлора обмежених голоморфних функцій двох змінних. Повністю розв'язано задачу Колмогорова - Нікольського для трикутних сум m-кратних рядів Тейлора функцій, голоморфних в полікрузі та в одиничній кулі в .



СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Савчук В.В., Савчук М.В. Норми мультиплікаторів в просторах гармонічних функцій багатьох змінних // Праці ін--ту математики НАН України. - 2003. - 46. - C. 219-228.

2. Савчук В.В., Савчук М.В. Норми мультиплікаторів і найкращі наближення голоморфних функцій багатьох змінних // Укр. Мат. Журн. - 2002. - 54, №12. - С.1669 - 1679.

3.Савчук М.В. Про співвідношення між повним і частковими найкращими наближеннями обмежених голоморфних функцій багатьох змінних // Теорія наближення функцій та суміжні питання // Праці ін-ту математики НАН України. - 2002. - 35. - C. 164 - 171.

4. Савчук М.В. Нерівність Лебега - Ландау для функцій, голоморфних в полікрузі $D^N,~N\ge 1$ // Теорія наближення функцій та її застосування // Праці ін-ту математики НАН України. - 2000. - 31. - C.407 - 416.

5. Савчук М.В. Про співвідношення між повним і частковими найкращими наближеннями обмежених голоморфних функцій багатьох змінних // Теорія наближення та гармонічний аналіз: Тези доп. Укр. мат. конгресу. - 2001. - Київ : Ін-т математики НАН України, 2001. - С. 54.

6. Savchuk M.V. Approximation of classes of functions analytic in bidisks // Abstracts. International conference dedicated to M.A.~Lavrentyev. - Kiev. - 2000. - P.~53.

Размещено на Allbest.ru

...