Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут математики

УДК 517.5

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Найкращi тригонометричнi наближення класiв перiодичних функцій багатьох змінних

01.01.01-- математичний аналіз

Стасюк Сергій Андрійович

Київ --- 2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті математики НАН України.

Науковий керівник функція тригонометричний полiном

доктор фізикo-математичних наук РОМАНЮК Анатолiй Сергiйович, Iнститут математики НАН України, провiдний науковий спiвробiтник вiддiлу теорiї функцiй.

Офіційні опоненти :

доктор фізико-математичних наук, старший науковий спiвробiтник КОНОВАЛОВ Віктор Миколайович, Iнститут математики НАН України, провiдний науковий спiвробiтник вiддiлу теорiї наближення

кандидат фізико-математичних наук, старший науковий спiвробiтник НАЗАРЕНКО Микола Олексiйович, Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка, доцент кафедри математичного аналiзу

Провідна установа : Дніпропетровський нацiональний університет МОН України.

Захист відбудеться "25" березня 2003 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 Інституту математики НАН країни за адресою: 01601 Київ 4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий "24" лютого 2003 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Романюк А.С.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. В роботi дослiджуються наближення класiв $B_{p,\theta}^{\Omega}$ перiодичних функцiй багатьох змiнних за допомогою $M$--членних тригонометричних полiномiв. Класи $B_{p,\theta}^{\Omega}$ були розглянутi в 1997 р. китайськими математиками Sun Yongsheng i Wang Heping.

На теперiшнiй час в теорiї апроксимацiї розроблено багато методiв наближення тригонометричними полiномами у просторах перiодичних функцiй, серед яких iснують як лiнiйнi методи, що побудованi на базi частинних сум Фур'є (методи Фейєра, Валле Пуссена, Рогозинського тощо), так i нелiнiйнi методи.

Останнiм часом все бiльшого розповсюдження набуває метод $M$-членного тригонометричного наближення, тобто наближення класiв перiодичних функцiй за допомогою полiномiв вигляду

$$

P(\Theta_M;x)=\sum\ls_{j=1}^{M}c_je^{i(k^j,x)},

$$

де $\Theta_M=\{k^j\}_{j=1}^M$ --- набiр векторiв $k^j$ з цiлочислової решiтки $Z^d$, а $c_j$ --- коефіцієнти Фур'є або, в загальному випадку, довiльнi коефiцiєнти. Апроксимативнi властивостi цього методу вiдносно класiв $W_{\beta,p}^{r}$, $H_p^r$, $B_{p,\theta}^r$ перiодичних функцiй багатьох змiннних дослiджувались в роботах В.М. Темлякова, Е.С. Белiнського, Б.С. Кашина, А.С. Романюка та iнших. Зазначимо, що недавно О.I. Степанцем знайденi точнi значення найкращих $m$-членних тригонометричних наближень класiв функцiй, що визначаються згортками iз сумовними ядрами загального вигляду у метриках деяких важливих просторiв i, зокрема, в метрицi простору $L_2$.

Тематика дослiдження наближення класiв перiодичних функцiй в багатовимiрному випадку розвинута менше, нiж в одновимiрному, хоча iнколи вивчення певних апроксимативних характеристик починалося вiдразу з розгляду класiв перiодичних функцiй багатьох змiнних. Це пояснюється перш за все технiчними труднощами та, що не менш важливо, рiзноманiтнiстю способiв вибору гармонiк для побудови полiномiв наближення. Так при побудовi тригонометричних полiномiв, що наближають перiодичну функцiю однiєї змiнної, система експонент $\{e^{ikx}\}$, $k=0$, $\pm 1$, $\pm 2,\dots $, впорядковується за звичним порядком, тобто $1$, $e^{-ix}$, $e^{ix}$, $e^{-i2x}$, $e^{i2x}, \dots$. А в багатовимiрному випадку побудова тригонометричних полiномiв може здiйснюватися за довiльними обмеженими областями простору $R^d$. Детальнiша iнформацiя стосовно наближення класiв перiодичних функцiй багатьох змiнних тригонометричними полiномами з "номерами" гармонiк iз областей, якi є прямокутниками (прямокутними паралелепiпедами), кругами (сферами) та iн., викладена в монографiях О.I. Степанця. Наближення деяких важливих класiв функцiй за допомогою тригонометричних полiномiв iз спектром з гiперболiчних хрестiв, а також обгрунтування їх оптимальностi дослiджувались в роботах К.I. Бабенка, Я.С. Бугрова, Н.С. Нiкольської, Е.М. Галєєва, Дiнь Зунга, В.М. Темлякова, Е.С. Белiнського, А.С. Романюка та iн. Таким чином, коли мова йде про наближення класiв перiодичних функцiй багатьох змiнних, то заздалегiдь у нас немає пiдстав для того, щоб вiддати перевагу певному способу впорядкування системи $\{e^{i(k_1x_1+\dots+k_dx_d)}\}$, $k_j=0$, $\pm 1$, $\pm 2, \dots $, $j=\ov{1,d}$, де iндекси $k=(k_1,\dots,k_d)$ будемо називати "номерами" гармонiк чи "номерами" експонент $e^{i(k,x)}$.

З огляду на вищезазначене є актуальним дослiдження методу $M$--членного тригонометричного наближeння на класах $B_{p,\theta}^{\Omega}$, порiвняння його ефективностi з методом наближення цих класiв тригонометричними полiномами, що побудованi за "ступiнчастими гiперболiчними хрестами".

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана у вiддiлi теорiї функцiй Iнституту математики НАН України згiдно з науково-дослiдною темою: "Структурнi та апроксимацiйнi властивостi функцiональних множин", номер державної реєстрацiї 0198 U 001990.

Мета i задачi дослiдження. Метою роботи є поширення вiдомих результатiв щодо $M$--членного наближення з введених О.В. Бєсовим класiв $B_{p,\theta}^{r}$ періодичних функцiй багатьох змінних на класи $B_{p,\theta}^{\Omega}$, які визначаються функцією $\Omega(t)$ типу мішаного модуля неперервності порядку $l$ деякого спеціального вигляду. Перш нiж сформулювати задачi, якi необхiдно розв'язати для досягнення поставленої мети, визначимо об'єкт та предмет дослiдження.

Об'єктом дослiдження є класи $B_{p,\theta}^{\Omega}$ перiодичних функцiй багатьох змiнних.

Предметом дослiдження є величини найкращого $M$-членного тригонометричного наближення $ e_M(B_{p,\theta}^{\Omega})_q, $ найкращого $M$-членного ортогонального тригонометричного наближення $ e_M^{\perp}(B_{p,\theta}^{\Omega})_q, $ тригонометричного поперечника $d_M^{\; T} (B_{p,\theta}^{\Omega},L_q)$ та колмогоровського поперечника $d_M(B_{p,\theta}^{\Omega},L_q)$.

Задачi дослiдження:

1. Знайти точнi за порядком оцiнки найкращих $M$--членних ортогональних тригонометричних наближень класiв $B_{p,\theta}^{\Omega}$ у просторi $L_q$ при рiзних спiввiдношеннях мiж параметрами $p$ та $q$: $1<p,q<\infty$. Порiвняти цi результати з вiдповiдними результатами для величин найкращого наближення класiв $B_{p,\theta}^{\Omega}$ тригонометричними полiномами з "номерами" гармонiк iз "ступiнчастих гiперболiчних хрестів".

2. Дослiдити поведiнку найкращих $M$--членних тригонометричних наближень класiв $B_{p,\theta}^{\Omega}$, $1<p<\infty$, у просторi $L_q$ при $1<q\le\infty$. Порiвняти цi результати з вiдповiдними результатами для величин найкращих $M$--членних ортогональних тригонометричних наближень та колмогоровських поперечникiв.

3. Встановити точнi за порядком оцiнки тригонометричних та колмогоровських поперечникiв класiв $B_{p,\theta}^{\Omega}$ у просторi $L_q$ при певних співвідношеннях між $p$ і $q$ та порівняти їх із дослідженими раніше величинами.

При розв'язаннi поставлених задач в дисертацiйнiй роботi використовуються загальнi методи теорiї функцiй в поєднаннi з новими методами $M$-членного наближення, що розвиненi у працях В.М. Темлякова, Б.С. Кашина, Е.С. Белiнського, А.С. Романюка та iн. Доведення оцiнок знизу деяких апроксимативних характеристик класiв $B_{p,\theta}^{\Omega}$ проводиться методами, що базуються на спiввiдношеннях двоїстостi.

Наукова новизна одержаних результатiв. Результати роботи є новими i полягають у наступному:

1. Знайдено точні за порядком оцiнки найкращих $M$--членних ортогональних тригонометричних наближень класiв $B_{p,\theta}^{\Omega}$ у просторi $L_q$, \mbox{$1<p,q<\infty$.} Виявлено, що при деяких співвідношеннях між параметрами $p$, $q$ та $\theta$ величини $e_M^{\perp}(B_{p,\theta}^{\Omega})_q$ мають кращi оцiнки, нiж вiдповiднi оцiнки найкращих наближень класiв $B_{p,\theta}^{\Omega}$ у метрицi $L_q$ тригонометричними полiномами з "номерами" гармонiк iз "ступiнчастих гiперболiчних хрестiв".

2. Одержано порядковi оцiнки найкращих $M$--членних тригонометричних наближень класiв $B_{p,\theta}^{\Omega}$, $1<p<\infty$, у просторi $L_q$, $1<q\le \infty$. Виявлено, що при деяких співвідношеннях між параметрами $p$ та $q$ величини $e_M(B_{p,\theta}^{\Omega})_q$ кращi за порядком, нiж величини $e_M^{\perp}(B_{p,\theta}^{\Omega})_q$. Встановлено точні за порядком оцінки наближення "ступiнчасто--гiперболiчними" сумами Фур'є в рівномірній метриці, а також показано, що вони поступаються за порядком величинам $e_M (B_{p,\theta}^{\Omega})_{\infty}$.

3. Одержано точні за порядком оцiнки тригонометричних поперечникiв класiв $B_{p,\theta}^{\Omega}$ у просторi $L_q$ при $1<p < 2\le q<\frac{p}{p-1}$, а також встановлено точні за порядком оцінки одночасно для $d_M(B_{p,\theta}^{\Omega},L_q)$ та $d_M^{\; T} (B_{p,\theta}^{\Omega},L_q)$ при $2\le q \le p<\infty$ і $1<q\le 2 \le p<\infty$, $2\le\theta\le\infty$.

Практичне значення одержаних результатiв. Результати роботи мають теоретичний характер. Вони, а також методи їх отримання, можуть бути використанi при подальшому вивченнi наближень функцiй багатьох змiнних. Зокрема, результати по найкращому $M$-членному тригонометричному наближенню класiв $B_{p,\theta}^{\Omega}$ можна застосувати при дослiдженнi наближень перiодичних функцiй багатьох змiнних цих класiв за допомогою лiнiйних комбiнацiй добуткiв функцiй вiд меншої кiлькостi змiнних.

Особистий внесок здобувача. Визначення напряму дослiдження, а також постановка задач належить науковому керiвниковi --- доктору фiз.-мат. наук А.С. Романюку. Всi результати одержано здобувачем самостiйно.

Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідались на:

--- семінарах відділу теорії функцій (Iнститут математики НАН України, керiвник семiнару: член-кореспондент НАН України О.I. Степанець);

--- об'єднаному семiнарi з теорiї функцiй (Iнститут математики НАН України, керiвники семiнару: академiк НАН України М.П. Корнєйчук, член-кореспондент НАН України О.I. Степанець, професор П.М. Тамразов);

--- Українському математичному конгресі, присвяченому 200 -річчю з дня народження М.В. Остроградського (Секція 10: Теорія наближень та гармонічний аналіз) (Київ, 2001 р.);

--- Конференцiї "Функціональні методи в теорiї наближень, теорії операторів, стохастичному аналізі і статистиці" (Київ, 2001 р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в роботах [1--6] без спiвавторiв.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається з перелiку умовних позначень, вступу, чотирьох роздiлiв, висновкiв i списку використаних джерел, що містить 81 найменування. Повний обсяг роботи складає 120 сторінок машинописного тексту.

Основний зміст дисертації

У першому роздiлi дисертацiйної роботи проводиться огляд результатiв за тематикою дослiдження. Висвiтлюються основнi аспекти розвитку теорiї $M$-членного тригонометричного наближення рiзних функцiональних класiв та зазначаються задачi, якi залишилися нерозв'язаними в цьому напрямi.

Нехай $L_{p}(\pi_{d}),\ 1\le p<\infty $, --- простiр $2\pi$-перiодичних за кожною змiнною сумовних у степенi $p$ на $d$-вимірному кубi

$\pi_{d}=\prod\ls_{j=1}^{d}[-\pi;\pi]$ функцiй $f(x)=f(x_1,\dots,x_d)$, в якому норма визначається рiвнiстю

$$

||f||_{L_p(\pi_{d})}=||f||_p=

\Big(\lf(2\pi\rt)^{-d}\int\limits_{\pi_{d}}|f(x)|^{p}dx

\Big) ^{\frac{1}{p}},

$$

$L_{\infty}(\pi_d)$ --- простір $2\pi$-періодичних суттєво обмежених функцій $f(x)$ із нормою

$$

||f||_{L_{\infty}(\pi_d)}=||f||_{\infty} = \mathop {\rm ess \sup}\ls_{x\in

\pi_d} |f(x)|.

$$

Надалі скрізь вважаємо, що для функцiй $f(x)\in L_p(\pi_d)$, $1\le p\le \infty$, додатково виконується умова

$$

\il_{-\pi}^{\pi}f(x) \; dx_{j}=0, \;\ j=\ov{1,d}.

$$

Множину таких функцій будемо позначати $L_{p}^{0}(\pi_{d})$.

Наведемо визначення класу $B_{p,\theta}^{\Omega}$.

Нехай $f(x)\in L_1(\pi_d)$ i

$$

S[f]=\sum_k \hat{f}(k) e^{i(k,x)}

$$

--- її ряд Фур'є, де

$$

\hat{f}(k) = (2\pi)^{-d}\il_{\pi_{d}}f(t)e^{-i(k,t)}dt

$$

--- коефiцiєнти Фур'є функції $f(x)$,

$$

k=(k_{1},\dots,k_{d}),\ k_j\in Z\backslash \{0\},\ j=\ov{1,d},\

(k,x)=k_1x_1+\dots+k_dx_d.

$$

Кожному вектору $s\in N^d$ поставимо у вiдповiднiсть множину

$$

\rho(s)=\{k=(k_1,\dots,k_d):\ 2^{s_j-1}\le|k_j|<2^{s_j},\ j=\ov{1,d}\}

$$

i для $f(x)$ позначимо

$$

\delta_s(f,x)=\sum\ls_{k\in \rho(s)} \hat{f}(k) e^{i(k,x)}.

$$

Тодi ряд Фур'є функцiї $f(x)$ можна записати у виглядi

$$

S[f]=\sum\ls_s\delta_s(f,x).

$$

Для $f(x)\in L_p^0(\pi_d)$ введемо мiшаний модуль неперервностi порядку $l$

$$

\Omega_l(f,t)_p=\sup_{\scriptstyle |h_j|\le t_j\atop \scriptstyle

j=\ov{1,d}}||\Delta_h^lf(\cdot)||_p,

$$

де $\Delta_h^lf(x)=\Delta_{h_d}^l\dots\Delta_{h_1}^lf(x)=

\Delta_{h_d}^l(\dots(\Delta_{h_1}^lf(x)))$ --- мiшана $l$-та рiзниця з кроком $h_j$ за змiнною $x_j$ i

$$

\Delta_{h_j}^lf(x)=\sum\ls_{n=0}^l(-1)^{l-n}C_l^n

f(x_1,\dots,x_{j-1},x_j+jh,x_{j+1},\dots,x_d).

$$

Нехай $\Omega(t)=\Omega(t_1,\dots,t_d)$ --- задана функцiя типу мiшаного модуля неперервностi порядку $l$, яка задовольняє умови:

1) $\Omega(t)>0$, $t_j>0$, $j=\ov{1,d}$; $\Omega(t)=0$, $\prod\ls_{j=1}^dt_j=0$;

2) $\Omega(t)$ зростає по кожнiй змiннiй;

3) $\Omega(m_1t_1,\dots,m_dt_d)\le\lf(\prod\ls_{j=1}^dm_j\rt)^l\Omega(t)$, $m_j\in N$, $j=\ov{1,d}$;

4) $\Omega(t)$ неперервна при $t_j\ge0$, $j=\ov{1,d}$.

Наслiдуючи С.Н. Бернштейна, ми будемо називати функцiю однiєї змiнної $\varphi(\tau)$ майже зростаючою (вiдповiдно, майже спадною) на $[a,b]$, якщо iснує таке$C_1>0$ $(C_2>0)$, яке не залежить вiд $\tau_1$ i $\tau_2$, що

$$

\varphi(\tau_1) \le C_1 \varphi(\tau_2)

$$

для $a \le \tau_1 \le \tau_2 \le b$ у випадку майже зростання i, вiдповiдно,

$$

\varphi(\tau_1) \ge C_2 \varphi(\tau_2)

$$

для $a \le \tau_1 \le \tau_2 \le b$ у випадку майже спадання.

Будемо вважати, що $\Omega(t)$ задовольняє умови $(S)$, \ $(S_l)$, якi називають умовами Барi--Стєчкiна. Це означає наступне.

Функцiя однiєї змiнної $\varphi(\tau)\ge0$, $\tau \in [0,1]$, задовольняє умову $(S)$, якщо $\varphi(\tau)/\tau^{\alpha}$ майже зростає при деякому $\alpha > 0$.

Функцiя $\varphi(\tau)\ge 0$, $\tau \in [0,1]$, задовольняє умову $(S_l)$, якщо $\varphi(\tau)/\tau^{\gamma}$ майже спадає при деякому $0<\gamma<l$.

Будемо говорити, що $\Omega(t)$ задовольняє умови $(S)$ i $(S_l)$, якщо $\Omega(t)$ задовольняє цi умови по кожнiй змiннiй $t_j$ при фiксованих $t_i$, $i\ne j$.

Зазначимо, що функцiї, якi задовольняють сформульованi вище умови 1--4, $(S)$ та $(S_l)$, можуть мати вигляд

$$

\Omega(t)=t_1^{r_1}\cdot\dots\cdot t_d^{r_d}\cdot

\lf(\log\frac{1}{t_1}\rt)^{m_1}\cdot\dots\cdot

\lf(\log\frac{1}{t_d}\rt)^{m_d},

$$

де $0<r_j<l$, $j=\ov{1,d}$, а $m_j$,\ $j=\ov{1,d}$, --- фiксованi дiйснi числа.

Означимо деякi порядковi спiввiдношення, якi використовуватимуться далi.

Функцiї $\mu(n)$ i $\nu(n)$ будемо називати функцiями однакового порядку i писати $\mu(n)\asymp\nu(n)$, якщо iснують сталi \mbox{$0<C_3\le C_4$} такi, що виконується нерiвнiсть \mbox{$C_3\mu(n)\le\nu(n)\le C_4\mu(n)$.} Якщо ж \mbox{$\mu(n)\le C_5\nu(n)$} чи \mbox{$\mu(n) \ge C_6\nu(n)$,} то позначимо \mbox{$\mu(n) \ll\nu(n)$} i \mbox{$\mu(n)\gg\nu(n)$,} вiдповiдно. Зауважимо, що надалi сталi, якi будуть зустрiчатися в порядкових спiввiдношеннях, можуть залежати тiльки вiд параметрiв, що входять в означення класу, метрики, в якiй вимiрюється похибка наближення, та розмiрностi $d$ простору $R^d$.

Sun Yongsheng i Wang Heping введено клас функцiй $B_{p,\theta}^{\Omega}$, норма в якому при $\Omega(t)=\prod\ls_{j=1}^dt_j^{r_j}$ спiвпадає з означеною П.I.~Лiзоркiним i С.М.~Нiкольським нормою класу $B_{p,\theta}^r$. Для $1<p<\iny$, \ \mbox{$1\le\theta\le\iny$} i заданої функцiї типу мiшаного модуля неперервностi $\Omega(t)$, яка задовольняє умови 1--4,\ $(S)$, $(S_l)$, клас $B_{p,\theta}^{\Omega}$ визначається наступним чином:

$$

B_{p,\theta}^{\Omega}:=\lf\{f(\cdot)\in L_p^0(\pi_d): \

||f||_{B_{p,\theta}^{\Omega}}=\lf\{\int \ls_{\pi_d}

\lf(\frac{\Omega_l(f,t)_p}{\Omega(t)}\rt)^{\theta} \prod

\ls_{j=1}^d\frac{dt_j}{t_j}\rt\}^{\frac{1}{\theta}}\le 1\rt\},

$$

$1\le\theta<\iny$,

$$

B_{p,\iny}^{\Omega}:=\lf\{f(\cdot)\in L_p^0(\pi_d): \

||f||_{B_{p,\iny}^{\Omega}}=\sup\ls_{t>0}

\frac{\Omega_l(f,t)_p}{\Omega(t)}\le 1\rt\}.

$$

Зазначимо, що при $\theta=\iny$ клас $B_{p,\theta}^{\Omega}$ спiвпадає з введеним Н.Н.~Пустовойтовим класом $H_p^{\Omega}$, який є аналогом класу $H_p^{r}$, введеного С.М.~Нiкольським.

Sun Yongsheng i Wang Heping встановили iнше зображення для норм функцiй з класу $B_{p,\theta}^{\Omega}$:

$$

||f||_{B_{p,\theta}^{\Omega}}\asymp\lf\{\sum\limits_s

||\delta_s(f,\cdot)||_p^\theta\ \Omega(2^{-s})^{-\theta}

\rt\}^{\frac{1}{\theta}}, 1\le\theta<\iny, \eqno{(1)}

$$

$$

||f||_{B_{p,\iny}^{\Omega}}=||f||_{H_p^{\Omega}}\asymp \sup\ls_s

\frac{||\delta_s(f,\cdot)||_p}{\Omega(2^{-s})}\ , \eqno{(2)}

$$

де $\Omega(2^{-s})=\Omega(2^{-s_1},\dots,2^{-s_d})$, $s_j\in N$, \ $j=\ov{1,d}$.

Зазначимо, що при $\Omega(t)=t_1^{r_1}\cdot\dots\cdot t_d^{r_d}$ iз спiввiдношень (1), (2) випливають наступнi зображення:

$$

||f||_{B_{p,\theta}^r}\asymp\lf\{\sum\ls_s

2^{(r,s)\theta}||\delta_s(f,\cdot)||_p^{\theta}\rt\}^{\frac{1}{\theta}}, \

\ 1\le\theta<\iny,

$$

$$

||f||_{B_{p,\iny}^r}=||f||_{H_p^r}\asymp \sup\ls_s

2^{(r,s)}||\delta_s(f,\cdot)||_p\ ,

$$

якi встановлено П.I. Лiзоркiним та С.М. Нiкольським, i клас $B_{p,\theta}^{\Omega}$ \ спiвпадає вiдповiдно з $B_{p,\theta}^r$.

Предметом дослiдження є деякi апроксимативнi характеристики класiв $B_{p,\theta}^{\Omega}$ періодичних функцiй багатьох змiнних. Зокрема, дослiджуються величини найкращого $M$--членного тригонометричного наближення

$$

e_M(B_{p,\theta}^{\Omega})_q := \sup_{f\in B_{p,\theta}^{\Omega} }

\inf_{\lf\{k^j\rt\}_{j=1}^{M}}\inf_{\lf\{c_j\rt\}_{j=1}^{M}} \left\Vert

f(\cdot)-\sum\ls_{j=1}^{M}c_je^{i(k^j,\cdot)} \right\Vert_q, \eqno{(3)}

$$

де $\lf\{k^j\rt\}_{j=1}^M$ --- набiр векторiв $k^j=(k_1^j,\dots,k_d^j)$ з

цiлочисловими координатами, $c_j$ --- довiльнi коефiцiєнти.

Якщо за числа $c_j$ в (3) брати коефiцiєнти Фур'є функцiї $f(x)$, тобто

$$

c_j= \hat{f}(k^j) = (2\pi)^{-d}\il_{\pi_d}f(t)e^{-i(k^j,t)}dt,

$$

то предметом дослiдження будуть величини

$$

e_M^{\perp}(B_{p,\theta}^{\Omega})_q := \sup_{f\in B_{p,\theta}^{\Omega}}

\inf_{\lf\{k^j\rt\}_{j=1}^{M}} \left\Vert f(\cdot)- \sum\ls_{j=1}^{M}

\hat{f}(k^j) e^{i(k^j, \cdot)} \right\Vert_q, \eqno{(4)}

$$

якi називаються найкращими $M$--членними ортогональними тригонометричними наближеннями класiв $B_{p,\theta}^{\Omega}$ у просторi $L_q$. Очевидно, що величини (3) i (4) пов'язанi спiввiдношенням

$$

e_M(B_{p,\theta}^{\Omega})_q\le e_M^{\perp}(B_{p,\theta}^{\Omega})_q.

$$

Зазначимо також, що величина $e_M(B_{p,\theta}^{\Omega})_q$ не перевищує величини тригонометричного поперечника $d_M^{\; T} (B_{p,\theta}^{\Omega},L_q)$ класу $B_{p,\theta}^{\Omega}$, яка визначається наступним чином:

$$

d_M^{\;T}(B_{p,\theta}^{\Omega},L_q) := \inf_{\lf\{k^j\rt\}_{j=1}^{M}}\

\sup_{f\in B_{p,\theta}^{\Omega}} \ \inf_{\lf\{c_j\rt\}_{j=1}^{M}}

\left\Vert f(\cdot) - \sum\ls_{j=1}^{M} c_j e^{i(k^j, \cdot)} \right\Vert_q.

\eqno{(5)}

$$

Паралельно в роботi дослiджуються колмогоровськi поперечники $d_M(B_{p,\theta}^{\Omega},L_q)$. Нагадаємо, що $M$-вимiрним колмогоровським поперечником класу $B_{p,\theta}^{\Omega}$ у просторi $L_q$ називається величина

$$

d_M(B_{p,\theta}^{\Omega},L_q)=\inf_{L_M} \sup_{f\in

B_{p,\theta}^{\Omega}} \inf_{h\in L_M} ||f(\cdot) - h(\cdot)||_q,

\eqno{(6)}

$$

де $L_M$ --- пiдпростiр в $L_q$ розмiрностi $M$.

Пiдпростiр, на якому досягається точна нижня межа в наведеному вище означеннi величини $d_M(B_{p,\theta}^{\Omega},L_q)$, називається екстремальним пiдпростором. З визначення величин колмогоровських та тригонометричних поперечникiв класiв $B_{p,\theta}^{\Omega}$ у просторi $L_q$, тобто з (5) та (6), випливає нерiвнiсть

$$

d_M^{\; T} (B_{p,\theta}^{\Omega},L_q) \ge d_M(B_{p,\theta}^{\Omega},L_q).

$$

Тому, якщо оцiнки знизу для колмогоровських поперечникiв вiдомi, то вони можуть слугувати оцiнками знизу для тригонометричних поперечникiв, що й використовується при дослідженні величини тригонометричних поперечникiв.

Перш ніж перейти до викладу основних результатiв, зазначимо, що ми розглядатимемо класи $B_{p,\theta}^{\Omega}$, якi визначатимуться мiшаним модулем неперервностi $\Omega(t)=\Omega(t_1,\dots,t_d)$ певного виду.

Нехай $\omega(\tau)$ --- задана функцiя (однiєї змiнної) типу модуля неперервностi порядку $l$, яка задовольняє умови $(S)$ i $(S_l)$. Задамо (багатовимiрний) мiшаний модуль неперервностi порядку $l$ наступного спецiального виду:

$$

\Omega(t)=\omega

\Big(\prod \ls_{j=1}^dt_j

\Big), j=\ov{1,d}. \eqno{(7)}

$$

Легко бачити, що для $\Omega(t)$ виконуються властивостi 1--4 функції типу мiшаного модуля неперервностi порядку $l$. З (7) i того факту, що $\omega(\tau)$ задовольняє умови $(S)$ i $(S_l)$, випливає, що $\Omega(t)$ також задовольняє умови $(S)$ i $(S_l)$. \ Тому для $\Omega(t)$ виду (7), яким визначається клас $B_{p,\theta}^{\Omega}$, $1<p<\iny$, $1\le\theta\le\iny$, зберiгаються зображення (1), (2) норм функцiй цього класу.

Другий роздiл роботи присвячено вивченню найкращих $M$\ --членних ортогональних тригонометричних наближень класiв $B_{p,\theta}^{\Omega}$ у просторi $L_q$ при $1<p,q<\infty$.

Зазначимо, що всi результати роботи будуть сформульованi у виглядi порядкових спiввiдношень $\asymp$, $\gg$, $\ll$, означення яких подано вище.

В подальшому в формулюваннi отриманих результатiв буде присутнє порядкове спiввiдношення $M\asymp2^nn^{d-1}$, $M,$\ $n \in N$, яке розумiється таким чином, що iснують сталi $0<C_7<C_8$} такi, що виконуються нерiвностi

$$

C_7 2^nn^{d-1} \le M \le C_8 2^nn^{d-1} .

$$

Зауважимо, що виходячи з останнього спiввiдношення, можемо записати наступнi порядковi спiввiдношення:

$$

n\, \asymp\, \log\, M\, , 2^n\, \asymp\, \frac{M}{\log^{d-1}M} \;.

$$

Перший пiдроздiл 2.1 носить допомiжний характер. В ньому формулюються задачi дослiдження, наводяться необхiднi позначення та твердження, якi неодноразово використовуються надалi.

У наступному пiдроздiлi~2.2 одержано точнi за порядком оцiнки величин $e_M^{\perp}(B_{p,\theta}^{\Omega})_q$ при $1<p<q<\infty$.

Теорема 2.2. Нехай $1<p<q<\infty$, $1\le\theta\le\infty$ i $\Omega(t)=\omega(t_1 \cdot \dots \cdot t_d)$, де $\omega(\tau)$ задовольняє умову $(S)$ з деяким $\alpha>\max\{\frac{1}{p}-\frac{1}{q};$ $\frac{1}{p}-\frac{2}{q}+\frac{1}{\theta}\}$, а також умову $(S_l)$. Тодi для будь-яких натуральних $M$ та $n$, таких що $M\asymp2^nn^{d-1}$, має мiсце спiввiдношення

$$

e_M^{\bot} (B_{p,\theta}^{\Omega})_q \asymp \omega(2^{-n})

2^{n(\frac{1}{p}-\frac{1}{q})} n^{(d-1)(\frac{1}{q}-\frac{1}{\theta})}.

$$

Наприкiнцi пiдроздiлу проводиться порiвняння одержаного результату даної теореми з вiдповiдними оцiнками найкращих наближень класiв $B_{p,\theta}^{\Omega}$ тригонометричними полiномами з "номерами" гармонiк iз "ступiнчастих гiперболiчних хрестів".

Множину

$$

Q_n=\bigcup\limits_{||s||_1< n}\rho(s),

$$

де $||s||_1=(s,1)= s_1+\dots+s_d$, називають "ступiнчастим гiперболiчним хрестом".

Для $f(x)\in L_q(\pi_d)$,\ $1\le q\le \infty$, величина

$$

E_{Q_n}(f)_q := \inf_{t\in T_{Q_n}}||f(\cdot) - t(\cdot)||_q,

$$

де

$$

T_{Q_n}=\bigg \{t: \; t(x)=\sum\ls_{k\in Q_n}a_ke^{i(k,x)} \bigg \}, \

$$

є найкращим наближенням цiєї функцiї в метрицi простору $L_q$ тригонометричними полiномами iз множини $T_{Q_n}$. Вiдповiдно для класу $B_{p,\theta}^{\Omega}$

$$

E_{Q_n}(B_{p,\theta}^{\Omega})_q =\sup_{f\in B_{p,\theta}^{\Omega}}

E_{Q_n}(f)_q.

$$

Якщо ж за наближуючі агрегати брати частинні суми ряду Фур'є з "номерами" гармонік із $Q_n$, то величину

$$

{\cal{E}}_{Q_n}(f)_{q} := ||f(\cdot)-S_{Q_n}(f, \cdot)||_q ,

$$

де

$$

S_{Q_n}(f,x) \; = \; \sum\ls_{k \in Q_n} \hat{f}(k) e^{i(k,x)} \; = \;

\sum\ls_{||s||_1<n} \; \sum\ls_{k\in \rho(s)} \; \hat{f}(k) e^{i(k,x)} ,

$$

називають наближенням функції $f(x)$ частинними сумами ряду Фур'є з "номерами" гармонік із "ступiнчастих гiперболiчних хрестів".

Відомо, що при $1<q<\infty$ величини $E_{Q_n} (f)_q$ та ${\cal{E}}_{Q_n} (f)_{q}$ однакові за порядком, тобто

$$

E_{Q_n} (f)_q \asymp {\cal{E}}_{Q_n} (f)_{q} .

$$

Для $f(x) \in B_{p,\theta}^{\Omega}$ покладаємо

$$

{\cal{E}}_{Q_n} (B_{p,\theta}^{\Omega})_{q} = \sup\ls_{f \in

B_{p,\theta}^{\Omega}} \; {\cal{E}}_{Q_n} (f)_{q} .

$$

Точнi за порядком оцiнки величин $E_n(B_{p,\theta}^{\Omega})_q$ і ${\cal{E}}_{n} (B_{p,\theta}^{\Omega})_{q}$ при\ $1<p\le q<\infty$ отримано Sun Yongsheng i Wang Heping.

Зазначимо, що у випадку $q\le \theta\le \infty$ при умовах теореми 2.2 порядкові оцінки величин $e_M^{\perp}(B_{p,\theta}^{\Omega})_q$ і $E_{Q_n}(B_{p,\theta}^{\Omega})_q$ співпадають. Якщо ж $1\le \theta < q$, а $\omega(\tau)$ задовольняє умову $(S)$ з деяким $\alpha> \frac{1}{p}-\frac{2}{q} +\frac{1}{\theta}$ i умову $(S_l)$, то має мiсце порядкова рiвнiсть

$$

e_{M}^{\perp}(B_{p,\theta}^{\Omega})_q \asymp

E_{Q_n}(B_{p,\theta}^{\Omega})_q \;

n^{(d-1)(\frac{1}{q}-\frac{1}{\theta})} .

$$

У пiдроздiлi 2.3 продовжено дослiдження найкращих $M$--членних ортогональних тригонометричних наближень класiв $B_{p,\theta}^{\Omega}$ в метрицi $L_q$ при $p$ та $q$, що задовольняють нерiвнiсть $1<q\le p<\infty$.

Справедливі наступні теореми.

Теорема 2.3. Нехай $1<q\le p<\infty$, $p\ge 2$, $1\le\theta\le\infty$ i $\Omega(t)=\omega(t_1\cdot\dots \cdot t_d)$, де $\omega(\tau)$ задовольняє умову $(S)$ з деяким $\alpha>\max\{0;$ $\frac{1}{\theta} - \frac{1}{2}\}$, а також умову $(S_l)$. Тодi для будь-яких натуральних $M$ та $n$, таких що $M\asymp2^nn^{d-1}$, має мiсце порядкова рівність

$$

e_M^{\perp}(B_{p,\theta}^{\Omega})_q \asymp \omega(2^{-n})

n^{(d-1)(\frac{1}{2}-\frac{1}{\theta})}.

$$

Теорема 2.4. Нехай $1<q\le p\le 2$, $1\le\theta\le\infty$ i $\Omega(t)=\omega(t_1\cdot\dots \cdot t_d)$, де $\omega(\tau)$ задовольняє умову $(S)$ з деяким $\alpha>\max\{0;$ \mbox{$\frac{1}{\theta} - \frac{1}{p}\}$,} а також умову $(S_l)$. Тодi для будь-яких натуральних $M$ та $n$, таких що \mbox{$M\asymp2^nn^{d-1}$,} має мiсце порядкове спiввiдношення

$$

\omega(2^{-n}) n^{(d-1)(\frac{1}{2}-\frac{1}{\theta})} \ll

e_M^{\bot}(B_{p,\theta}^{\Omega})_q \ll \omega(2^{-n})

n^{(d-1)(\frac{1}{p}-\frac{1}{\theta})}.

$$

Оцiнки найкращих $M$--членних ортогональних тригонометричних наближень класiв $B_{p,\theta}^{r}$\ одержано А.С. Романюком.

Третiй роздiл роботи присвячений дослiдженню найкращих $M$--членних тригонометричних наближень класiв $B_{p,\theta}^{\Omega}$ у просторi $L_{q}$.

У пiдроздiлi 3.1 проводиться дослiдження величин $e_M(B_{p,\theta}^{\Omega})_q$ у випадку $1<p<q<\infty$. Одержано наступнi результати.

Теорема 3.1. Нехай $1<p\le2<q<\infty$, $1\le\theta\le\infty$ i \mbox{$\Omega(t)=\omega(t_1\cdot\dots \cdot t_d)$,} де $\omega(\tau)$ задовольняє умову $(S)$ з деяким \mbox{$\alpha>\frac{1}{p}$,} а також умову $(S_l)$. Тодi для будь--яких натуральних $M$ та $n$, таких що \mbox{$M\asymp2^nn^{d-1}$,} має мiсце порядкова рiвнiсть

$$

e_M(B_{p,\theta}^{\Omega})_q \asymp

\omega(2^{-n})2^{n(\frac{1}{p}-\frac{1}{2})}

n^{(d-1)(\frac{1}{2}-\frac{1}{\theta})}.

$$

Теорема 3.2. Нехай $2\le p<q<\infty$, $1\le\theta\le\infty$ i \mbox{$\Omega(t)=\omega(t_1\cdot\dots \cdot t_d)$,} де $\omega(\tau)$ задовольняє умову $(S)$ з деяким \mbox{$\alpha>\frac{1}{2}$,} а також умову $(S_l)$. Тодi для будь--яких натуральних $M$ та $n$, таких що \mbox{$M\asymp2^nn^{d-1}$,} має мiсце спiввiдношення

$$

e_M(B_{p,\theta}^{\Omega})_q\asymp\omega(2^{-n})

n^{(d-1)(\frac{1}{2}-\frac{1}{\theta})}.

$$

Порівнюючи результати наведених теорем з результатом теореми 2.2, бачимо, що величини $e_M(B_{p,\theta}^{\Omega})_q$ кращі за порядком, ніж $e_M^{\perp}(B_{p,\theta}^{\Omega})_q$, навіть в одновимiрному випадку, тобто при $d=1$.

Наведемо більш детальне порівняння величин, про якi йде мова.

При умовах теореми 3.1 виконується порядкова рiвнiсть

$$

e_M(B_{p,\theta}^{\Omega})_q \asymp e_M^{\perp}(B_{p,\theta}^{\Omega})_q

\; M^{\frac{1}{q}-\frac{1}{2}} \lf(\log^{d-1} M \rt)^{1 - \frac{2}{q}} .

$$

При умовах теореми 3.2 має мiсце порядкова рiвнiсть

$$

e_M(B_{p,\theta}^{\Omega})_q \asymp e_M^{\perp}(B_{p,\theta}^{\Omega})_q

\; M^{\frac{1}{q}-\frac{1}{p}} \lf(\log^{d-1} M \rt)^{\frac{1}{2} +

\frac{1}{p}-\frac{2}{q}} .

$$

Коли ж провести порівняння оцінки величини $e_M(B_{p,\theta}^{\Omega})_q$ з оцінками для колмогоровських поперечників $d_M(B_{p,\theta}^{\Omega},L_q)$, то у випадку \mbox{$1<p<q<\infty$,} \mbox{$q>2$,} можна зробити такий висновок. Якщо $\omega(\tau)$ задовольняє умову $(S)$ з деяким \mbox{$\alpha>max \{\frac{1}{p};$} \mbox{$\frac{1}{2} \}$} і умову $(S_l)$, то при \mbox{$1\le\theta<2$}

$$

e_M(B_{p,\theta}^{\Omega})_q \asymp d_M(B_{p,\theta}^{\Omega},L_q)

\lf(\log^{d-1} M \rt)^{\frac{1}{2}-\frac{1}{\theta}} ,

$$

а при $2\le\theta\le\infty$ величини $e_M(B_{p,\theta}^{\Omega})_q $ i $d_M(B_{p,\theta}^{\Omega},L_q) $ рiвнi мiж собою за порядком. Зазначимо, що величини $d_M(B_{p,\theta}^{\Omega},L_q)$ при \mbox{$1<p<q<\infty$} дослiджувались Sun Yongsheng та Wang Heping.

Теорема 3.3. Нехай $1<p<q\le 2$, $1\le\theta\le\infty$ i \mbox{$\Omega(t)=\omega(t_1\cdot\dots \cdot t_d)$,} де $\omega(\tau)$ задовольняє умову $(S)$ з деяким \mbox{$\alpha> \max \{ \frac{1}{p}-\frac{1}{q};$} \mbox{$\frac{1}{p}-\frac{2}{q}+\frac{1}{\theta} \}$,} а також умову $(S_l)$. Тодi для будь-яких натуральних $M$ та $n$, таких що $M\asymp2^nn^{d-1}$, має мiсце порядкова рівність

$$

e_M(B_{p,\theta}^{\Omega})_q \asymp \omega(2^{-n})

2^{n(\frac{1}{p}-\frac{1}{q})} n^{(d-1)(\frac{1}{q}-\frac{1}{\theta})}.

$$

При умовах теореми 3.3 порядкові оцінки величин $e_M(B_{p,\theta}^{\Omega})_q$ та $e_M^{\perp}(B_{p,\theta}^{\Omega})_q$ співпадають.

В підрозділі 3.2 встановлюються оцінки величин $e_M(B_{p,\theta}^{\Omega})_q$ у випадку \mbox{$1<q\le p<\infty$.} В результатi дослiджень встановлено, що порядковi оцiнки величин $e_M(B_{p,\theta}^{\Omega})_q$ i $e_M^{\bot} (B_{p,\theta}^{\Omega})_q$ при \mbox{$1<q\le p<\infty$} однаковi.

Останній пiдроздiл 3.3 третього роздiлу присвячений вивченню найкращих $M$--членних тригонометричних наближень та наближень "ступiнчасто-гiперболiчними" сумами Фур'є класiв $B_{p,\theta}^{\Omega}$ в рiвномiрнiй метрицi. В результатi проведених дослiджень виявлено вiдмiннiсть порядкових оцiнок величин $e_M(B_{p,\theta}^{\Omega})_{\infty}$ по вiдношенню до оцiнок величин $ {\cal{E}}_{Q_n}(B_{p,\theta}^{\Omega})_{\infty}$. }

Доведено наступнi твердження.

Теорема 3.6. Нехай $1<p<\infty$, $1\le\theta\le\infty$ i \mbox{$\Omega(t)=\omega \lf(t_1\cdot \dots \cdot t_d \rt)$,} де\ $\omega(\tau)$ задовольняє умову $(S)$ з деяким\ \mbox{$\alpha>\max\{\frac{1}{p};$} \mbox{$\frac{1}{2}\}$,} а також умову $(S_l)$. Тодi для будь-яких натуральних $M$ та $n$, таких що \mbox{$M\asymp2^nn^{d-1}$,} має мiсце спiввiдношення

$$

\omega(2^{-n}) 2^{n(\frac{1}{p}-\frac{1}{2})_{+}}

n^{(d-1)(\frac{1}{2}-\frac{1}{\theta})} \ll e_M

(B_{p,\theta}^{\Omega})_{\infty} \ll

$$

$$

\ll \omega(2^{-n}) 2^{n(\frac{1}{p}-\frac{1}{2})_{+}}

n^{(d-1)(\frac{1}{2}-\frac{1}{\theta})_{+}} {n}^{\frac{1}{2}},

$$

де $a_{+}=\max\{a; 0\}$.

Теорема 3.7. Нехай $1<p<\infty$, $1\le\theta\le\infty$ i \mbox{$\Omega(t)=\omega \lf( t_1\cdot \dots \cdot t_d \rt)$,} де\ $\omega(\tau)$ задовольняє умову $(S)$ з деяким\ \mbox{$\alpha>\frac{1}{p}$,} а також умову $(S_l)$, тодi

$$

{\cal{E}}_{Q_n}(B_{p,\theta}^{\Omega})_{\infty} \,

\asymp\; \omega(2^{-n}) \; 2^{\frac{n}{p}} \;

n^{(d-1)(1-\frac{1}{\theta})}.

$$

Зазначимо, що при $\omega(\tau)={\tau}^{r_1}$ відповідні результати для класів $B_{p,\theta}^{r}$ одержані А.С. Романюком.

Останній розділ роботи присвячений дослiдженню тригонометричних та колмогоровських поперечникiв класiв $B_{p,\theta}^{\Omega}$ у просторi $L_q$.

В пiдроздiлі 4.1 дослiджуються тригонометричні поперечники класiв $B_{p,\theta}^{\Omega}$ у просторi $L_q$ у тих випадках, коли пiдпростiр тригонометричних полiномiв з "номерами" гармонiк iз "ступiнчастих гiперболiчних хрестів" не є екстремальним для колмогоровських поперечникiв цих класiв, зокрема у випадку $1<p<2\le q<\infty$.

Нагадаємо, що дослiдження поведiнки величин $d_M(B_{p,\theta}^{\Omega},L_q)$, \mbox{$1<p<q<\infty$,} проводилось Sun Yongsheng i Wang Heping. Результати дослiджень показали, що у випадку \mbox{$1<p<q\le 2$} оцiнки зверху \ $M$-вимiрних колмогоровських поперечникiв класiв $B_{p,\theta}^{\Omega}$ у просторi $L_q$ реалiзуються пiдпростором тригонометричних полiномiв з "номерами" гармонiк iз "ступiнчастих гiперболiчних хрестiв". Таким чином, порядковi оцiнки для тригонометричного поперечника $d_M^{\; T} (B_{p,\theta}^{\Omega},L_q)$ в цьому випадку записуються автоматично.

Теорема 4.1. Heхай $1<p<q\le 2$, $1\le\theta\le\infty$ і \mbox{$\Omega(t)=\omega(t_1\cdot\dots \cdot t_d)$,} де $\omega(\tau)$ задовольняє умову $(S)$ з деяким \mbox{$\alpha> \frac{1}{p}-\frac{1}{q}$,} а також умову $(S_l)$. Тодi для будь-яких натуральних $M$ та $n$, таких що \mbox{$M\asymp2^nn^{d-1}$,} має мiсце порядкова рівність

$$

d_M^{\; T} (B_{p,\theta}^{\Omega},L_q) \asymp \omega(2^{-n})

2^{n(\frac{1}{p}-\frac{1}{q})} n^{

{(d-1)(\frac{1}{q}-\frac{1}{\theta})}_{+} }.

$$

Iнтерес викликав випадок $1<p < 2 \le q<\infty$. Виникає запитання: чи може в цьому випадку пiдпростiр тригонометричних полiномiв бути екстремальним? \ Вiдповiдь на це запитання отримано лише при \mbox{$1<p < 2 \le q < \frac{p}{p-1}$.} Доведено наступну теорему.

Теорема 4.2. Heхай $1<p < 2 \le q < \frac{p}{p-1}$, $1\le\theta\le\infty$ і \mbox{$\Omega(t)=\omega(t_1\cdot\dots \cdot t_d)$,} де $\omega(\tau)$ задовольняє умову $(S)$ з деяким \mbox{$\alpha> 1$,} а також умову $(S_l)$. Тодi для будь-яких натуральних $M$ та $n$, таких що \mbox{$M\asymp2^nn^{d-1}$,} має мiсце оцінка

$$

d_M^{\; T}(B_{p,\theta}^{\Omega},L_q) \asymp \omega(2^{-n})

2^{n(\frac{1}{p}-\frac{1}{2})}

n^{(d-1){(\frac{1}{2}-\frac{1}{\theta})}_{+}} .

$$

В результатi дослiдження виявлено, що при виконаннi умов теореми 4.2 порядкова оцiнка тригонометричного поперечника дорівнює за порядком вiдповiдній оцiнці колмогоровського поперечника класу $B_{p,\theta}^{\Omega}$ у просторi $L_q$.

Таким чином, пiдпростiр тригонометричних полiномiв з "номерами" гармонiк iз множини \mbox{$\Theta_M = \{ k^j \}^{M}_{j=1}$,} \mbox{$k^j \in Z^d$,} що побудований при доведеннi теореми~4.2, є в певному сенсi екстремальним для колмогоровського поперечника $d_M(B_{p,\theta}^{\Omega}, L_q)$.

У підрозділі 4.2 при деяких співвідношеннях між $p$ та $q$ \mbox{(\ $2\le q \le p<\infty$,} \mbox{$1\le\theta\le\infty$;} \mbox{$1<q\le 2 \le p<\infty$,} \mbox{$2\le\theta\le\infty$\ )} встановлюються оцінки колмогоровських та тригонометричних поперечників, які виявилися рівними між собою за порядком. Мають мiсце наступні теореми.

Теорема 4.3. Нехай $1<q\le 2 \le p<\infty$, $2\le\theta\le\infty$ i \mbox{$\Omega(t)=\omega(t_1\cdot\dots \cdot t_d)$,} де $\omega(\tau)$ задовольняє умову $(S)$ з деяким \mbox{$\alpha>0$,} а також умову $(S_l)$. Тодi для будь--яких натуральних $M$ та $n$, таких що \mbox{$M\asymp2^nn^{d-1}$,} має мiсце порядкова рiвнiсть

$$

d_M(B_{p,\theta}^{\Omega},L_q) \asymp

\omega(2^{-n}) n^{(d-1){(\frac{1}{2}-\frac{1}{\theta})}} .

$$

Теорема 4.4. Нехай $2\le q \le p<\infty$, $1\le\theta\le\infty$ i \mbox{$\Omega(t)=\omega(t_1\cdot\dots \cdot t_d)$,} де $\omega(\tau)$ задовольняє умову $(S)$ з деяким \mbox{$\alpha>0$,} а також умову $(S_l)$. Тодi для будь--яких натуральних $M$ та $n$, таких що \mbox{$M\asymp2^nn^{d-1}$,} має мiсце порядкова рiвнiсть

$$

d_M(B_{p,\theta}^{\Omega},L_q) \asymp

\omega(2^{-n}) n^{(d-1){(\frac{1}{2}-\frac{1}{\theta})}_{+}}.

$$

Результати теорем 4.1 -- 4.4 для класiв $B_{p,\theta}^{r}$ встановленi А.С. Романюком.

Як зазначалось вище, при умовах теорем 4.3 і 4.4 величини колмогоровських поперечників $d_M(B_{p,\theta}^{\Omega},L_q)$ дорівнюють за порядком величинам тригонометричних поперечників $d_M^{\; T}(B_{p,\theta}^{\Omega},L_q)$, що й показано у дисертацiйнiй роботi.

Питання про порядки величин $d_M(B_{p,\theta}^{\Omega},L_q)$ і $d_M^{\; T}(B_{p,\theta}^{\Omega},L_q)$ у випадках \mbox{$1<q<p\le 2$,} \mbox{$1\le \theta\le \infty$,} та \mbox{$1<q\le 2<p<\infty$,} \mbox{$1\le\theta<2$,} залишаються відкритими.

Зауважимо, що в наведених вище теоремах містяться відповідні результати для класів $H_{p}^{\Omega}$.

Висновки

У дисертацiї розв'язано низку задач про наближення класiв $B_{p,\theta}^{\Omega}$ перiодичних функцiй багатьох змiнних $M$-членними тригонометричними полiномами.

Основнi результати роботи:

1. Знайдено точні за порядком оцiнки найкращих $M$--членних ортогональних тригонометричних наближень класiв $B_{p,\theta}^{\Omega}$ у просторi $L_q$, \mbox{$1<p,q<\infty$.} Виявлено, що при деяких співвідношеннях між параметрами $p$, $q$ та $\theta$ величини $e_M^{\perp}(B_{p,\theta}^{\Omega})_q$ мають кращi оцiнки, нiж вiдповiднi оцiнки найкращих наближень класiв $B_{p,\theta}^{\Omega}$ у метрицi $L_q$ тригонометричними полiномами з "номерами" гармонiк iз "ступiнчастих гiперболiчних хрестiв".

2. Одержано порядковi оцiнки найкращих $M$--членних тригонометричних наближень класiв $B_{p,\theta}^{\Omega}$, \mbox{$1<p<\infty$,} у просторi $L_q$, \mbox{$1<q\le \infty$.} Виявлено, що при деяких співвідношеннях між параметрами $p$ та $q$ величини $e_M(B_{p,\theta}^{\Omega})_q$ кращi за порядком, нiж величини $e_M^{\perp}(B_{p,\theta}^{\Omega})_q$. Встановлено точні за порядком оцінки наближення "ступiнчасто--гiперболiчними" сумами Фур'є в рівномірній метриці.

3. Одержано точні за порядком оцiнки тригонометричних поперечникiв класiв $B_{p,\theta}^{\Omega}$ у просторi $L_q$ при \mbox{ $1<p < 2\le q<\frac{p}{p-1}$,} а також точні за порядком оцінки для $d_M(B_{p,\theta}^{\Omega},L_q)$ та $d_M^{\; T} (B_{p,\theta}^{\Omega},L_q)$ при \mbox{$2\le q \le p<\infty$} і \mbox{$1<q\le 2 \le p<\infty$,} \mbox{$2\le\theta\le\infty$.}

Основні результати дисертації опубліковано в наступних роботах

1. Стасюк С.А. Найкращі $M$\--членні тригонометричні наближення класів функцій багатьох змінних $B_{p,\theta}^{\Omega}$\ // Укр. мат. журн. --- 2002. --- 54, № 3. --- С. 381--394.

2. Стасюк С.А. Найкращі ортогональні тригонометричні наближення класів періодичних функцій багатьох змінних $B_{p,\theta}^{\Omega}$\ // Теорія наближення функцій та суміжні питання. --- Київ: Ін-т математики НАН України, 2002. --- С. 172--194. --- (Праці Ін-ту математики НАН України. Т.35).

3. Стасюк С.А. Тригонометричні поперечники класів $B_{p,\theta}^{\Omega}$ періодичних функцій багатьох змінних // Укр. мат. журн. --- 2002. --- 54, № 5. --- С. 700--705.

4. Стасюк С.А. Наближення класів $B_{p,\theta}^{\Omega}$ періодичних функцій багатьох змінних у рівномірній метриці // Укр. мат. журн. --- 2002. --- 54, № 11. --- С. 1551~--~1559.

5. Стасюк С.А. Найкращі $M$\ --членні тригонометричні наближення класів періодичних функцій багатьох змінних $B_{p,\theta}^{\Omega}$\ // Теорія наближень та гармонічний аналіз: Тези доп. Укр. мат. конгресу. --- 2001. --- Київ: Ін-т математики НАН України, 2001. --- С. 59.

6. Стасюк С.А. Найкращі тригонометричні наближення класів періодичних функцій багатьох змінних $B_{p,\theta}^{\Omega}$ в метриці простору $L_q$\ // Функціональні методи в теорiї наближень, теорії операторів, стохастичному аналізі і статистиці: Тези доп. --- Київ: Київ. нац. ун-т імені Тараса Шевченка, 2001.--- С. 75--76.

Анотацiя

Стасюк С.А. Найкращi тригонометричнi наближення класiв перiодичних функцiй багатьох змiнних. --- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 --- математичний аналіз. --- Інститут математики НАН України, Київ, 2002.

Дисертацію присвячено дослiдженню питань наближення класiв $B_{p,\theta}^{\Omega}$ перiодичних функцiй багатьох змiнних $M$-членними тригонометричними полiномами в просторi $L_q$.

Одержано порядковi оцiнки найкращих тригонометричних наближень $e_M(B_{p,\theta}^{\Omega})_q$, \ \mbox{$1<p<\iny$,} \ \mbox{$1<q\le \infty$,} найкращих ортогональних тригонометричних наближень $e_M^{\perp}(B_{p,\theta}^{\Omega})_q$, \ mbox{$1<p,q<\iny$,} тригонометричних поперечникiв d_M^T(B_{p,\theta}^{\Omega},L_q)$, \ $1<p <2 \le q<\frac{p}{p-1}$, колмогоровських i тригонометричних поперечникiв при \mbox{$1<q\le p<\infty$.}

Ключові слова: найкраще тригонометричне наближення, найкраще ортогональне тригонометричне наближення, тригонометричний поперечник, колмогоровський поперечник, гармоніка, "ступiнчастий гiперболiчний хрест".

Аннотация

Стасюк С.А. Наилучшие тригонометрические приближения классов периодических функций многих переменных. --- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 --- математический анализ. --- Институт математики НАН Украины, Киев, 2002.

Диссертация посвящена вопросам приближения классов $B_{p,\theta}^{\Omega}$ периодических функций многих переменных $M$-членными тригонометрическими полиномами в пространстве $L_q$.

Получены точные по порядку оценки наилучших тригонометрических приближений $e_M(B_{p,\theta}^{\Omega})_q$,\ $1< p<\iny$,\ \mbox{$1<q\le\iny$,} наилучших ртогональных тригонометрических приближений $e_M^{\perp}(B_{p,\theta}^{\Omega})_q$, \ mbox{$1<p,q<\iny$.}

Доказано, что в случае $1<p<q<\iny$,\ $q > 2$ точные по порядку оценки величин $e_M(B_{p,\theta}^{\Omega})_q$ лучшие, чем соответствующие оценки величин $e_M^{\perp}(B_{p,\theta}^{\Omega})_q$.

Имеет место следующая теорема.

Теорема 2.2. Пусть $1<p<q<\infty$, $1\le\theta\le\infty$ и \mbox{$\Omega(t)=\omega(t_1 \cdot \dots \cdot t_d)$,} где $\omega(\tau)$ удовлетворяет условию $(S)$ с некоторым \mbox{$\alpha>\max\{\frac{1}{p}-\frac{1}{q};$} \mbox{$\frac{1}{p}-\frac{2}{q}+\frac{1}{\theta}\}$,} а также условию $(S_l)$. Тогда для любых натуральных $M$ и $n$, таких что $M\asymp2^nn^{d-1}$, имеет место порядковое равенство

$$

e_M^{\bot} (B_{p,\theta}^{\Omega})_q \asymp \omega(2^{-n})

2^{n(\frac{1}{p}-\frac{1}{q})} n^{(d-1)(\frac{1}{q}-\frac{1}{\theta})}.

$$

Сформулируем некоторые из основных результатов по исследованию поведения величин $e_M(B_{p,\theta}^{\Omega})_q$.

Теорема 3.1. Пусть $1<p\le2<q<\infty$, $1\le\theta\le\infty$ и \mbox{$\Omega(t)=\omega(t_1\cdot\dots \cdot t_d)$,} где $\omega(\tau)$ удовлетворяет условию $(S)$ с некоторым \mbox{$\alpha>\frac{1}{p}$,} а также условию $(S_l)$.\

\ Тогда для любых натуральных $M$ и $n$, таких что $M\asymp2^nn^{d-1}$, имеет место порядковое равенство

$$

e_M(B_{p,\theta}^{\Omega})_q\asymp\omega(2^{-n})

2^{n(\frac{1}{p}-\frac{1}{2})} n^{(d-1)(\frac{1}{2}-\frac{1}{\theta})}.

$$

Теорема 3.2. Пусть $2\le p<q<\infty$, $1\le\theta\le\infty$ и \mbox{$\Omega(t)=\omega(t_1\cdot\dots \cdot t_d)$,} где $\omega(\tau)$ удовлетворяет условию $(S)$ с некоторым \mbox{$\alpha>\frac{1}{2}$,} а также условию $(S_l)$.\

\ Тогда для любых натуральных $M$ и $n$, таких что $M\asymp2^nn^{d-1}$, имеет место порядковое равенство

$$

e_M(B_{p,\theta}^{\Omega})_q\asymp\omega(2^{-n})

n^{(d-1)(\frac{1}{2}-\frac{1}{\theta})}.

$$

Сравнивая результаты теорем 2.2, 3.1, 3.2, можно сделать следующие замечания.

При условиях теоремы 3.1 имеет место порядковое равенство

$$

e_M(B_{p,\theta}^{\Omega})_q \asymp e_M^{\perp}(B_{p,\theta}^{\Omega})_q

\; M^{\frac{1}{q}-\frac{1}{2}} \lf(\log^{d-1} M \rt)^{1 - \frac{2}{q}} .

$$

При условиях теоремы 3.2 имеет место порядковое равенство

$$

e_M(B_{p,\theta}^{\Omega})_q \asymp e_M^{\perp}(B_{p,\theta}^{\Omega})_q

\; M^{\frac{1}{q}-\frac{1}{p}} \lf(\log^{d-1} M \rt)^{\frac{1}{2} +

\frac{1}{p}-\frac{2}{q}} .

$$

В работе исследуются также тригонометрические поперечники классов $B_{p,\theta}^{\Omega}$ в пространстве $L_q$ в том случае, когда подпространство тригонометрических полиномов с "номерами" гармоник из "ступенчатых гиперболических крестов" не является экстремальным для колмогоровского поперечника этих классов. Доказано следующее утверждение.

Теорема 4.2. Пусть $1<p <2 \le q< \frac{p}{p-1}$ и \mbox{$\Omega(t)=\omega(t_1\cdot\dots \cdot t_d)$,} где $\omega(\tau)$ удовлетворяет условию $(S)$ с некоторым $\alpha> 1$, а также условию $(S_l)$. Тогда для любых

натуральных $M$ и $n$, таких что $M\asymp2^nn^{d-1}$, имеет место порядковое равенство

$$

d_M^{\; T}(B_{p,\theta}^{\Omega},L_q) \asymp \omega(2^{-n})

2^{n(\frac{1}{p}-\frac{1}{2})}

n^{(d-1){(\frac{1}{2}-\frac{1}{\theta})}_{+}} .

$$

Показано, что подпространство тригонометрических полиномов с "номерами" гармоник из множества \mbox{$\Theta_M = \{ k^j \}^{M}_{j=1}$,} \mbox{$k^j \in Z^d$,} построенного при доказательстве теоремы~4.2, является экстремальным для колмогоровского

поперечника $d_M(B_{p,\theta}^{\Omega}, L_q)$ .

Отметим, что в сформулированных утверждениях содержатся результаты для классов $H_{p}^{\Omega}$.

В случае, когда $\omega(\tau) = \tau^{r_1}$, результаты доказанных в диссертационной работе теорем для классов $B_{p,\theta}^{r}$ установленные А.С.~Романюком.

Ключевые слова: наилучшее тригонометрическое приближение, наилучшее ортогональное тригонометрическое приближение, тригонометрический поперечник, колмогоровский поперечник, гармоника, "ступенчатый гиперболический крест".

Summary

Stasyuk S.A. Best trigonometric approximations of classes of periodic functions of several variables. --- Manuscript.

The thesis for a scientific degree of Candidate of Physical and Mathematical Sciences in speciality 01.01.01 --- mathematical analysis. --- Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2002.

The thesis is dedicated to the problems of approximation of classes $B_{p,\theta}^{\Omega}$ of periodic functions of several variables by $M$-term trigonometric polynomials in the space $L_q$.

There obtained order estimates of best trigonometric approximations $e_M(B_{p,\theta}^{\Omega})_q$, \ $1< p<\iny$, \ \mbox{$1<q\le \iny$,} of best orthogonal trigonometric approximations $e_M^{\perp}(B_{p,\theta}^{\Omega})_q$, \ \mbox{$1<p,q<\iny$,} of trigonometric widths $d_M^{\; T} (B_{p,\theta}^{\Omega},L_q)$, \mbox{$1<p < 2 \le q<\frac{p}{p-1}$,} of\ Kolmogorov and trigonometric widths for \mbox{$1<q\le p<\infty$.}

Key words: best trigonometric approximation, best orthogonal trigonometric approximation, trigonometric width, Kolmogorov width, harmonic, "step hyperbolic cross".

Размещено на Allbest.ru

...