Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

01.01.02 - диференціальні рівняння

НОВИЙ ПІДХІД ДО ДОСЛІДЖЕННЯ

ІНТЕГРАЛЬНИХ ТА ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

З ОБМЕЖЕННЯМИ

САМОЙЛЕНКО Тетяна Анатоліївна

Київ - 2003

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті математики НАН України

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор

ЛУЧКА Антон Юрійович,

Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук

ПЕТРИШИН Роман Іванович,

Чернівецький національний університет ім. Ю. Федьковича, декан фізико-математичного факультету

кандидат фізико-математичних наук, доцент

ПОЛІЩУК Олена Борисівна,

Національний технічний університет України “КПІ”, кафедра математичної фізики

Провідна установа: Київський національний університет імені Тараса Шевченка

Захист відбудеться “17” червня 2003 р. о 16 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.02 при Інституті математики НАН України за адресою: 01601 Київ 4, МСП, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий “13” травня 2003 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Пелюх Г.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. При математичному моделюванні реальних явищ і процесів виникають різноманітні задачі для диференціальних, інтегральних, інтегро-диференціальних рівнянь та їх систем. В теперішній час особлива увага приділяється таким задачам як задачі з параметрами чи імпульсним впливом та задачам, на розв'язок яких накладаються певні умови, обмеження. Серед праць, присвячених вивченню таких задач, слід згадати, перш за все, праці А.М. Самойленка, М.О. Перестюка, А.Ю. Лучки, О.А. Бойчука, М.І. Ронто.

Задачі з додатковими умовами на шукану функцію можна віднести до класу нетерових задач. В працях О.А. Бойчука, А.М. Самойленка розроблено підхід до дослідження нетерових задач, що ґрунтується на використанні теорії узагальнено-обернених чи псевдообернених операторів. Досліджувати задачі з обмеженнями можна також за допомогою задач з параметрами. Зауважимо, що задачі з параметрами вивчались багатьма авторами. Зокрема, двоточковим крайовим задачам для звичайних диференціальних рівнянь з параметрами присвячено дослідження М.І. Ронто, А.В. Кибенко, А.І. Перова; багатоточкові крайові задачі з параметрами розглядалися в статтях М.С. Курпеля, А.Ю. Лучки, А.Г. Марусяка; крайові задачі з параметрами для багаточастотних коливних систем, для коливних систем з імпульсною дією вивчались в працях А.М. Самойленка, М.О. Перестюка, Р.І. Петришина та інших.

Основний підхід до дослідження задач з обмеженнями, як відомо, базується на тому, що задачу довизначають, вводячи в рівняння невідомі параметри, і потім встановлюють умови сумісності вихідної задачі та розробляють методи побудови її наближених розв'язків. У такий спосіб досліджувались задачі з обмеженнями у низці праць А.Ю. Лучки, О.Б. Поліщук та інших авторів.

Дослідження задач з обмеженнями, створення методів побудови їх розв'язків і досі залишається актуальною задачею. В дисертаційній роботі запропоновано новий підхід до дослідження задач з обмеженнями. Суть його полягає в тому, що параметри вводять в обмеження. Запропонований підхід розширює і збагачує теорію задач з обмеженнями. Він дозволяє будувати нові ефективні наближені методи знаходження розв'язку задач з обмеженнями. Застосування такого підходу до різних класів задач з обмеженнями є актуальним і перспективним завданням.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота проводилась згідно із загальним планом досліджень відділу диференціальних рівнянь та теорії коливань Інституту математики НАН України в рамках науково-дослідної роботи "Методи аналізу диференціальних, імпульсних та еволюційних рівнянь" (номер держреєстрації 0198U001998).

Мета і задачі дослідження. Метою даної роботи є встановлення умов сумісності інтегрального рівняння з обмеженнями та крайової задачі для звичайних диференціальних рівнянь з обмеженнями; розробка і обґрунтування методів побудови наближених розв'язків поставлених задач; створення ефективних обчислювальних алгоритмів.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, які визначають наукову новизну і виносяться на захист, такі:

1.Запропоновано новий підхід до дослідження операторних рівнянь з обмеженнями, згідно з яким керування вводиться в обмеження. За допомогою цього підходу встановлено умови сумісності операторного рівняння з обмеженнями.

2.На основі результатів, які отримано для операторних рівнянь з обмеженнями, встановлено умови сумісності нелінійного інтегрального рівняння з обмеженнями.

3.Побудовано ітераційний та модифікований проекційно-ітеративний методи знаходження наближених розв'язків операторних рівнянь з обмеженнями. Встановлено достатні умови збіжності та оцінки похибки запропонованих методів.

4.Застосовано ітераційний та модифікований проекційно-ітеративний методи до нелінійних інтегральних рівнянь з обмеженнями, дано їх обґрунтування та на їх основі розроблено ефективні обчислювальні схеми.

5.Встановлено умови сумісності нелінійної крайової задачі для звичайних диференціальних рівнянь з обмеженнями. Обґрунтовано застосування до неї ітераційного та модифікованого проекційно-ітеративного методів. На основі запропонованих методів розроблено ефективні обчислювальні схеми.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота носить теоретичний характер. Одержані в дисертації результати збагачують теорію задач з обмеженнями і дають можливість поширювати запропонований підхід на інші види задач з обмеженнями. Побудовані алгоритми наближених методів можуть бути використані для знаходження розв'язків конкретних прикладних задач.

Особистий внесок здобувача. Визначення загального плану діяльності і постановка задач належать науковому керівнику А.Ю. Лучці. Доведення всіх результатів дисертації проведено особисто автором.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались і обговорювались на семінарах відділу диференціальних рівнянь та теорії коливань Інституту математики НАН України, а також на конференціях:

Міжнародній конференції "Диференціальні рівняння і нелінійні коливання" (Київ, 27-29 серпня 2001 р.)

Дев'ятій Міжнародній науковій конференції ім. акад. М. Кравчука (Київ, 16-19 травня 2002 р.)

Міжнародній конференції "Теорія еволюційних рівнянь": П'яті Боголюбовські читання (Кам'янець-Подільський, 22-24 травня 2002р.)

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в роботах [1-3] і працях міжнародних конференцій [4-6]. У роботі [1], написаній у співавторстві з науковим керівником А.Ю. Лучкою, постановка задачі належить А.Ю. Лучці, а доведення і обґрунтування всіх результатів проведено особисто автором.

Структура та об'єм дисертації. Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, висновків і списку використаних джерел і містить 127 сторінок друкованого тексту. Список використаних джерел містить 84 найменування.

Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівнику доктору фізико-математичних наук Лучці Антону Юрійовичу за постановку задач, постійну увагу і допомогу в роботі.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі обґрунтовано актуальність теми, сформульовано мету дослідження, проведено стислу анотацію отриманих результатів.

У першому розділі проведено огляд літератури за темою дисертаційної роботи.

У другому розділі дисертації встановлено умови сумісності та розроблено наближені методи знаходження розв'язку інтегрального рівняння з обмеженнями вигляду

(1)

(2)

де - задані вимірні за сукупністю змінних функції, причому такі, що інтегральний оператор, визначений правою частиною рівняння (1), діє в деякому банаховому просторі X; - відомі лінійно незалежні функції та множина чисел; x(t) - шукана функція. Задачу (1), (2) вважаємо сумісною, якщо існує функція x X яка задовольняє обмеження (2) і є розв'язком інтегрального рівняння (1). В противному разі задача (1), (2) несумісна.

Викладки для зручності проводяться для абстрактної задачі

(3)

де елементи f X, p E задані, F:X X - нелінійний оператори, X, E - банахові простори.

В підрозділі 2.1 досліджується задача з керуванням і на основі отриманих результатів встановлюються умови сумісності вихідної задачі (1), (2) та задачі (3).

Розглядається задача з керуванням вигляду

(4)

де y X, u U - шукані елементи, U X - підпростір, причому dim U=dim E Показано, що задача (4) еквівалентна деякому рівнянню без обмежень. Для цього вводиться заміна

y=z+Ku, Sy=p+Su, (5)

в якій елемент z X вважається заданим, а елементи y та u - невідомими.

В подальшому припускаємо, що p E рівняння

Su-Sku=p, u U

має єдиний розв'язок, тобто існує оператор Г: E U такий, що справедливі співвідношення

S(I-K)Гp=p, ГS(I-K)u=u

де - одиничний оператор в

Лема 2.1.1. Нехай існує оператор Г:E U. Тоді задача (5) має єдиний розв'язок, який зображується формулами

u=Rz-w, y=Tz-r, (6)

Зауважимо, що другу формулу (6) можна подати також у вигляді

y=u+h+Gz, h=w-Kw, G=I+KR-R.

Лема 2.1.2. Якщо існує оператор Г:E U, то справедливі наступні властивості:

1)Gku=Gu; 2) SGz=0; 3) Sh=p.

Дослідження задачі з керуванням (4) зводиться до дослідження рівняння

Z=g+Mz+C(Tz-r), (7)

в якому

g=f+Kh, M=KG.

Зауважимо, що рівняння (7) для задачі (1), (2) має вигляд

 (8)

а функції h(t), B(t), N(t), r(t) детально описано в пункті 2.1.2.

Теорема 2.1.1. Нехай існує оператор Г:E U. Тоді задача (4) еквівалентна рівнянню (7). Їх розв'язки пов'язані між собою співвідношенням

y*=z*+Ku*.

На основі отриманих результатів встановлено умови сумісності вихідної задачі (1), (2) та задачі (3).

Теорема 2.1.2. Якщо існує оператор Г:E U, то задача (3) сумісна лише тоді, коли існує розв'язок рівняння (7), який задовольняє умову Rz*=w.

Теорема 2.1.3. Якщо існує оператор Г:E U, то задача (3) та задача

z=g+Mz+CF(Tz-r), Rz=w

одночасно однозначно розв'язувані.

У підрозділі 2.2 обґрунтовується застосування ітераційного методу до задачі (1), (2) та задачі (3). Згідно з запропонованим ітераційним методом наближений розв'язок задачі (3) будуємо за формулами

z_k=f+Kx_k-1+Cfy_k-1, (9)

y_k=z_k-1+Ku_k, Sx_k=p, x_k=y_k-u_k, k=1,2,3,…. (10)

Початкове наближення x₀, u₀ визначаємо із задачі (10) при k=0 і заданому z₀ X.

Ітераційний метод (9), (10) для задачі (1), (2) має вигляд

 (11)

(12)

(13)

де - невідомі параметри, - задана система лінійно незалежних функцій. Показано, що дослідження збіжності методу (9), (10) зводиться до дослідження збіжності ітераційного методу для системи рівнянь

z=g+Mv+CF(Tz-r), (14)

v=d+Lv+DF(Tz-r), (15)

де - оператор проектування простору X на його підпростір (I-K)U. Відповідно для задачі (1), (2) система рівнянь (14), (15) має вигляд

(16)

(17)

Де

,

В пункті 2.2.2 встановлено достатні умови збіжності методу (9), (10).

Теорема 2.2.1. Нехай існує оператор Г:E U і виконуються умови

_{||CFx-CFy||<a||x-y||, ||DFx-DFy||<b||x-y||, x,y X}

Тоді якщо спектральний радіус матриці A

p(A)<1 (18)

і задача (3) сумісна, то вона має єдиний розв'язок і справедливі співвідношення

Тут матриця A має вигляд

Якщо виконується умова (18), але відносно задачі (3) немає ніякої додаткової інформації, то отримаємо де y*, u* - розв'язок задачі з керуванням (4).

Теорема 2.2.2. Припустимо, що виконуються умови:

1)існує оператор Г:E U,

2)||CFx-CFy||<a||x-y||, x, y S(0,d),

₃₎

4)e+pd<d,

5)

Тоді задача (3) у кулі S(0,d) має єдиний розв'язок x* і послідовність {x_k}, побудована за методом (9), (10), збігається до цього розв'язку.

В пункті 2.2.3 встановлено оцінки похибки методу (9), (10).

Теорема 2.2.3. Якщо виконуються умови теореми 2.2.1, то справедливі оцінки похибки методу (9), (10) ||x*-x_k||<l||v*-v_k||, ||u_k||<k||z*-z_k-1||+c||v*-v_k-1||,

де для вектора a_k*=col(||z*-z_k|,||v*-v_k|||) справджуються оцінки a_k*<A^ka₀*, a_k*<(I-A)^-1b₁,

I - одинична матриця розміру два.

Достатні умови збіжності методу (11)-(13) сформульовано в пункті 2.2.4.

На задані функції накладаються такі умови:

1)

2)ядро K(t) таке, що

3)функція F задовольняє нерівність

|F(t,z)-F(t,y)|<l(t)|z-y|, z,y R, F( ,0)=0;

4)

Нехай - матриця з елементами , .

Теорема 2.2.4. Припустимо, що матриця невироджена і виконуються умови 1)-4). Тоді якщо спектральний радіус матриці A

p(A)<1

і задача (1), (2) сумісна, то вона має єдиний розв'язок x* L₂ і справедливі співвідношення

Тут матриця A має вигляд

а сталі b,d₁,d₂,d₃ детально описано в пункті 2.2.4.

Теорема 2.2.5. Припустимо, що виконуються умови:

1)матриця невироджена,

2)f C(), K(t), C(t), F(t) - неперервні за сукупністю аргументів функції,

3)функція F задовольняє умову Ліпшиця

|F(t,x)-F(t,y)|<l(t,d)|x-y|, |x|<d, |y|<d,

4)

де

5)

6)

Тоді задача (1), (2) у кулі S(0,d) має єдиний розв'язок x* і послідовність {x_k}, побудована за методом (11)-(13), збігається до цього розв'язку.

Для ітераційного методу (11)-(13) побудовано зручну обчислювальну схему. інтегральне диференціальне рівняння обмеження

У підрозділі 2.3 розглядається питання застосування до задачі (1), (2) та задачі (3) модифікованого проекційно-ітеративного методу. Суть цього методу стосовно задачі (3) полягає в тому, що наближення до шуканого розв'язку будуються за формулами

y_k=z_k+Ku_k, u_k U, Sx_k =p , x_k=y_k-u_k, k=1,2,3,…, (19)

z_k=f+K(x_k-1+w_k)+Cfy_k-1, (20)

Невідомі параметри визначаються з умови

 (21)

Тут - системи лінійно незалежних елементів і функціоналів. Дослідження алгоритму методу (19)-(21) зведено до дослідження алгоритму модифікованого проекційно-ітеративного методу для системи рівнянь (14), (15). В теоремах 2.3.1, 2.3.2, аналогічних теоремам 2.2.1, 2.2.3, встановлено достатні умови збіжності та оцінки похибки запропонованого методу.Для задачі (1), (2) модифікований проекційно-ітеративний метод (19)-(21) має вигляд

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

Тут , - задані системи лінійно-незалежних функцій з L₂; система визначається із задачі

(27)

Для методу (22)-(26) запропоновано зручну обчислювальну схему.

У третьому розділі досліджено сумісність нелінійної крайової задачі для звичайних диференціальних рівнянь з обмеженнями, розроблено ітераційний та модифікований проекційно-ітеративний методи побудови її наближених розв'язків.

В підрозділі 3.1 встановлено умови сумісності крайової задачі

(Lx)(t)=f(t)+(Fx)(t), (28)

де - задані функції, причому коефіцієнти неперервні на відрізку [a,b] і p₀(t)>0;

(Fx)(t)=F(t,x,x',…,x^(n-1)),

Функція F(t,x,…,z) визначена при t [a,b], (x,…,z) Rⁿ⁺¹ причому F(t,0,…,0)=0, і за всіма аргументами, крім першого, задовольняє умову Ліпшиця; - відомі множини чисел. Задачу (27) вважаємо сумісною, якщо існує функція x* W₂ⁿ яка задовольняє крайові, додаткові умови і для майже всіх диференціальне рівняння. Тут W₂ⁿ L₂ - множина n-1 раз неперервно диференційовних функцій, похідна n-го порядку яких належить простору L₂. Для встановлення умов сумісності задачі (27) розглядається задача з керуванням

(Ly)(t)=f(t)+(Fy)(t) (29)

(30)

де y(t), u(t) - шукані функції, причому керування u(t) має вигляд - невідомі параметри, функції задовольняють співвідношення

(31)

- деяка задана система лінійно незалежних функцій з L₂. Диференціальний вираз A вибирається таким чином, щоб крайова задача

(Av)(t)=g(t) (32)

мала єдиний розв'язок g L₂ і його можна було б відносно легко побудувати в явному вигляді. Показано, що дослідження задачі (28), (29) зводиться до дослідження інтегрального рівняння. Для цього розглядається допоміжна задача

(Ay)(t)=z(t)+(Bu)(t), A-B=L (33)

(34)

де функція z(t) вважається відомою, а функції y(t), u(t) необхідно визначити. Нехай - матриця, елементи якої мають вигляд а Г(t) - функція Гріна задачі (31).

Лема 3.1.1. Якщо однорідна задача (31) має лише тривіальний розв'язок і матриця невироджена, то задача (32), (33) має єдиний розв'язок і його можна подати у вигляді

- елементи матриці , p(t) - розв'язок задачі (Ap)(t)=0,

Встановлено, що дослідження задачі (28), (29) зводиться до дослідження інтегрального рівняння

(35)

де g(t)=f(t)+(Bh)(t).

Теорема 3.1.1. Якщо однорідна задача (31) має лише тривіальний розв'язок і матриця невироджена, то задача (27) буде сумісною тоді і тільки тоді, коли існує розв'язок рівняння (34), який задовольняє умову

В підрозділі 3.2 запропоновано і обґрунтовано ітераційний метод побудови розв'язків задачі (27). Ідея методу полягає в тому, що наближені розв'язки визначаються із задачі

(Ay_k)(t)=z_k(t)+(Bu_k)(t), A-B=L (36)

x_k(t)=y_k(t)-u_k(t), k=1,2,…, (37)

z_k(t)=f(t)+(Bx_k-1)(t)+(Fy_k-1)(t) (38)

а функції задовольняють співвідношення (30). Початкове наближення x₀, u₀ визначається із задачі (35), (36) при k=0 і заданій функції z₀=L₂. Нехай K - оператор, визначений правою частиною рівняння (34).

Теорема 3.2.1. Припустимо, що однорідна задача (31) має лише тривіальний розв'язок і матриця невироджена. Тоді, якщо оператор K є оператором стиску, тобто

||Kx-Ky||<q||x-y||, q<1,

і задача (27) сумісна, то вона має єдиний розв'язок x* W₂ⁿ і послідовності, побудовані за методом (35)-(37), збігаються до цього розв'язку.

Теорема 3.2.2. Припустимо, що виконуються умови теореми 3.2.1. Тоді справедливі наступні оцінки похибки ітераційного методу (35)-(37):

де константи такі, що виконуються нерівності

Для методу (35)-(37) запропоновано зручну обчислювальну схему.

В підрозділі 3.3 розглянуто питання застосування до задачі (27) модифікованого проекційно-ітеративного методу, згідно з яким наближені розв'язки визначаються із задачі

(Ay_k)(t)=z_k(t)+(Bu_k)(t), A-B=L (39)

x_k(t)=y_k(t)-u_k(t), k=1,2,…, (40)

z_k(t)=f(t)+(Bx_k-1+w_k)(t)+(Fy_k-1)(t) (41)

Невідомі параметри визначаються з умови

(42)

Система функцій задовольняє співвідношення (30), система визначається із задачі

(43)

(44)

а - задані системи лінійно незалежних функцій з L₂.

Дослідження алгоритму методу (38)-(43) зведено до дослідження алгоритму модифікованого проекційно-ітеративного методу для рівняння (34), а умови збіжності останнього відомі.

Теорема 3.3.1. Припустимо, що модифікований проекційно-ітеративний метод для рівняння (34) збіжний. Тоді якщо:

1) то задача (27) має єдиний розв'язок x*(t) і послідовність {x_k(t)} побудована за методом (38)-(43), збігається до цього розв'язку;

2) то задача (27) несумісна, але задача з керуванням (28), (29) має єдиний розв'язок і послідовності {y_k(t)}, {u_k(t)} побудовані за методом (38)-(43), збігаються до цього розв'язку.

Для методу (38)-(43) побудовано обчислювальну схему.

ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена дослідженню інтегральних та диференціальних рівнянь з обмеженнями, розробці методів побудови їх наближених розв'язків.

У роботі запропоновано новий підхід до дослідження операторних рівнянь з обмеженнями, згідно з яким керування вводиться в обмеження. За допомогою цього підходу встановлено умови сумісності операторного рівняння з обмеженнями.

На основі результатів, які отримано для операторних рівнянь з обмеженнями, встановлено умови сумісності нелінійного інтегрального рівняння з обмеженнями.

Побудовано ітераційний і модифікований проекційно-ітеративний методи знаходження наближених розв'язків операторних рівнянь з обмеженнями. Встановлено достатні умови збіжності та оцінки похибки запропонованих методів.

Застосовано ітераційний та модифікований проекційно-ітеративний методи до нелінійних інтегральних рівнянь з обмеженнями, дано їх обґрунтування та на їх основі розроблено зручні обчислювальні схеми.

Встановлено умови сумісності нелінійної крайової задачі для звичайних диференціальних рівнянь з обмеженнями. Обґрунтовано застосування до неї ітераційного і модифікованого проекційно-ітеративного методів, на основі яких розроблено ефективні обчислювальні схеми.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗДОБУВАЧА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1.Лучка А.Ю., Кучерук Т.А. Ітераційний метод побудови розв'язків лінійних рівнянь з обмеженнями // Укр. мат. журн. - 2002. - 54, №4. - С. 472-482.

2.Кучерук Т.А. Ітераційний метод побудови розв'язків рівнянь з малою нелінійністю та обмеженнями // Нелінійні коливання. - 2002. - 5, №1. - С. 32-40.

3.Кучерук Т.А. Крайова задача для звичайних диференціальних рівнянь з додатковими умовами та її розв'язання ітераційним методом // Доп. НАН України. - 2002. - №12. - С. 17-20.

4.Кучерук Т.А. Ітераційний метод побудови розв'язків рівнянь з малою нелінійністю та обмеженнями // Диференціальні рівняння і нелінійні коливання: Тези доповідей міжнародної конференції (Київ, 27-29 серпня 2001р.) - Київ, 2001. - С. 88-89.

5.Самойленко Т.А. Ітераційний метод побудови розв'язків крайової задачі для звичайних диференціальних рівнянь з обмеженнями // Дев'ята міжнародна наукова конференція ім. акад. М. Кравчука: Матеріали конференції (Київ, 16-19 травня 2002р.) - Київ, 2002. - С. 183.

6.Самойленко Т.А. Проекційно-ітеративний метод побудови розв'язків лінійних інтегральних рівнянь з обмеженнями // Теорія еволюційних рівнянь: Тези доповідей Міжнародної конференції П'яті Боголюбовські читання (Кам'янець-Подільський, 22-24 травня 2002р.) - Кам'янець-Подільський, 2002. - С. 152.

АНОТАЦІЇ

Самойленко Т.А. Новий підхід до дослідження інтегральних та диференціальних рівнянь з обмеженнями. - Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. Інститут математики НАН України. Київ, 2003.

В дисертації запропоновано новий підхід до дослідження операторних рівнянь з обмеженнями, згідно з яким керування вводиться в обмеження. За допомогою цього підходу встановлено умови сумісності операторного рівняння з обмеженнями. На основі результатів, які отримано для операторних рівнянь з обмеженнями, встановлено умови сумісності нелінійного інтегрального рівняння з обмеженнями. Побудовано ітераційний і модифікований проекційно-ітеративний методи знаходження наближених розв'язків операторних рівнянь з обмеженнями. Встановлено достатні умови збіжності та оцінки похибки запропонованих методів. Застосовано ітераційний та модифікований проекційно-ітеративний методи до нелінійних інтегральних рівнянь з обмеженнями, дано їх обґрунтування та на їх основі розроблено зручні обчислювальні схеми. Встановлено умови сумісності нелінійної крайової задачі для звичайних диференціальних рівнянь з обмеженнями. Обґрунтовано застосування до неї ітераційного і модифікованого проекційно-ітеративного методів. На основі цих методів розроблено обчислювальні схеми.

Ключові слова: інтегральне рівняння, диференціальне рівняння, обмеження, ітераційний метод, модифікований проекційно-ітеративний метод, наближені розв'язки, оцінки похибки.

Samoilenko T.A. A new approach to the investigation of integral and differential equations with restrictios. - Manuscript. Thesis for the Candidate degree by speciality 01.01.02 - differential equations. Institute of Mathematics of NASU. Kyiv, 2003.

A new approach to the investigation of integral and differential equations with restrictions is proposed. The conditions of solvability of the problem for operator equation with restrictions are found. The conditions of solvability of the problem for integral equation with restrictions are obtained using the results for operator equations. Iterative and modified projective-iterative methods for solving operator equations with restrictions are constructed. Sufficient conditions of convergence and estimates of errors are received for suggested methods. Iterative and modified projective-iterative methods are applied for solving nonlinear integral equations. The methods are justified and convenient calculating schemes are built for them. The conditions of solvability of the problem for boundary-value problem for differential equations with restrictions are found. Iterative and modified projective-iterative methods for solving of the problem are constructed and justified; convenient calculating schemes are built.

Key words: integral equation, differential equation, restriction, iterative method, modified projective-iterative method, approximate solutions, estimates of errors.

Самойленко Т.А. Новый подход к исследованию интегральных и дифференциальных уравнений с ограничениями. Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. Институт математики НАН Украины. Киев, 2003.

При математическом моделировании реальных процессов особое внимание уделяется таким задачам как задачи с параметрами либо импульсным влиянием и задачам, на решение которых накладываются определенные условия, ограничения. Такие задачи изучались, например, в работах А.М. Самойленко, Н.А. Перестюка, А.Ю. Лучки, А.А. Бойчука, Н.И Ронто.

Задачи с ограничениями относятся к классу нетеровых задач. Исследование задач с ограничениями можно проводить разными методами. В частности, известным является подход, который основывается на теории обобщенно-обратных или псевдообратных операторов. Изучать задачи с ограничениями можно также с помощью задач с параметрами. В литературе рассматривался подход, при котором неизвестные параметры вводятся в уравнение.

В диссертации предложен новый подход к исследованию задач с ограничениями, при котором параметры вводятся в ограничения. Описанный подход является новым, его применение к разным классам задач с ограничениями - актуальная и перспективная тема.

В диссертационной работе исследуются задача для нелинейного интегрального уравнения с ограничениями и краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения с ограничениями. Для поставленных задач найдены условия совместности. Предложено решать исследуемые задачи с помощью итерационных и модифицированных проекционно-итеративных методов. В работе получены условия сходимости методов, оценки погрешности. Разработаны эффективные вычислительные схемы предложенных методов.

В диссертации получены следующие результаты:

Предложен новый подход к исследованию операторных уравнений с ограничениями, согласно которому управление вводится в ограничения. При помощи этого подхода найдены условия совместности операторного уравнения с ограничениями.

На основе результатов, полученных для операторных уравнений с ограничениями, найдены условия совместности нелинейного интегрального уравнения с ограничениями.

Построены итерационный и модифицированный проекционно-итеративный методы отыскания приближенных решений операторных уравнений с ограничениями. Найдены достаточные условия сходимости и оценки погрешности предложенных методов.

Итерационный и модифицированный проекционно-итеративный методы применены к отысканию решений нелинейных интегральных уравнений с ограничениями. Дано обоснование методов и на их основе предложены эффективные вычислительные схемы.

Найдены условия совместности нелинейной краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с ограничениями. Обосновано применение к задаче итерационного и модифицированного проекционно-итеративного методов. На основе методов предложены эффективные вычислительные схемы.

Ключевые слова: интегральное уравнение, дифференциальное уравнение, ограничения, итерационный метод, модифицированный проекционно-итеративный метод, приближенные решения, оценки погрешности.

Размещено на Allbest.ru

...