Размещено на http://www.allbest.ru/

Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича

Коливання імпульсних багаточастотних систем

01.01.02 - диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Сопронюк Тетяна Миколаївна

Чернівці - 2003

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі прикладної математики і механіки Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор ПЕТРИШИН Роман Іванович, Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, декан математичного факультету

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор БОЙЧУК Олександр Андрійович, Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник відділу диференціальних рівнянь та теорії коливань;

кандидат фізико-математичних наук, доцент КЛЕВЧУК Іван Іванович, Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, доцент кафедри математичного моделювання

Провідна установа - Київський національний університет ім. Тараса Шевченка, м. Київ.

Захист відбудеться "_18 ” ___04__________ 2003 р. о 14⁰⁰ год. на засіданні спеціалізованої вченої ради К 76.051.02 в Чернівецькому національному університеті імені Юрія Федьковича за адресою: 58012, м. Чернівці, вул. Університетська, 28.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича (58012, м. Чернівці, вул.Л. Українки, 23).

Автореферат розісланий 14.03.2003.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Садов'як А.М.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Серед важливих прикладних задач, які приводять до диференціальних рівнянь, особливе місце займають задачі, математичними моделями яких є багаточастотні системи звичайних диференціальних рівнянь з імпульсною дією. Такі системи виникають при вивченні імпульсних систем автоматичного регулювання, при математичному моделюванні різноманітних механічних, радіотехнічних, фізичних, біологічних та інших процесів. Cкладність дослідження цих систем пов'язана з тим, що крім імпульсної дії, яка відіграє суттєву роль, вони містять одночасно швидкі та повільні рухи.

На даний час вивчено широке коло задач, що пов'язані із звичайними диференціальними рівняннями з імпульсною дією. Ці задачі отримали широкий розвиток у працях представників київської школи з нелінійної механіки: М.М. Крилова, М.М. Боголюбова, Ю.О. Митропольського, А.М. Самойленка, М.О. Перестюка та ін. Основні результати теорії систем звичайних диференціальних рівнянь з імпульсною дією викладені в монографії А.М. Самойленка і М.О. Перестюка Самойленко А.М., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействи-ем. - К.: Вища школа, 1987. - 288 с. . Тут показано, що класичні якісні методи дослідження звичайних диференціальних рівнянь в основному природним чином переносяться на динамічні системи з розривними траєкторіями. Разом з тим наявність імпульсної дії породжує ряд нових специфічних задач. Асимптотичні методи для імпульсних систем вивчалися в роботах А.М. Самойленка, М.О. Перестюка, C.І. Трофімчука, О.А. Бойчука, Ю.М. Теплінського, М.У. Ахметова та інших.

Дослідження багаточастотних систем в свою чергу ускладнюється через наявність в них явищ резонансу. Вперше такі системи із сталим вектором частот дослідили Ю.О. Митропольський і А.М. Самойленко. У випадку змінного вектора частот спочатку були вивчені одно - і двочастотні системи (праці В.І. Арнольда, В.І. Бахтіна, А.І. Нейштадта, В. Є. Прончатова), а при більшому числі частот відомі результати Д.А. Аносова, Є.О. Гребенікова і Н.І. Попової, А.М. Колмогорова, Н.Н. Нехорошева, В.О. Плотнікова, А.М. Самойленка і Р.І. Петришина, М.М. Хапаєва.

Одними із найефективніших методів дослідження коливних систем з повільно змінними частотами є методи усереднення та інтегральних многовидів, викладені в монографії А.М. Самойленка і Р.І. Петришина Самойленко А.М., Петришин Р.І. Багаточастотні коливання нелінійних систем. - К.: Ін-т ма-тематики НАН України, 1998. - 340 c.. Застосування цих методів до зазначених систем ґрунтується на рівномірних оцінках осциляційних інтегралів, за допомогою яких аналізуються резонансні зони.

Системи, які є одночасно і імпульсними, і багаточастотними, в даний час вивчено недостатньо. Це пов'язано як із наявністю специфічних ефектів, властивих імпульсним системам, так і зі складною поведінкою багаточастотних систем через появу резонансних співвідношень між координатами змінного вектора частот. Накладання цих фактів приводить до якісно нових задач, які тільки почали вивчатися. Відмітимо, що в цьому напрямку перші результати отримані А.М. Самойленком, Р.І. Петришиним, М.М. Астаф'євою, Я.Р. Петришиним, Л.М. Лакустою.

Дисертаційна робота присвячена поєднанню методик досліджень багаточастотних та імпульсних систем і вивченню специфічної поведінки резонансних систем з імпульсною дією.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження дисертаційної роботи розпочаті в рамках теми "Якісні і конструктивні методи дослідження систем з післядією та їх застосування" (N держреєстрації 0199U001909), що виконувалась на кафедрі прикладної математики і механіки Чернівецького університету в 1996-2000 роках, і були продовжені в рамках науково дослідної роботи "Обгрунтування асимптотичних методів дослідження нелінійних диференціальних та диференціально-функціональних рівнянь" (N держреєстрації 0100V005501), яка входить до координаційного плану наукових досліджень міністерства освіти і науки України з напрямку "Геометричні та аналітичні методи в математиці та їх застосування".

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є якісне дослідження багаточастотних імпульсних систем.

Методи дослідження: метод усереднення та метод інтегральних многовидів.

Об'єкт дослідження: системи диференціальних рівнянь з повільними та швидкими змінними з фіксованими і нефіксованими моментами імпульсної дії, яким властиве явище резонансу.

Предмет дослідження: рівномірні оцінки осциляційних інтегралів і сум та обґрунтування асимптотичних методів для коливних систем з повільно змінними частотами та імпульсним збуренням.

Задачі дослідження: вивчення властивостей фундаментальної матриці для лінійних систем зазначеного типу, встановлення умов стійкості розв'язків для нелінійних систем, обґрунтування методу усереднення і побудова інтегрального многовиду для багаточастотних систем, що підлягають імпульсній дії у фіксовані моменти часу.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації вперше одержано такі наукові результати:

встановлено рівномірні оцінки осциляційних інтегралів і сум, які використовуються при обґрунтуванні асимптотичних методів;

одержано експоненціальні оцінки фундаментальної матриці лінійної багаточастотної системи з імпульсною дією, а також оцінки частинних похідних матрицанту для лінійної багаточастотної системи без імпульсної дії;

коливання імпульсна багаточастотна система

досліджено стійкість нелінійних багачастотних систем з фіксованими і нефіксованими моментами імпульсної дії;

оцінено похибки методу усереднення на відрізку для нелінійних імпульсних багаточастотних систем, доведено аналог теореми Банфі-Філатова про обґрунтування методу усереднення на півосі для таких систем, методом послідовного застосування крайових задач досліджено усереднення імпульсних систем на всій осі;

встановлено умови існування інтегрального многовиду для багаточастотних нелінійних коливних систем з імпульсною дією і вивчено властивості функції, яка визначає інтегральний многовид.

Практичне значення одержаних результатів. Одержані результати і методика досліджень мають, в основному, теоретичне значення і можуть бути використані при вивченні практичних задач теорії нелінійних коливань. Встановлені теореми і твердження в подальшому можуть бути поширені на нові класи диференціальних рівнянь.

Особистий внесок здобувача. Всі основні результати дисертації отримані автором самостійно. Частина досліджень проведена автором разом з керівником. Зокрема, в спільних з науковим керівником роботах [1-3,7,8] Р.І. Петришину належить постановка задач, визначення загальної схеми дослідження та аналіз одержаних результатів.

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень, що включені до дисертації, були представлені на таких Міжнародних конференціях:

VІІІ Міжнародна конференція ім. академіка М. Кравчука (Київ, 2000 р.), "Диференціальні та інтегральні рівняння" (Одеса, 2000 р.), "Диференціальні рівняння і нелінійні коливання" (Чернівці, 2001 р.), "Теорія еволюційних рівнянь. П'яті Боголюбовські читання " (Кам'янець-Подільський, 2002 р.), VІ Кримська Міжнародна математична школа "Метод функций Ляпунова и его приложения" (Алушта, 2002 p.).

Вони також доповідались на наукових семінарах математичного факультету та кафедри прикладної математики і механіки Чернівецького університету (Чернівці, 2000-2002 рр.).

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковані в 10 працях, з них 5 статей - в наукових журналах і збірниках наукових праць, 5 - у матеріалах міжнародних конференцій. Серед публікацій 5 праць у наукових фахових виданнях з переліку N 1 ВАК України від 9.06.1999 р.

Структура і обсяг роботи. Дисертація складається з вступу, чотирьох розділів, висновків, додатку і списку використаної літератури, який містить 132 найменування. Повний обсяг роботи становить 158 сторінку, а основний зміст викладено на 139 сторінках, додаток становить 7 сторінок.

Автор висловлює щиру подяку науковому керівнику професору Петришину Р.І. за постановку задач, конструктивні поради і цікаві ідеї.

Зміст роботи

У вступі обґрунтовується актуальність теми, визначаються мета і конкретні задачі дослідження, вказується на зв'язок дисертації з науковими темами кафедри, де вона виконувалась, наводяться основні результати, відзначається їх новизна і практичне значення, вказується, де відбувалася апробація результатів.

У першому розділі зроблено огляд основних напрямків наукових досліджень, що стосуються коливних багаточастотних систем та систем звичайних диференціальних рівнянь з імпульсною дією. Особливу увагу звернуто на ті методики досліджень, які далі використовуються в дисертації.

Другий розділ присвячено вивченню властивостей нормальної фундаментальної матриці лінійної системи із швидко осцилюючими коефіцієнтами та питанням стійкості розв'язків багаточастотних систем з імпульсною дією.

У підрозділі 2.1 розглядаються осциляційні інтеграли і суми, на рівномірних оцінках яких ґрунтуються дослідження всієї дисертації.

Нехай:

А) функція та її похідні до деякого порядку рівномірно неперервні на і

Тут через позначено відповідно l m-матрицю і транспоновану матрицю, - стала;

Б) для всіх , - часові моменти імпульсної дії.

При виконанні А) і досить малому одержана оцінка (лема 2.1.3)

(1)

для всіх а при виконанні А), Б) для довільного можна вибрати таке що (наслідок 2.1.1)

(2)

для всіх Тут k - цілочисловий ненулевий вектор, і - уявна одиниця, (k,) - скалярний добуток в , а сталі не залежать від , але залежить від L.

Зазначимо, що оцінка, аналогічна (1), була встановлена в монографії А.М. Самойленка і Р.І. Петришина ^[2]. Тепер вона покращена відносно порядку по k. Оцінка типу (2) також була одержана М.М. Астаф'євою і Я.Р. Петришиним, але вони розглядали випадок, коли послідовність періодична по j. При таких обмеженнях була отримана точна відносно порядку по оцінка осциляційної суми (2).

Розглянемо далі осциляційні інтеграл і суму

(3)

(4)

При виконанні припущення A) у випадку гладкої матриці Ф в монографії А.М. Самойленка, Р.І. Петришина ^[2] одержана оцінка вигляду Такого ж характеру оцінки встановлені нами (теореми 2.1.2 і 2.1.3, лема 2.1.4) для кусково гладких матриць:

(5)

(6)

при виконанні наступних умов: матриця для кожного фіксованого неперервно диференційовна по за виключенням точок ; на кожному півінтервалі матриця задовольняє умову Ліпшиця по y зі сталою , незалежною від j, причому

моменти часу для задовольняють умову , а для умову , де - додатна стала, незалежна від . Якщо ж замість останньої умови вимагати виконання припущення Б), то в оцінці (6) треба замінити на .

Оцінки осциляційних інтегралів і сум з ненульовим вектором k з цілочисловими координатами, розглянуті вище, використовуються при дослідженні багаточастотних імпульсних систем з періодичними по кутових змінних правими частинами. У даному підрозділі встановлено також оцінки таких інтегралів та сум з довільним вектором k0 (леми 2.1.1 і 2.1.2), що дозволяє вивчати випадок майже періодичних по систем.

У підрозділі 2.2 одержано оцінки норми фундаментальної матриці лінійної системи із швидко осцилюючими коефіцієнтами без імпульсноп дії (теорема 2.2.1) і для таких же систем з фіксованими моментами імпульсної дії з "великими" і "малими" відстанями між ними (відповідно теореми 2.2.2 і 2.2.3).

В перших двох випадках необхідні оцінки отримані за допомогою оцінок осциляційних інтегралів для гладких функцій, а у випадку фіксованих моментів імпульсної дії з "малими" відстанями між моментами імпульсної дії використовувались оцінки осциляційних інтегралів і сум для розривних функцій, отримані в підрозділі 2.1.

Розглянемо останній найскладніший з трьох випадків. Нехай задано лінійну систему диференціальних рівнянь з імпульсною дією

(7)

де - малий параметр, матриці сталі, матриці неперервні по - періодичні по кожній із координат вектора , причому

(8)

для всіх . Тут - коефіцієнти Фур'є при гармоніках матриць і , і - уявна одиниця, - скалярний добуток векторів, , норма матриці узгоджена з евклідовою нормою вектора, числа і -досить малі, .

Припустимо, що - розв'язок імпульсної задачі Коші

,

(9)

де функції - неперервні по і обмежені сталою , а частоти задовольняють умову A) при .

Вважатимемо, що матрицант , лінійної імпульсної системи

задовольняє нерівність

, (10)

з деякими додатними сталими K і , незалежними від . Наступна теорема встановлює оцінку нормальної фундаментальної матриці системи (7), в якій - розв'язок задачі Коші (9).

Теорема 2.2.3 Якщо виконуються умови (8), (10), припущення А) , то для кожного додатного існують такі досить мале і досить велике , що справджується оцінка

(11)

У випадку, коли норми матриць та досить малі, оцінку (11) встановлено в монографії А.М. Самойленка і М.О. Перестюка ^[1]. Ми ж вимагаємо, щоб малими були лише середні значення і цих матриць в кубі періодів . Оцінка (11) залишається правильною, якщо розглянути моменти імпульсної дії, для яких справджується припущення Б) при .

У підрозділі 2.3 для лінійних резонансних систем без імпульсної дії встановлено ефективні оцінки частинних похідних фундаментальної матриці по параметру і по кутових початкових даних (теореми 2.3.1, 2.3.2 і 2.3.3).

У підрозділі 2.4, використовуючи експоненціальні оцінки матрицанту лінійної імпульсної системи зі швидко осцилюючими коефіцієнтами (підрозділ 2.3), розглядається проблема стійкості нульового розв'язку нелінійної багаточастотної системи з фіксованими (теорема 2.4.1) і нефіксованими (теореми 2.4.2 і 2.4.3) моментами імпульсної дії.

Теорема 2.4.1 Нехай виконуються припущення A), Б) при і нерівності (8), (10), а функції , неперервні та задовольняють умови

Тоді існує таке , що для всіх при досить малих

нульовий розв'язок системи

асимптотично стійкий.

У третьому розділі розвинуто метод усереднення для багаточастотних коливних систем. У підрозділі 3.1 на підставі покращених оцінок осциляційних інтегралів (підрозділ 2.1) встановлено оцінки похибки методу усереднення на відрізку і півосі для багаточастотних коливних систем без імпульсної діп з повільно змінними частотами та майже періодичними по кутових змінних правими частинами. Теореми 3.1.1 - 3.1.4 є поширенням результатів, отриманих в монографії А.М. Самойленка і Р.І. Петришина ^[2], на нові класи систем.

У підрозділі 3.2 вивчається система

(12)

в якій D - обмежена область, , - додатна стала, незалежна від , для всіх .

Нехай функція а функція -періодична за кожною із змінних , розкладається в рівномірно по збіжний в G ряд Фур'є причому

(13)

Припустимо, що рівномірно по існує границя

(14)

в якій функція періодична за кожною із змінних , розкладається в ряд Фур'є, а коефіцієнти Фур'є справджують нерівність

. (15) Нехай (16)

де Поставимо у відповідність системі (12) усереднену за всіма кутовими змінними систему

(17)

Теорема 3.2.1 Нехай:

1)

2) виконуються умови (13) - (16);

3) функції задовольняють в G умову Ліпшиця по всіх аргументах і обмежені;

4) для крива лежить в D разом із своїм -околом.

Тоді для довільного можна вказати таке , що для кожних справедлива оцінка

(18), де

Тут та розв'язки задач відповідно (12) та (17), які в початковий момент часу набувають значення

Теорема 3.2.1 обґрунтовує метод усереднення на відрізку [0,1]. Наступна теорема обґрунтовує метод усереднення на півосі для повільних змінних.

Теорема 3.2.3 Нехай:

1) виконуються припущення 2),

3) теореми 3.2.1 при ;

2) , а функції рівномірно неперервні на

3) існує рівномірно асимптотично стійкий розв'язок рівнянь

який міститься в D разом із своїм -околом при

Тоді:

а) можна вказати такі досить мале і що для всіх , і з -околу повільні змінні кожного розв'язку системи (12) рівномірно обмежені;

б) для довільного існує таке, що для всіх і виконується нерівність

Результати такого плану при більш жорстких умовах на праві частини системи (12) при умові, що послідовності де періодичні по j, отримані в працях М.М. Астаф'євої і Я.Р. Петришина.

У підрозділі 3.3 для багаточастотних коливних систем з імпульсною дією (12) на підставі рівномірних оцінок осциляційних інтегралів та сум, встановлених в підрозділі 2.1, одержано оцінку частинних похідних по початкових даних відхилення розв'язків задачі Коші для вихідних та усереднених рівнянь з послабленими умовами на моменти імпульсної дії. При накладанні на функції, що визначають праві частини системи (12), більш сильних, ніж в теоремі 3.2.1 обмежень, на відрізку [0,L] доведено оцінку (теорема 3.3.1)

У підрозділі 3.4 досліджено застосування методу усереднення за швидкими змінними до розв'язання крайових задач для багаточастотних коливних імпульсних систем. За його допомогою обгрунтовано метод усереднення на всій осі для повільних змінних імпульсної системи (теорема 3.4.2). Такий нестандартний підхід використано в монографії А.М. Самойленка і Р.І. Петришина ^[2] для дослідження багаточастотних систем без імпульсної дії.

Для таких же систем з імпульсною дією дослідження розв'язності крайових задач за допомогою методу усереднення ускладнюється в зв'язку з тим, що, крім резонансних явищ, властивих багаточастотним системам, в момент імпульсної дії розв'язки можуть розщеплюватись або зливатися. В теоремі 3.4.1 і наслідку 3.4.1 встановлено існування єдиного розв'язку імпульсної крайової задачі та одержано оцінку близькості розв'язків імпульсної і усередненої гладкої крайових задач.

В останньому четвертому розділі дослідження існування інтегрального многовиду для багаточастотних нелінійних коливних систем, розглянуте в роботах А.М. Самойленка і Р.І. Петришина для гладких систем, поширено на такі ж системи з імпульсною дією. За допомогою методу інтегральних многовидів якісне дослідження вихідної системи зводиться до аналізу системи меншої розмірності.

У підрозділі 4.1 за допомогою заміни змінних вихідну систему зведено до системи, інтегральний многовид якої можна знайти методом послідовних наближень. Вихідна система має вигляд

(19)

де - обмежена область, дійсні вектор-функції і b визначені і - періодичні по кожній із змінних , на множині , а середні по в кубі періодів функцій тотожно дорівнюють нулю. На моменти імпульсної дії тут накладається така умова:

Поряд з системою (19) розглянемо допоміжну систему

і припустимо, що вона має визначений і обмежений на всій осі розв'язок , для якого система у варіаціях є рівномірно по гіперболічною.

У підрозділі 4.2 для вивчення такої системи доведено ряд допоміжних тверджень (леми 4.2.1-4.2.5), які встановлюють властивості розв'язку деякої задачі Коші для швидких змінних, а також одержано оцінки осциляційних інтегралів та сум, які є специфічними для досліджень існування і властивостей інтегральних многовидів.

У підрозділі 4.3 методом послідовних наближень будується многовид допоміжної системи. Для цього в теоремі 4.3.1 вивчаються властивості наближень многовидів.

У підрозділі 4.4 встановлено умови (теорема 4.4.1), при яких для досить малого виконуються наступні твердження:

а) існує інтегральний многовид системи (19), який лежить в -околі кривої для всіх ;

б) функція-періодична по , задовольняє умову Ліпшиця по зі сталою, пропорційною , кусково-неперервна по з розривами першого роду при ;

в) на інтегральному многовиді система (19) набуває вигляду

У додатку на тестових модельних прикладах проілюстровано застосування методу усереднення для розв'язування задачі Коші і крайової задачі для багаточастотної імпульсної системи. В системі MathCad створено нову функцію, за допомогою якої знаходиться числовий розв'язок імпульсної задачі. Побудовано графіки розв'язків імпульсної і усередненої систем. Отримані практичні результати продемонстрували і підтвердили теоретичні висновки про близькість розв'язків вихідної і усередненої систем.

Висновки

Дисертаційна робота присвячена вивченню багаточастотних коливних систем з імпульсною дією. Такі динамічні системи з розривними траєкторіями мають широке застосування в нелінійній механіці. На підставі оцінок осциляційних інтегралів і сум досліджено різні аспекти теорії імпульсних багаточастотних систем.

Основними новими результатами дисертації є наступні:

встановлено рівномірні оцінки осциляційних інтегралів і сум;

одержано експоненціальні оцінки фундаментальної матриці лінійної багаточастотної системи з імпульсною дією, а також оцінки частинних похідних матрицанту для лінійної багаточастотної системи без імпульсної дії;

досліджено стійкість нелінійних багачастотних систем з фіксованими і нефіксованими моментами імпульсної дії;

оцінено похибку методу усереднення на відрізку для нелінійних імпульсних багачастотних систем; доведено аналог теореми Банфі-Філатова про обґрунтування методу усереднення для повільних змінних на півосі для таких систем; методом послідовного застосування крайових задач досліджено усереднення імпульсних систем на всій осі;

встановлено умови існування інтегрального многовиду для багаточастотних нелінійних коливних систем з імпульсною дією і вивчено властивості функції, яка визначає інтегральний многовид.

Достовірність отриманих результатів випливає з їх строгого математичного обгрунтування. Одержані результати і методика досліджень мають, в основному, теоретичне значення і можуть бути використані при вивченні практичних задач теорії нелінійних коливань. Встановлені теореми і твердження в подальшому можуть бути поширені на різні класи диференціальних рівнянь.

Основні результати дисертації опубліковані в працях

1. Петришин Р.І., Сопронюк Т.М. Про фундаментальну матрицю лінійної системи із швидко осцилюючими коефіцієнтами // Нелінійні коливання. - 2000. - , N4. - C.497-504.

2. Петришин Р.І., Сопронюк Т.М. Експоненціальна оцінка фундаментальної матриці лінійної імпульсної системи // Укр. мат. журн. - 2001. - , N8. - С.1101-1108.

3. Петришин Р.І., Сопронюк Т.М. Оцінки похибки методу усереднення для багаточастотних коливних систем. // Наук. вісник Чернівецького ун-ту: Зб. наук. пр. Вип.134. Математика. - Чернівці: Рута, 2002. - С.92-96.

4. Сопронюк Т.М. Асимптотична стійкість розв'язків нелінійної імпульсної системи з малим параметром. // Наук. вісник Чернівецького ун-ту: Зб. наук. пр. Вип.111. Математика. - Чернівці: Рута, 2001. - С.113-120.

5. Сопронюк Т.М. Існування розривного інтегрального многовиду багаточастотної імпульсної системи // Наук. вісник Чернівецького ун-ту: Зб. наук. пр. Вип.150. Математика. - Чернівці: Рута, 2002. - С.98-102.

6. Сопронюк Т.М. Про оцінку матрицанта лінійної системи з імпульсним впливом зі швидко осцилюючими коефіцієнтами // VІІІ Міжнар. наук. конф. ім. акад. М. Кравчука (11-14 травня 2000 р., Київ): Матеріали конф. - Київ, 2000. - С. 190.

7. Петришин Р.І., Сопронюк Т.М. Властивості фундаментальної матриці лінійної системи з імпульсним впливом зі швидко осцилюючими коефіцієнтами // Міжнар. наук. конф. "Диференціальні та інтегральні рівняння" (12-14 вересня 2000 р., Одеса): Тез. доп. - Одеса, 2000. - С.216.

8. Петришин Р.І., Сопронюк Т.М. Рівномірна оцінка осциляційного інтеграла // Диференціальні рівняння і нелінійні коливання: Тези доповідей Міжнародної конференції (Чернівці, 27-29 серпня 2001 р.) - Київ. 2001. - С.127.

9. Сопронюк Т.М. Метод усереднення для імпульсних систем // Теорія еволюційних рівнянь. Міжнародна конференція. П'яті Боголюбовські читання (Кам'янець - Подільський, 22-24 травня 2002 р.): Тези доповідей. - Кам'янець-Подільський: Абетка-НОВА, 2002. - С.158.

10. Сопронюк Т.М. Крайова задача для багаточастотної імпульсної системи // VІ Кримська Міжнародна математична школа "Метод функций Ляпунова и его приложения" (Крым, Алушта, 8-15 сентября 2002 г.) - Сімферополь, 2002. - С.133.

Анотація

Сопронюк Т.М. Коливання імпульсних багаточастотних систем. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. Чернівецький національний університет, Чернівці, 2002.

Дисертаційна робота присвячена дослідженню багаточастотних систем з імпульсною дією. У роботі одержано нові рівномірні оцінки осциляційних інтегралів і сум. За їх допомогою встановлено експоненціальні оцінки фундаментальної матриці лінійної багаточастотної системи з імпульсною дією, а також оцінки частинних похідних матрицанту для лінійної багаточастотної системи без імпульсної дії. Досліджено стійкість нелінійних багаточастотних систем з фіксованими і нефіксованими моментами імпульсної дії. Одержано оцінки похибки методу усереднення на відрізку і півосі для нелінійних імпульсних багаточастотних систем. Методом послідовного застосування крайових задач досліджено усереднення імпульсних коливних систем на всій осі. Встановлено існування єдиного розв'язку крайової задачі імпульсної системи методом її усереднення по швидких змінних. Отримано умови існування інтегрального многовиду для багаточастотних нелінійних коливних систем з імпульсною дією і вивчено властивості функції, яка визначає інтегральний многовид.

Ключові слова: система з імпульсною дією, багаточастотна система, стійкість розв'язків, метод усереднення, інтегральний многовид.

Abstracts

Sopronyuk T.N. Oscillations of impulse multifrequency systems. - Manuscript.

The thesis for obtaining the scientific degree of the candidate of physical and mathematical sciences on the speciality 01.01.02 - differential equations. Chernivtsy National University, Chernivtsy, 2002.

The thesis is devoted to the study of multifrequency systems with impulse influence. In the dissertation the uniform estimations of oscillatory integrals and sums have been obtained. With their help the exponental estimation of fundamental matrixes of linear multifrequency system with pulse influence as well as the estimation of matrizant partial derivatives for linear multifrequency system without pulse influence have been established. We have investigated the stability of nonlinear multifrequency systems with fixed and non - fixed moments of pulse action and received the estimation of an error of the method of averaging on a piece and half-axis for nonlinear pulse multifrequency systems. By means of the method of consecutive application of boundary value problem it was investigated the averaging of pulse oscillationg systems on the whole axes. We have established the existence of the unique decision of a boundary value problem of pulse system by the method of its averaging on fast variable, received the conditions of existence of integrated manifold for multifrequency nonlinear oscillatory systems with pulse influence and have studied the properties of the function which determines integrated manifold.

Key words: system with impulse influence, multifrequency system, stability of solutions, method of averaging, integral manifolds.

Аннотация

Сопронюк Т.Н. Колебания импульсных многочастотных систем. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. Черновицкий национальный университет, Черновцы, 2002.

Диссертационная работа посвящена исследованию многочастотных систем с импульсным воздействием. Системы такого типа имеют широкое применение в нелинейной механике. Они описывают движение слабо связанных осцилляторов с медленно меняющимися частотами и импульсным воздействием в фиксированные моменты времени и возникают при переходе к амплитудно фазовым переменным. Сложность изучения резонансных импульсных систем связана с одной стороны с тем, что решения уравнений движения содержат периодические члены с коэффициентами, знаменатели которых стремятся к нулю, а с другой стороны необходимо учитывать специфику импульсных воздействий. Объединяя методики исследований систем обыкновенных дифференциальных уравнений с импульсным воздействием и многочастотных систем без него, изучен широкий круг вопросов.

В диссертации получены равномерные оценки осцилляционных интегралов и сумм. Методика получения таких оценок состоит в делении промежутка временной оси на ограниченное количество резонансных зон малой ширины и нерезонансную зону. На полученных зонах оцениваются соответствующие осцилляционные интегралы и суммы. Резонансными зонами для сумм в случае равных, зависящих от малого параметра интервалов между моментами импульсного воздействия, считаются такие участки временной оси, на которых скалярное произведение вектор-функции частот на показатель Фурье равно целому числу или близко к нему, а в случае осцилляционного интеграла - равно нулю или близко к нему. В работе получены оценки осцилляционных интегралов и сумм от кусочно-непрерывных функций с разрывами первого рода в случае, когда последовательность интервалов между точками разрывов является сходящейся.

С помощью найденных оценок обосновано ряд эффективных асимптотических методов исследования резонансных импульсных систем. В диссертации получены экспоненциальные оценки фундаментальной матрицы линейной многочастотной системы с импульсным воздействием, а также оценки частных производных матрицанта для линейной многочастотной системы без импульсного воздействия. В свою очередь, основываясь на оценках матрицанта линейной импульсной системы, исследована устойчивость нелинейных многочастотных систем с фиксированными и нефиксированными моментами импульсного воздействия. Получены оценки погрешности метода усреднения на отрезке и полуоси для нелинейных импульсных многочастотных систем. Изучены вопросы существования и единственности решения краевой задачи импульсной резонансной системы и получена количественная зависимость от величины малого параметра погрешности метода усреднения по быстрым переменным импульсной краевой задачи. Методом последовательного применения краевых задач исследовано усреднение импульсных колебательных систем на всей оси. Найдены условия существования интегрального многообразия для многочастотных нелинейных колебательных систем с импульсным воздействием и изучены свойства функции, определяющей интегральное многообразие.

Ключевые слова: система с импульсным воздействием, многочастотная система, устойчивость решений, метод усреднения, интегральное многообразие.

Размещено на Allbest.ru

...