Асимптотика системи мір для стохастичних диференціальних рівнянь у дробовому випадку

Размещено на http://www.allbest.ru/

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ТАРАСА

ШЕВЧЕНКА

УДК.519.21

Асимптотика системи мір для стохастичних диференціальних рівнянь у дробовому випадку

01.01.05 - теорія ймовірностей і математична статистика

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Андрощук Т.О.

Київ - 2008



АНОТАЦІЯ

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05 -- теорія ймовірностей і математична статистика. -- Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2007.

Дисертаційну роботу присвячено дослідженню трьох моделей із фінансової математики, математичної статистики та економетрики, які побудовано за допомогою процесу дробового броунівського руху (ДБР).

Для змішаної моделі Блека-Шоулса фондового ринку встановлено безарбітражність ринку у класі самофінансованих стратегій марковського типу, а також отримано зображення процесу самофінансованого капіталу інвестора у вигляді границі послідовності семімартингалів.

В рамках динамічної системи з малим дробово-броунівським шумом знайдено достатні умови, за яких оцінка максимальної вірогідності невідомого параметра буде консистентною та асимптотично нормальною.

Для білінійної “unit root” моделі із дробовим гауссовим шумом знайдено асимптотичну поведінку білінійного процесу у граничній схемі з “малим” білінійним коефіцієнтом.

Отримано допоміжні результати про побудову абсолютно неперервних процесів, які збігаються в певному смислі до процесу ДБР; також доведено збіжність схеми Ейлера з малими відхиленнями для стохастичного диференціального рівняння з ДБР.

Ключовi слова: дробовий броунівський рух, змішана модель Блека-Шоулса, безарбітражність, динамічна система з малим дробово-броунівським шумом, оцінка максимальної вірогідності, асимптотична нормальність, юніт-рут білінійна модель із дробовим гауссовим шумом, апроксимація дробового броунівського руху, схема Ейлера з малими відхиленнями.



АННОТАЦИЯ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05 -- теория вероятностей и математическая статистика. -- Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2007.

Диссертационная работа посвящена изучению трех моделей из финансовой математики, математической статистики и эконометрики, которые построены с помощью процесса дробного броуновского движения (ДБД). безарбітражність дробовий економетрика математика

Первой рассматривается смешанная модель Блека-Шоулса фондового рынка, для которой поведение цены акции управляется линейной комбинацией винеровского процесса и ДБД. Для этой модели была установлена безарбитражность рынка в классе самофинансируемых стратегий марковского типа, а также получено изображение процесса самофинансируемого капитала инвестора в виде предела последовательности семимартингалов.

Второй моделью является динамическая система с малым дробно-броуновским шумом, которая описывается уравнением с ДБД. В рамках такой модели найдены достаточные условия, при которых оценка максимальной правдоподобия неизвестного параметра будет консистентной и асимптотически нормальной. Кроме того установлено свойство локальной асимптотической нормальности семьи вероятностных мер, порожденных этой динамической системой.

Третьей рассмотрено билинейную “unit root” модель с дробным гауссовым шумом, который задан нормированной последовательностью приращений ДБД. Найдено асимптотическое поведение билинейного процесса в предельной схеме с “малым” билинейным коэффициентом при одновременном нормировании пространственной переменной и времени в схеме. Показано, что предельный непрерывный процесс является решением некоторого стохастического дифференциального уравнения с ДБД.

В качестве вспомогательных задач получены следующие результаты. Построена конструкция абсолютно непрерывных процессов, которые сходятся в определенном смысле к процессу ДБД при -- доказана сходимость для фиксированного момента времени, сходимость в норме пространства типа Бесова, а также сходимость интегралов по этим процессам к интегралу по ДБД. Доказана сходимость схемы Эйлера с малыми отклонениями для стохастического дифференциального уравнения с ДБД к решению этого уравнения.

Ключевые слова: дробное броуновское движение, смешанная модель Блека-Шоулса, безарбитражность, динамическая система с малым дробно-броуновским шумом, оценка максимальной правдоподобия, асимптотическая нормальность, юнит-рут билинейная модель с дробным гауссовым шумом, аппроксимация дробного броуновского движения, схема Эйлера с малыми отклонениями.



ANNOTATION

The thesis is presented for obtaining a scientific degree of Candidate of Physical and Mathematical Sciences in specialty 01.01.05 -- Probability Theory and Mathematical Statistics. -- Kyiv National Taras Shevchenko University, 2007.

The thesis is devoted to the study of three models from financial mathematics, mathematical statistics and econometrics, which are constructed with a help of fractional Brownian motion (fBm).

For the mixed version of the Black-Scholes model of a fund market the absence of arbitrage in the class of self-financing strategies of a Markov type is proved. Also, the process of investor's capital under a self-financing strategy is presented as a limit of semimartingales.

Dynamical system with small fractional Brownian noise is considered. Sufficient conditions under which the maximum likelihood estimator of unknown parameter is consistent and asymptotically normal are found. It is also proved that a family of probability measures generated by a system is locally asymptotically normal. For the unit-root bilinear model with fractional Gaussian noise the asymptotic behavior of the bilinear process is found under condition that the bilinear coefficient is asymptotically small. It is shown that the limit process is a solution of a certain stochastic differential equation with fBm.

Auxiliary results are obtained about the construction of a sequence of absolutely continuous processes which converges in a certain sense to fBm. Also, convergence of the Euler approximation scheme with small deviations for a stochastic differential equation with fBm is proved.

Keywords: fractional Brownian motion, mixed version of the Black-Scholes model, absence of arbitrage, dynamical system with small fractional Brownian noise, maximum likelihood estimator, asymptotical normality, unit-root bilinear model with fractional Gaussian noise, approximation of fractional Brownian motion, Euler approximation scheme with small deviations.



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дисертаційну роботу присвячено дослідженню деяких моделей у фінансовій математиці та математичній статистиці, які побудовано за допомогою процесу дробового броунівського руху (ДБР). Таким чином, робота є науковим дослідженням в галузі теорії випадкових процесів.

Дробовий броунівський рух (ДБР) є немарковським, гауссовим процесом зі стаціонарними приростами, які, взагалі кажучи, не є незалежними. Як гауссовий процес, ДБР визначаєься своїм середнім та коваріаційною функцією

.

Параметр Хюрста у коваріаційній функції дорівнює коефіцієнту автомодельності ДБР, а також визначає властивість "пам'яті" процесу. ПриДБР збігається із стандартним вінерівським процесом -- це єдине значення параметру Хюрста, при якому ДБР є процесом з незалежними приростами. Відповідно, при прирости ДБР є від'ємно корельованими, а при -- додатно корельованими. Більш того, при значеннях параметру ДБР має так звану властивість довгої пам'яті.

Формально властивість довгої пам'яті означає, що кореляція двох приростів процесу, віддалених у часі на відстань t, асимптотично примає порядок не менший як при деякому . Практично ж вона еквівалентна тому, що на поведінку процесу у теперішній момент часу впливає його поведінка у будь-який як завгодно віддалений момент часу у минулому.

Саме завдяки властивості довгої пам'яті процес ДБР протягом останніх п'ятнадцяти років викликає великий інтерес у дослідників з різних галузей науки. Виявляється, що багато процесів у гідрофізиці, в телекомунікаційних мережах, на фінансових ринках, в економіці проявляють ознаки того, що динаміка процесу у майбутньому значно корелює із його поведінкою у минулому. Це автоматично виводить такі процеси із широкого та дуже гарно вивченого класу марковських процесів. В такій ситуації введення ДБР у ймовірнісну модель явища є спробою надати їй властивості довгої пам'яті, що, можливо, зробить її такою, що більш точно описує відповідний процес у реальності. Крім того ДБР має ряд інших зручних характеристик, які можуть спрощувати аналіз при дослідженні та не позбавляють моделі із ДБР певної математичної елегантності.

В дисертаційній роботі ми розглядаємо наступні три моделі, побудовані за допомогою ДБР.

* Змішана модель Блека-ПІоулса фондового ринку. Це модель фондового ринку, на якому поведінка ціни акції керується лінійною комбінацією вінерівського процесу та ДБР:

Задачі, які ми розв'язуємо в рамках цієї моделі -- це питання про безарбітражність самофінансованої стратегії на такому ринку та зображення процесу самофінансованого капіталу інвестора у вигляді границі послідовності семімартингалів.

* Динамічна система з малим дробово-броунівським шумом. Модель описується рівнянням руху частинки, на яку діє зовнішній випадковий шум, заданий ДБР:



При цьому вважається, що шум є "малим" -- тобто розглядається поведінка системи при . В рамках такої моделі розв'язується задача асимптотичного статистичного оцінювання невідомого параметра, який входить до рівняння руху, за спостереженням траєкторії процесу Х.

* Білінійна модель з дробовим гауссовим шумом. Це модель з дискретним часом, яка будується за допомогою рекурентного рівняння

де послідовність однаково розподілених випадкових величин будується з ДБР наступним чином:

Вказана модель називається білінійною завдяки доданку , в якому використовується значення шуму в попередній момент часу. Економісти вважають, що така модель краще, ніж відповідна лінійна модель, описує динаміку деяких показників, наприклад, у економіках, що розвиваються.

Ми знаходимо асимптотичну поведінку білінійного процесу у граничній схемі з "малим" білінійним коефіцієнтом, тобто коли при , при одночасному нормуванні просторової змінної та часу у схемі. Показуємо, що граничний неперервний процес є розв'язком певного стохастичного диференціального рівняння з ДБР. Більш того, вказаний розв'язок також є границею за ймовірністю білінійної схеми з "малим" шумом, тобто при при, з нормуванням часу та без нормування просторової змінної.

Паралельно із вказаними задачами в рамках наведених вище моделей з ДБР, розв'язано наступні допоміжні задачі:

* Побудовано конструкцію процесів, які є абсолютно неперервними процесами (тобто майже напевне мають неперервну похідну), і які збігаються в певному смислі до процесу ДБР приПри цьому доведено збіжність для фіксованого моменту часу, збіжність у нормі простору типу Бесова , та збіжність інтегралів для досить широкого класу функцій.

* Доведено збіжність схеми Ейлера з малими відхиленнями для стохастичного диференціального рівняння з дробовим броунівським рухом

Схемою Ейлера з малими відхиленнями ми називаємо випадкову послідовність, побудовану за правилом:

В роботі показано, що за певних умов асимптотичної "малості" членів при схема Ейлера з малими відхиленнями веде себе так само, як і стандартна схема Ейлера, а саме, збігається до розв'язку відповідного стохастичного диференціального рівняння.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційну роботу виконано в рамках держбюджетної дослідницької теми № 06БФ038-03 "Аналітичні та стохастичні методи дослідження динамічних систем", що виконується на кафедрі теорії ймовірностей та математичної статистики механіко-математичного факультету Київського Національного університету імені Тараса Шевченка і входить до програми "Побудова та застосування математичних методів дослідження детермінованих та стохастичних еволюційних систем" (номер державної реєстрації 010Ш002472).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є розв'язання таких задач теорії випадкових процесів та математичної статистики, як:

* Побудова та дослідження наближень ДБР абсолютно неперервними процесами. Зокрема:

встановлення збіжності абсолютно неперервних наближень для фіксованого моменту часу;

встановлення збіжності абсолютно неперервних наближень у нормі простору типу Бесова;

встановлення збіжності інтегралів по абсолютно неперервним наближенням до інтегралу по ДБР.

* Дослідження змішаної броунівської - дробово-броунівської моделі Блека-Шоулса фондового ринку. Зокрема:

встановлення безарбітражності такого ринку у класі самофінансованих "гладких" стратегій марковського типу;

зображення процесу капіталу від самофінансованої стратегії як границі послідовності семімартингалів.

* Дослідження асимптотичних властивостей статистичних оцінок у динамічній системі з малим дробово-броунівським шумом. Зокрема:

знаходження функції відношення вірогідностей для відповідних статистичних експериментів;

доведення локальної асимптотичної нормальності сім'ї ймовірнісних мір, породжених динамічною системою;

знаходження достатніх умов консистентності та асимптотичної нормальності оцінки максимальної вірогідності невідомого параметра.

Встановлення збіжності схеми Ейлера з малими відхиленнями до розв'язку стохастичного диференціального рівняння з ДБР.

Встановлення асимптотичної поведінки білінійної "unit root" моделі з дробовим гауссовим шумом.

Методика дослідження. В роботі використовується аналітичний апарат теорії дробового інтегро-диференціального числення; стохастичний аналіз; методи математичної статистики, зокрема, асимптотичної теорії оцінювання.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, які визначають наукову новизну і виносяться на захист, такі:

Побудовано та досліджено нову конструкцію наближень ДБР абсолютно неперервними процесами.

Встановлено необхідні і достатні умови самофінансованості "гладких" стратегій марковського типу на змішаному фондовому ринку.

Доведено відсутність арбітражу на змішаному фондовому ринку у класі самофінансованих "гладких" стратегій марковського типу без додаткової умови незалежності вінерівського процесу та ДБР.

Процес капіталу в змішаній моделі фондового ринку подано як границю послідовності семімартингалів.

Доведено властивість локальної асимптотичної нормальності сім'ї ймовірнісних мір, породжених динамічною системою з малим дробово-броунівським шумом.

Знайдено достатні умови консистентності та асимптотичної нормальності оцінки максимальної вірогідності невідомого параметра у динамічній системі з малим дробово-броунівським шумом.

Введено поняття схеми Ейлера з малими відхиленнями та встановлено її збіжність до розв'язку стохастичного диференціального рівняння з ДБР за ймовірністю у рівномірній нормі.

Встановлено асимптотичну поведінку білінійної "unit root" моделі з дробовим гауссовим шумом у граничній схемі типу Донскера.

Практичне значення отриманих результатів. Дисертація має як теоретичне, так і практичне значення. Теоретична цінність роботи полягає в розробці необхідного математичного апарату для дослідження розглянутих у дисертації моделей, а також у встановленні корисних властивостей цих моделей, наприклад: безарбітражності моделі фондового ринку, консистентності статистичних оцінок в рамках моделі, знаходженні асимптотичних поведінок. Практичне значення одержаних результатів полягає в тому, що розглянуті у дисертації моделі можна використовувати на практиці для моделювання процесів у фінансовій сфері, на фондовому ринку, у економіці, телекомунікаціях, а також, можливо, деяких фізичних, біологічних та хімічних явищ.

Особистий внесок здобувача. Усі результати дисертаційної роботи одержані здобувачем самостійно. В одній спільній статті співавтору проф. Мішурі Ю. С. належить постановка задач, аналіз здобутих результатів та загальне керівництво роботою. П'ять статей є авторськими.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідались на наукових семінарах кафедри теорії ймовірностей і математичної статистики механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка, кафедри математичного аналізу та теорії ймовірностей Національного технічного університету України "КПІ", відділу фрактального аналізу Інституту математики НАН України; на конференціях та семінарах: Друга міжнародна конференція студентів, аспірантів, молодих вчених: "Сучасні задачі прикладної статистики, промислової, актуарної та фінансової математики" (квітень 2004 р., м. Донецьк), Конференція, присвячена пам'яті А. Я. Дороговцева: "Функціональні методи в теорії наближень, теорії операторів, стохастичному аналізі і статистиці II" (1-5 жовтня 2004 р., м. Київ), "Workshop on Stochastic Analysis" (18-21 травня 2005 р., м. Ювяскюля, Фінляндія), "Porkkala Fractional Symposium" (25 травня 2005 р., с. Поркаланемі, Фінляндія), Міжнародна конференція, присвячена 60-річчю кафедри інтегральних і диференціальних рівнянь КНУ ім. Тараса Шевченка: "Диференціальні рівняння та їх застосування" (6-9 червня 2005 р., м. Київ), Міжнародна конференція: "Modern Problems and New Trends in Probability Theory" (19-26 червня 2005 р., м. Чернівці), Міжнародна конференція, присвячена пам'яті проф. М. И. Ядренка: "Сучасна стохастика: теорія і застосування" (19-23 червня 2006 р., м. Київ), Об'єднаний семінар двох зустрічей в рамках пректу INTAS № 03-51-3714: " Nonstationary multivariate and nonlinear econometric models: theory and applications " (16-18 листопада 2006 р., м. Варшава, Польща).

Публікації. За результатами дисертаційної роботи опубліковано 6 статей у фахових виданнях [1, 2, 5, 11, 12, 13] та 7 тез доповідей на конференціях [З, 4, 6, 7, 8, 9, 10].

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, п'ятьох розділів, висновків та списку використаних джерел. Повний обсяг дисертації становить 191 сторінку, список використаних джерел займає 10 сторінок і містить 92 найменування.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовано мету і задачі дослідження, виділено наукову новизну та практичну значущість отриманих результатів.

Перший розділ містить короткий історичний огляд літератури за тематикою дисертації та висвітлює сучасний стан вивчення проблем, схожих до тих, що розглядаються в дисертаційній роботі.

У другому розділі ми наводимо деякі означення та твердження із теорії випадкових процесів, математичної статистики та стохастичного аналізу, які використовуються в основному тексті дисертації (Розділи 3-5). Окрім вже відомих результатів інших авторів, у цьому розділі доводяться деякі твердження "технічного" характеру, на які ми також посилаємось у наступних розділах дисертаційної роботи.

Третій розділ дисертації складається з двох підрозділів. У першому з них розглядається певна конструкція абсолютно неперервних наближень процесу ДБР. Оскільки ДБР не є марковським процесом, не є семімартингалом, такі наближення є корисним інструментом при дослідженні різних моделей з ДБР. Так, замінивши ДБР в моделі його абсолютно неперервним наближенням, ми можемо застосовувати методи звичайного стохастичного аналізу для дослідження дограничного процесу. Прикладом такої моделі буде розглянута у другому підрозділі третього розділу змішана модель Блека-Шоулса.

Усі результати дисертації отримано у припущенні, що . Абсолютно неперервне наближення ДБР будується за наступною схемою. Згідно із теоремою про зображення ДБР у вигляді інтегралу від степеневого ядра по вінерівському процесу.

Абсолютно неперервне наближення процесу У і, відповідно, процесу В отримуємо при зменшенні області інтегрування повторного інтегралу таким чином, щоб "відступити" від лінії, в околі якої множник призводить до порушення умов теореми Фубіні. Це робиться за допомогою набору дійсних неспадних неперервних справа функцій

Встановлено наступні твердження про абсолютну неперервність процесів, зміну порядку інтегрування у процесі та про збіжність цих процесів.

В подальшому вважається, що дійсні функції за допомогою яких побудовано процеси, є неcпадними неперервними справа функціями.

Теорема 0.1. Нехай функція : є гельдерово неперервною на відрізку з деяким коефіцієнтом Тоді похідна процесу, тобто процес є неперервним на напівінтервалі Якщо, додатково до умов теореми, існує таке для якого то процес Z^б буде неперервним на усьому інтервалі

Теорема 0.2. Нехай збігається інтеграл де -- обернена функція до Тоді в означенні процесу можна змінити порядок інтегрування.

Теорема 0.5. Нехай, де -- параметр Хюрста процесу ДБР.

Нехай також функції задовольняють умови Теореми 0.3 та мають наступні властивості:

1) вони є ліпшицевими з деяким коефіцієнтом

2) функції рівномірно наближують лінійну функцію:

3) для кожного збігається наступний інтеграл:

Тоді наближення збігається у середньому до процесу ДБР у нормі простору.

Отримано декілька результатів стосовно збіжності інтегралу за процесом наближення до інтегралу за ДБР.

Теорема 0.6. Нехай для деякого з ймовірністю 1 траєкторії процесу належать до простору . Нехай також наближення побудовано за допомогою функцій, які задовольняють умови Теореми 0.5. Тоді має місце збіжність за ймовірністю.

Вимагаючи від процесу задовольняти дещо сильніші умови стосовно поведінки своїх траєкторій, аналогічним чином отримаємо результат про збіжність відповідних інтегралів у середньому.

Теорема 0.7. Нехай функції задовольняють умови Теореми 0.5, а для процесу виконується наступне:

1) для, деякого існує стала така, що з ймовірністю 1

2) випадкові величини мають скінченні другі моменти.

Тоді для наближень, побудованих за функціями має місце наступна збіжність у середньому:

У прикладах розглянуто застосування Теорем 0.1- 0.7 до процесів побудованих за деякими конкретними наборами функцій Наводиться ще одна теорема про збіжність інтегралу за процесом до інтегралу за ДБР. З метою скорочення викладок, її доведення наводиться лише для часткового випадку набору функцій (0.9).

У підрозділі 3.2 дисертації розглядається змішана модель Блека-Шоулса фондового ринку.

Означення 0.1. Змішаною моделлю Блека-Шоулса називається модель фондового ринку з двома цінними паперами -- облігацією та акцією ціни яких описуються процесами:

Будь-який двовимірний випадковий процес який має невід'ємні координати та є передбачуваним відносно потоку -алгебр, породженого процесами та, називається стратегією або портфелем на цьому ринку. Для даної стратегії процес капіталу визначається рівністю:

Ми робимо наступні припущення відносно стратегії

1) є самофінансованою

2) є стратегією марковського типу, тобто існують вимірні функції,

Стратегія називається арбітражною стратегією, якщо для деякого виконується співвідношення.

В рамках описаної моделі отримано наступні важливі результати.

Теорема 0.10. Нехай ринок задано рівняннями (0.10) з, і для кожного носій розподілу ціни акції збігається з Тоді на цьому ринку не існує арбітражної стратегії в класі самофінансованих стратегій марковського типу (0.13) з функціями що задовольняють умови гладкості:

Особливістю останньої теореми є відсутність умови незалежності вінерівського процесу та ДБР в рівнянні (0.10).

Також отримано результат про можливість зображення процесу самофінансованого капіталу (0.11) на ринку (0.10) у вигляді границі послідовності семімартингалів.

Четвертий розділ дисертації присвячено статистичному оцінюванню невідомого параметра у динамічній системі з малим дробовим броунівським шумом.

Означення 0.2. Динамічною системою з малим дробовим броунівським шумом ми називаємо процес, який описується рівнянням.

Доданок у правій частині (0.14) вносить випадкову невизначеність (шум) до детермінованої динамічної системи, заданої рівнянням.

Термін "малий шум" пояснюється тим, що ми досліджуватиме асимптотичну поведінку системи при, тобто у випадку, коли шум у системі зникає.

Для значень параметра Хюрста за певних умов гладкості, накладених на функцію розв'язок рівняння (0.14) існує в потраєкторному сенсі для кожного та . Розв'язок є випадковим елементом у вимірному просторі неперервних функцій з сігма-алгеброю, що визначається рівномірною метрикою. В цьому просторі породжує ймовірнісну міру, задану рівністю для З рівнянням (0.14) можна пов'язати набір статистичних експериментів, в яких розв'язок виступає в ролі спостереження. Коефіцієнт, яким проіндексовано експерименти, характеризує величину шуму у системі.

Наступна теорема визначає умови, за яких ймовірнісні міри, породжені системою (0.14) є еквівалентними, та формулу відношення вірогідностей між ними.

Теорема 0.12. Нехай функція є неперервно диференційовною за змінними, у і має не більш ніж, лінійне зростання.

Тоді для довільних ймовірнісні міри є еквівалентними. Крім того, для процесу -- розв'язку (0.14) з -ймовірністю 1 має місце рівність для відношення вірогідності де -- той вінерівський процес, через який зображується процес.

Одним із важливих питань, яке ми вивчаємо у цьому розділі дисертації, є встановлення властивості асимптотичної нормальності класу мір, породжених системою (0.14) при . Властивості локальної або рівномірної асимптотичної нормальності системи мір у наборі статистичних експериментів в значній мірі визначають можливості будь-якого статистичного аналізу в рамках цієї моделі.

Теорема 0.13. Припустимо, що:

Для функції виконуються умови Теореми 0.12.

Функціонал, визначений рівністю (0.15), має похідну по змінній у точці за нормою простору . А саме, існує -вимірна вектор-функція така, що для довільних має місце наступна збіжність за -ймовірністю.

3) Матриця є додатно визначеною.

Тоді сім'я мір є локально асимптотично нормальною у точці при з нормалізуючою матрицею.

Крім того, для довільної оцінки параметра, для, довільної функції втрат

Серед умов Теореми 0.13 вимагається існування похідної за напрямом від функціоналу (умова 2)) у просторі . Виконання цієї умови розкривається наступною теоремою.

Теорема 0.14. Нехай фіксоване, процес є розв'язком рівняння (0.14) з . Нехай також для функції виконуються наступні умови:

1) існують неперервні змішані похідні третього порядку в околі точки при усіх ,

2) похідна є обмеженою функцією

Тоді функціонал, визначений рівністю (0.15), має похідну по змінній у точці за нормою простору . При цьому похідна є невипадковою функцією і задається рівністю де -- розв'язок рівняння (0.14) при та, функція, а -вимірні вектор-функції визначено рівностями

У підрозділі 4.2 дисертації вивчаються асимптотичні властивості оцінки максимальної вірогідності в рамках моделі (0.14). Отримано наступний результат.

Тоді для довільного компакта оцінка максимальної вірогідності побудована за розв'язком рівняння (0.14) з початковим значенням, при є рівномірно по консистентною, рівномірно асимптотично нормальною з нормуючою матрицею і для усіх моменти рівномірно збігаються до відповідних моментів стандартного нормального випадкового вектора.

П'ятий розділ дисертації присвячено знаходженню асимптотичної поведінки білінійної моделі з дробово-броунівським шумом при "малому" білінійному коефіцієнті. Для цього в підрозділі 5.1 розвивається необхідний для дослідження інструмент -- доводиться теорема про збіжність схеми Ейлера з малими відхиленнями для стохастичного диференціального рівняння з ДБР.

Означення 0.4. Для стохастичного диференціального рівняння з ДБР схемою Ейлера з малими відхиленнями ми називаємо наступний східчастий процес: де -- розбиття відрізка а -- схема серій деяких випадкових величин.

Задача полягає в тому, щоб визначити умови, наскільки величини повинні бути асимптотично "малими" при, а також умови на функції при яких процес збігатиметься до розв'язку рівняння (0.16). Відповідь на поставлене питання дається у наступній теоремі. Для спрощення викладок розглядається розбиття, де та білінійний випадок рівняння (0.16):

Теорема 0.16. Нехай . Припустимо, що для деякого існує випадкова величина яка не залежить від, така, що для будь-якого виконуються нерівності.

Тоді схема Ейлера з милими відхиленнями для рівняння (0.16) збігається за ймовірністю до розв'язку рівняння у рівномірній нормі.

У підрозділі 5.2 дисертації розглянуто білінійну модель із дробовим гауссовим шумом. За нашим визначенням -- це дискретний процес, заданий рекурентною формулою де послідовність є дробовим гауссовим шумом, тобто послідовністю нормованих приростів ДБР:

За загальноприйнятою термінологією розглянута нами модель належить до класу "unit-root" моделей, через те, що множник при в правій частині рівняння (0.17) дорівнює 1.

На відміну від (0.19), у рівнянні (0.21) нормування по просторовій координаті не проводиться.

Доведення наступної теореми базується на результаті Теореми 0.16 про збіжність наближень Ейлера с малими відхиленнями.

Встановлюється, що процеси, задані формулами (0.19) та (0.21), збігаються за розподілами. Отже, як наслідок Теореми 0.17, отримуємо збіжність за розподілом граничної схеми (0.18)-(0.19) до того ж самого граничного процесу, що й для схеми (0.20)-(0.21), тобто до розв'язку рівняння (0.22).



ЗАГАЛЬНІ ВИСНОВКИ

У дисертації отримано наступні результати:

Запропоновано нову конструкцію побудови абсолютно неперервних наближень ДБР та доведено збіжність цих наближень у середньому степені для фіксованого моменту часу .

Доведено збіжність абсолютно неперервних наближень до ДБР за ймовірністю у нормі простору типу Бесова .

Встановлено умови збіжності за ймовірністю та у середньому інтегралів по абсолютно неперервним наближенням ДБР до інтегралу по ДБР.

Встановлено необхідні і достатні умови самофінансованості стратегій марковського типу на фондовому ринку, що описується змішаною броунівською - дробово-броунівською моделлю Блека-Шоулса.

Доведено відсутність арбітражу на змішаному фондовому ринку у класі самофінансованих "гладких" стратегій марковського типу без додаткової умови незалежності вінерівського процесу та ДБР.

Процес капіталу в змішаній моделі фондового ринку подано як границю послідовності семімартингалів.

Встановлено формулу для функції відношення вірогідностей у динамічній системі з малим дробово-броунівським шумом.

Доведено властивість локальної асимптотичної нормальності сім'ї ймовірнісних мір, породжених динамічною системою з малим дробово-броунівським шумом.

Знайдено достатні умови консистентності та асимптотичної нормальності оцінки максимальної вірогідності невідомого параметра у динамічній системі з малим дробово-броунівським шумом.

Встановлено збіжність схеми Ейлера з малими відхиленнями до розв'язку стохастичного диференціального рівняння з ДБР за ймовірністю у рівномірній нормі.

Встановлено асимптотичну поведінку білінійної "unit-root" моделі з дробовим гауссовим шумом у граничній схемі типу Донскера.



РОБОТИ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Андрощук Т. Локальна асимптотична нормальність системи мір, породжених розв'язками стохастичних диференціальних рівнянь з малим дробово-броунівським шумом // Теорія Ймовір. та Матем. Статист. - 2004. - Т.71. - С.1-14.

2. Андрощук Т.О. Оцінка моментів вищих порядків для відхилення розв'язку стохастичного диференціального рівняння від свого тренду // Вісник Київського університету, серія: математика, механіка. - 2004. - Т.12. - С.60-62.

3. Андрощук Т.О., Мішура Ю.С. Асимптотика системи мір для стохастичних диференціальних рівнянь у дробовому випадку // Праці другої міжнар. конференції студентів, аспірантів, молодих вчених “Сучасні задачі прикладної статистики, промислової, актуарної та фінансової математики”. - м. Донецьк. - 2004. - С.176.

4. Androshchuk T.O. An estimation of the difference between solution of stochastic differential equation and its trend in the case of local Lipschitz continuity and boundedness of the equation's coefficient // Proc. Conf. “Functional Methods in Approximation Theory, Operator Theory, Stochastic Analysis and Statistics II”. - Kyiv (Ukraine). - 2004. - P.8.

5. Андрощук Т. Наближення стохастичного iнтегралу по дробовому броунiвському руху iнтегралами по абсолютно неперервним процесам // Теорія Ймовір. та Матем. Статист. - 2005. - Т.73. - С.11-20.

6. Androshchuk T.O. Absence of arbitrage and characterization of self-financing property in Brownian - fractional Brownian model of the market // Proc. International Conf. “Differential Equations and their Applications”. - Kyiv (Ukraine). - 2005. - P.120.

7. Androshchuk T. Absence of arbitrage in the mixed Brownian - fractional Brownian model // Proc. International Conf. “Modern Problems and New Trends in Probability Theory”. - Chernivtci (Ukraine).- 2005. - P.12.

8. Androshchuk T. About asymptotic behavior of the unit root bilinear model with dependent noise sequence // Proc. International Conf. “Modern Stochastics: Theory and Applications”. - Kyiv (Ukraine). - 2006. - P.103.

9. Androshchuk T. Properties of the MLE in dynamical systems with small fractional noise // Proc. International Conf. “Modern Stochastics: Theory and Applications”. - Kyiv (Ukraine). - 2006. - P.104.

10. Mishura Yu., Androshchuk T. The problem of arbitrage in the mixed market. Approximation of the fractional Brownian motion // Proc. International Conf. “Modern Stochastics: Theory and Applications”. - Kyiv (Ukraine). - 2006. - P.190.

11. Androshchuk T. Regularity conditions and the maximum likelihood estimation in dynamical systems with small fractional Brownian noise // Random Oper. and Stoch. Equ. - 2006. - Vol.14, №4. - P.335-366.

12. Androshchuk T., Mishura Yu. Mixed Brownian - fractional Brownian model: absence of arbitrage and related topics // Stochastics: An International Journal of Probability and Stochastics Processes. - 2006. - Vol.78, №5. - P.281-300.

13. Андрощук Т. Асимптотическое поведение билинейной модели с дробным гауссовым шумом. Схема Эйлера с малыми возмущениями // Записки научных семинаров ПОМИ. - 2007. - Т.341. - С.5-32.

Размещено на Allbest.ru

...