Дослідження екстремальних задач теорії наближення функцій

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Дослідження екстремальних задач теорії наближення функцій

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. В роботі досліджуються класичні екстремальні задачі теорії наближення на класах функцій, що задаються як традиційними диференціально-різницевими властивостями, так і властивостями, пов'язаними з перетвореннями рядів Фур'є за допомогою мультиплікаторів та зсувів аргументів.

Дослідження проводяться в декількох напрямках. Напрямок, пов'язаний з вивченням наближень 2-періодичних функцій за допомогою різних лінійних методів підсумовування рядів Фур'є, виник і одержав свій розвиток в результаті численних робіт А. Лебега, Ш. Валле-Пуссена,

Л. Фейєра, А.М. Колмогорова, С.М. Нікольського і ряду інших математиків.

Нехай f(x) - 2-періодична сумовна функція (f L),

(1)

(2)

За допомогою нескінченної трикутної числової матриці

при частинні суми (2) ряду Фур'є (1) функції f(x) перетворюються до вигляду

т=1,2,….

Таким чином, будь-яка трикутна матриця задає метод побудови поліномів або, іншими словами, конкретну послідовність поліноміальних операторів , визначених на множині L. У цьому випадку також говорять, що матриця визначає конкретний метод (-метод) підсумовування рядів Фур'є.

У 1935 році А.М.~Колмогоров розглянув величину

де (r - ціле, ) - клас 2-періодичних функцій f(x), у яких (r-1) - а похідна локально абсолютно неперервна на [],$ а майже всюди задовольняє умову Він показав, що

Hаступний істотний крок у даному питанні належить С.М.Нікольському, який поширив ці результати на класи функцій, у яких r-та дробова похідна за Вейлем належить класу

і на більш загальні класи , що задаються мажорантою модулів неперервності похідних .

Результати А.М. Колмогорова і С.М. Нікольського поширювались на більш загальні класи функцій і на випадки, коли за наближуючі агрегати розглядалися тригонометричні поліноми , що породжуються різними методами підсумовування рядів Фур'є. Задача про знаходження асимптотичних рівностей для величин

де - компактний клас 2-періодичних функцій, X - простір, в метриці якого вимірюється відхилення, стала однією з найважливіших в теоріях наближення функцій і рядів Фур'є. Її ми, йдучи за О.І. Степанцем, називаємо задачею Колмогорова-Нікольського (задачею К-Н), і якщо в явному вигляді знайдена функція така, що

то говоримо, що задача К-Н розв'язана для методу на класі

Великий внесок у розробку цього напрямку внесли О.В. Єфімов, М.П. Корнєйчук, Б. Надь, О.І. Степанець, С.Б. Стєчкін, С.О. Теляковський, О.П. Тіман та інші.

Наприкінці минулого сторіччя О.І. Степанцем був запропонований новий підхід до класифікації періодичних функцій за допомогою мультиплікаторів та зсувів аргументів, який дозволяє класифікувати широкий спектр функцій. На основі цієї класифікації були отримані результати, що узагальнюють відповідні класичні твердження про наближення диференційовних функцій і встановлюють нові ефекти, які в шкалі раніш відомих класифікацій не було можливості побачити. При цьому за наближуючі агрегати в основному бралися класичні суми Фур'є, Фейєра, Зигмунда та ін. Отже, дослідження апроксимативних властивостей на класах Степанця інших лінійних методів підсумовування рядів Фур'є, зокрема, сум Валле-Пуссена та узагальнених методів є актуальними.

Якщо за наближуючі агрегати для періодичних функцій, як правило, використовуються тригонометричні поліноми заданого степеня n і, зокрема, поліноми, що породжуються за допомогою лінійних процесів підсумовування рядів Фур'є, то для наближення функцій, заданих на дійсній осі і не обов'язково періодичних, природним апаратом наближення є цілі функції експоненціального типу не вищого за .

Початок сучасної теорії наближення цілими функціями покладено у відомих роботах С.Н. Бернштейна, які відносяться до початку минулого сторіччя, де він висунув ідею побудови теорії наближення функцій, заданих на дійсній осі, що включає і теорію наближення періодичних функцій. Ця ідея, зокрема, одержала свій розвиток наприкінці минулого сторіччя в серії робіт О.І. Степанця про наближення в просторах локально сумовних функцій. В цих роботах було запропоновано новий підхід до класифікації функцій, заданих на дійсній осі і не обов'язково періодичних, і вивчена асимптотична поведінка верхніх граней відхилень операторів Фур'є на введених класах. Природним є інтерес до того, як поводять себе на цих класах інші наближуючі агрегати, зокрема, оператори Валле-Пуссена.

У багатовимірному випадку однією з найважливіших також є задача про оцінки відхилень кратних тригонометричних поліномів на заданому класі функцій. Тут донедавна були відомі лише поодинокі результати, та й ті мали далеко не завершений характер. Потрібний був метод, що істотно враховує специфіку багатовимірного випадку.

В теорії наближень, також, набув активного розвитку напрямок, пов'язаний із вивченням величин

де - довільний набір із n натуральних чисел і

(тут - довільні коефіцієнти), а F - деякий функціональний клас в лінійному нормованому просторі X.

Зазначимо, що вперше величини вигляду (4) були введені С.Б. Стєчкіним з метою встановлення критерію збіжності ортогональних рядів в гільбертовому просторі . Згодом величина одержала назву найкращого n-членного наближення класу F в просторі X і почала вивчатися багатьма математиками.

Історія розвитку досліджень величин найкращих наближень, колмогоровських поперечників, найкращих n-членних наближень певних функціональних множин у лінійних нормованих просторах є багатою і пов'язана з іменами таких математиків, як H.І. Ахієзер, С.Н. Бернштейн, Д. Джексон, В.К. Дзядик, Б.С. Кашин, М.П. Корнєйчук, М.Г. Крейн, О.К. Кушпель, С.М. Нікольський, К.І. Осколков, О.І. Степанець, С.Б. Стєчкін, В.М. Тємляков, О.П. Тіман, М.П. Тіман, В.М. Тихоміров, Ж. Фавар та ін.

Нехай - множина 2-періодичних функцій, сумовних з квадратом.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана на кафедрі математичного аналізу Слов'янського державного педагогічного університету згiдно з науково-дослiдною темою: «Комплекси алгебраїчних та топологічних систем», номер державної реєстрацiї 0101 U 000 750.

Мета i задачi дослiдження. Метою роботи є одержання нових результатів щодо наближення певних класів функцій однієї і багатьох змінних в просторах C і L поліномами, що породжуються лінійними методами, а також знаходження точних значень найкращих наближень, поперечників по Колмогорову і найкращих n-членних наближень q-еліпсоїдів у просторах .

Об'єктом дослідження є екстремальні задачі теорії наближення функцій.

Предметом дослiдження є наближення певних функціональних класів в деяких лінійних нормованих просторах. Зокрема, вивчається асимптотична поведінка верхніх граней відхилень тригонометричних поліномів, що породжуються лінійними методами підсумовування рядів Фур'є, на різних класах періодичних функцій однієї і багатьох дійсних змінних в рівномірній і інтегральній метриках, а також найкращі наближення, колмогоровські поперечники і найкращі n-членні наближення q-еліпсоїдів у просторах .

Сформулюємо тепер задачі дослідження.

1. Вивчити поведінку верхніх граней відхилень тригонометричних поліномів, які породжуються лінійними методами підсумовування рядів Фур'є, на різних класах періодичних функцій дійсної змінної, що мають узагальнені $\overline{\psi}$-похідні в розумінні О.І.~Степанця, у рівномірній і інтегральній метриках. Одержати результати, які охоплювали б широкий спектр функцій, що включають функції малої і скінченної гладкості, нескінченно дифференційовні, в тому числі аналітичні і цілі функції, а серед методів наближення - класичні процеси Фур'є, Валле-Пуссена, Фейєра, Зигмунда, Фавара, Рогозинського, Стєклова. Отримати розв'язки відповідних задач К-Н, зокрема, для сум Валле-Пуссена і узагальнених методів.

2. Дослідити аналогічні задачі наближення класів локально інтегровних функцій, заданих на дійсній осі (і не обов'язково періодичних), за допомогою цілих функцій експоненціального типу.

3. Вивчити питання одночасного наближення функцій та їх інтегралів сумами Валле-Пуссена в просторах.

4. Знайти точні за порядком оцінки зверху для верхніх граней відхилень сум Фур'є трикутного виду на класах неперервних періодичних функцій двох змінних, що визначаються довільними фіксованими модулями неперервності.

5. Одержати оцінки швидкості наближення поліномами Бернштейна інтерполяційного типу класів неперервних періодичних функцій багатьох змінних, що визначаються довільними фіксованими модулями неперервності.

6. Дослідити апроксимативні властивості просторів з несиметричною метрикою; зокрема, встановити точні значення найкращих наближень, колмогоровських поперечників і найкращих членних наближень еліпсоїдів у цих просторах.

Методи. У роботі застосовуються загальні методи математичного аналізу у поєднанні зі спеціальними методами теорії наближення функцій і теорії лінійних методів підсумовування рядів Фур'є.

До теперішнього часу О.І.~Степанцем і його послідовниками розроблені методи, що дозволяють розв'язувати різні задачі теорії наближення функцій: задачі про наближення ним введених функціональних класів лінійними середніми рядів Фур'є і їхніми інтерполяційними аналогами, найкращі наближення, задачі про різні поперечники, найкращі $n$-членні наближення даних класів та інші. Розроблені методи дозволяють розв'язувати задачі не тільки в періодичному випадку, але й у випадку, коли об'єктами наближення є функції, локально інтегровні на всій числовій осі.

Зміст роботи

інтегрований поліном бернштейн інтерполяційний

Отримано точні за порядком оцінки зверху для верхніх граней відхилень інтерполяційних середніх Бернштейна на класах при довільному натуральному $N,$ а в ряді важливих випадків для цих величин знайдено асимптотичні рівності, які забезпечують розв'язок відповідної задачі К-Н.

Знайдено точні значення верхніх граней найкращих членних наближень еліпсоїдів у просторах у випадку, коли наближуючі поліноми будуються по підсистемах розмірності $n,$ які обираються з даної ортонормованої системи підряд.

В другому розділі за наближуючі агрегати використовуються оператори Валле-Пуссена. Розглядається наближення цими агрегатами в рівномірній метриці функцій, заданих на дійсній осі, інтегралів Пуассона, а також функцій, що дозволяють продовження до функцій, аналітичних у смузі скінченної ширини. Також досліджуються апроксимативні властивості сум Валле-Пуссена на класах функцій скінченної і великої гладкості в інтегральній метриці і вивчаються питання одночасного наближення цими сумами функцій та їх інтегралів в просторах.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Рукасов В.И. Приближение непрерывных периодических функцій линейными средними их рядов Фурье // Теория функций и смежные вопросы анализа: Тр. Мат. ин-та АН СССР. - 1987. - С. 187 - 188.

2. Рукасов В.И. Приближение функций класса линейными средними их рядов Фурье // Укр. мат. журн. - 1987. N4. - С. 478-483.

3. Рукасов В.И. Приближение операторами Валле-Пуссена функций, заданных на действительной оси // Укр. мат. журн. - 1992. - 682-691.

4. Рукасов В.И. Приближение непрерывных функций операторами Валле-Пуссена // Укр. мат. журн. - 2003. - С. 414-424.

5. Рукасов В.И. Наилучшие $n-$членные приближения в пространствах с несимметричной метрикой // Укр. мат. журн. - 2003. - С. 500 - 509.

6. Рукасов В.И. Приближение суммами Валле-Пуссена классов аналитических функций // Укр. мат. журн. - 2003. - С. 806 - 816.

7. Рукасов В.И. Оценки отклонений полиномов Бернштейна интерполяционного типа на классах непрерывных периодических функций многих переменных // Екстремальні задачі теорії функцій та суміжні питання: Праці Ін-ту математики НАН України. - Київ: Ін-т математики НАН України, 2003. - Т. 36. - С. 136 - 155.

8. Рукасов В.І. Про наближення операторами Валле-Пуссена функцій, заданих на дійсній осі // Допов. НАН України. - 2003. - №6. - C. 26 - 28.

9. Рукасов В.И., Новиков О.А. Приближение классов обобщенными суммами Валле-Пуссена // Укр. мат. журн. - 1997. - N4. - С. 606-610.

10. Рукасов В.И. Новиков О.А. Приближение аналитических функцій суммами Валле-Пуссена // Ряди Фуp'є: теоpія і застосування: Праці Ін-ту математики НАН України. - Київ: Ін-т математики НАН України, 1998. - Т. 20. - С. 228 - 241.

Размещено на Allbest.ru