Властивості розв'язків рівнянь марковського відновлення

Размещено на http://allbest.ru

Міністерство освіти і науки України

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

01.01.05 - теорія ймовірностей і математична статистика

ВЛАСТИВОСТІ РОЗВ'ЯЗКІВ РІВНЯНЬ МАРКОВСЬКОГО ВІДНОВЛЕННЯ

Виконала Бугрій Наталія Володимирівна

Київ - 2008

АНОТАЦІЯ

Бугрій Н.В. Властивості розв'язків рівнянь марковського відновлення. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05 - теорія ймовірностей і математична статистика. Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2007.

Дисертаційна робота присвячена дослідженню асимптотичної поведінки розв'язків рівнянь марковського відновлення на нескінченності.

У дисертації знайдено в явному вигляді перетворення Лапласа довільного розподілу, зосередженого на [0, +1), і розподілу часу перебування напівмарковського процесу в кожному фіксованому стані за умови, що хвости цих розподілів є правильно змінними функціями на нескінченності з показником -1. Вивчено асимптотичну поведінку розв'язку рівняння відновлення для напівмарковського процесу, якщо розподіл часу перебування цього процесу в кожному фіксованому стані має правильно змінний хвіст на нескінченності з показником (0, 1]. Встановлено асимптотику елементів матриці відновлення на нескінченності у випадку 1. Досліджено питання про існування граничних розподілів для сім'ї функціоналів від напівмарковського процесу і для часових середніх випадкових еволюцій, побудованих за процесом переносу та напівмарковським процесом. Всі результати отримані для напівмарковських процесів, середній час перебування яких в кожному фіксованому стані є нескінченним.

лаплас нескінченність марковський математичний

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Напівмарковські процеси є безпосереднім узагальненням достатньо добре вивчених в теорії ймовірностей ланцюгів Маркова. Відкинення умови показниковості розподілу часу перебування в кожному стані і є головним, що відрізняє напівмарковський процес від ланцюга Маркова. Завдяки цьому можна охопити більш широкий клас систем, опис яких неможливий за допомогою ланцюгів Маркова. Цим і пояснюється активне використання теорії напівмарковських процесів в прикладних розділах теорії ймовірностей: в теорії масового обслуговування, теорії надійності, а також в біології, діагностиці, економіці та ін. Застосування напівмарковських процесів в якості математичних моделей таких складних систем, як системи резервування, системи масового обслуговування, стохастичні автомати, розглядали В.С. Королюк, А.Ф. Турбін, І.Н. Коваленко, Д.С. Сільвестров та інші.

Вивчення різних характеристик напівмарковських процесів, зокрема, перехідних ймовірностей, часу перебування в підмножині станів та інших, приводить до розгляду рівнянь марковського відновлення. Асимптотика розв'язку цих рівнянь, якщо середній час перебування напівмарковського процесу в кожному фіксованому стані є скінченним, досить добре вивчена. Поведінка матриці відновлення на нескінченності у цьому випадку є також відома. Якщо середній час перебування напівмарковського процесу у кожному фіксованому стані є нескінченним, то асимптотика розв'язку рівняння марковського відновлення досліджувалася лише за умови, що хвіст розподілу часу перебування цього процесу в кожному фіксованому стані є правильно змінною функцією на нескінченності з показником [0, 1). Недослідженим залишався випадок а = 1. Досить важливою є задача про визначення розподілу адитивного функціоналу, заданого деякими своїми характеристиками. А.В. Скороход поставив задачу про граничний розподіл



t - ¹f(X(u)) du

при t - 1, де X(t), t - 0, - напівмарковський процес з ергодичним вкладеним ланцюгом Маркова, але з нескінченним середнім стаціонарним часом перебування в одному стані, f - обмежена вимірна функція. Ця задача була розв'язана В.М. Шуренковим з учнями при умові, що хвіст розподілу часу перебування даного процесу у кожному фіксованому стані є правильно змінною функцією на нескінченності з показником -а, а є [0, 1). Проте дослідження ще потребував випадок а = 1.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана в рамках держбюджетних дослідницьких тем: «Побудова математичних моделей та розробка методів дослідження крайових задач для диференціальних рівнянь і випадкових еволюцій», що виконувалася на кафедрі теоретичної та прикладної статистики Львівського національного університету імені Івана Франка протягом 2000-2002 рр. (шифр МД-23Б, номер державної реєстрації 0100U001411), та «Аналітичні методи дослідження перехідних явищ у випадкових еволюціях», що виконувалася на кафедрі теоретичної та прикладної статистики Львівського національного університету імені Івана Франка протягом 2003-2005 рр. (шифр МС-129Ф, номер державної реєстрації 0103U001876).

Мета і завдання дослідження. Метою роботи є подальший розвиток теорії марковського відновлення та ергодичної теорії, застосування останньої до реальних стохастичних систем. В дисертаційній роботі поставлено наступні завдання:

1) дослідити асимптотичну поведінку перетворення Лапласа розподілів, хвости яких є правильно змінними функціями на нескінченності з показником -1 та встановити асимптотику перетворення Лапласа функції відновлення, побудованої за такими розподілами;

2) вивчити асимптотичну поведінку розв'язку рівняння марковського відновлення і знайти асимптотику відповідної матриці відновлення;

3) дослідити існування граничних розподілів для сім'ї функціоналів від напівмарковського процесу;

4) встановити умови існування граничних розподілів часових середніх випадкових еволюцій, побудованих за процесом переносу та напівмарковським процесом.

Об'єкт дослідження - напівмарковський процес зі скінченним простором станів і неперервним часом. Предмет дослідження - рівняння марковського відновлення, побудоване за цим процесом.

Методи дослідження: в дисертації використано аналітичний апарат теорії відновлення, методи функціонального аналізу та теорії диференціальних рівнянь.

Наукова новизна одержаних результатів. Основними результатами, які визначають наукову новизну є наступні:

1) знайдено перетворення Лапласа розподілу, зосередженого на [0, +1), хвіст якого є правильно змінною функцією на нескінченності з показником -1, досліджено поведінку цього перетворення Лапласа в нулі; встановлено асимптотику в нулі перетворення Лапласа функції відновлення, побудованої за цим розподілом;

2) знайдено і досліджено в нулі перетворення Лапласа розподілу часу перебування напівмарковського процесу в кожному фіксованому стані, хвіст якого є правильно змінною функцією на нескінченності з показником -1;

3) вивчено асимптотичну поведінку розв'язку рівняння відновлення для напівмарковського процесу, якщо розподіл часу перебування цього процесу в кожному фіксованому стані має правильно змінний хвіст на нескінченності з показником -а, а є (0, 1]; асимптотику елементів матриці відновлення на нескінченності у випадку а = 1 встановлено вперше;

4) досліджено питання про існування виродженого граничного розподілу для сім'ї функціоналів від напівмарковського процесу та граничного сумісного розподілу для сім'ї функціоналів від напівмарковського процесу та сім'ї недоскоків цього процесу;

5) встановлено умови існування граничних розподілів часових середніх випадкових еволюцій, побудованих за процесом переносу та напівмарковським процесом, показано приклади застосування таких еволюцій до дослідження реальних стохастичних систем.

Отримані результати, що стосуються напівмарковських процесів, виконуються за умови, що середній час перебування цих процесів в кожному фіксованому стані є нескінченним.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичне значення і можуть бути застосованими в теорії надійності, теорії масового обслуговування, економіці, біології та в інших галузях, в яких використовуються напівмарковські процеси та випадкові еволюції.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертаційної роботи отримані здобувачем самостійно. Результати дисертації опубліковано в шістьох наукових статтях, з них три одноосібні, дві - у співавторстві з науковим керівником професором Я.І. Єлейком, в яких Я.І. Єлейку належить постановка задач та загальне керівництво роботою, одна - у співавторстві з Я.І. Єлейком та Ю.В. Жерновим, в якій співавторам належить постановка задач та загальне керівництво роботою.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідалися та обговорювалися на:

– Українському математичному конгресі (м. Київ, 2001р.);

– Дев'ятій Міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (м. Київ, 2002р.);

– Міжнародній науковій конференції «Functional analysis and its applications», присвяченій 110 річниці народження С. Банаха (м. Львів, 2002р.);

– Міжнародній науковій конференції «Modern problems and new trends in probability theory» (м. Чернівці, 2005р.);

– Міжнародній науковій конференції «Skorokhod space 50 years on» (м. Київ, 2007р.);

– засіданні наукового семінару з теорії ймовірностей та математичної статистики при кафедрі теорії ймовірностей та математичної статистики механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка (м. Київ, 2005р.);

– засіданні наукового семінару відділу теорії випадкових процесів Інституту математики НАН України (м. Київ, 2006р.).

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету та завдання дослідження, виділено основні результати, відзначено їх новизну та практичну значущість.

Перший розділ містить огляд літератури за тематикою дисертаційної роботи та за спорідненими питаннями. В ньому також подано розгорнутий огляд результатів дисертації.

В другому розділі дисертації доведено низку тауберових теорем, які є аналітичним апаратом для подальших досліджень. Головним припущенням цього розділу є правильна змінність на нескінченності з показником -1 хвоста розподілу F, зосередженого на [0, +1), а саме умова

1 - F(t)dx - t -¹L(t) при t - +1, (1)

де L - повільно змінна функція на нескінченності. Для 0 > 0 перетворення Лапласа розподілу F має вигляд



(0) = e- ^0xdF(x).

В підрозділі 2.1 встановлено явний вигляд цього перетворення Лапласа та досліджено його поведінку в нулі. Теорема 2.1. Нехай виконується припущення (1). Тоді для довільних 0, t > 0 матимемо, що

1 - (⁰/_t) = ⁰/_t (C₁ + [1 + 5(0x)] dx),(2)

де d > 0, C₁ є R - деякі константи, 2(t) - 0 при t - +1. Позначимо

L₁(s) = dx, s > 0.(3)

Зауважимо, що L₁ є повільно змінною функцією на нескінченності.

Теорема 2.2. Нехай виконується умова (1). З формул (4), (5) випливає, що 1 - (⁰/_t), 0 > 0, є правильно змінною функцією при t - +1 з показником 1. В підрозділі 2.1 розглянуто також напівмарковський процес X(t), t - 0, зі скінченним числом станів {1, 2, …, m} та неперервним часом. Нехай

а = inf{t > 0 : X(0) 5 X(t)} (4)

- момент першої зміни стану процесу X(t),

F_ij(t) = P{р а t, X(п) = j X(0) = i},

F_i(t) = F_ij(t) = P{а р t X(0) = i}, i =1, …, m. (5)



Припускається, що середній час перебування напівмарковського процесу X(t) в кожному фіксованому стані є нескінченним. Встановлено явний вигляд перетворення Лапласа розподілу F_i, i = 1, …, m, та досліджено поведінку цього перетворення в нулі.

Теорема 2.3. Нехай

1 - F_i(t) - a_i t -¹L(t) при t - +1, i = 1, …, m,(6)

де a₁, …, a_m - деякі невід'ємні константи, a₁ + … + a_m 0, L - повільно змінна функція на нескінченності. Тоді для довільних 0, t > 0

1 - _i (⁰/_t) =⁰/_t (C₁ + [a_i + р(0x)]dx), i = 1, …, m,

де d > 0, C₁ - деякі константи, (t) - 0 при t - +1.

Теорема 2.4. Нехай виконується припущення (6). Тоді для довільного 0 > 0 матимемо

1 - _i (⁰/_t) - dxL₁(^t/₀) при t - +1, i = 1, …, m.(7)

В підрозділі 2.2 розглянуто процес відновлення {S_n, n - 0}, де S₀ = 0, S_n = X₁ + … + X_n, n - 1, яка задовольняє умову F(0) = 0.

Визначено функцію відновлення

U(x) = F^{n *}(x), x - 0,

F^{(n + 1) *} = F^{n *}* F, F^{(n + 1) *}(x) = F^{n *}(x - y)F{dy},



Для 0 > 0 перетворення Лапласа функції відновлення U матиме вигляд

(0) = e-^0xU(x) dx.

m(t) = [1-F(x)]dx

Теорема 2.5. Нехай виконується умова (1) і, крім того,

m(t) 8 /+1 при t- +1 (8)

Тоді для довільного 0 > 0

(⁰/_t) - (9)

при t - +1,(9), тобто перетворення Лапласа функції відновлення є правильно змінною функцією в нулі з показником -2.

Основним об'єктом дослідження третього розділу дисертаційної роботи є напівмарковський процес X(t), t - 0, зі скінченним числом станів {1, 2,…, m} та неперервним часом, введений в підрозділі 2.1. Припускається, що матриця

P = ||p_ij||

перехідних ймовірностей вкладеного в X(t) ланцюга Маркова є нерозкладна і, отже, для неї існує єдиний стаціонарний розподіл ймовірностей p₁, p₂, …, p_m, тобто такий, що



p_i - 0, p_i = 1, p_j = p_i p_ij, j = 1, …, m.(10)

Третій розділ дисертації присвячено дослідженню рівняння марковського відновлення вигляду

q_i(t) = b_i(t) + F_ij{dx} q_j(t - x), (11)

i = 1, …, m, t - 0, q = colon(q₁(t),…,q_m(t)) - вектор шуканих функцій, визначених для t - 0, b = colon(b₁(t),…,b_m(t)) - вектор заданих вимірних, обмежених на кожному скінченному інтервалі невід'ємної півосі, функцій, матриця

F(t)=||F_ij(t)||

q_i(t) = U_ij{dx} b_j(t - x)

U_ij{tdx} b_j(t(1 - x)), (12)

i = 1, …, m, U_ij{[0,t]} = U_ij(t), i, j = 1, …, m, - елементи матриці відновлення U(t), яка є аналогом функції відновлення, тобто

U(t) = F^n*(t), (13)

F^0*(t) = E 8 ||_ij||

F^{(n + 1)*}(t) = F^n*(t - u) F{du}, n є N.



Теорема 3.1. Нехай L - неспадна повільно змінна функція на нескінченності,

b_j(y) = y-^jL(y), y > 0, 0 < 1, j = 1, …, m,(14)

і виконується умова

1 - F_i(t) - a_it - ^аL(t) при t - +1, i = 1, …, m, 0 < а < 1,(15)

Тоді границя q_i(t) є скінченною.

В підрозділі 3.2 розглянуто ту саму задачу, що і в попередньому підрозділі, але за інших умов.

Основним результатом третього розділу дисертації є встановлення асимптотики елементів матриці відновлення на нескінченності.

Наслідок 3.1. Нехай виконується умова (6), p₁, …, p_m - стаціонарний розподіл ймовірностей, a_i p_i > 0. Тоді

t -¹ L₁(t)U_ij(t) = , i, j = 1, …, m,

де U_ij(t), i, j = 1, …, m, - елементи матриці відновлення U(t).

В четвертому розділі дисертації розглянуто сім'ю напівмарковських процесів X^а(t), t - 0

Залежать від малого параметру а є [0,1), зі скінченним числом станів {1, 2, …, m} та неперервним часом.

Задано 1_n^а, n - 1, - моменти переходу процесу X^а(t) з одного стану в інший (або моменти зміни стану):



1₁^а = 1^а = inf{t > 0 | X^а(t) 1 X^а(0)},

1_n^а = inf{t > 1_n-₁^а | X^а(t) 1 X^а(1_n-₁^а)}, n - 2,

Нехай 1^а(t) = t - 1_N(t)^а, де N(t) = max{ n : 1_n^а dx (t)} - час, який проходить з момента останньої зміни стану процесу X^а(t) до моменту t (величина недоскоку). Послідовність випадкових величин X(0), X(1₁^а), ..., X(1_n^а), ... утворює так званий вкладений в X^а(t) ланцюг Маркова з перехідними

p_ij = P{ X^а(1^а) = j | X^а(0) = i}, i, j = 1, …, m,

тобто цей ланцюг Маркова не залежить від параметру а. Матриця

P=||p_ij||

нерозкладна і, отже, для неї існує єдиний стаціонарний розподіл ймовірностей p₁, p₂, …, p_m. Позначимо

F_ij^а(t) = P{1^а 1 t, X^а(1^а) = j | X^а(0) = i},

F_i^а(t) = F_ij^а(t) = P{1^а 1 t | X^а(0) = i}, i = 1, …, m.

Вважатимемо, що середній час перебування напівмарковського процесу X^а(t) в кожному фіксованому стані є нескінченним. Введемо

1^а(t) = f(X^а(u)) du, t - 0, (16)

де f - додатна обмежена функція на [0, +1).

Теорема 4.1. Нехай {а_k}_{k є N} 1 [0, 1) - така послідовність, що а_k - 1 при k - +1; 1 - F_i ^аk (t) - a_i t - ^аk L(t) при t - +1, i = 1, …, m, k є N,

Тоді

1) при f 1 існує невласний розподіл G^w, зосереджений на [1,+1) Ч (0,1), для якого

G^w(x) =P{ 1 x, - w X^аk (0) = i},

i = 1, …, m, w є (0, 1), в кожній точці неперервності;

2) існує вироджений розподіл G⁰, для якого

G⁰(x) = P{ 1 x X^аk (0) = i}, i = 1, …, m

в кожній точці неперервності, причому G⁰(x) = 0, якщо

x

G⁰(x) = 1 в протилежному випадку.

В п'ятому розділі дисертації розглянуто випадкові еволюції, побудовані за напівмарковським процесом X(t), t - 0, та процесом переносу. Задамо послідовні стрибки напівмарковського процесу:

1₀ = 0, 1₁ = 1 = inf{t > 0 X(t) 1 X(0)}, …

1_n = inf{t > 1_n-₁ X(t) 1 X(1_n-₁)}, …

Нехай спочатку множина станів {1, 2,…, m} процесу X(t) є скінченною. перехідних ймовірностей вкладеного в X(t) ланцюга Маркова є нерозкладна і, отже, для неї існує єдиний стаціонарний розподіл ймовірностей p₁, p₂, …, p_m. Вважатимемо, що середній час перебування напівмарковського процесу X(t) у кожному фіксованому стані є нескінченним. Розглянемо систему звичайних диференціальних рівнянь

x'_s(t) = f_s(t, x_s(t)), x_s(0) = x_0s, s = 1, …, m,(17)

де x_s(t) = (x_1s(t), …, x_ns(t)), f_s(t, x_s) - векторна функція, задана на множині 1 = {(t, x): t є [0,+1), x є D 1 R₊ⁿ }; x_0s є D - задане початкове значення x_s(t).

За умови існування єдиного розв'язку x_s = x_s(t) кожної s-ї задачі Коші (17), s = 1, …, m, для t - 0 побудована випадкова еволюція на траєкторії напівмарковського процесу X(t) у вигляді

1_k 1 t < 1_k+1, X(1_k) = s;… . (18)

Очевидно, що випадкова еволюція (t) є процесом з марковським втручанням випадку 1. Нехай (t) = (₁(t),…, _n(t)), f - обмежена додатна вимірна функція на [0, +1).

Теорема 5.1. Нехай існує єдиний розв'язок кожної s-ї задачі Коші (17) x_s = x_s(t), s = 1, …, m, визначений для всіх t - 0, для компонент якого виконується

t -¹f(x_ks(u)) du = b_ks, k = 1, …, n,(19)

= a_i, i = 1, …, m,(20)

де а є [0, 1), L - повільно змінна в нулі функція, a₁, …, a_m - деякі невід'ємні константи такі, що a_i p_i > 0.

Тоді

P_i{ t -¹f(_k(t)) du < x} = G_k(x), i = 1, …, m, k = 1, …, n, (21

для всіх точок неперервності G_k, де

dG_k(x) = , 0 > 0. (22)

Твердження теореми 5.1 залишається справедливим, якщо умову обмеженості функції f замінити умовою обмеженості при t - 0 розв'язку

x_s = x_s(t) кожної s-ї задачі Коші (17), s = 1, …, m. Тоді у випадку f(x) = x одержимо теорему 5.2, яка встановлює умови існування граничного розподілу часових середніх еволюції (t).

У випадку зліченної множини станів напівмарковського процесу X(t), t - 0, вкладений однорідний ланцюг Маркова якого є ергодичним, доведено теорему 5.3, аналогічну теоремі 5.2. Далі розглянуто деякі випадки реалізації умов теорем 5.1, 5.2 стосовно розв'язків систем звичайних диференціальних рівнянь.



ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена дослідженню асимптотичної поведінки розв'язків рівнянь марковського відновлення.

Основними результатами є наступні:

1) знайдено перетворення Лапласа розподілу, зосередженого на [0,+1), хвіст якого є правильно змінною функцією на нескінченності з показником -1, досліджено поведінку цього перетворення Лапласа в нулі; встановлено асимптотику в нулі перетворення Лапласа функції відновлення, побудованої за цим розподілом;

2) знайдено і досліджено в нулі перетворення Лапласа розподілу часу перебування напівмарковського процесу в кожному фіксованому стані, хвіст якого є правильно змінною функцією на нескінченності з показником -1;

3) вивчено асимптотичну поведінку розв'язку рівняння відновлення для напівмарковського процесу, якщо розподіл часу перебування цього процесу в кожному фіксованому стані має правильно змінний хвіст на нескінченності з показником -а, а є (0, 1]; асимптотику елементів матриці відновлення на нескінченності у випадку а = 1 встановлено вперше;

4) досліджено питання про існування виродженого граничного розподілу для сім'ї функціоналів від напівмарковського процесу та невласного граничного сумісного розподілу для сім'ї функціоналів від напівмарковського процесу та сім'ї недоскоків цього процесу;

5) встановлено умови існування граничних розподілів часових середніх випадкових еволюцій, побудованих за процесом переносу та напівмарковським процесом, показано приклади застосування таких еволюцій до дослідження реальних стохастичних систем.

Отримані результати, що стосуються напівмарковських процесів, виконуються за умови, що середній час перебування цих процесів в кожному фіксованому стані є нескінченним.

Результати дисертаційної роботи мають теоретичне значення та можуть бути застосованими в теорії надійності, теорії масового обслуговування, економіці, біології та в інших галузях, в яких використовуються напівмарковські процеси та випадкові еволюції.



СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Бугрій Н.В. Деякі проблеми асимптотики розв'язку рівняння відновлення // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. - 2000. - Вип. 56. - С. 28-32.

2. Єлейко Я.І., Бугрій Н.В. Асимптотика перетворення Лапласа розподілу, який має правильно змінний хвіст з показником -1 // Мат. мет. та фіз.-мех. поля. - 2001. - Т. 44, №2. - С. 30-33.

3. Єлейко Я.І., Жерновий Ю.В., Бугрій Н.В. Граничні розподіли часових середніх випадкових еволюцій, побудованих на розв'язках звичайних диференціальних рівнянь // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. прикл. мат. та інформ. - 2004. - Вип. 9. - С. 63-73.

4. Бугрій Н. Дослідження асимптотики розв'язку рівняння марковського відновлення // математичний вісник НТШ - 2005. - т. 2. - С. 17-25.

5. Бугрій Н., Єлейко Я. Існування граничних розподілів для сім'ї функціоналів від напівмарковських процесів // Математичний вісник НТШ. - 2006. - Т. 3 - С. 25-37.

6. Buhrii N.V. Investigation of an asymptotic of a renewal matrix // Theory of Stochastic Processes. - 2006. - Vol. 12 (28), № 1-2. - P. 33-37.

7. Бугрій Н.В. Асимптотика перетворення Лапласа функції відновлення, побудованої за напівмарковською матрицею // Укр. мат. конгрес. (Київ, 2001) - Теорія ймовірностей та математична статистика. Тези доп. - К. - 2001. - С. 4-5.

8. Бугрій Н.В. Граничний розподіл функціонала від напівмарковського процесу // Дев'ята Міжнародна наук. конф. імені академіка М. Кравчука (16-19 травня 2002р., Київ): Матеріали конф. - К., 2002. - С. 409.

9. Buhrii N.V. Existence of limit distribution for functional of semi-Markov process // Intern. konf. «Functional analysis and its applications» Dedicated to the 110 anniv. of S. Banach (Lviv, May 28-31, 2002): Book of abstracts. - Lviv. - 2002. - P. 46-47.

10. Buhrii N. Investigation of an asymptotic of the renewal matrix // International conf. «Modern problems and new trends in probability theory» (Chernivtsi, June 19-26, 2005): Book of abstracts. - Vol. I. - Chernivtsi. - 2005. - P. 36.

11. Buhrii N.V. Limit distribution for semi-Markov process in the scheme of series // International conf. «Skorokhod space 50 years on» (Kyiv, June 17-23, 2007): Book of abstracts. - Part II. - Kyiv. - 2007. - P. 77.

Размещено на Allbest.ru

...