Метод рядів Фур'є для мероморфних у півсмузі функцій

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет імені Івана Франка

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

01.01.01 - математичний аналіз

МЕТОД РЯДІВ ФУР'Є ДЛЯ МЕРОМОРФНИХ

У ПІВСМУЗІ ФУНКЦІЙ

Бридун Андрій Михайлович

ЛЬВІВ - 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі математичного і функціонального аналізу Львівського національного університету імені Івана Франка Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник доктор фізико-математичних наук, професор

КОНДРАТЮК Андрій Андрійович,

завідувач кафедри математичного і функціонального аналізу Львівського національного університету імені Івана Франка.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

МАЛЮТІН Констянтин Геннадійович,

завідувач кафедри вищої математики Сумського національного аграрного університету;

доктор фізико-математичних наук, професор

ВИННИЦЬКИЙ Богдан Васильович,

завідувач кафедри математичного аналізу Дрогобицького державного педагогічного університету імені Івана Франка.

Захист відбудеться "10" липня 2008 р. о 15 ⁰⁵ год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.051.18 у Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою:

79000, м. Львів, вул. Університетська, 1, ауд. 377

З дисертацією можна ознайомитись у Науковій бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка (вул. Драгоманова, 5).

Автореферат розісланий "4" червня 2008 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради С.І. Тарасюк

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Мероморфні функції є безпосереднім узагальненням раціональних і відіграють важливу роль в аналізі. Основи теорії таких функцій закладені в роботах Коші, Вейєрштрасcа, Пікара, Міттаг-Лефлера, Адамара, Бореля і Ліндельофа. Глибокого розвитку ця теорія набула в роботах Р. Неванлінни, Л. Альфорса, Т. Сімідзу, У. Хеймана, А.А. Гольдберга, Й.В. Островського та ін.

В 60-х роках минулого століття Л. Рубел і Б. Тейлор розробили метод рядів Фур'є, який дозволив отримати вичерпний опис нулів та полюсів мероморфних функцій f з доволі загальних класів мероморфних функцій скінченного -типу, які визначаються довільними додатними, неспадними, необмеженими та неперервними мажорантами їх неванліннових характеристик. Такі класи вони назвали класами функцій скінченного -типу.

В основі методу рядів Фур'є лежать формули для коефіцієнтів розвинення в ряд Фур'є функції log |f|, що узагальнюють класичну формулу Йенсена, яку можна розглядати як формулу для нульового коефіцієнта Фур'є. Ці формули встановлені, насправді, ще в оригінальній роботі Йенсена 1899 року.

Вперше метод рядів Фур'є застосував Н. Ахієзер, давши нове доведення класичної теореми Ліндельофа. Пізніше його використовували, окрім Л. Рубела і Б. Тейлора, також В. Азарін,

Д. Майлз, Д. Шей, А.А. Кондратюк, К.Г. Малютін, А.А. Гольдберг, М.М. Строчик, Я.В. Васильків, А.Я. Христіянин та інші.

У 80-х роках важливі результати були отримані А. А. Кондратюком, який поширив теорію Левіна-Пфлюгера цілих функцій цілком регулярного зростання на мероморфні функції скінчен-ного -типу за умови (2r)=O((r)).

К.Г. Малютін та Н. Садик поширили вищезгадані результати на функції, cубгармонійні у півплощині.

В більшості робіт метод рядів Фур'є застосовувався лише для дослідження модулів цілих чи мероморфних функцій. Поза увагою залишалися їх аргументи. Цю прогалину було частково усунуто в роботах Дж. Літтлвуда, Д. Таунсенда, А.А. Кондратюка, Я.В. Васильківа, А.Я. Христіянина. У 1924 р. Дж. Літтлвуд узагальнив формулу Йенсена для логарифма модуля і аргумента мероморфної в прямокутнику функції і застосував її до вивчення нулів -функції Рімана. У 1987 році Д. Таунсенд встановив формули для коефіцієнтів Фур'є функції F(z)=zf'(z)/f(z) як функції змінної , z=reⁱ, де f - мероморфна функція. Використавши цей результат,

А.А. Кондратюк та Р.З. Калинець встановили прямі і так звані обернені співвідношення для коефіцієнтів Фур'є

цілих функцій f ( f(0)=1 ), де під log f розуміється функція

визначена у комплексній площині з радіальними розрізами від нулів функції f до .

Природно виник такий напрямок досліджень: розвинути метод рядів Фур'є для повних логарифмів та логарифмічних похідних цілих та мероморфних функцій і використати його для дослідження властивостей цих функцій. Суттєвих результатів у цьому напрямку було досягнуто у роботах Я.В. Васильківа та інших.

Однією з переваг методу рядів Фур'є є те, що він дає можливість досліджувати функції довільного нерегулярного зростання на нескінченності і функції нескінченного порядку.

В 1922 - 1923 рр. Ф. Неванлінна та Т. Карлеман встановили зв'язок між розподілом нулів та полюсів мероморфної функції f у півкільці і її значеннями на межі. Р. Неванлінна застосував ці результати до теорії розподілу значень мероморфних у півплощині функцій. Т. Карлеман застосував ці результати до апроксимації голоморфних функцій поліномами.

К.Г. Малютін встановив критерій належності функції до класу аналітичних у верхній півплощині ₊ ={z: Im z>0} функцій скінченного -типу в термінах sin-коефіцієнтів Фур'є функції log | f |. Ці коефіцієнти Фур'є виражаються через нулі функції f та її граничні значення на межі ₊ і одержуються з класичної формули Карлемана. Він сформулював і довів свої результати для -cyбгapмoнiйниx y верхній півплощині функцій за певних умов на їх поведінку біля межі.

Виникає питання, як формулюється критерій скінченності -типу голоморфної функції у півсмузі.

Ми встановлюємо критерій скінченності -типу голоморфних у півсмузі функцій за інших ніж у К. Г. Малютіна умов на межі.

Вивчення властивостей голоморфних у півсмузі функцій відіграє важливу роль при дослідженні дзета-функції. Нагадаємо, що -функція Рімана визначається наступними співвідношеннями

або

де добуток береться по всіх простих p.

Вперше цю функцію розглянув Леонард Ейлер для дійсних s в 1737 році. Він також зобразив її як добуток по всіх простих числах. В 1859 році Б. Ріман показав, що (s) має мероморфне продовження на з єдиним простим полюсом в s=1. Він висловив гіпотезу, що всі нетривіалньі (недійсні) нулі функції (s) лежать на “критичній прямій” Re s=1/2. Ця гіпотеза має назву Гіпотеза Рімана.

Дж. Літтлвуд встановив аналог теореми Йенсена для прямокутника і одержав з нього співвідношення

де N(,T) - кількість нулів -функції Рімана, уявні частини яких належать проміжку [0,T] а дійсні частини більші за . Надалі цей результат було посилено.

Ми узагальнюємо теорему Йенсена-Літтлвуда для прямокутника та застосовуємо це узагальнення для подальшого вивчення -функції та її нулів.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації пов'язана з науковими дослідженнями, які проводяться в галузі математики у Львівському національному університеті імені Івана Франка. Матеріал дисертації є складовою частиною досліджень держбюджетних тем: МА-80Б "Функціонально-аналітичні методи в комплексному аналізі і теорії операторів" (номер держреєстрації 0101U001436), МА-222Ф "Методи гармонійного аналізу в теорії функцій та спектральна теорія лінійних операторів" (номер держреєстрації 0104U002122), МА-43Ф "Мероморфні та субгармонійні функції в немодно-зв'язних областях і теорія збурень лінійних операторів" (номер держреєстрації 0106U001282), МА-43Ф "Аналітико-групові методи в теоріях збурень операторів, нелінійних динамічних систем, розподілу значень мероморфних функцій" (номер держреєстрації 0106U001282).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертації є дослідження асимптотичних властивостей мероморфних та голоморфних у півсмузі функцій, зокрема голоморфних функцій скінченного

-типу та розподілу їх нулів методом рядів Фур'є, дослідження ряду Фур'є логарифма -функції Рімана у півсмузі, що передбачає вирішення таких задач:

- встановлення нового варіанту рівності Карлемана для прямокутника, введення за її допомогою характеристики Неванлінни для мероморфних у півсмузі функцій, дослідження її властивості та доведення аналога першої основної теореми теорії розподілу значень;

- встановлення критерію скінченності -типу голоморфної у півсмузі функції методом рядів Фур'є;

- дослідження ряду Фур'є логарифма -функції Рімана у півсмузі та встановлення взаємозв'язків його інтегральних середніх з розподілом нулів -функції.

Об'єктами дослідження є мероморфні у півсмузі функції та -функція Рімана.

Предметом дослідження є аналог теорії Неванлінни для мероморфних у півсмузі функцій, асимптотичні властивості голоморфних у півсмузі функцій скінченного -типу, розподіл їх нулів, ряд Фур'є логарифма -функції Рімана у півсмузі та його інтегральні середні.

Основними методами досліджень є метод рядів Фур'є, а також різноманітні методи теорії функцій комплексної змінної, методи математичного аналізу та деякі прийоми з робіт Дж. Літтлвуда, Р. Неванлінни, Т. Карлемана, А.А. Гольдберга, Й.В. Островського, А.А. Кондратюка, К.Г. Малютіна та А.Я. Христіянина.

Наукова новизна одержаних результатів. Усі одержані наукові результати дисертації є новими. У роботі вперше

- встановлено новий варіант рівності Карлемана для прямокутника із залишковим членом у формі, яка дозволила одержати ряд наслідків, що мають самостійний інтерес. За її допомогою введено характеристику Неванлінни для мероморфних у півсмузі функцій, досліджено її властивості та доведено першу основну теорему;

- встановлено критерій скінченності -типу голоморфної у півсмузі функції f в термінах sin-коефіцієнтів розвинення в ряд Фур'є функції log |f|,

- узагальнено теорему Йенсена-Літтлвуда і встановлено взаємозв'язки інтегральних середніх логарифма -функції Рімана з розподілом її нулів.

Практичне значення одержаних результатів. Результати, подані у дисертації, мають теоретичний характер і можуть знайти застосування у подальших дослідженнях в загальній теорії мероморфних функцій, теорії Неванлінни розподілу значень мероморфних у півсмузі функцій та теорії -функції Рімана.

Особистий внесок здобувача. Усі основні наведені у роботі результати отримані здобувачем самостійно. Зі спільних робіт з А.А. Кондратюком у дисертацію ввійшли лише результати, отримані автором дисертації. У спільній статті з А.А. Кондратюком [1] співавтору належить загальне керівництво роботою.

Апробація результатів дисертації. Усі основні результати дисертації доповідались та обговорювалися на міжнародній конференції "Функціональний аналіз та його застосування", присвяченій 110-річниці від дня народження С. Банаха (Львів, 28 - 31 травня 2002 р.), на Другій міжнародній конференції "Математичний аналіз та економіка" (Суми, 1 - 4 квітня 2003 р.), на міжнародній конференції "Математичний аналіз і суміжні питання" (Львів, 17 - 20 листопада 2005 р.), на міжнародній математичній конференції ім. В.Я. Скоробагатька (Дрогобич, 24 - 28 вересня 2007 р.), на міжвузівському семінарі з теорії аналітичних функцій у м. Львові (Львівський національний університет, керівники - проф. А. A. Кондратюк і проф. О.Б. Скасків), на науковому семінарі з теорії функцій в університеті м. Вюрцбуг (Wrzburg), Німеччина (керівник семінару - проф. С. Рушевай (St. Ruscheweyh)).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані у 7 роботах (4 без співавторів), з яких 3 (2 без співавторів) опубліковано у виданнях, включених до переліку ВАК України та 4 у тезах міжнародних конференцій.

Структура і загальний обсяг дисертації. . Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, поділених на підрозділи, висновків та списку використаних джерел. Загальний обсяг дисертації 128 сторінок. Список використаних джерел обсягом 7 сторінок включає 53 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовується актуальність теми, вказується мета, теоретичне значення і апробація результатів, особистий внесок здобувача і кількість публікацій, дається короткий огляд результатів, що мають безпосереднє відношення до теми роботи, подається загальна характеристика дисертації.

У першому розділі подано огляд праць і основних напрямків досліджень за темою дисертації, наведено основні результати роботи та вказано їх місце серед інших досліджень у даній галузі.

Розділ 2 дисертації присвячений вивченню мероморфних у півсмузі функцій в термінах теорії Неванлінни. Тут вводиться характеристика Неванлінни для функцій мероморфних у замиканні півсмуги R={z=x+iy : x>x₀, 0<y<}. Розділ 2 складається з трьох підрозділів і висновків.

Підрозділ 2.1 присвячено формулюванню основних понять, означень та позначень.

Нехай {_q} - послідовність нулів функції f, f(z)0, в R_x={z=t+iy: x₀<t<x, 0<y<} занумерованих в порядку неспадання їх дійсних частин, _q=_q+i_q; {_p} - послідовність полюсів функції f в R_x занумерованих таким же чином, _p=_p +i_p. Функцію log f(z) визначимо в R_x^* і на R_x за винятком нулів та полюсів, що лежать на R_x, співвідношенням (1) вибравши деяке z^* R_x та деяке значення log f(z^*). Інтеграл береться по деякому шляху в з початком у точці z^* і кінцем у точці z.

Отож,

У підрозділі 2.2 доведено новий варіант рівності Карлемана для прямокутника із залишковим членом у формі, яка дозволила одержати ряд наслідків. Ці результати містяться в наступних твердженнях.

Теорема 2.1. Нехай функція f, f(z)0, мероморфна в замиканні прямокутника R_x Функція log f(z) визначена в і на R_x за винятком нулів та полюсів, що лежать на R_x співвідношенням (1). Покладемо arg f(z)=Im log f(z).

Теорема 2.2. Нехай функція f, f(z)0, голоморфна в замиканні прямокутника R_x і дійснозначна на проміжку I₀={z: z= x₀+iy, 0y}.

Наслідок 2.2. Нехай функція f, f(z)0, голоморфна в дійснозначна на I₀, M(t)=max {|f(z)|: z} і log M(t) C e^t, x₀ < t, C=const, 0 < < 1. Тоді ця нерівність точна.

У підрозділі 2.3 введено характеристику Неванлінни для мероморфної в півсмузі функції, доведено аналог першої основної теореми.

Характеристика c(x;x₀,f) описує розподіл полюсів функції f(z) суттєво враховуючи їх уявні частини. Очевидно, c(x;x₀,f) як функція від x є неспадною, неперервною cправа на [x₀,+), кусково-сталою на будь-якому сегменті [x₁, x₂][x₀,+).

Позначимо

Характеристика C(x;x₀,f) природно пов'язана з рівністю Карлемана для прямокутника. Це випливає зі співвідношення яке перевіряється інтегруванням частинами в інтегралі Стільтьєса.

Функція C(x;x₀,f) є невід'ємною, неспадною, неперервною на [x₀,+) оскільки кожен доданок суми, яка її визначає, є невід'ємним, і при зростанні x кількість доданків зростає в широкому розумінні.

Величини A(x;x₀,f), B(x;x₀,f) характеризують зростання функції f(z) при x+, перша - вздовж горизонтальних півпрямих межі R а друга - всередині півсмуги R.

Введемо характеристику

S(x;x₀,f)= A(x;x₀,f) + B(x;x₀,f) + C(x;x₀,f).

Характеристику S(x;x₀,f) будемо називати характеристикою Неванлінни для півсмуги. мероморфна голоморфна функція прямокутник

Основним результатом цього підрозділу є наступний аналог першої основної теореми Неванлінни.

Теорема 2.3. Нехай f - функція, мероморфна в замиканні півсмуги R={z=x+iy: x₀<x<+, 0<y<}, f(z)const. Тоді для довільного комплексного числа a справедливе співвідношення, де (x;x₀,f) = O(1) при x+.

Теорема 2.4. Нехай функція f, f(z)0, мероморфна в замиканні півсмуги R. Тоді існують , x₀ , та обмежена на [,+) функція (x;,f) така, що функція S(x;x₀,f)+(x;,f) - зростає та неперервна на [,+).

Основним результатом розділу 3 є критерій скінченності -типу для голомофної в півсмузі функції, який складає зміст теореми 3.1, сформульованої в підрозділі 3.1.

Oзнaчeння 3.1. Додатна, неперервна, зростаюча і необмежена на [x₀,+) функція (x) називається функцією зростання.

Oзнaчeння 3.2. Функція f, f(z)0, мероморфна в замиканні півсмуги R, називається функцією скінченного -типу в R, якщо існують додатні сталі a, b такі, що для всіх x> x₀ виконується нерівність.

Клас таких функцій позначимо через F.

Нехай -коефіцієнти Фур'є функції log |f(x+iy)| як функції від y.

Теорема 3.1 (критерій скінченності -типу). Нехай - функція зростання і нехай f, f(z)0, голоморфна в замиканні півсмуги R функція. Тоді наступні твердження еквівалентні:

a)f F;

b)виконується умова 2) та існують сталі a, b>0 такі, що для всіх x> x₀ та виконується |c_k(x,f)| a e^x(x+b).

Для доведення цієї теореми ми використовуємо допоміжні результати підрозділу 3.2, доведення яких є основною частиною підрозділу 3.3.

Лема 3.2. Нехай f - голоморфна в замиканні півсмуги R={z=x+iy : x>x₀, 0<y<} функція, f(z)0.

Підрозділ 3.4 містить доведення критерію скінченності -типу для голоморфної у півсмузі функції.

У розділі 4 досліджується дзета-функція Рімана. Метою цього розділу є узагальнення теореми Йенсена-Літтлвуда до прямокутника та застосування цього узагальнення до подальшого вивчення дзета-функції та її нулів.

Нехай f(s) - голоморфна функція в прямокутнику R={s=+it : 0<t<T,< <} тоді функція log |f(s)| є субгармонійною в R log |f(s)|0 в сенсі розподілів на R, де - оператор Лапласа.

Тут {_j} - послідовність нулів функції f з врахуванням їх кратностей і (s-_j) - міра Дірака, зосереджена в точці _j.

Позначимо через міру log |f(s)| і розглянемо ортогональну систему на проміжку [0,T].

При f(s)=(s), 1/2 і 1 маємо N₀(,T)=N(,T), де N(,T) - кількість нулів -функції Рімана, уявні частини яких належать проміжку [0,T], а дійсні частини більші за .

Коефіцієнти N_k(,T), k, повністю визначають розподіл нулів функції f в прямокутнику R.

Узагальнюючи теорему Йенсена-Літтлвуда, ми отримуємо зв'язки між коефіцієнтами N_k(,T) та l_k(,T) і певні властивості цих коефіцієнтів.

Рівністю Парсеваля та нерівністю Гаусдорфа-Юнга коефіцієнти l_k(,T) пов'язані з інтегральними середніми log (s), та гіпотезою Рімана. Цей зв'язок подамо у вигляді твердження 4.1.

Теорема 4.1 показує співвідношення між l_k(,T) та N_k(,T).

Покладемо

Теорема 4.1. Справедливі співвідношення:

0 < < < 1.

Для 1 ці рівності трохи модифікуються, оскільки (s) має полюс в точці s=1.

При k=0 обидва співвідношення дають теорему Йенсена-Літтлвуда.

Теорема 4.2 дає деякі властивості коефіцієнтів Фур'є l_k(,T).

Теорема 4.2. Для фіксованого T>0 коефіцієнти Фур'є l_k(,T) є неперервними функціями змінної та обмеженими при ₀>1/2, T 1 сталою, що залежить лише від ₀. Коефіцієнт Фур'є l_k(,T) є обмеженим при 1/2, T1.

Основним результатом підрозділу 4.1 є твердження про еквівалентність Гіпотези Рімана певній властивості інтегральних середніх логарифма модуля -функції.

Твердження 4.1. i) Гіпотеза Рімана для дзета-функції є еквівалентною до наступного твердження.

Для довільного фіксованого такого, що 1/2 < <1, і довільного фіксованого T>0 існує така стала C(,T) для всіх q1.

ii) Для справедливості гіпотези Рімана наступна умова є достатньою.

Для довільного фіксованого такого, що 1/2 < <1, і довільного фіксованого T>0 існує така стала c(,T) що для всіх .

У підрозділі 4.2 викладено допоміжні результати. Доведення теореми 4.2 наведено у підрозділі 4.3.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі розроблено метод рядів Фур'є для мероморфних у півсмузі функцій. Зміст основних результатів роботи полягає у наступному:

- встановлено новий варіант рівності Карлемана для прямокутника із залишковим членом у формі, яка дозволила одержати ряд наслідків, що мають самостійний інтерес. За її допомогою введено характеристику Неванлінни для мероморфних у півсмузі функцій, досліджено її властивості та доведено першу основну теорему;

- введено класи мероморфних функцій скінченного л-типу у півсмузі і вивчено підкласи голоморфних функцій скінченного -типу

- встановлено критерій скінченності -типу голоморфної у замиканні півсмуги R={z=x+iy : x>x₀, 0<y<} функції f в термінах -коефіцієнтів Фур'є логарифма її модуля на вертикальних відрізках за певних умов на межі, а саме

при деяких сталих a, b та при всіх x>x₀. Основними інструментами при цьому є новий варіант рівності Карлемана для прямокутника і формула Пуасона-Йенсена для прямокутника, а також оцінки функції Гріна для прямокутника та її похідних за напрямками. Аналогічний критерій для певних класів -субгармонійних функцій був раніше встановлений К. Г. Малютіним;

- узагальнено теорему Йєнсена-Літтлвуда для прямокутника, вивчено властивості коефіцієнтів Фур'є l_k(,T) логарифма дзета-функції Рімана у півсмузі та встановлено один еквівалент гіпотези Рімана. Доведено також, що для справедливості гіпотези Рімана наступна умова є достатньою. Для довільного фіксованого у такого, що 1/2<<1 і довільного фіксованого T>0 існує така стала c(,T) що

|| l_k(,T) ||_p < c(,T)

для всіх p, 1<p?2, де

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Всі основні результати дисертаційної роботи опубліковані у наступних статтях і наукових повідомленнях:

1. Brydun A.M and Kondratyuk A.A. On the Fourier series of the zeta-function logarithm on the vertical lines // Mathematychni Studii. - 2004. - 21. - 1. - P. 97-104.

2. Бридун А.М. Характеристика і перша основна теорема Неванлінни для мероморфних в півсмузі функцій // Вісник ЛНУ серія мех.-мат. - 2004. - 63. - С. 32-43.

3. Бридун А.М. Голоморфні функції скінченного -типу в півсмузі // Вісник ЛНУ серія мех.-мат. - 2007. - 67. - С. 14-29.

4. Brydun A., Kondratyuk A. Some new properties of the Riemann -function // Book of abstracts: Functional Analysis and its Applications / International Conference Dedicated to the 110-th anniversary of Stefan Banach. - Lviv. - 28-31 May 2002. - P. 43-44.

5. A. Brydun, A. Kondratyuk On the Fourier series of the zeta-function logarithm on the vertical lines // Book of abstracts: Second International Conference "Mathematical Analysis and Economics". - Sumy. - 1-4 April 2003. - P. 6.

6. Бридун А. Мероморфні функції скінченного -типу в півсмузі // International Conference "Analysis and Related Topics". - Lviv. - 17-20 November 2005. - P. 15.

7. Бридун А.М. Голоморфні функції скінченного -типу в півсмузі // Міжнародна математична конференція ім. В.Я. Скоробагатька. - Дрогобич. - 24-28 вересня 2007. - С. 40.

АНОТАЦІЯ

Бридун А.М. Метод рядів Фур'є для мероморфних у півсмузі функцій - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальностю 01.01.01 - математичний аналіз. - Львівський Національний Університет імені Івана Франка, Львів, 2008.

У дисертаційній роботі встановлено новий варіант рівності Карлемана для прямокутника із залишковим членом у формі, яка дозволила одержати ряд наслідків, що мають самостійний інтерес. За її допомогою введено характеристику Неванлінни для мероморфних у півсмузі функцій, досліджено її властивості та доведено першу основну теорему. Отримано критерій скінченності -типу голоморфної у півсмузі функції f в термінах sin-коефіцієнтів Фур'є логарифма її модуля на вертикальних відрізках за умови при деяких сталих a, b та при всіх x>x₀.

Узагальнено теорему Йенсена-Літтлвуда для прямокутника, вивчено властивості коефіцієнтів Фур'є логарифма дзета-функції Рімана (s) та встановлено один еквівалент гіпотези Рімана. Доведено теорему, яка стверджує, що коефіцієнти Фур'є l_k(,T) функції log (s) є неперервними функціями змінної при фіксованому T>0 і обмеженими при ? ₀ > 1/2, T ? 1 сталою, залежною лише від ₀ Коефіцієнт l₀(,T) є обмеженим при > 1/2, T ? 1.

Ключові слова: голоморфна функція, мероморфна функція, дзета-функція Рімана, функція скінченного -типу, характеристика Неванлінни, теорема Йенсена-Літтлвуда, рівність Карлемана.

АННОТАЦИЯ

Бридун А.М. Метод рядов Фурье для мероморфных в полуполосе функций - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-матема- тических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. - Львовский Национальный Университет имени Ивана Франко, Львов, 2008.

Диссертация состоит из введения, четырех разделов и списка литературы.

Первый раздел диссертации содержит обзор литературы по теме диссертации, а также обзор основных результатов.

Во втором разделе изучаются мероморфные функции в полуполосе. Доказан новый вариант равенства Карлемана для прямоугольника. Введена характеристика Неванлинны для мероморфных в полуполосе функций, доказаны ее основные свойства, а также аналог первой основной теоремы Неванлинны.

В третьем разделе получен критерий конечности -типа голоморфной в полуполосе функции в терминах sin-коэффициентов Фурье логарифма ее модуля на вертикальных отрезках при условии при некоторых постоянных a, b и при всех x>x₀.

В четвертом разделе обобщена теорема Йенсена-Литтлвуда для прямоугольника. Изучены свойства коэффициентов Фурье логарифма дзета- функции Римана (s) Доказана теорема, которая утверждает, что коэффициенты Фурье l_k(,T) функции log (s) являются непрерывными функциями переменной у при фиксированном T>0 и ограниченными при ? ₀ > 1/2, T ? 1 постоянной, зависящей только от ₀. Коэффициент l₀(,T) ограничен при ? 1/2, T ? 1. Установлен один эквивалент гипотезы Римана. А именно, доказано, что гипотеза Римана эквивалентна следующему условию: для произвольного фиксированного у такого, что 1/2 < <1, и произвольного фиксированного T>0 существует такая постоянная C(,T) что ? C(,T) для всех q?1.

Ключевые слова: голоморфная функция, мероморфная функция, дзета-функция Римана, функция конечного -типа, характеристика Неванлинны, теорема Йенсена-Литтлвуда, равенство Карлемана.

ABSTRACT

Brydun A.M. Fourier series method for meromorphic functions in a half-strip - Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical Sciences degree on the speciality 01.01.01 - Mathematical Analysis. - Ivan Franko Lviv National University, Lviv, 2008.

In this thesis the Nevanlinna characteristic for meromorphic functions in a half-strip is introduced and its main properties are proved. Also we obtain a counterpart of the Nevanlinna first main theorem. A criterion of -type finiteness of functions f holomorphic in a half-strip in terms of Fourier coefficients of log |f| is obtained under the condition ?a (x+b) for some constants a, b and for all x>x₀.

The Jensen-Littlewood theorem for a rectangle is generalized. This generalization is applied to the study of Fourier series of the Riemann zeta-function logarithm on the vertical lines. An equivalent of the Riemann hypothesis is established. A theorem which asserts that the Fourier coefficients l_k(,T) are continuous functions of variable у for the fixed T>0 and bounded for ? ₀ > 1/2, T ? 1 by a constant depending on ₀ only is proved. Coefficient l_k(,T) is bounded if ? 1/2, T ? 1.

Key words: holomorphic function, meromorphic function, Riemann zeta-function, function of finite -type, Nevanlinna characteristic, Jensen-Littlewood theorem, Carleman equality.

Размещено на Allbest.ru

...