Наближений усереднений обмежений синтез для розподілених систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

НАБЛИЖЕНИЙ УСЕРЕДНЕНИЙ ОБМЕЖЕНИЙ СИНТЕЗ ДЛЯ РОЗПОДІЛЕНИХ СИСТЕМ

Сукретна Анна Василівна

КИЇВ - 2008

Анотація

Сукретна А.В. Наближений усереднений обмежений синтез для розподілених систем. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2008.

Дисертаційна робота присвячена побудові наближених усереднених синтезованих керувань у задачах оптимального керування для розподілених систем зі швидко осцилюючими коефіцієнтами.

Розглянуто три задачі: задача оптимального керування для параболічної крайової задачі на скінченому проміжку часу, задача оптимальної стабілізації параболічним процесом і задача оптимального керування для хвильового рівняння.

Для кожної із розглянутих задач у випадку виходу керування на обмеження і наявності єдиної точки переключення побудоване оптимальне керування зі зворотнім зв'язком, що подається у вигляді ряду за власними функціями оператора відповідної крайової задачі і нерегулярно залежить від малого параметру , а отже не є зручним для практичного застосування. Тому, використовуючи поняття G-збіжності та усередненої матриці, запропоновані та обґрунтовані закони усередненого наближеного синтезу, тобто показано, що

близькими є оптимальне і наближене керування, відповідні стани керованої системи і значення критерію якості на цих керуваннях.

Крім того, для задачі оптимального керування для хвильового рівняння аналогічні результати отримано при відсутності обмежень на керування.

Ключові слова: задача оптимального керування, розподілена система, оптимальний синтез, швидко осцилюючі коефіцієнти, розклад за власним базисом, наближене усереднене керування, усереднена матриця, G-збіжність.

Аннотация

Сукретна А.В. Приближенный усредненный ограниченный синтез для распределенных систем. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2008.

Диссертационная работа посвящена построению приближенных усредненных синтезированных управлений в задачах оптимального управления для распределенных систем с быстро осциллирующими коэффициентами.

В работе рассмотрены три задачи: задача оптимального управления для параболической краевой задачи на конечном промежутке времени, задача оптимальной стабилизации параболическим процессом и задача оптимального управления для волнового уравнения.

В задаче оптимального управления с полуопределенным критерием качества, который обеспечивает минимизацию внутренней энергии заданной системы в конечный момент времени, для параболического уравнения, коэффициенты которого быстро осциллируют предложен способ сведения к одномерной задаче оптимального управления для обыкновенного дифференциального уравнения. Это дало возможность применить для нахождения программного оптимального управления принцип максимума Понтрягина. Программное управление построено в случае, когда управление единожды выходит на ограничения через верхнюю стенку коридора [-,]. На основе найденного программного оптимального управления построено оптимальное управление в форме обратной связи. Но, поскольку последнее содержит коэффициенты, которые выражаются бесконечными рядами и нерегулярно зависят от малого параметра , оно не является удобным для практического применения. Это обстоятельство потребовало поиска приближенных управлений, которые были построены путем "урезания" рядов, которые входят в выражения для оптимального управления, до конечных сумм и замены коэффициентов Фурье, которые зависят от малого параметра, на коэффициенты, построенные по базису усредненной спектральной задачи, полученной используя понятие усредненной матрицы и теорию G-сходимости дифференциальных операторов. Кроме того, доказана близость значений критерия качества на построенном приближенном управлении к соответствующему оптимальному значению, то есть, обоснована корректность предложенных приближенных управлений.

В задаче ограниченной оптимальной стабилизации параболическим процессом при наличии единственной точки переключения выписан оптимальный синтез. На базе последнего построен и обоснован приближенный усредненный синтез, то есть, показано, что близкими являются оптимальное и приближенное управление, соответствующие состояния системы и значения целевого функционала на этих управлениях.

В диссертационной работе также рассмотрена задача оптимального управления волновым уравнением в двух случаях поведения управления. При отсутствии ограничений на управление с помощью принципа максимума Понтрягина построено программное оптимальное управление, на базе которого, применяя граничный переход Красовского, получен оптимальный синтез. Кроме того, построено и обосновано приближенное усредненное управление в форме обратной связи, в котором ликвидированы недостатки, присущие оптимальному управлению (запись в виде рядов и нерегулярная зависимость от малого параметра), которые делают невозможным его практическое применения. При некоторых дополнительных упрощениях исходной задачи и предположениях, которые гарантируют существование единственной точки переключения, рассмотрен случай выхода управления на ограничения. Для этого случая также построено программное оптимальное управление, из которого непосредственно получено синтезированное оптимальное управление. Найденное оптимальное управление в форме обратной связи обосновано при помощи метода динамического программирования Беллмана. Кроме того, решена задача приближенного усредненного синтеза.

Ключевые слова: задача оптимального управления, распределенная система, оптимальный синтез, быстро осциллирующие коэффициенты, разложение по собственному базису, приближенное усредненное управление, усредненная матрица, G-сходимость.

Annotation

Sukretna A.V. Approximate averaged bounded synthesis for distributive systems. -Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical Sciences degree on speciality 01.01.02 - Differential Equations. - National Taras Shevchenko University of Kyiv, Kyiv, 2008.

The thesis is devoted to construction of approximate averaged synthesized controls for some optimal control problems for distributed systems with rapidly oscillating coefficients.

Three problems are considered: the optimal control problem for parabolic boundary-value problem on finite time interval, the problem of optimal stabilization for parabolic process and the problem of optimal control for the wave equation.

For each of the considered problems in the case where the control reaches a restriction and there is an unique switching point the optimal control in the form of feed-back is constructed. This control takes the form of series by the eigenfunctions of the operator corresponding to boundary-value problem and irregularly depends on small parameter and is not suitable for practical applications. Therefore by application of the conception of G-convergence and averaged matrix some algorithms of averaged approximate synthesis are proposed. For these objects are proved that optimal and approximate controls, corresponding to state of controlled system and value of quality criteria on these controls are close, so correctness of constructed controls is proved.

For the optimal control problem for the wave equation similar results are obtained in the case of failing restrictions on the control.

Keywords: optimal control problem, distributed system, optimal synthesis, rapidly oscillating coefficients, expansion by proper basis, approximate averaged control, averaged matrix, G-convergence.

1. Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. В теорії оптимального керування існують дві форми оптимального керування: програмне керування, тобто керування, що залежить лише від часу і початкових умов, та синтезоване, або керування за принципом зворотного зв'язку, тобто керування, яке у поточний момент часу залежить від значення фазової змінної в даний момент часу. Зрозуміло, що така форма керування має певні переваги в порівнянні з програмною, оскільки дає змогу врахувати можливі відхилення поведінки системи від наперед заданого закону, що зумовлені, наприклад, зовнішніми збуреннями або неточністю виміру початкових даних. Таким чином, керування у формі зворотного зв'язку дозволяє здійснювати більш гнучке управління системою, враховуючи її поточне положення. Однак, незважаючи на актуальність і важливість, задача побудови оптимального обмеженого синтезу ще далека від свого остаточного розв'язання.

У класичних монографіях О.І. Єгорова, Т.К. Сіразетдінова метод динамічного програмування Р. Беллмана був поширений на системи з розподіленими параметрами, при цьому виникала потреба в дослідженні інтегро-диференціальної крайової задачі типу Ріккаті. Аналогічні задачі виникають у роботах Ж.-Л. Ліонса при використанні методу розщеплення. Проте для кожної конкретної задачі оптимального керування розподіленою системою згадана крайова задача типу Ріккаті володіє певними властивостями, використовуючи які, іноді вдається побудувати її розв'язок. При цьому для окремих задач досить плідною є ідея граничного переходу М.М. Красовського, застосування якого у випадку наявності обмежень на керування однак є суто формальним і вимагає подальших досліджень гладкості функції Беллмана на отриманому керуванні і перевірки розв'язності відповідного рівняння Беллмана. Подібні дослідження для параболічного рівняння з післядією проведені В.О. Капустяном, задачі оптимальної стабілізації систем, що описуються параболічними рівняннями, розглянуті у роботах О.І. Єгорова та Т.М. Михайлової, Б.М. Бублика й О.І. Невідомського, В.О. Капустяна та В.Є. Білозьорова. Крім того, в роботах останніх авторів наведено кілька прикладів побудови синтезу задач оптимального керування хвильовими процесами. Детально різноманітні задачі оптимального керування, в яких системи описуються гіперболічними рівняннями, і відсутні обмеження на керування, розглянуті в роботах М.Р. Рахімова.

Таким чином, для багатьох процесів, що описуються системами з розподіленими параметрами, задача побудови обмеженого оптимального синтезу в замкнені формі все ще залишається нерозв'язною. Однак навіть при можливості аналітичної побудови таких оптимальних керувань зі зворотнім зв'язком, відкритим залишається питання про можливість їх практичної реалізації.

Необхідність застосування процедури усереднення для задач оптимального керування розподіленими системами зі швидко осцилюючими коефіцієнтами насамперед пов'язана з неможливістю застосування чисельних методів длятаких систем (у зв'язку з неоднорідністю мікроскопічної структури матеріалу коефіцієнти таких систем швидко змінюються при переході від однієї складової до іншої). В той час як відповідні усереднені задачі, що, як правило, мають набагато простішу структуру, дозволяють здійснювати керування системою у близькому до оптимального режимі.

Започаткована М.М. Боголюбовим та Ю.О. Митропольским, теорія усереднення диференціальних операторів в останні десятиріччя бурхливо розвивається в роботах Е. Санчес-Паленсії, М.С. Бахвалова, Г.П. Панасенко, В.В. Жикова, С.М. Козлова, О.А. Олійник, В.О. Марченко, Є.Я. Хруслова, Т.А. Мельника та інших.

Щодо усереднення задач оптимального керування розподіленими системами, то існує два підходи до побудови усередненої задачі. В одному випадку автори застосовують так звану пряму схему знаходження усередненої задачі, усереднюючи кожне із співвідношень у вихідній математичні моделі (тобто рівняння стану, можливі обмеження, критерій якості) (наприклад, роботи С.В. Білокопитова, М.Г. Дмитрієва, Дж. Бутаццо). В іншому випадку - апарат теорії усереднення застосовується безпосередньо до необхідних умов оптимальності, яким потім (якщо це можливо) ставиться у відповідність деяка задача оптимального керування (О. Альварес, Л.Д. Акуленко, С. Кесавана, Дж. Сант Джейн Паулин, У.Е. Райтум). Однак, і в тому, і в іншому випадку усереднена задача має володіти стійкими варіаційними властивостями, тобто сукупність оптимальних характеристик у вихідних задачах має збігатися в деякій топології до оптимальних характеристик усередненої задачі. Ігнорування даної обставини є однією з причин неузгодженості зазначених вище підходів. Введенню єдиного формалізму процесу усереднення для широкого класу задач оптимального керування, при якому зберігаються вказані вище варіаційні властивості, присвячені роботи З. Денковского, С. Мортоли, П.І. Когута.

Як бачимо, на сьогоднішній день не існує єдиного підходу ані до побудови оптимального обмеженого синтезу розподілених систем, ані до застосування методів усереднення до таких задач оптимального керування, що свідчить про важливість і актуальність вибраного напрямку дослідження.

Зв'язок з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота пов'язана з тематикою досліджень кафедри інтегральних і диференціальних рівнянь механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка, тема № 01БФ038-03 "Розробка якісних та аналітичних методів дослідження та асимптотичного інтегрування нелінійних систем" (керівник М.О. Перестюк, номер державної реєстрації 0104U003264). Частково дисертаційні дослідження проводились у рамках проекту "Дослідження еволюційних та стохастичних процесів в математичних моделях природознавства" (керівник А.М. Самойленко, номер державної реєстрації 0105U000433) інституту математики НАН України, що приймав участь у цільовій програмі НАН України "Математичне моделювання фізичних і механічних процесів у сильно неоднорідних середовищах".

Мета i завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є отримання точних оптимальних керувань у формі зворотного зв'язку (синтезу) для задач керування розподіленими системами з обмеженнями на керування та побудова на їх основі наближених усереднених керувань. При цьому основною задачею є обґрунтування коректності побудованих керувань, тобто необхідно довести близькість значень критерію якості на кожному побудованому наближеному керуванні до оптимального, а також встановити близькість наближеного і оптимального керування та відповідних станів системи в деяких функціональних просторах.

Об'єктом дослідження є керована динамічна система з розподіленими параметрами.

Предметом дослідження є вплив керування на якість функціонування досліджуваної системи і можливість вибору ефективного керування, яке можна було б зручно реалізувати на практиці.

Методи дослідження. В роботі використовується теорія рівнянь в частинних похідних, методи теорії оптимального керування (принцип максимуму Понтрягіна, граничний перехід Красовського, метод динамічного програмування Беллмана) та теорія усереднення.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації вперше отримано наступні результати:

· побудовано і обґрунтовано наближене усереднене керування в формі зворотного зв'язку для параболічної задачі оптимального керування у випадку виходу керування на обмеження;

· побудовано і обґрунтовано наближений усереднений синтез для задачі оптимальної стабілізації параболічним процесом у випадку виходу керування на обмеження;

· розв'язана задача програмного оптимального обмеженого керування для гіперболічного рівняння на скінченому проміжку часу;

· для задачі оптимального керування хвильовим процесом побудоване синтезоване оптимальне керування, обґрунтовано можливість застосування методу динамічного програмування Беллмана, а саме доведена гладкість функції Беллмана при виході керування на обмеження;

· побудовано і обґрунтовано наближене усереднене синтезоване керування для гіперболічної задачі оптимального керування у випадку відсутності обмежень на керування та у випадку наявності точки переключення.

Практичне значення одержаних результатів. Результати, одержані в дисертації, дозволяють для деяких класів задач оптимального керування, що залежать від малого параметру, і чисельне дослідження яких неможливе, встановити вигляд усередненого керування, характеристики якого є граничними величинами аналогічних оптимальних характеристик, що дає можливість на практиці здійснювати керування такими системами на підставі цих наближених керувань і одержувати близьку до оптимальної поведінку керованого об'єкту. Таким чином, результати роботи мають як теоретичне, так і практичне значення.

Особистий внесок здобувача. Всі основні наукові результати дисертаційної роботи отримані автором самостійно. У спільних роботах співавторам О.В.Капустяну та О.А. Капустян належать постановки задач і обговорення отриманих результатів.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались і обговорювались на:

· Міжнародній науковій конференції "Шості Боголюбовські читання" (Чернівці, 2003);

· ІІ міжнародній конференції "Обчислювальна математика" (Київ, 2004);

· Міжнародній науковій конференції "Диференціальні рівняння та їх застосування" (Київ, 2005);

· Міжнародній конференції з диференціальних рівнянь, присвяченій століттю Я.Б. Лопатинського (Львів, 2006);

· Міжнародному симпозіумі "Питання оптимізації обчислень" (Крим, 2007);

· науковому семінарі кафедри інтегральних і диференціальних рівнянь Київського національного університету імені Тараса Шевченка (2007);

· науковому семінарі кафедри математичного моделювання економічних систем факультету менеджменту та маркетингу Національного технічного університету України "Київський політехнічний інститут" (2007).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 9 наукових роботах, з них 4 статті [1] - [4] у фахових виданнях з переліку, затвердженого ВАК України, та 5 тез доповідей на міжнародних математичних конференціях [5] - [9].

Структура і обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, п'ятьох розділів, загальних висновків і списку цитованої літератури, що містить 134 назви. Повний обсяг роботи складає 146 сторінок друкованого тексту, основна частина викладена на 121 сторінці.

2. Основний зміст

У вступі обґрунтовано актуальність теми, сформульовано мету та окреслено методи дослідження.

Перший розділ роботи присвячений огляду літератури, пов'язаної з темою дисертації. В ньому висвітлено основні етапи розвитку оптимального керування розподіленими системами та теорії усереднення таких систем, описані базові ідеї, методи та підходи.

Другий розділ є допоміжним і носить систематизуючий характер, у ньому наведено основні означення і твердження, що будуть використані в подальшому.

Підрозділ 2.1 містить перелік основних функціональних просторів, які використовуються в роботі.

У підрозділі 2.2 наведено базові твердження з теорії оптимального керування такі, як теорема про мінімізацію коерцитивної форми (теорема 2.2.1, яка є перенесенням відповідного результату Ж.-Л. Ліонса на функціонал вигляду J(v)=||v||²_U+(v), де - невід'ємний, неперервний, опуклий функціонал), принцип максимуму Понтрягіна (теорема 2.2.2) та граничний перехід Красовського (теорема 2.2.3). Відмітимо, що теорема 2.2.3 узагальнює відповідне твердження М.М. Красовського, сформульоване для лінійних задач, на випадок широкого класу нелінійних систем. Результати отримані в цьому підрозділі будуть постійно використовуватися в роботі для доведення існування, єдиності та побудови оптимальних керувань.

У підрозділі 2.3 викладено основні необхідні відомості з теорії усереднення диференціальних операторів.

У третьому розділі розглянуто задачу оптимального керування з напіввизначеним критерієм якості для параболічної крайової задачі зі швидко осцилюючими коефіцієнтами на скінченому проміжку часу.

Нехай - обмежена область з кусково-гладкою границею і для (0,1) керований процес в циліндрі описується крайовою задачею

(1)

де , вимірна симетрична матриця, що задовольняє умови обмеженості і рівномірної симетричності, g,y₀L₂(), - малий параметр.

На керування накладено обмеження

v()U={vL₂([0,T]): |v(t)| майже cкрізь на [0,T]}.(2)

Задача оптимального керування полягає в тому, щоб на розв'язках (1) при v()U мінімізувати напіввизначений критерій якості

(3)

де qL₂(), >0.

Застосовуючи метод Фур'є і розкладаючи дані вихідної задачі оптимального керування за власним базисом оператора , задача (1) - (3) розщеплюється і зводиться до еквівалентної задачі оптимального керування для звичайного диференціального рівняння першого порядку.

Нехай виконуються припущення

Припущення 3.3.1. Нехай мають місце збіжності

і спектр усередненого оператора простий, тобто кожному власному числу відповідає одновимірний підпростір власних функцій.

Припущення 3.3.2. Нехай при всіх [0,1) f(t) - додатна та монотонно зростає при t[0,T].

Припущення 3.3.3. При кожному [0,1) виконується система нерівностей

За цих припущень синтезоване оптимальне керування для вихідної задачі має вигляд

(5)

де шукається з рівняння

(6)

а y(x,t) - розв'язок крайової задачі (1) з керуванням (5), причому розв'язок рівняння для точки переключення існує, єдиний і є сталим вздовж оптимальної траєкторії, тому це рівняння можна замінити відповідним програмним (при t=0).

Таким чином, нами побудовані оптимальні керування в формі оберненого зв'язку для задачі (1) - (3) у випадку виходу керування на обмеження "через верхню стінку коридору", тобто при виконанні умов припущення 3.3.3. Оскільки виписане керування містить коефіцієнти, що виражаються нескінченними сумами і нерегулярно залежать від малого параметру (так звані "швидко осцилюючі коефіцієнти"), воно не являється зручним для практичного застосування. Ця обставина спонукала до пошуку наближених керувань більш простої структури, які допускають практичну реалізацію, і значення критерію якості на яких є близьким до оптимального. Такі наближення побудовані шляхом "урізання" рядів, що входять у вирази для оптимального керування, до скінчених сум та заміною коефіцієнтів, які залежать від малого параметру, на усереднені коефіцієнти, що отримуються використовуючи поняття G-збіжності, введене О.А. Олейник.

Побудуємо і обґрунтуємо закон наближеного усередненого синтезу для задачі (1) - (3), причому основною метою є доведення близькості значень критерію якості (3) на оптимальному і побудованому керуваннях.

Надалі основним об'єктом нашого дослідження буде наближене усереднене керування, що має вигляд

(7)

де z_N(x,t) - розв'язок задачі (1) з керуванням (7),

_N⁰ - точка переключення, яка є розв'язком рівняння (6), у якому всі ряди замінені N-тими скінченими сумами, при t=0 та =0.

Зауваження 3.3.5. Керування (7) не є, взагалі кажучи, неперервним в точці t=_N⁰.

Основним результатом цього розділу є наступна теорема.

Теорема 3.3.1. Нехай g, y₀, q L₂() та виконані припущення 3.3.1 - 3.3.3. Тоді для довільного малого >0 існують і такі, що для будь-яких та для керувань (5), (7) і відповідних станів y(x,t), z_N(x,t) виконуються нерівності:



У четвертому розділі для задачі оптимальної стабілізації параболічного процесу побудовано наближений усереднений синтез у випадку виходу керування на обмеження.

В області

Q={(x,t): x, t₀<t<},

де - обмежена область в з кусково-гладкою межею , t₀0 - фіксований момент часу, розглянемо таку задачу оптимальної стабілізації: знайти керування

(8)

що доставляє найменше значення функціоналу

(9)

який визначений на розв'язках крайової задачі для параболічного рівняння

(10)

тут де - -вимірна матриця, g, L₂(), g - 1-періодична, (0,1) - малий параметр.

Будемо вимагати, аби оператор A задовольняв наступні умови:

1) a - 1-періодична матриця, що підпорядкована умові

2) функція b - вимірна 1-періодична та обмежена, а саме

₁,₂ > 0 (0,1) x: ₁b(x)₂.

Задача (8) - (10) може бути замінена еквівалентною задачею оптимального керування для нескінченновимірної системи звичайних диференціальних рівнянь, що записується в термінах коефіцієнтів Фур'є функцій вихідної задачі, при їх розкладі за власним базисом оператора .

Поряд з оператором A розглянемо відповідний усереднений оператор , де a⁰ - усереднена матриця, b⁰, g⁰ - середні значення

відповідних функцій. Нехай власні функції усередненого оператора A⁰, які відповідають простим власним значенням

Будемо вважати виконаними припущення.

Припущення 4.2.4. Для всіх [0,1) справедлива оцінка

||g||²(₁⁰)⁴.

Припущення 4.2.5. Для всіх [0,1) виконуються нерівності

де _i=(,X_i), g_i=(g,X_i).

Припущення 4.2.6. Для всіх [0,1) виконується нерівність



Тоді закон синтезу оптимального керування має вигляд

(11)

де числа є розв'язками нелінійної системи

(12)

y_i(t)=(y(,t),X_i()) - коефіцієнти Фур'є за базисом

y(x,t) - розв'язок крайової задачі (10) з керуванням (11), а точка переключення визначається з одного з двох рівнянь

(13)

(14)

Отриманий розв'язок не є зручним для практичного застосування, оскільки:

1) записується у вигляді нескінченного ряду;

2) коефіцієнти нерегулярно (порядку 1) залежать від малого параметра;

3) для отримання керування потрібно розв'язати нелінійну нескінченновимірну систему рівнянь.

Нашою метою є побудова на базі точного оптимального керування задачі (8) - (10) у випадку виходу на обмеження наближеного усередненого керування, яке не мало б недоліків 1) - 3), зазначених вище, і, разом з тим, значення критерію якості (9) на якому мало відрізнялося б від оптимального.

Надалі основним об'єктом дослідження є наближене усереднене керування

(15)

де додатний розв'язок системи

(16)

_N⁰ - точка переключення, яка визначається з рівняння

(17)

а , - розв'язок крайової задачі (10) з керуванням (15).

Справедливі твердження.

Лема 4.3.1. Для кожного N1 існує єдиний додатний розв'язок системи (16), причому де єдиний додатнийрозв'язок системи (12) при =0.

Лема 4.3.2. Має місце збіжність де ⁰ розв'язок рівняння

(18)

Лема 4.3.3. Нехай додатній розв'язок нелінійної системи (12). Тоді де єдиний додатній розв'язок системи (12) при =0.

Лема 4.3.4. Нехай розв'язок рівняння для точки переключення (14). Тоді де ⁰ - розв'язок рівняння (18).

Леми 4.4.1 і 4.4.3 обґрунтовують існування і збіжність коефіцієнтів що використовуються при побудові оптимального керування, а в лемах 4.4.2 і 4.4.4 встановлюється близькість точок переключення оптимального і наближеного керування.

Основним результатом є теорема 4.4.1, яка обґрунтовує коректність запропонованого наближеного усередненого керування (15).

Теорема 4.4.1. Нехай в задачі оптимального керування (8) - (10) gL₂(), H₀¹() та виконуються припущення 4.2.4 - 4.2.6. Тодісправедливі наступні оцінки близькості між оптимальним керуванням (11) і наближеним усередненим керуванням (15):



У п'ятому розділі роботи для гіперболічної крайової задачі розв'язано питання усередненого наближеного обмеженого синтезу. Розглянуто два випадки поведінки оптимального керування: коли воно є внутрішньою точкою множини допустимих керувань і при наявності однієї точки переключення.

У підрозділі 5.1. наводиться постановка задачі.

Нехай керований процес в циліндрі описується крайовою задачею

(19)

де , матриця, що підпорядкована умові рівномірної еліптичності і обмеженості, g,₁L₂(), ₀H₀¹(), - обмежена область з кусково-гладкою границею, t₀0 - довільний фіксований момент часу, >0 - малий параметр.

Керування

v()U={vL₂([t₀,T]): |v(t)| майже скрізь на [0,T]}.(20)

На розв'язках (19) при v()U потрібно мінімізувати напіввизначений критерій якості

(21)

де >0, ,0, +0, , .

У підрозділі 5.2 розглянуто задачу (19), (21) без обмежень на керування.

Вводячи позначення

отримуємо синтезоване оптимальне задачі (5.1) - (5.3) у випадку відсутності обмежень на керування

(22)

де y(x,t) - розв'язок крайової задачі (19) з керуванням (22).

Припущення 5.2.1. Нехай мають місце збіжності функцій

в L₂() та матриць

Розглянемо усереднений оператор .

Нехай , - власні числа і власні функції оператора A⁰, причому спектр усередненого оператора простий.

Тепер в формулі (22) в коефіцієнтах , де формально замінимо всі ряди на їх скінченні суми, числа на та всі коефіцієнти Фур'є за системою на коефіцієнти за системою відповідних граничних функцій з припущення 5.2.1. Отримаємо деяке керування , де - розв'язок задачі (19) з керуванням . Тоді справедлива теорема 5.2.1, яка обґрунтовує коректність запропонованого наближеного усередненого керування.

Теорема 5.2.1. Нехай g,₀,₁L₂(), при [0,1) та виконується припущення 5.2.1. Тоді для довільного малого >0 існують N₀1 і ₀>0 такі, що для будь-яких NN₀ та (0,₀) виконується:

У підрозділі 5.3. розглянуто випадок виходу керування на обмеження.

У межах цього підрозділу дещо спростимо вихідну задачу оптимального керування (5.1) - (5.3) і будемо вважати, що =0 тобто функціонал (5.3) має вигляд

(23)

Будемо також вимагати виконання припущення

Припущення 5.3.1. При кожному [0,1) функція b₁(t) додатна і монотонно спадає на [t₀,T].

Зауваження 5.3.1. З визначення b1(t) випливає, що b1(T)=0.

Нехай для визначеності

(24)

Оптимальний синтез при умові виходу керування на обмеження має вигляд

(25)

(26)

а y(x,t) - розв'язок крайової задачі (19) з керуванням (25). Причому оптимальний синтез (25), що отриманий з відповідного програмного керування за допомогою граничного переходу Красовського, обґрунтований, використовуючи метод динамічного програмування Беллмана, і щодо рівняння для точки переключення (26) доведено існування, єдиність розв'язку і його сталість вздовж оптимальної траєкторії.

Проте отримане керування внаслідок запису через нескінченні ряди і нерегулярної залежності від малого параметру не є зручним для практичного застосування, тому далі побудуємо і обґрунтуємо закон наближеного усередненого синтезу, що буде забезпечувати мінімум критерію якості (21).

Будемо припускати справедливість збіжностей.

Припущення 5.3.2. Нехай при 0 в L₂() та при 0.

Аналогічно випадку без обмежень розглянемо спектральну задачу для усередненого оператора і будемо вважати, що вона має прості власні значення.

Нехай тепер для

Побудуємо наближений усереднений синтез за законом

(27)

де точка переключення ^0N визначається з рівняння

(28)

а - розв'язок крайової задачі (19) при

Зауважимо, що, хоч оптимальний синтез (25), (26) при [0,1) і неперервний в точці t=, однак наближений синтез (27), (28) може не володіти цією властивістю.

Обґрунтування усередненого наближеного синтезу (27), (28) дає теорема.

Теорема 5.3.1. Нехай ₁,q₀L₂(), g,₀H₀¹(), при [0,1) та виконуються припущення 5.3.1 - 5.3.2. Тоді справджуються наступні оцінки близькості між оптимальним керуванням (25) і побудованим усередненим наближеним керуванням (27); для довільного малого >0 існують N₀1 і ₀>0 такі, що для будь-яких NN₀ та(0,₀) виконується:

Зазначимо, що якщо у випадку відсутності обмежень значення =0, тобтоми розглядаємо задачу (19), (20), (23), то теорема 5.2.1 є частковим випадком теореми 5.3.1. Однак при 0 задача (19) - (21), для якої доведена справедливість теореми 5.2.1, є більш загальною.

Висновки

задача керування програмування беллман

Дисертаційна робота присвячена побудові оптимальних керувань у формі зворотного зв'язку (синтезу) для низки задач оптимального обмеженого керування розподіленими системами зі швидко осцилюючими коефіцієнтами та побудові на базі оптимального синтезу наближених усереднених керувань зі зворотнім зв'язком, у яких усунуті недоліки притаманні оптимальним керуванням, однак, які реалізують мінімум критеріїв якості. Основні результати полягають у наступному:

· побудовано і обґрунтовано наближене усереднене керування в формі зворотного зв'язку для параболічної задачі оптимального керування у випадку виходу керування на обмеження;

· побудовано і обґрунтовано наближений усереднений синтез для задачі оптимальної стабілізації параболічним процесом у випадку виходу керування на обмеження;

· розв'язана задача програмного оптимального обмеженого керування для гіперболічного рівняння на скінченому проміжку часу;

· для задачі оптимального керування хвильовим процесом побудоване синтезоване оптимальне керування, обґрунтовано можливість застосування методу динамічного програмування Беллмана, а саме доведена гладкість функції Беллмана при виході керування на обмеження;

· побудовано і обґрунтовано наближене усереднене синтезоване керування для гіперболічної задачі оптимального керування у випадку відсутності обмежень на керування та у випадку наявності точки переключення.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Капустян О.В., Сукретна А.В. Усереднений синтез оптимального керування для хвильового рівняння // Укр. мат. журн. - 2003. - Т. 55, № 5. - С. 612 - 620.

2. Сукретна А.В., Капустян О.А. Наближений усереднений синтез задачі оптимального керування для параболічного рівняння // Укр. мат. журн. - 2004. - Т. 56, № 10. - С. 1384 - 1394.

3. Сукретна А.В. Наближена оптимальна стабілізація розв'язків параболічної крайової задачі обмеженим керуванням // Нелінійні коливання. - 2006. - Т. 9, № 2. - С. 264 - 279.

4. Сукретна А.В. Обмежений наближений синтез оптимального керування для хвильового рівняння // Укр. мат. журн. - 2007. - Т. 59, № 8. - С. 1094 - 1104.

5. Капустян О.В., Сукретна А.В. Усереднений синтез оптимального керування для хвильового рівняння // Міжнародна наукова конференція "Шості Боголюбовські читання": Тези доповідей. - K., 2003. - С. 91.

6. Капустян О.А., Сукретна А.В. Усереднений синтез оптимального обмеженого керування для параболічної крайової задачі зі швидко осцилюючими коефіцієнтами // Журнал обчислювальної та прикладної математики. Спеціальний випуск: Матеріали ІІ Міжнародної конференції "Обчислювальна та прикладна математика". - К., 2004. - № 2(91) - С. 96.

7. Сукретна А.В., Капустян О.А. Наближений усереднений синтез оптимального керування для параболічного рівняння // Міжнародна конференція "Диференціальні рівняння та їх застосування": Тези доповідей. - К., 2005. - С. 107.

8. Сукретна А.В. Обмежена наближена оптимальна стабілізація розв'язків параболічної крайової задачі // Books of Abstracts International Conference on Differential Equations Dedicated to the 100th Anniversary of Ya.B. Lopatinsky. - Lviv (Ukraine), 2006. - С. 57 - 58.

9. Сукретна А.В. Наближений обмежений синтез для параболічної крайової задачі на нескінченному проміжку часу // Праці міжнародного симпозіуму "Питання оптимізації обчислень (ПОО-XXXIII)", присвяченого 50-річчю створення Інституту кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України. - К.,2007. - С. 272.

Размещено на Allbest.ru

...