Теореми про нормальний граничний розподіл числа хибних розв'язків системи нелінійних випадкових рівнянь у полі GF(2)

Размещено на http://www.allbest.ru/

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

УДК.519.21

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

ТЕОРЕМИ ПРО НОРМАЛЬНИЙ ГРАНИЧНИЙ РОЗПОДІЛ ЧИСЛА ХИБНИХ РОЗВ'ЯЗКІВ СИСТЕМИ НЕЛІНІЙНИХ ВИПАДКОВИХ РІВНЯНЬ У ПОЛІ GF(2)

01.01.05 - теорія ймовірностей і математична статистика

СЛОБОДЯН СВІТЛАНА ЯРОСЛАВІВНА

Київ - 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі теорії ймовірностей та математичної статистики Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник:

МАСОЛ Володимир Іванович, доктор фізико-математичних наук, професор, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, професор кафедри теорії ймовірностей та математичної статистики.

Офіційні опоненти:

ВЕЛИКИЙ Анатолій Павлович, доктор фізико-математичних наук, член-кореспондент НАН України, Інститут підприємництва та сучасних технологій (м. Житомир), професор, науковий консультант кафедри економічної кібернетики;

КУРЧЕНКО Олександр Олексійович, доктор фізико-математичних наук, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, професор кафедри математичного аналізу.

Захист відбудеться "19" травня 2008 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д.26.001.37 у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03022, м. Київ-22, просп. академіка Глушкова, 6, корпус 7, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись в науковій бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка (01033, м. Київ, вул. Володимирська, 58).

Автореферат розісланий "15" квітня 2008 року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради М.П. Моклячук.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дослідження розподілів числа розв'язків систем нелінійних випадкових рівнянь над скінченними алгебраїчними структурами тісно пов'язано з практичними задачами, які виникають в теорії кодування та захисту інформації від несанкціонованого доступу, теорії тестування генераторів псевдовипадкових чисел, теорії розпізнавання тощо.

У перших публікаціях, які присвячені системам нелінійних випадкових рівнянь над полем, що складається з двох елементів, розглядалися питання оцінювання імовірності існування єдиного розв'язку зазначених систем. Це роботи Коваленка І.М. (1971), Балакіна Г.В. (1973). У подальшому у публікаціях Коваленка І.М. і Левитської А.О. (1993), Масола В.І. (1993, 1995-1998, 2005), Міхайлова В.Г. (1998) та інших авторів знайдені умови збіжності розподілу числа хибних розв'язків системи (тобто розв'язків системи, які відмінні від деякого фіксованого розв'язку, що має назву "істинний розв'язок") до пуассонівського розподілу.

Проблема збіжності до нормального розподілу нормованого числа зазначених розв'язків залишалася поза увагою фахівців, оскільки пов'язана зі значними аналітичними труднощами. Тому актуальними є дослідження шляхів вирішення цієї проблеми.

Один з них базується на використанні метричної модифікації методу моментів (запропонованого Зубковим А.М. (1979)) і знайшов своє втілення для спеціальних систем нелінійних випадкових рівнянь над полем в роботах Міхайлова В.Г. (1998, 2000). Інший - на дослідженнях збіжності до нормального розподілу нормованої суми залежних випадкових індикаторів, проведеному Амбросімовим О.С. (1976), і реалізований для систем лінійних випадкових рівнянь над полем у публікаціях Копитцева В.О. (2000, 2002).

Водночас, актуальними є також проблеми пошуку умов збіжності розподілу нормованого числа розв'язків системи нелінійних випадкових рівнянь загального виду над полем до нормального розподілу. Це пов'язано з необхідністю проведення як теоретичних досліджень, так і розв'язування конкретних прикладних задач.

Концепція використання результатів дисертації може полягати в наступному. Розподіли числа хибних розв'язків та певних нелінійних функціоналів від нього знаходять використання в алгоритмах пошуку розв'язків детермінованої системи нелінійних рівнянь над полем для визначення моменту зупинки зазначеного пошуку та оцінювання використаних при цьому ресурсів. Ця концепція лежить у руслі сучасних розробок, викладених у роботах Коваленка І.М. (1993), Великого А.П. (1992, 2004, 2006), Курченка О.О. (2002).

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана в рамках держбюджетної дослідницької теми № 06БФ 038-03 "Аналітичні та стохастичні методи дослідження динамічних систем", яка входить до програми "Математичні проблеми природознавства та економіки" (номер державної реєстрації № 0101U002472).

Мета та задачі дослідження. Метою роботи є подальший розвиток теорії систем нелінійних випадкових рівнянь над скінченними алгебраїчними структурами для ефективного та широкого використання результатів цієї теорії в прикладних задачах (зокрема, криптоаналізу, кодування інформації та захисту її від несанкціонованого доступу та ін.).

Основні задачі дослідження:

знаходження умов збіжності розподілу числа розв'язків сумісної системи нелінійних випадкових рівнянь у полі до нормального розподілу при умові, що число ненульових компонент істинного розв'язку цієї системи зростає із зростанням числа її невідомих;

знаходження умов збіжності розподілу числа розв'язків системи до нормального розподілу при умові, що у вихідній системі з додатною ймовірністю існує лінійна частина;

знаходження умов збіжності розподілу числа розв'язків системи до нормального розподілу при умові, що число нульових компонент істинного розв'язку даної системи зростає із зростанням числа її невідомих.

Методика дослідження. В дисертаційній роботі для розв'язання сформульованих задач використовуються результати і методи теорії ймовірностей, комбінаторного та математичного аналізу.

Наукова новизна одержаних результатів. Основними результатами, які визначають наукову новизну і виносяться на захист, є такі:

отримано теореми про нормальний граничний розподіл нормованого числа розв'язків системи нелінійних випадкових рівнянь у полі за умови зростання числа ненульових компонент істинного розв'язку цієї системи із зростанням числа її невідомих ;

отримано теореми про нормальний граничний розподіл нормованого числа розв'язків зазначеної системи за умови наявності в ній з додатною ймовірністю лінійної частини;

отримано теореми про нормальний граничний розподіл нормованого числа розв'язків системи нелінійних випадкових рівнянь у полі за умови, що при.

Практичне значення отриманих результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичне спрямування та є внеском в розвиток теорії систем нелінійних випадкових рівнянь над скінченним полем. Вони можуть знайти практичне застосування при розв'язуванні прикладних задач теорії захисту інформації від несанкціонованого доступу, у галузях, де використовуються системи випадкових рівнянь над скінченним полем.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертаційної роботи отримані здобувачем самостійно. За результатами дисертації здобувач опублікував чотири наукові статті у співавторстві з науковим керівником професором Масолом В.І., в яких Масолу В.І. належить постановка задач та загальне керівництво роботою.

Апробація результатів. Результати дисертації доповідались та обговорювались на Міжнародній конференції "International conference modern problems and new trends in probability theory" (Чернівці, 2005);

Міжнародній конференції "Сучасна стохастика: теорія і застосування", присвяченої 60-річчю кафедри теорії ймовірностей і математичної статистики та пам'яті М.Й. Ядренка (Київ, 2006);

Міжнародній конференції "9th International Vilnius Conference on Probability Theory and Mathematical Statistics" (Vilnius, Литва, 2006);

XIII Всеросійській школі-колоквіумі із стохастичних методів (Йошкар-Ола, Росія, 2006);

Міжнародній конференції "Простір Скорохода. 50 років потому." (Київ, 2007);

засіданні наукового семінару з теорії ймовірностей та математичної статистики при кафедрі теорії ймовірностей та математичної статистики механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка (Київ, 2007);

постійно діючому науковому семінарі "Проблеми сучасної криптології" (Київ, Національний технічний університет "Київський політехнічний інститут", 2008).

Публікації. За результатами дисертаційної роботи опубліковано 9 наукових праць [1]- [9]. З них чотири статті в фахових виданнях з переліку, затвердженого ВАК України, [1]- [4], та п'ять тез [5]- [9]у матеріалах міжнародних конференцій.

Структура та об'єм дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, розбитих на підрозділи, висновків та списку використаних джерел, який містить 65 найменувань. Повний обсяг роботи становить 150 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність дисертаційної роботи, визначено мету і завдання дослідження, висвітлено методи, наукову новизну, теоретичне та практичне значення дослідження, особистий внесок здобувача, апробацію отриманих результатів.

Перший розділ містить огляд літератури за тематикою даної роботи та спорідненими питаннями. Також висвітлені деякі результати щодо схожих проблем, які отримані іншими авторами.

У другому розділі отримано нормальний граничний розподіл нормованого числа хибних розв'язків системи нелінійних випадкових рівнянь у полі при певних обмеженнях, зокрема, на розподіли коефіцієнтів, на кількість ненульових компонент істинного розв'язку системи. Для встановлення даних результатів використано метричну модифікацію методу моментів та явний вигляд -го факторіального моменту числа хибних розв'язків системи для довільного.

Перейдемо до строгого формулювання задачі. Розглянемо систему рівнянь у полі, яка задовольняє умову (А).

Умова (А):

коефіцієнти незалежні випадкові величини;

функція невипадкова;

елементи результат підстановки в ліву частину системи (1 фіксованого вимірного (0,1) - вектор, який має ненульових компонент.

Розв'язок будемо називати істинним розв'язком, а будь-який розв'язок системи (1) хибним.

Позначимо сукупність розв'язків системи (1), кожен з яких відмінний від і має не менше ніж ненульових компонент, тобто для, де. Для числа усіх розв'язків системи (1), які належать множині, введемо позначення.

Нехай і деяке число таке, що, де - знак цілої частини. Зазначимо, що в умовах теорем, які розглядаються в розділах 2-4, має місце співвідношення при. Основними результатами другого розділу є теореми про нормальний граничний розподіл випадкової величини, де, за умови зростання кількості ненульових компонент істинного розв'язку вихідної системи (1).

Тут - число розв'язків системи (1), які відмінні від розв'язку.

Особливістю теорем 2.1.1 та 2.1.2 є припущення про існування принаймні одного коефіцієнта у кожному рівнянні системи (1), який набуває значення 0 та 1 з ймовірністю, що прямує до і має порядок нелінійності не менше, ніж 2. Порядком нелінійності коефіцієнта рівняння системи (1) називається число у записі. У свою чергу, відмінність цих теорем 2.1.1 та 2.1.2 полягає у припущеннях на параметр (див. умову (2) теореми 2.1.1 та умову (11) теореми 2.1.2), що обумовило різні інтервали для значень функції. Зазначимо також, що в умовах теорем 2.1.1 та 2.1.2 функція може не залежати від параметру.

На відміну від цього в наступних двох теоремах при, що дало можливість послабити умови на розподіли коефіцієнтів системи (1) для отримання нормального граничного розподілу випадкової величини.

Відмінність теорем 2.1.3 та 2.1.4 полягає в різних припущеннях на параметр (див. умову (12) теореми 2.1.3 та умову (18) теореми 2.1.4) і, як наслідок цього, появу різних інтервалів для значень порядку нелінійності коефіцієнтів кожного рівняння, розподіли яких задіяні в умовах (16), (17) теореми 2.1.3 та в умовах (19), (20) теореми 2.1.4 для однієї і тієї ж функції.

При обґрунтуванні теорем як другого розділу, так і наступних розділів використовується явний вигляд го факторіального моменту,, випадкової величини, а також наступні допоміжні твердження, які представляють самостійний інтерес. розподіл нормоване нелінійне розв'язок

Третій розділ присвячений отриманню нормального граничного розподілу нормованого числа розв'язків системи (1) за умови наявності в кожному рівнянні системи з додатною ймовірністю лінійної частини та при певних обмеженнях на розподіли лінійних коефіцієнтів та розподіли коефіцієнтів з порядком нелінійності Основними результатами третього розділу є теореми 3.1.1 та 3.1.2, в яких одержано нормальний граничний розподіл нормованого числа хибних розв'язків вихідної системи за наявності в ній лінійної частини.

Теорема 3.1.1. Нехай виконуються умови. Для довільного існує непорожня множина така, що при всіх достатньо великих мають місце умови.

Тоді функція розподілу випадкової величини прямує при до стандартної нормальної функції розподілу.

Теорема 3.1.2. Нехай виконуються умови. Для довільного існує непорожня множина така, що при всіх достатньо великих мають місце умови.

Тоді функція розподілу випадкової величини прямує при до стандартної нормальної функції розподілу.

Теореми третього розділу відрізняються між собою припущеннями на параметр, на розподіл лінійних коефіцієнтів та порядок зростання функції. При доведенні теорем 3.1.1 та 3.1.2 істотно використовуються леми 2.2.2, 2.2.3, а також наступні леми.

Четвертий розділ містить теореми про нормальний граничний розподіл нормованого числа хибних розв'язків системи нелінійних випадкових рівнянь у полі за умови, що,. Результати четвертого розділу отримані при деяких обмеженнях на порядок нелінійності та розподіли коефіцієнтів системи (1), а кількість ненульових компонент кожного з хибних розв'язків цієї системи не менше,. Основними результатами четвертого розділу є наступні теореми.

Нормальний граничний розподіл нормованого числа розв'язків системи (1) в теоремі 4.1.1 отримано за умови, що у кожному рівнянні існують доданки з порядком нелінійності від 2 до, де зростає із зростанням, на відміну від теореми 4.1.2, у якій функція може бути фіксованою. В теоремах 4.1.1 та 4.1.2 також припускається, що кожне рівняння системи (1) містить принаймні один коефіцієнт, який приймає значення 0 та 1 з ймовірністю, що прямує до і має порядок нелінійності не менше, ніж 2.

В теоремах 4.1.3 та 4.1.4 припускається, що обмеження на розподіли коефіцієнтів з порядком нелінійності дещо ширші порівняно із теоремами 4.1.1 та 4.1.2. Відмінність теорем 4.1.3 та 4.1.4 полягає в різних припущеннях на параметр і, як наслідок цього, появу різних інтервалів для значень порядку нелінійності коефіцієнтів кожного рівняння, розподіли яких задіяні в умові (30) теореми 4.1.3 та в умові (31) теореми 4.1.4 для однієї і тієї ж функції.

При доведенні теорем четвертого розділу використовуються допоміжні твердження.

У висновках здійснено перелік основних результатів дисертаційної роботи з зазначенням загальних умов, які використовувалися при доведенні.

ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена подальшому розвитку теорії систем нелінійних випадкових рівнянь. В даній роботі досліджується розподіл числа розв'язків сумісної системи нелінійних випадкових рівнянь.

Отримано нормальний граничний розподіл нормованого числа розв'язків системи нелінійних випадкових рівнянь над полем у припущенні:

число ненульових компонент фіксованого розв'язку, цієї системи зростає із зростанням числа її невідомих (розділ 2);

існування в системі з додатною ймовірністю лінійної частини (розділ 3);

зростання числа нульових компонент розв'язку цієї системи із зростанням числа (розділ 4).

Наведено явний вигляд центруючої та нормуючої функцій у кожній граничній теоремі. При доведенні результатів дисертації використано узагальнення леми про метричну модифікацію методу моментів та явний вигляд -го факторіального моменту числа розв'язків системи для довільного.

Отримані результати представляють як теоретичний, так і практичний інтерес, зокрема, для задач кодування інформації при передачі її каналами зв'язку та захисту інформації від несанкціонованого доступу. Вони можуть бути використані в алгоритмах пошуку розв'язків детермінованих систем нелінійних рівнянь над полем та для оцінювання ресурсів на їх (алгоритмів) реалізацію.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Masol V., Slobodyan S. The normal limit distribution of the number of false solutions of a system of nonlinear random equations in the field // Theory of Stochastic Processes. - 2006. - 12(28), № 1-2. - P.116-126.

2. Masol V., Slobodyan S. On the asymptotic normality of the number of false solutions of a system of nonlinear random Boolean equations // Theory of Stochastic Processes. - 2007. - 13 (29), № 1-2. - P. 144-151.

3. Масол В.І., Слободян С.Я., Про збіжність до нормального розподілу числа хибних розв'язків системи нелінійних випадкових булевих рівнянь // Теорія ймовірностей та математична статистика. - 2007. - № 76. - P. 105-116.

4. Масол В.І., Слободян С.Я. Про збіжність до нормального розподілу числа хибних розв'язків системи випадкових булевих рівнянь, яка має лінійну частину // Науковий вісник Ужгородського університету. Сер. матем і інформ. - 2007. - № 14. - С. 65-79.

5. Масол В.И., Слободян С.Я. Граничні розподіли числа фальшивих розв'язків системи нелінійних випадкових булевих рівнянь // International Conference Modern Problems and New Trends in Probability Theory. Abstracts. Chernivtsi, June 19-26, 2005. - Vol. II. - P. 27-28.

6. Масол В.І., Слободян С.Я. Про асимптотичну нормальність числа хибних розв'язків системи нелінійних випадкових рівнянь в полі // International Conference Modern Stochastics: Theory and Applications. Conference Materials. Київ, 19-23 червня 2006. - C. 56-57.

7. Masol V., Slobodian S. Conditions of convergence to the normal limit distribution of the number of false solutions of a system of nonlinear random equations in the field // 9^th International Vilnius Conference on Probability Theory and Mathematical Statistics. Vilnius, Lithunia, June 25-30, 2006. - P. 228-229.

8. Масол В.И., Слободян С.Я. Нормальное предельное распределение числа ложных решений системы нелинейных случайных булевых уравнений // Обозрение прикладной и промышленной математики. - Москва: ТВП. - 2006. - Т. 13, Вып.6. - С. 1034-1035.

9. Masol V.I., Slobodyan S.Y. On conditions of convergence to the normal limit distribution of the number of false solutions of a system of nonlinear random Boolean equations // Skorokhod Space. 50 Years On International conference. Abstracts. Kyiv, June 17-23, 2007. - Book 2, Sect. 7-8. - P. 129-130.

АНОТАЦІЯ

Слободян С.Я. Теореми про нормальний граничний розподіл числа хибних розв'язків системи нелінійних випадкових рівнянь у полі. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05 - теорія ймовірностей та математична статистика. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2008.

Дисертаційна робота присвячена подальшому розвитку теорії систем нелінійних випадкових рівнянь над полем. У даній роботі досліджується розподіл числа розв'язків системи нелінійних випадкових рівнянь у полі.

Отримано нормальний граничний розподіл нормованого числа розв'язків системи нелінійних випадкових рівнянь у полі за різних припущень на розподіли коефіцієнтів системи та порядки їх нелінійності, кількість ненульових компонент істинного розв'язку. Встановлені теореми про нормальний граничний розподіл нормованого числа розв'язків зазначеної системи за умов зростання числа ненульових компонент істинного розв'язку цієї системи із зростанням числа невідомих ; наявності в системі з додатною ймовірністю лінійної частини; зростання числа при.

При доведенні результатів дисертації використано узагальнення леми про метричну модифікацію методу моментів та явний вигляд -го факторіального моменту числа розв'язків системи для довільного.

Отримані результати представляють як теоретичний, так і практичний інтерес, зокрема, для задач кодування інформації при передачі її каналами зв'язку та захисту інформації від несанкціонованого доступу.

Ключові слова: нормальний розподіл, нелінійні рівняння, поле

АННОТАЦИЯ

Слободян С.Я. Теоремы о нормальном предельном распределении числа ложных решений системы нелинейных случайных уравнений в поле. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2008.

Теория систем нелинейных случайных уравнений над конечными полями начала формироваться в конце 60-х годов ХХ столетия в связи с потребностями задач распознавания, защиты информации от несанкционированного доступа, оценивания затрат на поиски решений указанных систем.

В первую очередь исследования коснулись вопроса существования и единственности решения систем нелинейных случайных уравнений над полем, состоящем из двух элементов. Затем внимание специалистов сосредоточилось на выяснении условий, обеспечивающих сходимость распределения числа решений систем нелинейных случайных уравнений над полем к распределению Пуассона. Так, было установлено, что предельное пуассоновское распределение появляется при наличии, в частности, в уравнениях с положительной вероятностью коэффициентов, порядок нелинейности которых не превосходит при, где - число неизвестных.

Для теории систем нелинейных случайных уравнений и ее приложений актуальными являются проблемы поиска иных (не только пуассоновских) предельных распределений числа решений исходной системы. Принципиальная возможность получения нормального предельного распределения нормированного числа решений системы нелинейных случайных уравнений над полем следует из публикаций Зубкова А.М. (1979), Масола В.И. (1993), Михайлова В.Г. (1998). Конкретная реализация этой возможности - основная задача данного диссертационного исследования.

При решении поставленных задач использовались результаты и методы теории вероятностей, комбинаторики, математического анализа.

В диссертации рассматривается заведомо совместная система нелинейных уравнений над полем, коэффициенты при неизвестных в которой - независимые случайные величины с распределениями, зависящими от номера уравнения и порядка нелинейности самого коэффициента. Одно из решений системы объявляется истинным, остальные - ложными. Относительно истинного решения предполагается, что оно, во-первых, имеет ненулевых компонент и, во-вторых, результат подстановки в систему этого решения дает свободные члены системы.

Все результаты диссертации получены в предположении, что каждое уравнение исходной системы имеет с положительной вероятностью коэффициент, порядок нелинейности которого превышает или равен 2, а также в предположении, что математическое ожидание числа решений системы уравнений растет с ростом

Во всех теоремах указан явный вид центрирующей и нормирующей функции. Этот вид меняется в зависимости от параметра и некоторых иных параметров. Так, в теоремах второй (четвертой) главы предполагается, что при (). В теоремах третьей главы отсутствует ограничение на, но при этом вводится условие существования с положительной вероятностью линейных слагаемых в каждом уравнении системы. В рамках каждой из глав 2, 3 и 4 теоремы отличаются между собой ограничениями на распределения коэффициентов системы, на порядки коэффициентов, которые с положительной вероятностью должны присутствовать в уравнениях. Отметим, что указанные порядки нелинейности не превышают при.

Ключевые слова: нормальное распределение, нелинейные уравнения, поле.

ANNOTATION

Slobodian S.Y. Theorems on a normal limit distribution of the number of false solutions of a system of nonlinear random equations in the field. - Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical Sciences degree on the specialty 01.01.05 - Probability Theory and Mathematical Statistics. Kyiv National Taras Shevchenko University, Kyiv, 2008.

The thesis is devoted to the further development of the theory of systems of nonlinear random equations over the field. Distribution of the number of solutions of a system of nonlinear random equations in the field is investigated in the thesis.

The normal limit distribution of the normalized number of solutions of a system of nonlinear random equations in the field at various restrictions on distributions of coefficients of a system and the orders of their nonlinearity, quantity of nonzero components of a true solution are obtained. Theorems on a normal limit distribution of the normalized number of solutions of such system under conditions of increase of the number of nonzero components of a true solution of this system with increase of the number of its unknowns ; at presence of a linear part in the system with positive probability; the increase of the number at are proved.

The generalization of the lemma on a metric modification of a method of moments and the explicit expression for -factorial moment of the number of solutions of a system for an arbitrary are used for proof of results of the thesis.

Obtained results are both of theoretical and practical interest, in particular, for problems of information encoding at transfer by communication channels and guarding against the unauthorized access.

Key words: normal distribution, nonlinear equations, field.

Размещено на Allbest.ru