Наближення гіпергеометричних функцій Лаурічелли гіллястими ланцюговими дробами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України Львівський національний університет імені Івана Франка

УДК 517.526

01.01.01 - математичний аналіз

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Автореферат

НАБЛИЖЕННЯ ГІПЕРГЕОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ ЛАУРІЧЕЛЛИ ГІЛЛЯСТИМИ ЛАНЦЮГОВИМИ ДРОБАМИ

Гоєнко Наталiя Павлiвна

Львів - 2004

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у відділі теорії функцій та диференціальних рівнянь Інституту прикладних проблем механіки і математики імені Я. С. Підстригача Національної академії наук України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Боднар Дмитро Ількович, завідувач кафедри інтелектуальної власності, комп'ютерного та інформаційного права Тернопільської академії народного господарства

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Лопушанський Олег Васильович, завідувач відділу функціонального аналізу Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України;

кандидат фізико-математичних наук, доцент Кучмінська Христина Йосифівна, доцент кафедри обчислювальної математики і програмування Національного університету "Львівська політехніка".

Провідна установа: Одеський національний університет ім. І. І. Мечникова, кафедра математичного аналізу.

Захист відбудеться " 10 " червня 2004 року о 15.20 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради К 35.051.07 у Львівському національному університеті імені івана Франка за адресою: 79000, м. Львів, вул. Університетська, 1, ауд. 377.

З дисертацією можна ознайомитись в науковій бібліотеці Львівського національного університету імені івана Франка за адресою: м. Львів, вул. Драгоманова, 5.

Автореферат розісланий " 07 " травня 2004 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Бокало М. М.

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. В різних областях аналізу, прикладної математики, математичної фізики, квантової механіки та ін. використовуються спеціальні функції. Найуживанішими з них є гіпергеометричні функції Гауса.

В теорії апроксимації для наближення спеціальних функцій застосовують алгебраїчні, тригонометричні поліноми, сплайни та раціональні функції. Вперше раціональні наближення виникли як апроксиманти неперервних дробів. Узагальнюючи принцип відповідності неперервних дробів до степеневих рядів, К.Ф. Гаус і А. Паде побудували важливий клас раціональних наближень - апроксимації Паде . Діагональні, над- або піддіагональні послідовності апроксимант Паде збігаються з підхідними дробами C-дробів. У роботах А.О. Гончара та його учнів, А. Едрея, Ю. Люка, Дж. Натолла, Г. Шталя та інших розроблено теоретичні засади дослідження збіжності апроксимацій Паде. Ефективний підхід до побудови апроксимацій Паде на основі узагальнених моментних зображень запропонував В.К. Дзядик. Застосуванням апроксимацій Паде в теоретичній фізиці присвячені роботи Дж. Бейкера, П.Р. Грейвс-Морріса, Я. Гілевича та інших.

Раціональні наближення для різних класів функцій вивчали О.П. Долженко, В.М. Русак, Є.М. Нікішин, В.М. Сорокін, О.І. Аптєкарєв, Н.А. Пекарський, Є.О. Ровба та інші.

У багатьох випадках швидкість збіжності раціональних наближень значно перевищує швидкість збіжності поліноміальних наближень; області збіжності неперервних дробів є ширшими, ніж області збіжності степеневих рядів. Крім того, раціональні наближення дають можливість знаходити особливі точки досліджуваних функцій, що є важливим при розв'язуванні низки практичних задач, зокрема, у теоретичній фізиці. Неперервні дроби володіють властивістю обчислювальної стійкості при досить загальних обмеженнях на коефіцієнти, що дуже важливо у застосуваннях.

Для знаходження раціональних наближень гіпергеометричних функцій Гауса в роботах Л. Ейлера, К. Гауса, Л. Томе, Б. Рімана, Ж. Лагранжа, Н. Ньорлунда використовується апарат неперервних дробів. У монографіях Х.С. Уолла, В. Джоунса і В. Трона, Л. Лорентcен і Х. Воделанда побудовано та досліджено розвинення у неперервні дроби відношень гіпергеометричних функцій Гауса, вироджених гіпергеометричних та інших спеціальних функцій. До цього часу не побудовано розвинення функції Гауса у неперервний дріб при довільних допустимих значеннях параметрів. В роботі В. Джоунса, А. Сріранга знайдено лише асимптотику коефіцієнтів неперервного дробу для Г-функції. Варто зауважити, що переважно досліджується збіжність неперервних дробів у широкому розумінні, тобто, коли існує границя послідовності підхідних дробів, можливо рівна безмежності.

Багатовимірні узагальнення апроксимацій Паде розглядалися у роботах Дж.С.Р. Чісхолма, П.Р. Грейвс-Морріса, Д.Е. Робертса та інших. Для побудови багатовимірних раціональних апроксимацій В.Я. Скоробогатько застосував гіллясті ланцюгові дроби (ГЛД). Аналітична теорія ГЛД була розвинута в роботах П.І. Боднарчука, Д.І. Боднара,М.С. Сявавка, Х.Й. Кучмінської, В. Сємашка, Х. Воделанда, А. Коут, Б. Вердонк, Дж. Мерфі, М. О'Донохое, О.М. Сусь, Т.М. Антонової, Р.І. Дмитришина та інших.

Двовимірним узагальненням функції Гауса є гіпергеометричні функції Аппеля. В якості раціональних апроксимант для відношень функцій Аппеля можна взяти підхідні дроби гіллястих ланцюгових дробів з двома гілками розгалуження. Н.С. Дронюк вперше вказала алгоритм розвинення у ГЛД відношень функцій Аппеля F1. Д.І. Боднар побудував розвинення відношень функцій F2 і F4 у гіллясті ланцюгові дроби. Питання збіжності одержаних розвинень залишається відкритим. Збіжність розвинень відношень гіпергеометричних функцій Аппеля F3 вивчалася у роботах Боднара Д.S., Манзій О.С.

Лаурічелла означив чотири гіпергеометричні функції N змінних , , , , які узагальнюють гіпергеометричну функцію Гауса. Вивченню гіпергеометричних функцій присвячені роботи Х. Екстона, Х. Срівастави, Р.С. Сінг Чандела, Р.К. Саксени, А.К. Гупти, А.М. Матаї, М. Сайго, О.У. Сінха, П.В. Карлсона, С. Ферейри, Дж.Л. Лопеза, А.В. Ніукканена та інших, в яких досліджуються властивості багатовимірних гіпергеометричних та вироджених гіпергеометричних рядів: рекурентні співвідношення, інтегральні та асимптотичні представлення, поведінка відповідних гіпергеометричних рядів на межі їх області збіжності. Розглядаються застосування функцій Лаурічелли до розв'язання деяких проблем у теорії ймовірності та статистиці, теоретичній фізиці, квантовій хімії тощо.

Актуальними є такі задачі: побудова розвинень відношень гіпергеометричних функцій багатьох змінних у гіллясті ланцюгові дроби, дослідження їх збіжності у вузькому розумінні (до скінченого значення), оцінки похибок апроксимацій підхідними дробами ГЛД в деяких областях просторів і , застосування гіллястих ланцюгових дробів для аналітичного продовження відношень функцій Лаурічелли. Цим задачам присвячені дослідження, виконані в даній дисертаційній роботі.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконувалась у рамках держбюджетних тем: "Розвиток теорії гіллястих та інтегральних ланцюгових дробів, їх застосування до розв'язання нелінійних операторних рівнянь" (номер держреєстрації 0193U033340), "Розробка методів наближення функцій багатьох змінних гіллястими ланцюговими дробами та їх застосування до дослідження рівнянь релятивістської фізики" (номер держреєстрації 0197U008958), "Розвиток диференціально-геометричних та аналітичних методів рівнянь математичної і теоретичної фізики" (номер держреєстрації 0102U000451).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертації є застосування апарату гіллястих ланцюгових дробів для побудови та дослідження раціональних апроксимацій гіпергеометричних функцій багатьох змінних, що передбачає вирішення таких задач:

- побудова розвинень відношень гіпергеометричних функцій Лаурічелли у гіллясті ланцюгові дроби та дослідження відповідності одержаних розвинень до формальних кратних степеневих рядів, у які розвиваються ці відношення;

- встановлення збіжності розвинень у гіллясті ланцюгові дроби відношень функцій та оцінки похибок апроксимацій підхідними дробами в деяких областях і за додаткових обмежень на параметри цих функцій та при довільних допустимих значеннях параметрів;

- наближення відношення гіпергеометричних функцій Лаурічелли гіллястим ланцюговим дробом типу Ньорлунда.

Об'єктом дослідження є гіллясті ланцюгові дроби, в які розвиваються відношення гіпергеометричних функцій Лаурічелли .

Предметом дослідження є відповідність, збіжність гіллястих ланцюгових дробів, оцінки похибок апроксимацій їх підхідними дробами.

Методи досліджень. Методи теорії функцій комплексної змінної, аналітичної теорії неперервних та гіллястих ланцюгових дробів.

Наукова новизна одержаних результатів. Усі одержані наукові результати є новими. В роботі

- встановлено нові рекурентні співвідношення для гіпергеометричних функцій Лаурічелли , на основі яких побудовано розвинення відношення цих функцій у гіллясті ланцюгові дроби; зокрема, побудовано багатовимірний аналог неперервного дробу типу Ньорлунда;

- вперше встановлено ознаки збіжності гіллястих ланцюгових дробів, у які розвиваються відношення гіпергеометричних функцій Лаурічелли; досліджено області збіжності, рівномірної збіжності цих дробів, знайдено оцінки похибок апроксимацій їх підхідними дробами;

- вперше встановлено багатовимірне узагальнення теореми Ньорлунда про збіжність та відповідність неперервного дробу, у який розвивається відношення функцій Гауса; доведено збіжність гіллястого ланцюгового дробу типу Ньорлунда до функції, що є аналітичним продовженням відношення функцій Лаурічелли.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації носять теоретичний характер і є певним внеском в аналітичну теорію гіллястих ланцюгових дробів. Вони можуть бути використані для наближення гіпергеометричних функцій Лаурічелли , які виникають в прикладних задачах.

Особистий внесок здобувача. Наведені в дисертації основні результати отримані автором самостійно. В опублікованих спільно з Д.І. Боднарем статтях [3,7,11] науковому керівнику належать постановки задач і загальне керівництво роботою. В опублікованій спільно з О.С. Манзій роботі [2] співавтору належать результати, що стосуються функції Аппеля F1 (пункти 3, 4).

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались на: Міжнародній науковій конференції "Нові підходи до розв'язання диференціальних рівнянь" (м. Дрогобич, 1997, 2001 рр.); VII Міжнародній конференції ім. акад. М. Кравчука (м. Київ, 1998 р.); Міжнародній конференції "Сучасні проблеми механіки і математики", присвяченій 70-річчю від дня народження академіка Я.С.Підстригача (м. Львів, 1998 р.); Міжнародній конференції з теорії наближень та її застосувань, присвяченій пам'яті В.К.Дзядика (м. Київ, 1999 р.); Міжнародній науковій конференції з комплексного аналізу "Цілі і мероморфні функції", присвяченій 70-річчю з дня народження А.А.Гольдберга (м. Львів, 2000 р.); Українському математичному конгресі, присвяченому 200-річчю М.В.Остроградського (м. Київ, 2001 р.); конференції "Функціональні методи в теорії наближень, теорії операторів, стохастичному аналізі та статистиці" (м. Київ, 2001 р.); Міжнародній конференції з функціонального аналізу та його застосувань, присвяченій 110-річчю з дня народження Стефана Банаха Міжнародній конференції "Комплексний аналіз і його застосування" (м. Львів, 2003 р.); III Всеукраїнській науковій конференції "Нелінійні проблеми аналізу" (м. Івано-Франківськ, 2003 р.); Міжнародній науковій конференції "Шості Боголюбовські читання" (м. Чернівці, 2003 р.); Львівському регіональному семінарі з математичного аналізу (керівник проф. М.М. Шеремета); науковому семінарі з теорії функцій в Одеському національному університеті (керівник проф. Е.О. Стороженко); математичному семінарі ім. В.Я.Скоробогатька (керівники чл.-кор. НАН України, проф. Б.Й. Пташник, с.н.с. В.О. Пелих); семінарах із аналітичної теорії неперервних дробів та їх багатовимірних узагальнень (керівники проф. Д.І. Боднар, доц. Х.Й. Кучмінська).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 11 наукових статтях і повідомленнях (з яких 7 без співавторів) у виданнях із переліків, затверджених ВАК України.

Структура і обсяг роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел, що містить 115 найменувань на 13 сторінках. Загальний обсяг дисертації - 125 сторінок.

Автор висловлює щиру подяку професору Д.І.Боднару за наукове керівництво та постійну увагу до роботи.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі розкрито сутність і стан розробки наукової проблеми, обгрунтовано актуальність тематики дисертації, сформульовано мету та задачі дослідження. ланцюговий дріб похибка апроксимація

У першому підрозділі першого розділу подано огляд праць за темою дисертації, у другому - наведено перелік основних результатів роботи та вказано їх місце серед інших досліджень у даній галузі.

У підрозділі 2.1 другого розділу доведено деякі рекурентні співвідношення для гіпергеометричних функцій Лаурічелли

, (1)

де параметри -- комплексні числа, причому ; -- комплексні змінні; -- символ Похгаммера, .

Використовуючи ці співвідношення побудовано розвинення відношень гіпергеометричних функцій у гіллясті ланцюгові дроби. Гіллясті ланцюгові дроби, які є багатовимірним узагальненням неперервних дробів, означуються за допомогою композиції багатовимірних дробово-лінійних відображень. Для запису гіллястого ланцюгового дробу з N гілками розгалужень

, (2)

будемо використовувати позначення

, (3)

де -- скорочений запис мультиіндексу, , , -- комплексні числа або функції.

Нехай , , , , -- символ Кронекера. Враховуючи, що надалі N -- фіксоване число, для скорочення запису гіпергеометричних функцій Лаурічелли будемо використовувати позначення

. (4)

Твердження 2.1.2. Відношення гіпергеометричних функцій Лаурічелли

, , (5)

має формальне розвинення у гіллястий ланцюговий дріб

, (6)

де,, (7)

, (8)

. (9)

Теорема 2.2.3. ГЛД (2) є відповідним в точці до формального кратного степеневого ряду, в який розвиваються відношення гіпергеометричних функцій Лаурічелли

, , (10)

і для кожного його підхідного дробу порядок відповідності .

Аналогічно у теоремах 2.2.1 і 2.2.2 подано результат про відповідність ГЛД (1) і (3) до формального кратного степеневого ряду, що є розвиненням відношення функцій Лаурічелли.

У розділі 3 досліджено збіжність побудованих розвинень у ГЛД у випадку невід'ємних параметрів функції в деяких дійсних областях, а також встановлено оцінки швидкості збіжності. У підрозділі 3.1 досліджено умови збіжності ГЛД (1) і (3) в деяких обмежених областях простору .

Теорема 3.2.1. Нехай параметри гіпергеометричної функції задовольняють умови:

, , , . (11)

Тоді гіллястий ланцюговий дріб типу Ньорлунда (2) рівномірно збігається всередині області

, (12)

і на довільному компакті K, , справджується оцінка швидкості збіжності

, , (13)

де -- n-та апроксиманта ГЛД (2),

, (14)

, (15)

, (16)

C - деяка стала, яка залежить від компакту K.

У четвертому розділі подано результати досліджень збіжності гіллястих ланцюгових дробів у комплексній області. Використовуючи багатовимірні аналоги ознак Слєшинського-Прінгсхейма та Ворпіцького, в першому підрозділі встановлено області збіжності нескінчених залишків ГЛД (3), гіллястих ланцюгових дробів (1), (2).

У попередніх теоремах отримано області збіжності ГЛД при накладанні певних додаткових обмежень на параметри гіпергеометричної функції. У наступній теоремі доведена збіжність ГЛД при довільних допустимих значеннях параметрів.

Теорема 4.3.1. Нехай параметри гіпергеометричної функції -- дійсні числа, що задовольняють наступні умови:

, (), . (17)

Тоді

(А) гіллястий ланцюговий дріб типу Ньорлунда (2) збігається рівномірно до голоморфної функції всередині області голоморфної в деякому околі початку координат, в область G.

; (18)

(Б) є аналітичним продовженням функції

, (19)

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі

· знайдено нові рекурентні співвідношення для гіпергеометричних функцій Лаурічелли , на основі яких побудовано формальні розвинення відношення цих функцій у гіллясті ланцюгові дроби. Ці результати є розвитком алгоритмів побудови ГЛД з двома вітками розгалуження для відношень функцій Аппеля , розглянутих у роботах Д.І.Боднара, О.С.Манзій. Розвинення відношень функцій Лаурічелли у ГЛД побудовані та досліджуються вперше. Один із одержаних ГЛД при збігається з неперервним дробом Ньорлунда. Доведено відповідність гіллястих ланцюгових дробів до формальних кратних степеневих рядів, в які розвиваються відношення функцій Лаурічелли, та встановлено порядок відповідності n-х підхідних дробів ГЛД.

· досліджено збіжність побудованих гіллястих ланцюгових дробів, встановлено області збіжності, рівномірної збіжності цих дробів в деяких областях просторів і . При доведенні збіжності цих ГЛД в дійсних областях використовуються ознаки збіжності гіллястих ланцюгових дробів з невід'ємними елементами, а також спеціальні алгоритми розтягів ГЛД з дійсними елементами до ГЛД з невід'ємними компонентами. Дослідження збіжності ГЛД, які є розвиненням відношень гіпергеометричних функцій , їх нескінчених залишків в деяких областях простору грунтується на застосування багатовимірних аналогів ознак збіжності Слєшинського-Прінгсхейма і Ворпіцького. Досліджено області збіжності побудованих ГЛД при певних додаткових обмеженнях на параметри функції Лаурічелли та при довільних допустимих значеннях цих параметрів. Використовуючи деякі спеціальні нерівності та методи побудови мажоранти і парної частини ГЛД, знайдено оцінки похибок апроксимацій підхідними дробами гіллястих ланцюгових дробів на компактах областей збіжності в просторах і .

· встановлено багатовимірний аналог теореми Ньорлунда; доведено рівномірну збіжність ГЛД типу Ньорлунда до голоморфної функції, яка є аналітичним продовженням відношень функцій Лаурічелли з деякого околу початку координат в область при певних обмеженнях на параметри функції . У випадку ця область збігається з максимальною областю збіжності неперервного дробу, тобто одержаний результат є в певному сенсі остаточним.

Основні результати дисертації носять завершений характер, супроводжуються повними доведеннями. Вони можуть бути використаними в аналітичній теорії гіллястих ланцюгових дробів та при дослідженні спеціальних функцій математичної фізики.

СПИСОК ПУБЛІКАЦІЙ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Молнар (Гоєнко) Н. П. Наближення гіпергеометричних функцій Лаурічелли гіллястими ланцюговими дробами // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 1996. - 39, № 2, - C. 70-74.

2. Молнар (Гоєнко) Н. П., Манзій О. С. Розвинення гіпергеометричних функцій Аппеля та Лаурічелли у гіллясті ланцюгові дроби // Вісник Львівського університету. Сер. мех.-мат. - 1997. - Вип. 48. - С. 17-26.

3. Боднар Д. І., Гоєнко Н. П. Про збіжність парної частини розвинення у гіллястий ланцюговий дріб відношення гіпергеометричних функцій Лаурічелли // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 1997. - 40, № 4. - C. 7-9.

4. Гоєнко Н. П. Про збіжність залишків парної частини розвинення у гіллястий ланцюговий дріб відношення гіпергеометричних функцій Лаурічелли // Вісник Львівського університету. Сер. мех.-мат. - 1999. -Вип. 53. - С. 62-66.

5. Гоєнко Н. П. Про збіжність розвинень гіпергеометричних функцій Лаурічелли у гіллясті ланцюгові дроби // Теорія наближень функцій та її застосування. Праці інституту математики НАН України. - 2000. - 31. - С. 135-143.

6. Гоєнко Н. П. Алгоритми розвинення гіпергеометричний функцій Лаурічелли у гіллясті ланцюгові дроби // Вісник НУ "Львівська політехніка". - 2000. - № 411. - С. 67-73.

7. Боднар Д. І., Гоєнко Н. П. Наближення гіпергеометричних функцій Лаурічелли багатовимірними узагальненнями неперервних дробів типу Nцrlund'a // Теорія наближень та гармонійний аналіз. Праці Українського математичного конгресу, 2001. Секція 10. - Київ: ін-т математики НАН України. - 2002. - C. 34-44.

8. Гоєнко Н. П. Про збіжність гіллястого ланцюгового дробу типу Nцrlund'a у випадку дійсних змінних // Мат. методи та фіз.- мех. поля. - 2002. - 45, № 1. - С. 28-30.

9. Гоєнко Н. П. Збіжність розвинення відношення функцій Лаурічелли у гіллястий ланцюговий дріб // Мат. методи та фіз.- мех. поля. - 2002. - 45, № 4. - С. 52-57.

10. Гоєнко Н. П. Застосування багатовимірного аналогу теореми Ворпіцького до дослідження збіжності розвинень гіпергеометричних функцій Лаурічелли у гіллясті ланцюгові дроби // Мат. методи та фіз.- мех. поля. - 2003. - 46, № 4. - С. 44-49.

11. Боднар Д. І., Гоєнко Н. П. Наближення відношення функцій Лаурічелли гіллястим ланцюговим дробом // Математичні студії. - 2003. - 20, № 2. - P. 210-214.

АНОТАЦІЯ

Гоєнко Н.П. Наближення гіпергеометричних функцій Лаурічелли гіллястими ланцюговими дробами. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. - Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2003.

У дисертації встановлено нові рекурентні співвідношення для гіпергеометричних функцій Лаурічелли , на основі яких побудовано розвинення відношення цих функцій у гіллясті ланцюгові дроби, зокрема, побудовано багатовимірний аналог неперервного дробу типу Ньорлунда; вперше встановлено ознаки збіжності гіллястих ланцюгових дробів, у які розвиваються відношення гіпергеометричних функцій Лаурічелли; досліджено області збіжності, рівномірної збіжності цих дробів, знайдено оцінки похибок апроксимацій їх підхідними дробами; вперше встановлено багатовимірний аналог теореми Ньорлунда про збіжність та відповідність неперервного дробу, у який розвивається відношення функцій Гауса; доведено збіжність гіллястого ланцюгового дробу типу Ньорлунда до функції, що є аналітичним продовженням відношення функцій Лаурічелли.

Ключові слова: гіпергеометрична функція, гіллястий ланцюговий дріб, підхідні дроби, область збіжності, похибка апроксимації.

Hoyenko N.P. Lauricella Hypergeometric Functions Approximation with Branched Continued Fractions. - Manuscript.

Thesis for a candidate's degree by speciality 01.01.01 - mathematical analisys. - Ivan Franko Lviv National University, L'viv, 2003.

New recursion relations of Lauricella hypergeometric functions are established in the thesis. On this base the expansions of these functions into branched continued fractions are built, in particular the multidimensional analogue of Nцrlund continued fraction is built; for the first time the criterions of convergence of branched continued fractions being the expansions of Lauricella hypergeometric functions are established; the regions of convergence, uniform convergence of these fractions are investigated, there are found the estimations of approximation errors for fraction arproximants; for the first time there is established the multidimensional analogue of Nцrlund theorem on the convergence and compliance of continuous fraction that is expansion of Gauss functions ratio; the Nцrlund type branched continuous fractions convergence to function being analitical continuation of Lauricella functions ratio is proved.

Keywords: hypergeometric function, branched continuous fraction, approximants, convergence region, approximations error.

Гоенко Н.П. Приближение гипергеометрических функций Лауричеллы ветвящимися цепными дробями. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ, Львовский национальный университет имени Ивана Франко, Львов, 2003.

В диссертационной работе исследуются разложения гипергеометрических функций Лауричеллы в ветвящиеся цепные дроби (ВЦД). Диссертация состоит из введения, четырех разделов, выводов и списка использованых источников. Во введении дано обоснование актуальности темы, указываются цели и задачи исследования, научная новизна, практическое значение и аппробация полученых результатов, количество публикаций.

В первом разделе сформулированы основные свойства гипергеометрических функций Гаусса и Лауричеллы, цепных и ветвящихся цепных дробей. Приведен обзор литературы, посвященной вопросам разложения гипергеометрических функций одной и нескольких переменных в цепные и ветвящиеся цепные дроби соответственно. Указаны направления научных исследований и приведены основные результаты диссертации.

Во втором разделе для гипергеометрических функций Лауричеллы установлены рекурентные соотношения, на основании которых построены разложения отношений этих функций в ветвящиеся цепные дроби. Одна из построеных ВЦД при совпадает с цепной дробью Нерлунда. Доказано соответствие ветвящихся цепных дробей к формальным кратным степенным рядам, которые являются разложением отношений функций Лауричеллы.

В третем разделе исследуется сходимость, равномерная сходимость построеных ВЦД в некоторых областях пространства при условии, что параметры функции действительны. При доказательстве сходимости рассматриваемых ВЦД исспользуются признаки сходимости ветвящихся цепных дробей с неотрицательными элементами, а также специальные алгоритмы приведения ВЦД с действительными элементами к ВЦД с неотрицательными компонентами. Установлены оценки скорости сходимости ВЦД на компактах полученых областей.

В четвертом разделе исследуются области сходимости ВЦД, являющихся разложениями отношений функций Лауричеллы, при дополнительных ограничениях на параметры функции , а также для произвольных допустимых значений параметров. Установлены оценки погрешностей приближений подходящими дробями ВЦД на компактах соответствующих областей сходимости. Используя многомерный аналог теоремы Стилтьеса-Витали, доказана равномерная сходимость ВЦД типа Нерлунда к голоморфной функции, являющейся аналитическим продолжением отношения функций Лауричеллы с некоторой окрестности начала координат в область при некоторых ограничениях на параметры функции . В случае эта область совпадает с максимальной областью сходимости цепной дроби Нерлунда, то есть полученый результат в определенном смысле является окончательным.

Ключевые слова: гипергеометрическая функция, ветвящаяся цепная дробь, подходящие дроби, область сходимости, погрешность приближения.

Підписано до друку 30.04.2004 р.

Папір друк. № 1. Спосіб друку - офсет.

Формат 60х90/16. Умовн. друк. аркушів 0,9

Тираж 100 прим.

Замовл. № 225/2

Друк ВКП фірми “ВМС”

м.Львів, вул. Вузька,3

тел./факс (032) 297-05-67

Размещено на Allbest.ru

...