Размещено на http://www.allbest.ru/

Київський нацiональний університет iменi Tараса Шевченка

УДК 517.977

МIНIМАКСНЕ ОЦІНЮВАННЯ ПАРАМЕТРІВ ЕЛІПТИЧНИХ І ПАРАБОЛІЧНИХ РІВНЯНЬ В УМОВАХ НЕВИЗНАЧЕНОСТI

01.05.04 - Системний аналiз i теорiя оптимальних рiшень

АВТОРЕФЕРАТ

дисертацiї на здобуття наукового ступенякандидата фiзико-математичних наук

Грищук Наталія Василівна

Київ - 2004

Дисертацiєю є рукопис

Робота виконана в Київському нацiональному унiверситетi iменi Tараса Шевченка.

Науковий керiвник: доктор фiзико-математичних наук, професор Подлипенко Юрiй Костянтинович, провiдний науковий спiвробiтник кафедри системного аналiзу та прийняттярiшень Київського національного унiверситету iменi Тараса Шевченка.

Офiцiнi опоненти: доктор фiзико-математичних наук, професор Капустян Володимир Омелянович, завiдувач кафедри математичного моделювання економічних систем НТУУ "КПІ",

кандидат фiзико-математичних наук, доцент Марценюк Василь Петрович, завiдувач кафедри медичної інформатики Тернопільської медичної академії.

Провiдна установа: Iнститут кiбернетики імені В.М.Глушкова НАН України, вiддiл оптимізації керованих процесів.

Захист вiдбудеться 6 жовтня 2004 р. о 14 годинi на засiданнi спецiалiзованої вченої ради Д 26.001.35 Київського нацiонального унiверситету iменi Tараса Шевченка (03127, Київ, просп. Глушкова, 2, корпус 6, факультет кiбернетики).

З дисертацiєю можна ознайомитись у науковiй бiблiотецi Київського нацiонального унiверситету iменi Tараса Шевченка за адресою: 01033, Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий 3 вересня 2004 року

Вчений секретар спецiалiзованої вченої ради Зінько П.М.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми дисертації. При системному аналізі складних процесів, які описуються рівняннями в частинних похідних, актуальною є проблема оптимального відновлення (оцінювання) значень параметрів цих рівнянь, наприклад, значень деяких функціоналів від їх розв'язків (або правих частин рівнянь) за спостереженнями, що є значеннями інших функціоналів від цих же розв'язків. Такі задачі виникають в ситуації, що часто зустрічається на практиці, коли деякі з параметрів рівнянь, їх праві частини, граничні або початкові умови не відомі точно, а лише підпорядковані деяким обмеженням. Особливий інтерес являє собою випадок, коли невідомі параметри рівнянь і спостережень спотворені шумами, статистичні характеристики яких також відомі не повністю.

Для розв'язання подібних проблем у відсутності вірогідних відомостей про розподіл випадкових збурень, ефективним виявився мінімаксний підхід, започаткований в роботах М.М. Красовського, О.Б. Куржанського, О.Г. Наконечного, Н.Ф. Кириченка, Б.М. Пшеничного. Цей підхід дозволяє знаходити оптимальні оцінки, параметрів крайових задач, які розраховані на ``найгірші'' реалізації збурень. Для одержання таких оцінок цими авторами істотньо використовувалась однозначна розв'язність задач, параметри яких оцінювались. При цьому вважалось, що дані цих задач (праві частини рівнянь та граничних умов) - будь-які функції з відповідних функціональних просторів.

Так, у cерії робіт О.Г. Наконечним проблеми оцінюванння параметрів рівнянь з частинними похідними вперше були вкладені в абстрактну схему варіаційних рівнянь в спеціальних гільбертових просторах. Ним були знайдені системи операторних рівнянь, через розв'язки яких визначаються мінімаксні оцінки невідомих параметрів вихідних рівнянь. Одержані результати використовувались потім для конкретних граничних задач.

В роботах О.Г. Наконечного, Ю.К. Подлипенка і Ю.А. Зайцева, а також Ю.К. Подлипенка та А. Дабабнеха досліджені задачі мінімаксного оцінювання і прогнозування значень функціоналів від розв'язків еліптичних і параболічних рівнянь з розривними коефіцієнтами, які не вкладуться в згадану вище абстрактну схему.

До цієї ж тематики відносяться і дослідження О.Г. Наконечного, Ю.К. Подлипенка та А. Ковалюка, в яких аналогічні питання вивчались у випадку крайової задачі Неймана для еліптичних рівнянь другого порядку з коерцитивною білінійною формою.

Істотні аспекти теорії мінімаксного оцінювання і прогнозування розвивалися в роботах Б.И. Ананьева, Г.М. Бакана, М.М. Личака, Ю.Б. Коробочкина, В.Г. Покотила.

Тим не менш, незважаючи на значну кількість публікацій по даній тематиці, проблема оцінювання за неповними даними параметрів для широкого класу крайових задач, розв'язки яких не є єдиними, залишалась до сих пір не вивченою (більш того, в цьому випадку була відсутня навіть сама постановка задачі мінімаксного оцінювання). До таких задач відноситься задача Неймана для рівняння Лапласа і більш загальних лінійних еліптичних рівнянь другого порядку з некоерцитивною білінійною формою Цю задачу будемо далі називати виродженою крайовою задачею Неймана для лінійного еліптичного рівняння другого порядку, на відміну від крайової задачі Неймана з коерцитивною білінійною формою, для якої існує єдиний розв'язок., для яких при відповідній комбінації даних існує нескінченна множина розв'язків, будь-які два з яких відрізняються на константу.

Названі задачі оцінювання мають важливе прикладне значення в екології, геофізиці, теплофізиці та багатьох інших областях, тому їх теоретичний аналіз є актуальним.

В дисертації вперше запропоновані і досліджені методи мінімаксного оцінювання параметрів еліптичних рівнянь з некоерцитивною білінійною формою і граничною умовою Неймана, для яких розв'язки крайової задачі існують лише при деякій комбінації правих частин рівнянь та граничних умов і, взагалі кажучи, не єдині.

Відзначимо також, що при розробці методів оцінювання параметрів еліптичних і параболічних крайових задач, запропонованих в дисертації, використовується найбільш цікавий з практичної точки зору клас спостережень, розподілених на системі поверхонь, розташованих в області, де задана крайова задача (і можливо, на її границі), які можуть залежати як від самих розв'язків цієї задачі, так і від їх конормальних похідних.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана в рамках держбюджетної теми 01БФ015-01 "Розвиток теорії і програмного забезпечення стохастичних та алгебраїчних систем із застосуванням в економіці, соціології, техніці та освіті" (2001 - 2005 рр.).

Мета і задачі дослідження. Мета дисертації полягає в розробці методів гарантованого оцінювання значень лінійних функціоналів, визначених на розв'язках вироджених крайових задач Неймана для еліптичних рівнянь і на їх правих частинах, а також на розв'язках початково-крайових задач для параболічних рівнянь за спостереженнями, розподіленими на скінченній системі поверхонь, що залежать як від їх розв'язків так і від їх конормальних похідних.

Для досягнення поставленої мети необхідно було розв'язати такі основні задачі.

При заданих обмеженнях на невідомі кореляційні функції шумів в спостереженнях і на невідомі дані вироджених крайових задач Неймана для еліптичних рівнянь одержати системи інтегро-диференціальних рівнянь, через розв'язки яких виражаються мінімаксні оцінки функціоналів.

Одержати аналогічні системи рівнянь для мінімаксних прогнозних оцінок розв'язків параболічних початково-крайових задач.

Довести однозначну розв'язність отриманих систем інтегро-диференціальних рівнянь.

Дослідити задачі мінімаксного прогнозу при повністю невідомих початкових умовах.

Наукова новизна одержаних результатів. Вперше розглянуто постановку проблеми мінімаксного оцінювання у випадку виродженої задачі Неймана для лінійних еліптичних рівнянь другого порядку.

Одержані теореми, в яких встановлені умови існування узагальнених розв'язків (визначених з точністю до константи) крайових задач для еліптичних рівнянь з граничними умовами Неймана і з умовами спряження на системі незамкнених поверхонь, розташованих всередені області де задана ця крайова задача.

Встановлена еквівалентність задачі мінімаксного оцінювання деякій задачі умовної оптимізації.

Доведені нові твердження про загальний вигляд мінімаксних середньоквадратичних оцінок функціоналів від розв'язків і правих частин еліптичних рівнянь і отримані представлення для похибок оцінювання.

Для нового класу спостережень, розподіленими на системі поверхонь, досліджена проблема мінімаксного прогнозного оцінювання для параболічних крайових задач при повністю або частково невідомих обмеженнях на невідомі параметри таких задач.

Практичне значення одержаних результатів. Цінність роботи полягає в тому, що методи запропоновані в ній відкривають шлях до розв'язання проблем мінімаксного оцінювання для широкого класу крайових задач для лінійних еліптичних рівнянь в частинних похідних і звичайних диференціальних рівнянь, які залежать від параметра, лінеаризованої системи рівнянь Нав'є-Стокcа та ін.

Результати отримані в роботі можуть знайти використання при розробці систем автоматизованої обробки результатів спостережень процесів фільтрації, теплопровідності та ін., при розв'язанні задач локалізації джерел, що створюють дані фізичні поля, а також для розв'язання ряду інших обернених задач.

Окремі результати дисертаційної роботи використовувались при читанні спецкурсів по методам оцінювання і оптимізації на факультеті кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертаційної роботи, що виносяться до захисту, одержані автором особисто.

Роботи [4] - [6] виконані сумісно з науковим керівником, якому належать в них тільки постановки задач, а також означення мінімаксних оцінок в [4].

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались: в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка на семінарі ``Моделювання і оптимізація динамічних систем'' (керівники проф. Наконечний О.Г., проф. Гаращенко Ф.Г.), в Інституті прикладного системного аналізу НАН України та МОН України на семінарі відділу прикладного нелінійного аналізу (керівник - член-кор. НАНУ Мельник В.С.), в Інституті кібернетики НАНУ на семінарі відділу оптимiзацiї керованих процесiв (керівник - член-кор. НАНУ Чикрій А.О.), на міжнародних конференціях "Прогнозування і прийняття рішень в умовах невизначенності'' (Київ, 2002, Алушта, 2003), на українсько-шведському симпозіумі "Robust Control" (Гурзуф, 2003 р.)

Публікація результатів. За темою дисертації опубліковані 7 наукових робіт. Основні результати викладені у 4 фахових виданнях (див. [1], [4], [5], [6]), які затверджені ВАК України.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел (80 найменувань). Загальний обсяг дисертації - 134 сторінки, з них 125 основного змісту.

нейман диференціальний лінійний функціонал

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі дана загальна характеристика роботи, висвітлено стан наукової проблеми, обгрунтована актуальність теми, сформульовані мета і задачі дослідження.

В першому розділі приводиться огляд літератури по темі дисертації, викладені основні результати, пов'язані з напрямком досліджень.

В другому розділі досліджуються задачі оцінювання станів систем, що описуються виродженими крайовими задачами Неймана для лінійних еліптичних рівнянь другого порядку в частинних похідних.

Введемо наступні позначення: - пpосторова змінна, що належить обмеженій відкритій множині з ліпшицевою гpаницею ; - міра Лебега в ; - пpостіp функцій, сумовних з квадратом в області ; - пpостіp виміpних і майже скрізь обмежених на множині функцій; для цілого додатнього позначимо через - пpостіp Соболєва поpядку m в області .

Нехай замкнена або незамкнена (n-1)-вимірна ліпшицева поверхня в . Тоді через будемо позначати елемент міри на поверхні . Через позначимо простір функцій, сумовних з квадратом на поверхні .

Введемо тепер простір Соболєва як простір слідів на функцій u(x), що пробігають . Простір, дуальний до , позначимо через .

Нехай незамкнена (n-1)-вимірна гладка поверхня класу в , - її границя, точки якої не належать ; а - замкнена гладка поверхня ((n-1)-вимірний многовид без края) класу , що містить , , і розбиває простір на дві області обмежену і необмежену. Покладемо . Через позначимо простір, спряжений до . Відзначимо, що функції із , продовжені нулем на є елементами .

Позначимо через регулярну на поверхні функцію, еквівалентну відстані від точки x до границі поверхні в околі . Визначимо простір

з нормою

де через позначено продовження функції u нулем зовні

Через позначимо простір, спряжений до . При цьому виявляється, що

Через будемо позначати пpостіp лінійних неперервних операторів, які відображають гільбертiв пpостіp X у гільбертiв пpостір Y.

Нехай - функції із , A - дифеpенціальний опеpатоp, заданий в області , вигляду

(1)

коефіцієнти якого задовольняють умові



майже скрізь в , а - частинна похідна по функції в смислі розподілів в .

Співставимо оператору A простір , визначений виразом

з нормою .

Нехай стан системи визначається як узагальнений розв'язок задачі Неймана

(2)

в (3)

на (4)

де - конормальна по відношенню до оператора A похідна.

Як відомо, для існування розв'язку задачі (2) - (4) необхідно і достатньо, щоб

(5)

Якщо ця умова виконується, то існує нескінченна множина розв'язків даної задачі, причому будь-які два розв'язки відрізняются один від одного на сталу майже скрізь в .

Нехай гладкі однозв'язні орієнтовні відкриті (n-1)-вимірні поверхні в з гладкими границями що містяться в області , які попарно не перетинаються, Нехай орієнтація поверхні визначається неперервною сім'єю одиничних нормалей Позначимо через таку відкриту підобласть в () з гладкою однозв'язною границею яка містить поверхню , що нормальний вектор до поверхні направлений зовні області , через - ту сторону поверхні , орієнтація якої співпадає з орієнтацією зовнішньої сторони поверхні а через - протилежну сторону поверхні . Будемо вважати, що області попарно не перетинаються. Будемо, крім того, припускати, що поверхні є такими, що область може бути розбита кусково-гладкими (n-1)-вимірними поверхнями на скінченне число областей, зіркових відносно всіх точок деякої кулі, своєї для кожної області.

Надалі, якщо не обумовлено супротивне, вважається, що Пpипустимо, що на поверхнях спостерігаються функції

(6)

(7)

де - розв'язок крайової задачі (2) - (4), і - похибки спостережень, які є вибірковими функціями непеpеpвних в сеpедньоквадpатичному випадкових полів, визначених відповідно на поверхнях , - задані на і, крім того, припускається, що існує хоча б одне число і хоча б одне число такі що Іншими словами, не всі оператори, що визначені першими доданками в правих частинах (6) і (7) переводять константи в нуль.

(8)

а інтегральні оператори що визначені ядрами вигляду

(9)

j=1,2, є лінійними обмеженими операторами, які відображають простори в (прикладами таких ядер можуть служити, наприклад, вироджені ядра где ).

Зауважимо, що оскільки в наших припущеннях то для будь-якої підобласті такої, що розв'язок задачі (2) - (4) належить , звідки внаслідок теореми про сліди тому інтеграли в (6) - (7) мають смисл.

Позначимо через множину пар функцій що задовольняють умовам

(10)

а через множину випадкових вектор-функцій компоненти і яких є неперервними в середньоквадратичному випадковими полями, визначеними на поверхнях що задовольняють умовам

(11)

(12)

де - функції, неперервні на множинах і , відповідно, які не обертаються там в нуль, а через позначено математичне сподівання випадкової величини .

Будемо також далі вважати, що в рівняннях (2) - (4) функції f(x), h(x), а також другі моменти і випадкових полів і в спостереженнях (6), (7) не відомі точно, а відомо лише, що

(13)

Нехай в області задана функція Задача полягає в тому, щоб за спостереженнями вигляду (6), (7) за станом системи, яка описується крайовою задачею Неймана (2)-(4) при умовах (13), оцінити значення лінійного функціоналу

(14)

в класі лінійних за спостереженнями оцінок вигляду

(15)

де

Означення. Оцінку в якій функції і число визначаються із умови

(16)

де

а - деякий розв'язок крайової задачі Неймана

(2')

в (3')

на (4')

назвемо мінімаксною оцінкою виразу (14). Величину назвемо похибкою мінімаксного оцінювання.

Зазначимо, що у формулі (16) коли константа a змінюється від до , то функція пробігає множину всіх розв'язків задачі (2')-(4') при фіксованих і .

Встановлено, що ліва частина співвідношення (16) буде скінченною тоді і тільки тоді, коли вектор-функція належатиме гіперплощині

 (17)

в гільбертовому просторі

де

Очевидно, що

Представлення для мінімаксних оцінок, одержані в розділі 2, істотним чином спираються на доведені у цьому ж розділі теореми 2.3 і 2.4, що носять допоміжний характер. В цих теоремах знайдені умови розв'язності наступних двох крайових задач спряження, які мають і самостійний інтерес.

1. Для заданого диференціального оператора A вигляду (1), в якому i частинні похідні слід розуміти в смислі розподілів в області , та заданих функцій знайти функцію u, яка є розв'язком крайової задачі

(18)

в (19)

на (20)

на (21)

де

і -сліди функцій u і на різних сторонах і поверхні , причому внаслідок теореми про сліди (для гладких кусків (n-1)-вимірних поверхонь в ) і , i а рівності (18) - (21) слід розуміти як рівності елементів із просторів відповідно.

2. Для диференціального оператора , формально спряженого до A, і заданих функцій знайти функцію v, яка є розв'язком крайової задачі вигляду

(22)

в (23)

на (24)

на (25)

В теоремах 2.3 і 2.4 доведено, що для існування розв'язків задач (18) - (21) і (22) - (25), визначених з точністю до константи, необхідно і достатньо, щоб виконувались умови В л.ч. (26), (27) інтеграли по i інтерпретуються як спарювання, і ,, визначені на і відповідно. :

- для задачі (18) - (21) i (26)

- для задачі (22) - (25). (27)

Розв'язки u(x) i v(x) задач (18) - (21) і (22) - (25), що належать підпростору простора визначаються єдиним чином і неперервно залежать від правих частин рівнянь (19)-(21) та (23)-(25), відповідно Відзначимо, що теореми 2.3 і 2.4, при доведенні яких істотньо була використана теорема про сліди функцій з просторів Соболєва на гладких кусках (n-1)-вимірних поверхонь в , не випливають із результатів робіт Ж.П. Обєна, Ж.-Л. Ліонса, Б.Я. Ройтберга, В.С. Дейнекі, І.В. Сергіенка, В.В. Скопецького та інших авторів, які доводили теореми існування розв'язків для інших типів задач спряження..

Введемо до розгляду при кожному фіксованому функцію , як pозв'язок задачі:

(28)

в (29)

на (30)

на (31)

(32)

Функція z(x;u) визначається з рівнянь (28) - (32) єдиним чином. Дійсно, умова внаслідок (27) співпадає з умовою однозначної розв'язності крайової задачі (29) - (31) в класі функцій Нехай - єдиний розв'язок задачі (29) - (31). Покладемо

Тоді функція - єдиний розв'язок задачі (28) - (32).

У параграфі 2.1 доведено наступне твердження

Лема 1. Задача знаходження мінімаксної оцінки значення функціоналу еквівалентна задачі оптимального керування системою, що описується крайовою задачею (28) - (32) з функцією вартості вигляду

(33)

В результаті розв'язання задачі умовної оптимизації (28) - (33), з використанням теореми 2.3, одержані наступні результати

Теорема 1. Мінімакснa оцінка значення функціоналу має вигляд

де

(34)

а функція p(x) знаходиться з розв'язку задачі

(35)

в (36)

на (37)

на (38)

(39)

(40)

в (41)

на (42)

(43)

(44)

де в співвідношеннях (34) через p(y) і позначені спільні значення слідів функції p і граничних значень її конормальних похідних на різних сторонах поверхонь . При цьому Задача (35) - (44) однозначно розв'язна.

Зауваження. Якщо в рівняннях (38) і (44) замінити функції i на їх вирази в правих частинах (34), то ці функції можна виключити з системи рівнянь (35) - (44).

Теорема 2. Для похибки мінімаксного оцінювання функціонала справедлива оцінка

(45)

Ця оцінка є точною в тому смислі, що існує такий розв'язок задачі (2) - (4) і така випадкова вектор-функція що описує похибки в спостереженнях (6) - (7), на яких в нерівності (45) досягається знак рівності.

Альтернативне пpедставлення для мінімаксної оцінки через розв'язок системи інтегро-диференціальних рівнянь спеціального виду знайдено в поданій нижче теоремі. Цей розв'язок не залежить від конкретного вигляду функціоналу (14).

Теорема 3. Мінімаксна оцінка виразу (14) має вигляд де функція визначається із розв'язку задачі (46)-(57):

(46)

в (47)

на (48)

на (49)

(50)

(51)

в (52)

на (53)

(54)

(55)

де

(56)

(57)

а праві частини в (49) розглядаються для кожної реалізації випадкових полів і , які належать з ймовірністю 1 простору Задача (46) - (57)має єдиний розв'язок.

Наслідок. Функція , яка визначається із розв'язку задачі (46)-(55), може бути прийнята за оцінку того розв'язку вихідної задачі Неймана (2) - (4), що спостерігається.

В параграфах 2.6 - 2.8 досліджено задачу мінімаксного оцінювання значень лінійного неперервного функціоналу від правої частини рівняння (3) за результатами спостережень (6), (7) при умові (13). В теоремах 2.8 і 2.9 отримано вирази для мінімаксних оцінок і похибок оцінювання.

В параграфі 2.9 одержані узагальнення попередніх результатів на випадок, коли на поверхнях спостерігаються функції (6), (7), а на відкритих (n-1)-вимірних підмноговидах (частинах поверхні ), що попарно не перетинаються, спостерігаються функції вигляду

де - розв'язок крайової задачі (2) - (4), а на похибки спостережень накладені обмеження, аналогічні (11) і (12).

В цьому ж параграфі в припущенні, що права частина f(x) рівняння (3) дорівнює нулю, за допомогою теорії потенціалу показано, що отримані в теоремах 2.10 і 2.11 системи інтегро-диференціальних рівнянь, через розв'язоки яких виражаються мінімаксні оцінки, зводяться до системи граничних інтегральних рівнянь Фредгольма.

На завершення огляду результатів в розділі 2 зазначимо, що всі доведені твердження є справедливими і у випадку, коли деякі або всі - замкнені поверхні, що попарно не перетинаються (наприклад, - сферичні поверхні). При цьому, якщо поверхня замкнена, то слід вважати, що оператори вигляду (9) є лінійними обмеженими операторами, які відображають в .

В розділі 3 розглядається задача мінімаксного прогнозування стану систем, які описуються рівняннями параболічного типу. Розв'язок цієї задачі здійснюється за спостереженнями за станом систем на протязі заданого проміжку часу або, іншими словами, за вимірювальною інформацією з більш ранніми часовими прив'язками відносно моменту, на якому здійснюється оцінювання. При цьому, як і в багатьох практичних задачах припускається, що праві частини рівнянь, граничні і початкові умови є невідомими функціями, які належать заданим множинам відповідних функціональних просторів, і що похибки вимірювань є реалізаціями неперервних в середньоквадратичному стохастичних процесів, для яких відомі лише обмеження на їх другі моменти, а лінійні інтегральні оператори спостереження розв'язку цих рівнянь задаються на деякій системі поверхнонь, що розміщені в області, де визначена відповідна початкова задача.

Щоб розглянути більш детальніше постановку задачі, крім позначень, які використовувались в розділі 2, введемо спочатку наступні позначення: t - часова змінна; - відкритий циліндр, де, як і в розділі 2, через позначено область в з ліпшицевою гpаницею ; x - пpосторова змінна, яка змінюється в - бокова поверхня циліндра; - простір нескінченно диференційовних функцій з компактним носієм на інтервалі ; - пpостір вимірних і майже всюду обмежених на множині функцій; - пpостіp функцій, визначених і вимірних (по відношенню до міри Лебега dt) на інтеpвалі із значеннями в гільбеpтовому пpостоpі і таких, що (аналогічно визначається пpостіp , де через позначено спряжений до простір).

Якщо , то можна визначити узагальнену частинну похідну як єдиний елемент пpостоpу узагальнених функцій із значеннями в , яка задовольняє співвідношення

Через позначимо простір функцій , таких що . Цей простір є гільбертовим відносно норми

Нехай стан системи визначається як узагальнений розв'язок початково-крайової задачі Неймана

(58)

в (59)

на (60)

в , (61)

де - дифеpенціальний опеpатоp, заданий в області вигляду

коефіцієнти і якого задовольняють умовам

майже скрізь в .

Пpипустимо, що на (n-1)-вимірних поверхнях , , що описані на сторінках 5,6, на протязі проміжку часу від моменту до моменту спостерігаються функції

(62)

де , - похибки спостережень, які є вибірковими функціями непеpеpвних в середньоквадратичному випадкових полів, визначених відповідно на поверхнях а - задані функції.

Будемо також далі вважати, що в рівняннях (58) - (61) функції f(x,t), h(x,t), , а також другі моменти випадкових полів точно не відомі, а відомо лише, що вони задоволняють нерівностям

(63)

(64)

де - функції, неперервні на множинах і відповідно, які не обертаються там в нуль.

Позначимо через множину функцій які задовольняють умові (63), через множину випадкових функцій які задовольняють умовам (64).

Нехай в області задана функція Задача оцінювання полягає в тому, щоб за спостереженнями виду (62) за станом системи, яка описується початково-крайовою задачею Неймана (58)-(61) при умовах (63)-(64) оцінити значення лінійного функціоналу

(65)

від розв'язку в довільний момент часу t=T, , в класі лінійних за спостереженнями оцінок вигляду

де

Позначимо через вектор-функцію, що належить простору

Оцінку яка визначається як розв'язок екстремальної задачі

(66)

назвемо мінімаксною прогнозною оцінкою значення функціоналу (65), а величину - похибкою мінімаксного оцінювання.

Сформулюємо одну із теорем розділу 3, в якій отримано представлення для мінімаксної прогнозної оцінки.

Теорема 4. Мінімакснa прогнозна оцінка виразу має вигляд

де

(67)

а функції і знаходяться із розв'язку задачі:

(68)

в (69)

на (70)

(71)

(72)

в , (73)

(74)

в (75)

на (76)

в , (77)

(78)

в (79)

на (80)

(81)

в , (82)

(83)

в (84)

на (85)

в , (86)

де - область, визначена на стор. 6, а співвідношеннях (67) і (72) через позначено спільні значення слідів функції на різних сторонах поверхонь , а через позначено оператор, спряжений до і через позначено розв'язок початково-крайової задачі:

в

на

в .

Задача (68) - (86) однозначно розв'язна.

В теоремі 3.3 отримано альтернативне представлення для мінімаксних прогнозних оцінок, а в теоремі 3.2 - вираз для похибки прогнозу.

В параграфі 3.7 отримані мінімаксні прогнозні оцінки значень функціоналу (65) при невідомих початкових умовах.

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі досліджені задачі мінімаксного середньоквадратичного оцінювання параметрів вироджених крайових задач Неймана для лінійних еліптичних рівнянь і прогнозування розв'язків початково-крайових задач для лінійних параболічних рівнянь при спеціальних обмеженнях на невідомі дані і лінійних інтегральних операторах спостереження, визначених на деякій системі поверхонь, що може залежати як від самих розв'язків, так і від їх похідних. Одержані:

твердження про зведення задач мінімаксного оцінювання до спеціальних задач оптимального керування рівняннями еліптичного або параболічного типу з квадратичними критеріями якості;

системи інтегро-диференціальних рівнянь, через розв'язок яких виражаються відповідні мінімаксні оцінки;

вирази для похибок мінімаксного середньоквадратичного оцінювання.

Список опублікованих автором праць за темою дисертації

1. Грищук Н.В. Прогнозування розв'язкiв параболiчних рiвнянь за допомогою iнтегральних операторiв спостереження, визначених на скiнченнiй системi поверхонь при невiдомих початкових умовах. // Вiсник Київського унiверситету. Серiя: фiз.-мат. науки 2003, № 4. - С. 188-195.

2. Грищук Н.В. Про мінімаксне прогнозування розв'язкiв параболiчних крайових задач при невiдомих початкових умовах. // Тезисы международной конференции “Прогнозирование и принятие решений в условиях неопределенности”, Алушта, 5 - 11 сентября 2003 г. - С. 146-147.

3. Грищук Н.В. Об одном подходе к оптимальному прогнозированию решений параболических уравнений. // Тезисы международной конференции “Problems of decision making and control under uncertainties”, Kyiv-Kaniv, 2002 г. - С. 65-66.

4. Подлипенко Ю.К., Грищук Н.В. Минимаксное оценивание решений вырожденных краевых задач Неймана для эллиптических уравнений по наблюдениям, распределенным на системе поверхностей. // Системні дослідження і інформаційні технології. - 2004. - № 2. - С. 104-128.

5. Подлипенко Ю.К., Грищук Н.В. Оптимальное прогнозировании решений параболических уравнений по наблюдениям, распределенным на системе поверхностей. // Доповiдi НАН України. - 2003. - № 9. - С. 107-112.

6. Подлипенко Ю.К., Грищук Н.В. Оцінювання параметрів вироджених еліптичних крайових задач Неймана в умовах невизначеності. // Вiсник Київського унiверситету. Серiя: фiзико-математичнi науки. - 2004. - №1. - С. 262-269.

7. Подлипенко Ю.К., Грищук Н.В. Минимаксный подход к задаче оценивания параметров вырожденной краевой задачи Неймана для эллиптических уравнений. // Тезисы международной конференции ``Прогнозирование и принятие решений в условиях неопределенности'', Алушта, 5 - 11 сентября 2003 г. - С. 90-91.

Анотація

Грищук Н.В Мінімаксне оцінювання параметрів еліптичних і параболічних рівнянь в умовах невизначеності. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук за спеціальностю 01.05.04 - системний аналіз і теорія оптимальних рішень. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2004.

В дисертації розроблений мінімаксний підхід до проблеми оцінювання за неповними даними параметрів виродженої крайової задачі Неймана для лінійних еліптичних рівнянь 2-го порядку для якої при певних умовах на праві частини рівнянь і граничних умов існує нескінченна множина розв'язків, будь-які два з яких відрізняються на константу. При цьому використовується клас спостережень, розподілених на системі поверхонь, розташованих в області, де задана крайова задача (і можливо на її границі), які можуть залежати як від самих розв'язків, так і від їх конормальних похідних.

Встановлено, що мінімаксні оцінки значень функціоналів від розв'язків, що спостерігаються та правих частин еліптичних рівнянь виражаються через розв'язки деяких інтегро-диференціальних рівнянь з умовами спряження на поверхнях, де здійснюються спостереження.

Для аналогічного класу спостережень, розподілених на скінченному проміжку часу одержано вирази для мінімаксних прогнозних оцінок функціоналів від розв'язків параболічних початково-крайових задач при повністю або частково відомих обмеженнях на невідомі детерміновані дані цих задач.

Ключові слова: мінімаксні оцінки, мінімаксні прогнозні оцінки, спостереження, задача спряження, системи інтегро-диференціальних рівнянь.

АННОТАЦИЯ

Грищук Н.В Минимаксное оценивание параметров эллиптических и параболических уравнений в условиях неопределенности. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.04 - системный анализ и теория оптимальных решений. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2004.

Диссертация посвящена проблемам минимаксного оценивания и прогнозирования параметров эллиптических и параболических краевых задач по неполным данным.

В главе 2 для вырожденной задачи Неймана

в на , (87)

где A - дифференциальный оператор вида

заданный в области с кусочно гладкой границей , - конормальная производная по отношению к A, для которой при фиксированных функциях f и h, удовлетворяющих условию

(88)

существует бесконечное множество решений, отличающихся между собой на постоянную, по наблюдениям вида

где - решение краевой задачи (87), гладкие (n-1)-мерные попарно-непересекающиеся поверхности в с гладкими границами, такие что , (n-1)-мерные попарно-непересекающиеся подмногообразия (части поверхности ), - заданные функции, и - помехи наблюдений, которые являются выборочными функциями непpеpывных в сpеднеквадpатическом случайных полей, с нулевыми математическими ожиданиями, и неизвестными вторыми моментами, подчиненными заданным квадратичным ограничениям, и при неизвестных функциях f и h, удовлетворяющих, помимо условия (88), также аналогичным квадратичным ограничениям, получены представления для минимаксных оценок параметров задачи (87) через решения систем интегро-дифференциальных уравнений специального вида с условиями сопряжения на поверхностях

B главе 3 рассматривается задача прогнозирования состояния систем, описываемых начально-краевыми задачами Неймана для параболических уравнений второго порядка в частных производных в цилидрических областях вида По зашумленным наблюдениям состояний на конечной системе поверхностей, принадлежащих области , в течении некоторого промежутка времени и при специальных ограничениях на правые части уравнений, краевые и начальные условия, а также на шумы в наблюдениях, найдены минимаксные прогнозные оценки для значений функционалов от состояний в любой момент времени, не принадлежащий этому промежутку.

Ключевые слова: минимаксные оценки, минимаксные прогнозные оценки, наблюдения, задача сопряжения, системы интегро-дифференциальных уравнений.

Abstract

Grishchuk N.V. Minimax estimation of parameters of elliptic and parabolic equations under uncertainty conditions. - Manuscript.

Thesis for the Degree of Candidate of Sciences in Physics and Mathematics in speciality 01.05.04 - system analysis and theory of optimal decisions. - Taras Shevchenko National University, Kyiv, 2004.

In the thesis we elaborate a minimax approach to the problem of estimation of parameters of the degenerate Neumann problem for linear second order elliptic equations for which, under certain conditions on right-hand sides of equations and boundary data, there exists an infinite set of solutions differing by additive constants.

Here we use a class of noisy observations distributed on a system of surfaces located in the domain, where this problem is defined (and possibly on its boundary), and depending both on solutions and on their co-normal derivatives.

It has been established that the minimax estimates are expressed via solution of some systems of integro-differential equations of the special type with transmission conditions on the surfaces, where observations are defined.

For a similar class of observations distributed on a finite interval of time and for the case when the restrictions on unknown deterministic data of the boundary value problems (right-hand sides of equations, boundary and initial conditions) are given completely or partly, we also obtain the representations for minimax prediction estimates of values of linear functionals defined on solutions of linear parabolic initial boundary value problems.

Key words: minimax estimates, minimax prediction estimates, observations, transmission problem, systems of integro-differential equations.

Размещено на Allbest.ru

...