Однобічні зсуви, що породжуються стисками, та їх застосування до задач аналізу

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна

УДК 517.544.4; 517.983.24; 517.983.6

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

Однобічні зсуви, що породжуються стисками, та їх застосування до задач аналізу

01.01.01 - математичний аналіз

Дубовий Володимир Кирилович

Харків 2004

Загальна характеристика роботи

однобічний зсув задача аналіз

Актуальність теми. Наприкінці 19 і на початку 20 століття увага значної групи відомих математиків була зосереджена на дослідженні інтерполяційних задач аналізу. Досить назвати імена Т. Стілтьєса, П.Л. Че-бишева, А.А. Маркова, К. Каратеодорі, Л. Фейєра, братів Рісс, Г. Сегьо, І. Шура, Г. Піка, Г. Гамбургера. Цей інтерес пояснюється глибокими зв'язками інтерполяційних задач з багатьма розділами математики. І на протязі минулих ста років інтерес до цієї тематики не ослаблювався. Нові досягнення у різних галузях аналіза супроводжувалися тим, що математики намагалися нові методи та концепції використовувати для того, щоб глибше зрозуміти природу цих задач. Важливу роль у цьому напрямку у другій половині 20 століття відіграли цикл робіт В.М. Адамяна, Д.З. Арова, М.Г. Крейна та підхід В.П. Потапова, який ґрунтувався на використанні J-розтягуючих матриць-функцій.

Введене М.С. Лівшицем в 1946 році поняття характеристичної оператор-функції (х.о.-ф.) надало нового імпульсу у розвитку теорії несамоспряжених та неунітарних операторів. М.С. Лівшиць і група його учнів досліджували за допомогою апарата х.о.-ф. в основному несамоспряжені оператори. В цей же час Б.С.-Надь і Ч. Фояш за допомогою методів х.о.-ф. отримали глибокі результати при дослідженні операторів стиску в гільбертовому просторі.

У дослідженнях, які грунтуються на результатах П. Лакса і Р. Філліпса з теорії розсіяння з одного боку та результатах Б.С.-Надя і Ч. Фояша по стискам з іншого, В.М. Адамян і Д.З. Аров описали загальну схему теорії розсіяння. Подальші роботи Д.З. Арова з теорії розсіяння з втратами стали суттєвим узагальненням методу Дарлінгтона. В результаті цих досліджень Д.З. Аров виділив важливий підклас и(ж) функцій розсіяння, які допускають псевдопродовження обмеженого вигляду в зовнішність одиничного круга.

Отже в останні десятиріччя зростає інтерес до інтерполяційної задачі Шура. Відзначимо, наприклад, роботи Д. Альпая, М. Баконі і Т. Константинеску, Б. Кірстайна і Б. Фрітцче, Ч. Фояша і А. Фражо. Цей інтерес пояснюється тим, що інтерполяційна задача Шура розглядається у класі голоморфних в одиничному крузі стискальних функцій (шурівських функцій), які відіграють з одного боку важливу роль в теорії функцій, а з іншого є х.о.-ф. стисків в гільбертовому просторі та функціями розсіяння (передаточними функціями) в теорії систем.

Наприкінці семи десятих років В.П. Потаповим було поставлено таке питання: з якими властивостями цілком неунітарного стиску пов'язана асимптотична поведінка кругів Вейля в задачі Шура, яка розглядається для х.о.-ф. цього стиску. Відповіді на це питання присвячено другий і третій розділи дисертації, де виявлено, що задача Шура має безпосередній зв'язок з максимальним зсувом і козсувом, які породжуються цим стиском. Крім того, отримані в цих розділах результати, стали основою для дослідження інших задач в дисертації, серед яких відзначимо: регулярні розширення шурівських матриць-функцій; властивості дефектних функцій шурівської функції; означення субоператора розсіяння по внутрішніх каналах системи і вивчення його властивостей; доведення критерієв псевдопродовження комплекснозначних шурівських функцій у термінах їх параметрів Шура.

Важливим є те, що кожна з цих задач також безпосередньо пов'язана з цілком неунітарним стиском. При цьому визначальну роль відіграють зсуви та козсуви, які цим стиском породжуються. Це дозволяє досліджувати ці задачі, які є різними по формулюванню, спільними методами. Це і знайшло відображення у назві дисертації.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами

Напрямки досліджень, які обрані у дисертації, передбачені планами наукової роботи Харківського національного університету. Більша частина результатів дисертації отримана у процесі виконання тем „Теорія голоморфних та субгармонічних функцій та її застосування к вивченню стискальних функцій і гармонічного аналізу” (№ 0194U012822), „Деякі питання математичного аналізу та їх застосування до складних квантовомеханічних систем” (№ 0198U015783), ”Деякі питання математичного аналізу” (№ 0100U003351), „Субгармонійні функції, оператор-функції, інтерполяційні задачі аналізу та ергодична теорія” (0103U004228).

Мета і задачі дослідження. Головною метою дисертації є вирішення наступних задач, кожна з яких має зв'язок з зсувами, що породжуються цілком неунітарним стиском.

1. Розв'язання матричної інтерполяційної задачі Шура (розділ 2).

2. Характер зв'язку між радіусами граничного круга Вейля в задачі Шура і властивостями відповідного стиску (розділ 3).

3. Характер зв'язку між регулярними розширеннями шурівськоі матриці-функції і властивостями відповідного цілком неунітарного стиску (розділ 4).

4. Властивості дефектних функцій шурівської функції (розділ 4).

5. Властивості субоператора розсіяння по внутрішніх каналах системи (розділ 5).

6. Властивості моделі цілком неунітарного стиску, яка побудована за допомогою параметрів Шура його х.о.-ф. (розділ 6).

7. Критерії псевдопродовження комплекснозначних шурівських функцій у термінах їх параметрів Шура (розділ 7).

Об'єкт дослідження. Голоморфні в одиничному крузі комплексно-значні (матричнозначні, операторнозначні) функції (шурівські функції), оператори стиску у гільбертовому просторі, системи розсіяння з втратами.

Предмет дослідження.

? Матрична інтерполяційна задача Шура (розділ 2).

? Асимптотична поведінка радіусів кругів Вейля, які з'являються у задачі Шура, і властивості відповідного оператора стиску (розділ 3).

? Дефектні функції шурівської функції (розділ 4).

? Системи розсіяння з втратами (розділ 5).

? Моделі цілком не унітарних стисків, які побудовано за допомогою параметрів Шура його х.о.-ф. (розділ 6).

? Псевдопродовження шурівських функцій (розділ 7).

Методи дослідження. У дисертації застосовано методи теорії шу-рівських функцій, теорії операторів стиску у гільбертовому просторі, аналітичних J-розтягуючих матриць-функцій, вимірних оператор-функцій, теорії операторнозначної міри, теорії розсіяння з втратами, а також алгебраїчні методи, які пов'язані з параметрами Шура голоморфних в одиничному крузі стискальних функцій.

Наукова новизна одержаних результатів визначається тим, що в дисертації вперше

1) введено поняття підпростору типу K і за допомогою цього поняття на прикладі задачі Шура розроблено метод конструктивного розв'язку виродженої матричної інтерполяційної задачі;

2) запропоновано новий метод дослідження матричної інтерполяційної задачі Шура, що грунтується на синтезі теорії J-розтягуючих матриць-функцій В.П. Потапова і теорії характеристичних функцій М.С. Лівшиця, Б.С.-Надя і Ч. Фояша, і завдяки цьому доведено, що ранги правого радіуса і нормованого лівого радіуса граничного круга Вейля у задачі Шура дорівнюють кратностям максимальних зсува та козсува відповідного цілком неунітарного стиску;

3) отримано факторизацію радіусів граничного круга Вейля у невиродженій матричній задачі Шура і описано структуру множників, які названо дефектними функціями;

4) введено поняття регулярного розширення шурівської матриці-функції і отримано опис усіх регулярних розширень у термінах зсува та козсува, які породжуються відповідним цілком неунітарним стиском, і показано, що найбільші регулярні розширення відповідають дефектним функціям;

5) для системи розсіяння, що відповідає шурівській оператор-функції и(ж), введено поняття субоператора розсіяння по внутрішніх каналах системи і отримано вигляд цього субоператора через задану функцію и(ж) та її дефектні функції;

6) отримано критерії псевдопродовження комплексно значних шурів-ських функцій у термінах їх параметрів Шура.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації мають теоретичний характер. Вони можуть бути застосовані для подальших досліджень шурівських функцій, операторів стиску у гільбертовому просторі, теорії розсіяння з втратами. Вони можуть бути включеними у спеціальні курси по теорії функцій, теорії операторів, теорії розсіяння з втратами. Результати дисертації знайшли використання у роботах Д.З. Арова та М.А. Нудельмана, В. Болотнікова, С.М. Зиненка, В.Е. Кацнельсона, Б. Кірстайна, Б. Фрітцче та С. Фукса, Л.А. Сахновича.

Особистий внесок здобувача. Результати розділів 3, 6 і підрозділів 2.2-2.5; 2.6.1; 2.7; 4.1-4.4; 5.5.1; 5.5.2; 7.2; 7.3 отримано здобувачем особисто.

Постановка задач підрозділів 2.6.2; 2.9 належить здобувачу, а результати цих підрозділів отримано здобувачем спільно з Л.А. Галстяном. Постановка задач підрозділу 2.8 належить здобувачу, а результати цього підрозділу отримано здобувачем спільно з С.М. Зиненком. Постановка задач підрозділу 4.5 належить здобувачу, а результати цього підрозділу отримано здобувачем спільно з Рамаданом К. Мохаммедом. Постановка задач підрозділів 4.6; 7.1 належить здобувачу, а результати цих підрозділів отримано здобувачем спільно з С.С. Бойком, Б. Кірстайном і Б. Фрітцче. Поняття породжувального зсува (підрозділ 4.6) належить здобувачу. Результати підрозділів 5.2; 5.3 отримано здобувачем спільно з С.С. Бойком та А.Я. Хейфецем. Задача підрозділу 5.5.3 поставлена і розв'язана здобувачем спільно з С.С. Бойком. Поняття субоператора розсіяння по внутрішніх каналах системи (розділ 5) належить здобувачу. Внесок кожного співавтора у результати, які були отримані спільно, є рівним.

Основні результати дисертації, які винесено на захист, отримано здобувачем особисто.

Апробація результатів диссертації. Результати дисертації допо- відались: на конференції „j-теория В.П.Потапова и связанные с ней вопросы” (м. Одеса, 1981 р.); на Міжнародній конференції „Recent De-velopments in Schur Analysis. A Seminar in Honour of the 80-th Birth- day of V.P. Potapov” (ФРН, м. Лейпциг, 1994 р.); на Міжнародній конференції „Mark Krein International Conference. Operator Theory and Applications” (м. Одеса, 1997 р.); на Міжнародній конференції „Con- ference in Operator Theory in Honour of Moshe Livsic 80-th Birth-day” (Ізраїль, м. Беер-Шева, м. Реховот, 1997 р.); на Міжнародному семінарі з теорії функцій, який було присвячено пам'яті Б.Я. Левіна (м. Харків, 1997 р.); на Міжнародному семінарі з теорії операторів та її застосувань, який було присвячено 60-річчю В.Е. Кацнельсона (ФРН, м. Лейпціг, 2003 р.); на семінарі з функціонального аналізу, керівники - акад. НАН України Ю.М. Березанський і чл. кор. НАН України М.Л. Горбачук (м. Київ); на семінарі з математичної фізики, керівник - акад. НАН України Є.Я. Хруслов (м. Харків); на семінарі з теорії операторів та інтерполяційних задач аналізу, керівник - проф. Д.З. Аров (м. Одеса); на семінарі з теорії операторів, керівник - проф. А.В. Кужель (м. Сімферополь); на семінарі з теорії функцій, керівник - проф. А.П. Гришин (м. Харків); на семінарі з диференціальних рівнянь та теорії керування, керівник - проф. Г.М. Скляр (м. Харків); на семінарі з теорії операторів, керівник - проф. М. Лівшиць (Ізраїль, м. Беер-Шева); на семінарі з функціонального аналізу, керівник - проф. Г. Дим (Ізраїль, м. Реховот); на семінарі з інтерполяційних задач аналізу, керівники - проф. Б. Кірстайн і проф. Б. Фрітцче (ФРН, м. Лейпціг); на семінарі з функціонального аналізу, керівник - проф. Б. Зільберманн (ФРН, м. Кемніц).

Публикації. Результати дисертації опубліковано в монографії [1], статтях [2]-[27] і 3 тезах Міжнародних конференцій [28]-[30].

Структура і обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, семи розділів і висновків, які викладено на 305 сторінках основного тексту, а також містить список із 143 використаних джерел і додаток.

Висновки

В дисертації досліджено інтерполяційну задачу Шура у класі мат- ричнозначних голоморфних в одиничному крузі стискальних функцій (матричнозначних шурівських функцій). Введено поняття підпростору типу K і за його допомогою на прикладі задачі Шура вперше запропо- новано конструктивний розв'язок виродженої матричної інтерполяційної задачі. Цей метод знайшов застосування у роботах В. Болотнікова, Л.А. Сахновича. В роботі задачу Шура вперше досліджено методом, який грунтується на синтезі J-розтягуючих матриць-функцій В.П. Потапова і апарата теорії характеристичних функцій М.С. Лівшиця, Б.С.-Надя і Ч. Фояша. Це дозволило виявити зв'язки основних структур задачі

Шура зі стисками в гільбертовому просторі. А саме, у роботі доведено, що ранги радіусів граничного круга Вейля у задачі Шура дорівнюють кратностям максимальних зсува і козсува, які породжуються відповідним цілком неунітарним стиском. На прикладі задачі Шура вперше отримано факторизацію радіусів граничного круга Вейля і описано структуру множників. Ці множники названо у роботі дефектними функціями. В подальшому отримані факторизації були перенесені В.Е. Кацнельсоном на інші інтерполяційні задачі. Результати дисертації, які було отримано при дослідженні задачі Шура, знайшли застосування також у роботах С.М. Зиненка, Б. Кірстайна, Б. Фрітцче і С. Фукса. У роботі введено поняття регулярного розширення шурівської функції і доведено, що найбільші розширення відповідають дефектним функціям. Знання структури дефектних функцій дозволило ввести поняття субоператора розсіяння по внутрішніх каналах системи, отримати його вигляд і властивості. Ці результати знайшли у подальшому застосування у роботах Д.З. Арова і М.А. Нудельмана.

Отримані при дослідженні матричної задачі Шура результати стали основою для розробки нового методу дослідження феномена псевдопродовження шурівських функцій. Дослідження феномена псевдо-продовження є важливим для багатьох задач аналізу. Наприклад, відзначи-мо відомі критерії Дугласа-Шапіро-Шилдса, Г.Ц. Тумаркіна, Д.З. Арова. В дисертації побудовано модель цілком неунітарного стиску у термінах параметрів Шура його х.о.-ф.. Аналіз цієї моделі дозволив отримати критерії псевдопродовження комплекснозначних шурівських функцій у термінах їх параметрів Шура.

Таким чином, в дисертаційній роботі отримано нові результати, які вирішують ряд принципових задач аналізу, а також розроблено новий метод дослідження феномена псевдопродовження.

Результати дисертації опубліковано у монографії і в загальновизнаних фахових періодичних виданнях. Вони доповідалися в відомих вітчизняних і зарубіжних математичних центрах, а також знайшли застосування у роботах ряду математиків. Все це підтверджує їх достовірність.

Список опублікованих робіт за темою дисертації

1. Dubovoj V.K. Fritzsche B., Kirstein B. Matrical version of the classical Schur Problem.- Leipzig: B.G.Teubner, Germany, 1992.-355 р.

2. Дубовой В.К. Индефинитная метрика в интерполяционной проблеме Шура I // Теория функций, функц. анализ и их прилож.- Харьков.-1982.- Вып. 37.- С. 14-26. English transl. II. Ser., Am. Math. Soc.- 1989.- Vol. 144.- P. 47-60.

3. Дубовой В.К. Индефинитная метрика в интерполяционной проблеме Шура II // Теория функций, функц. анализ и их прилож.- Харьков.- 1982.- Вып. 38.- C. 32-40. English transl. III. Ser., Am. Math. Soc.- 1989.- Vol. 144.- P. 61-70.

4. Дубовой В.К. Индефинитная метрика в интерполяционной проблеме Шура для аналитических функций III // Теория функций, функц. анализ и их прилож.- Харьков.- 1984. - Вып. 41.- С. 55-64;

5. Дубовой В.К. Индефинитная метрика в интерполяционной проблеме Шура для аналитических функций IV // Теория функций, функц. анализ и их прилож.- 1984.- Вып. 42, C. 46-57. English transl. Oper. Theory: Adv Appl.- 1997.- Vol. 95.- P. 93-104.

6. Дубовой В.К. Индефинитная метрика в интерполяционной проблеме Шура для аналитических функций V // Теория функций, функц. анализ и их прилож.- Харьков.- 1986.- Вып. 45.- С. 16-26. English transl. J. Sov. Math.- 1990.- Vol. 48.- № 4.- P. 376-386.

7. Дубовой В.К. Индефинитная метрика в интерполяционной проблеме Шура для аналитических функций VI // Теория функций, функц. анализ и их прилож.- Харьков.- 1987.- Вып. 47.- С. 112-119. English transl. J. Sov. Math.-1990.- Vol. 48.- № 6.- P. 701-706.

8. Дубовой В.К. О кратностях односторонних сдвигов, содержащихся в операторе сжатия // Функц. анализ и его приложения. Т. 17.- 1983.- Вып. 1.- C. 70.

9. Дубовой В.К. Параметризация элементарного кратного множителя неполного ранга // Анализ в бесконечномерных пространствах и теория операторов. Сб. научн. тр.- Киев: Наукова думка.- 1983.- С. 54-68.

10. Дубовой В.К. О модели оператора сжатия, постороенной по коэффициентам Тейлора его характеристической функции // Матем. фи- зика, функц. анализ. Сб. научн. тр.- Киев: Наукова думка.- 1986.- C. 72-88.

11. Галстян Л.А., Дубовой В.К. О вырожденной проблеме Шура // ДАН Арм. ССР.- 1986.- Т. 83.- № 4.- С. 158-160.

12. Галстян Л.А., Дубовой В.К. Об одном обобщении интерполяци-онной проблемы Шура // Известия Акад. Наук Армян. ССР.- 1990.- Т. 25.- № 4.- С. 171-181.

13. Дубовой В.К., Зиненко С.Н. О связи между элементарным кратным множителем неполного ранга и вырожденной задачей Шура // Теория функций, функц. анализ и их прилож.- Харьков.- 1989.- Вып. 51.- С. 72-77.

14. Dubovoy V.K. Fritzsche B., Kirstein B. On a class of matrix completion problems // Math Nachr.- 1989.- Vol. 143.- P. 211-216.

15. Dubovoy V.K. Fritzsche B., Fuchs S., Kirstein B. A Schur type matrix extension problem VII // Math. Nach.- 1993.- Vol. 160.- P. 111-147.

16. Dubovoy V.K. Fritzsche B., Kirstein B. On spectrally associated Schur functions, Arov-inner functions and Nehari-type completion problem for Schur functions // Integr. Equat. Oper. Th.- 1993.- Vol. 17.- P. 247-276.

17. Dubovoy V.K., Ramadan K. Mohammed. Defect functions of holo-morphic contractive matrix functions, regular extensions and open systems // Math. Nachr.- 1993.- Vol. 160.- P. 69-110.

18. Бойко С.С., Дубовой В.К. Факторизация радиусов предельного круга Вейля в вырожденной интерполяционной задаче Шура // Матем. физика, анализ, геометрия. Харьков.- 1996.- Т. 3.- № 1/2.- С. 18-26.

19. Бойко С.С., Дубовой В.К., Кирстайн Б., Фритцше Б. Операторы сжатия, дефектные функции и теория рассеяния // Укр. мат. жур.- 1997.- Т. 49.- № 4.- C. 481-489.

20. Boiko S.S., Dubovoi V.K. Unitary couplings and regular factorization of operator functions in // Доповіді НАН Укр.- 1997.- Т. 1.- С. 41-44.

21. Boiko S.S., Dubovoi V.K. On some extremal problem connected with the suboperator of the scattering through inner channels of the system // Доповіді НАН Укр.- 1997.- Т. 4, С. 8-11.

22. Dubovoy V.K. On a contraction operator model costracted by using Schur's parameters of it's characteristic function // Доповіді НАН Укр.- 1998.- Т. 3.- С. 7-10.

23. Dubovoy V.K. Schur's parameters and pseudocontinuation of functions holomorphic and contractive in the unit disc // Доповіді НАН Укр .- 1998.- Т. 2.- С. 24-29.

24. Boiko S.S., Dubovoi V.K. Kheifets A.Ya. On a some extremal problem for contractive harmonic operator functions on the unit disk // Доповіді НАН Укр.- 1999.- Т. 9.- С. 37-41.

25. Boiko S.S., Dubovoi V.K. Kheifets A.Ya. Measure Schur complements and spectral functions of unitary operators with respect to different scales // Operator Theory, Advances and Applications.- 2001.- V. 123.- P. 89-138.

26. Boiko S.S., Dubovoy V.K., Fritzsche B., Kirstein B. Model of contrac-tions constructed from the defect function of their characteristic function // Operator Theory, Advances and Applications.- 2001.- V. 123.- P. 67-87.

27. Boiko S.S., Dubovoi V.K. Unitary couplings, scattering suboperators and regular factorizations of bounded operator valued functions // Math Nachr.- 2002.- V. 236.- P. 47-89.

28. Dubovoy V.K. Schur's parameters and pseudocontinuation of olomor-phic contractive in the unit disc functions // Conference in Operator Theory in Honour of Moshe Livљic 80-th Birthday.- Beer-Sheva, Rehovot (Israel).- 1997.- P. 15.

29. Dubovoy V.K. Schur's parameters and pseudocontinuation of holomor-phic contractive in the unit disc functions // Mark Krein International Confer-ence. Operator Theory and Applications.- Odessa (Ukraine).- 1997.- P. 25-26.

30. Dubovoy V.K. Schur's parameters and pseudocontinuation of holomor-phic contractive in the unit disc functions // Международная конференция по теории характеристических функций линейных операторов.- Ульяновск (Россия).- 1997.- P. 13-14.

Анотація

Дубовий В.К. Однобічні зсуви, які породжуються стисками, та їх застосування до задач аналізу. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-матема-тичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. - Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України, Харків, 2004.

В дисертації розглянуто матричну інтерполяційну задачу Шура. При її дослідженні були вперше застосовані методи теорії унітарних вузлів. Це дозволило виявити зв'язки між структурами матричної задачі Шура зі стисками у гільбертовому просторі. На прикладі задачі Шура вперше запропоновано конструктивний розв'язок виродженої матричної інтерполяційної задачі. Отримано факторизацію радіусів граничного круга Вейля у задачі Шура і описано структуру множників, які названо дефектними функціями. Показано, що ранги радіусів граничного круга Вейля дорівнюють кратностям максимальних зсува і козсува, які породжуються відповідним стиском. Отримано нові властивості дефектних функцій. Введено субоператор розсіяння по внутрішніх каналах системи, отримано його вигляд і досліджено його властивості. Отримано критерії псевдопродовження комплекснозначних шурівських функцій у термінах їх параметрів Шура.

Ключові слова: зсув, оператор стиску, унітарний вузол, характерис-тична оператор-функція, шурівська функція, інтерполяційна задача Шура, параметр Шура, псевдопродовження, субоператор розсіяння, система розсіяння з втратами.

Аннотация

Дубовой В.К. Односторонние здвиги, порождаемые сжатиями, и их применение в задачах анализа. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математи-ческих наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. - Физико-технический институт низких температур им. Б.И. Веркина НАН Украины, Харьков, 2004.

В диссертации исследована интерполяционная задача Шура в классе матричнозначных голоморфных внутри единичного круга сжимающих функций (матричнозначных шуровских функций). В классе комплексно-значных шуровских функций задача Шура была поставлена и решена И. Шуром в 1917 году. В диссертации предложен новый метод исследова- ния матричной задачи Шура, основанный на синтезе теории J-растягиваю-щих матриц-функций В.П. Потапова и теории характеристических функ- ций М.С. Лившица, Б.С.-Надя и Ч. Фояша. Это позволило установить связи между основными структурами задачи Шура и сжатиями в гильбертовом пространстве. В работе введено понятие подпространства типа K и на примере задачи Шура впервые предложен метод конструктивного решения вырожденной матричной интерполяционной задачи. В дальнейшем этот метод нашел применение при рассмотрении других интерполяционных задач в работах В. Болотникова и Л.А. Сахновича.

Рассмотрим матричнозначную шуровскую функцию и(ж), разложим ее в степенной ряд: и(ж) и рассмотрим первые (n+1) коэффициентов Тейлора . Обозначим через множество решений задачи Шура, порожденной коэффициентами , то есть множество шуровских функций, для которых являются первыми коэффициентами Тейлора. Оказывается, что множество , для каждого и представляет собой матричный круг. Эти круги с ростом n вкладываются друг в друга, а левый и правый радиусы и круга монотонно убывают, при этом асимптотика радиусов при n>? показывает как и(ж) „порождается” своими тейлоровскими коэффициентами. В задаче Шура левый радиус при n>? стремится к нулю. В диссертации впервые для интерполяционных задач рассмотрена нормировка радиуса , после которой нормиро-ванный радиус в общем случае к нулю не стремится. Таким образом можно рассмотреть и . По теореме С.А. Орлова и есть постоянные величины при . В диссертации показано, что эти ранги совпадают с кратностями максимальных сдвига и косдвига,

которые порождаются вполне неунитарным сжатием T, для которого и(ж) является х.о.-ф., а также впервые для интерполяционных задач были получены факторизации и , . Здесь и ? матричнозначные шуровские функции, структура которых установлена в работе. Отметим, что эти факторизации были в дальнейшем перенесены В.Э. Кацнельсоном на другие интерполяционные задачи, при этом использовалась аналогичная нормировка одного из радиусов. Результаты диссертации, полученные при исследовании матричной задачи Шура, нашли применение также в работах Б. Кирстайна и Б. Фритцче, С.Н. Зиненко.

Величины и названы в диссертации дефектными числами шуровской функции и(ж), а и ? ее дефектными функциями.

Функции и можно получить другим путем (вне связи с задачей Шура), используя факторизационную технику, развитую в работах Г. Сеге, Н. Винера, М. Розенблюма и Д. Ровняка, Д. Лоуденслагера, Б.С.-Надя и Ч. Фояша. На этом пути функции и были введены и изучались в цикле работ Д.З. Арова. Полученная в диссертации структура этих функций позволила установить их новые свойства.

Если с и(ж) связать систему рассеяния, то функции и описывают ту часть ''информации'', которая, попадая в систему, не выходит наружу. Это связано с тем, что у системы имеются внутренние каналы рассеяния. Впервые системы рассеяния с внутренними каналами начал изучать Д.З. Аров и им для таких систем было введено при определенных ограничениях понятие субоператора рассеяния по этим каналам. Установленная в диссертации структура и позволила ввести понятие субоператора рассеяния по внутренним каналам в общем случае, получить его явный вид и новые свойства, при этом используется техника, связанная с пространствами Хеллингера. Эти результаты нашли в дальнейшем применение в работах Д.З. Арова и М.А. Нудельмана.

Полученные при решении матричной задачи Шура результаты, позволили разработать на языке параметров Шура новый метод исследова-ния псевдопродолжимости шуровских функций. Исследование феномена псевдопродолжимости является важным для многих задач анализа. Достаточно отметить известные критерии псевдопродолжимости Дугласа-Шапиро-Шилдса, Г.Ц. Тумаркина, Д.З. Арова. Для исследования псевдопро-должимости в работе построена модель вполне неунитарного сжатия на языке параметров Шура его х.о.-ф.. На этой модели описано взаимное расположение максимальных сдвига и косдвига, которые порождаются этим сжатием. Именно от этого расположения зависит наличие псевдопродол-жения у соответствующей шуровской функции. На этом пути получены критерии псевдопродолжимости комплекснозначных шуровских функций.

Ключевые слова: сдвиг, оператор сжатия, унитарный узел, ха- рактеристическая оператор-функция, шуровская функция, интерполяци- онная задача Шура, параметр Шура, псевдопродолжение, субоператор рассеяния, система рассеяния с потерями.

Summary

Dubovoy V.K. Unilateral shifts generated by contractions and their application to analysis problems. - Manuscript.

The thesis for doctor's degree by the speciality 01.01.01 - Mathematical Analysis. - B. Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering of National Academy of Sciences of Ukraine, Kharkov, 2004.

The matricial interpolation Schur problem is considered in the thesis. For the first time methods of the theory of unitary colligations were used for its investigation. It made possible to establish connections of structures of the maticial Schur problem with contractions on a Hilbert space. A constructive solving of the degenerate matricial interpolational problem for the case of the Schur problem was first proposed. The factorization of the radii for the Weyl limit ball is obtained and the structure of the factors which are termed the defect functions is described. It is proved that the ranks of the radii for the Wayl limit ball are equal to the multiplicities of the maximal shift and coshift generated by the corresponding contraction. New properties of the defect func-tions are obtained. The scattering suboperator through the inner channels of a system is defined, its form is derived and its properties are studied. Criteria for pseudocontinuability of complex-valued Schur functions are obtained in terms of its Schur parameters.

Key words: shift, conraction, unitary colligation, characteristic operator function, Schur function, Schur interpolation problem, Schur parameter, pseudocontinuation, scattering suboperator, scattering system with loss.

Размещено на Allbest.ru