Математика в понятиях и определениях

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

• 1. Случайные величины
• 2. Математическое ожидание. Дисперсия
• 3. Нормальное распределение, его характеристика и графическое представление. Выбросы. Распределения, отличные от нормального
• Список использованной литературы

1. Случайные величины

Переменная величина х, принимающая в результате испытания одно из конечной или бесконечной последовательности значений х _1, х ₂ …х_к …, называется дискретной случайной величиной, если каждому значению х_к соответствует определенная вероятность р_к, что переменная величина примет значение х_к.

Случайная непрерывная величина имеет ту особенность, что ее значения не могут быть заранее перечислены и составляют все значения, которые заполняют некоторый промежуток.

Случайные дискретные величины принимают каждое свое значение с определенной вероятностью, в то время как случайные непрерывные величины характеризуются точностью вероятности.

Для полной характеристики случайной величины - необходимо прежде всего знать те значения, которые она - может принимать и помимо этого нужно знать, с какой вероятностью случайная величина принимает то или иное значение. Перечисление возможных значений случайной величины и их вероятностей называется распределением случайной величины. Так, если для случайной величины X известны все значения X,X₂,…Xm которые она может принимать, и все вероятности P,P₂,…Pm, с которыми эти значения принимаются, то говорят, что задан закон распределения дискретной случайной величины X или просто распределение величины X. Соответствие между возможными значениями и их вероятностями можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

Рассмотрим m случайных событий: А ₁ - случайная величина X приняла значение X₁ А ₂ - случайная величина X приняла значение X₂,

А_m - случайная величина X приняла значение X_т.

События А ₁, А ₂,..., А_m несовместны, так как случайная величина при однократном осуществлении опыта может принять только одно из значений X₁,X₂,…,X_m. Очевидно также, что сумма событий А ₁, А ₂,..., А_т является достоверным событием

А₁ +A₂ +…+ A_m = U,

так как одно из значений x_lt x₂,..., x_m случайная величина обязательно принимает. По теореме сложения для несовместных событий:

P (A₁+А ₂+...+А_m) = P(U) = 1. Р(A₁) + Р(A₂) +...+ Р(A_m) = 1,

P₁+P₂+…+P_m = 1.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на вероятности этих значений:

При неограниченном возрастании числа испытаний среднее арифметическое значений случайной величины стремится к ее математическому ожиданию.

Математическое ожидание - одна из важнейших числовых характеристик случайной величины. Обозначим математическое ожидание через М (Х). Для случайной дискретной величины X, заданной значениями X₁, X₂, …, X_m и соответствующими этим значениям вероятностями р ₁, р ₂,..., р_m имеет

М (Х) = X₁P₁ + X₂P₂ + … + X_mP_m.

Часто математическое ожидание называют средним значением случайной величины, так как оно указывает некоторое "среднее число", около которого группируются все значения случайной величины.

Вообще, математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности этого события.

Вероятностный смысл математического ожидания характеризуется приближенным равенством = М (Х), т.е. математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Если произведено m испытаний, в которых случайная величина X приняла m₁ раз значение х ₁ m₂ раз значение х ₂,..., m_k раз значение х_k причем

m₁ +m₂ +...+m_k = п.

Тогда сумма всех значений, принятых X равна x₁m₁ + х ₂ m₂+...+ x_k m_k.

X = или = x₁ + x₂ + … + x_k

- есть относительная частота W₁ значения X₁,

- есть относительная частота W₂ значения X₂,

- есть относительная частота W_k значения X_k.

Следовательно, = x₁W_t + х_г W₂+...+ x_k W_k.

Допустим, что число испытаний достаточно велико. Тогда относительная частота приближенно равна вероятности появления события W₁~P₁,W₂~P₂,…,W_k~P_k.

Заменив относительные частоты соответствующими вероятностями, получим

Х= х ₁ р,+ х ₂р ₂+...+ x_k p_k

x₁ p₁+ х ₂ р ₂+...+x_kp_k = М(Х).

Другой важной числовой характеристикой случайной величины X является ее дисперсия. Обозначим дисперсию через D (X).

Дисперсия характеризует степень рассеянности (квадрат отклонения) значений случайной величины относительно математического ожидания М (Х) случайной величины.

Отклонение - это разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием.

D(X) = М(Х-М(Х))²,

здесь М - обозначение математического ожидания. Пусть случайная величина X принимает значения х ₁,x₂,...,x_m соответственно с вероятностями p₁,р ₂....,p_m: Тогда квадрат отклонения случайной величины X от ее математического ожидания (Х-М(Х))² с вероятностью р есть случайная величина, которая принимает значения (х ₁ -М(Х))², (х ₂-М(Х))²..... (х ₂-М(Х))² соответственно с вероятностями p₁,p₂,...,p_m. Поэтому математическое ожидание так распределенной случайной дискретной величины

D(K)= (х ₁-М(Х))²'р ₁+ (х ₂-М(Х))²'р ₂+...+ (х_m -М(Х))²-р_m.

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей теоремой.

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания

D (X) = M (Х ²) - (М (Х))².

.

Функциональная зависимость вероятности р_к от х_к называется законом распределения вероятностей дискретной случайной величины.

И функция, и случайная дискретная величина могут быть заданы тремя способами:

Табличным (таблица);

Графически (график, гистограмма);

Аналитически (уравнение). p = f(x).

Рисунок 1. Графическое представление закона распределения

Значение случайной величины хi, имеющее наибольшую вероятность, называется модой.

Итак, на оси абсцисс представлены ЗНАЧЕНИЯ случайной дискретной величины, расположенные в порядке возрастания; на оси ординат - ВЕРОЯТНОСТЬ, с которой в нашем опыте могут встретиться эти значения. Из данного графика видно, что, к примеру, значение х 2 - самое вероятное, а х 4 - наименее вероятное. случайная ожидание дисперсия распределение

Если опыты уже проведены, а значения получены, то уместнее говорить не о ВЕРОЯТНОСТИ появления значений, а о ЧАСТОТЕ (частости) их встречаемости в данном эксперименте. В этом случае на графике следовало бы заменить букву Р на букву f, которой обычно частота и обозначается.