Узагальнені поля Якобі і хаотичне представлення для гамма-поля

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут математики

УДК 517.515

01.01.01 - математичний аналіз

Автореферат дисертації

на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Узагальнені поля Якобі і хаотичне представлення для гамма-поля

Мержеєвський Д.А.

Київ - 2004

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано в Інституті математики НАН України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор, академік НАН України Березанський Юрій Макарович, Інститут математики НАН України, головний науковий співробітник відділу функціонального аналізу.

Офіційні опоненти:

- доктор фізико-математичних наук, професор Кондратьєв Юрій Григорович, Інститут математики НАН України, завідувач відділу математичної фізики;

- кандидат фізико-математичних наук, доцент Константінов Олексій Юрійович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, доцент кафедри математичного аналізу.

Провідна установа: Фізико-технічний інститут низьких температур імені Б.І. Вєркіна НАН України, математичне відділення (Харків).

Захист відбудеться 1 червня 2004 р. о 15.00 на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 в Інституті математики НАН України за адресою: 01601, Київ-4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розіслано 25 квітня 2004 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради, доктор фізико-математичних наук Романюк А.С.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Дана робота відноситься до галузі нескінченновимірного аналізу, яку прийнято називати аналізом білого шуму і яку можна визначити як науку, яка пропонує конкретні засоби для дослідження простору та його оснащення (тобто просторів основних і узагальнених функцій на ), де - деякий нескінченновимірний простір (як правило, він складається з узагальнених функцій, заданих на R або R, d - натуральне число), с - деяка ймовірнісна міра на , причому в перших роботах на цю тему в якості с брали завжди гауссівську міру.

Ця наука була започаткована в основному двома роботами: одна з них - стаття Ю.М. Березанського та Ю.С. Самойленка 1973 року, друга - робота Т. Хіди 1975 року. У роботі Ю.М. Березанського та Ю.С. Самойленка простори основних і узагальнених функцій будувалися як нескінченні тензорні добутки одновимірних просторів. Натомість Т. Хіда використовував ізоморфізм Вінера-Іто-Сігала, який переводить простір Фока у простір ; оснащення останнього при цьому будується за оснащенням простору Фока.

Згодом з'явилося багато робіт, присвячених цій тематиці. Спочатку аналіз білого шуму розвивався лише для випадку, коли міра с є гауссівською. Наприкінці 80-х років ХХ століття Й. Іто та І. Кубо поширили цю теорію на випадок пуассонівської міри. Згодом було запропоновано кілька абстрактних підходів до аналізу білого шуму, по відношенню до яких вищезгадані гауссівський і пуассонівський випадки були частинними прикладами.

Один із таких підходів - спектральний підхід - був запропонований Ю.М. Березанським у 1991 році. При такому підході використовується проекційна спектральна теорема і міра с розглядається як спектральна міра деякого сімейства операторів, які діють у просторі Фока (це сімейство називається полем Якобі). З іншого боку, спектральний підхід є узагальненням науки про матриці Якобі (тобто тридіагональні матриці), яка розвивалася раніше цілком незалежно від проблематики аналізу білого шуму. Справа в тому, що коли простір Фока побудовано на одновимірному просторі, то він вироджується у простір , і тоді кожне конкретне поле Якобі являє собою множину всіх матриць, кратних деякій заданій матриці Якобі.

Зазначимо, що підходом, альтернативним до спектрального, є біортогональний підхід, започаткований Ю.Л. Далецьким і Ю.Г. Кондратьєвим у 1991 році.

У 1998 році в роботі Ю.Г. Кондратьєва, Ж.Л. да Сільви, Г.Ф. Уса та Л. Штрайта розглядався зокрема аналіз білого шуму для випадку, коли міра с є гамма-мірою. Особливістю цього випадку в порівнянні з раніше розглядуваними є те, що тут замість простору Фока доводиться розглядати більш складний простір - так званий розширений простір Фока. У 2000 році в роботі Ю.Г. Кондратьєва та Є.В. Литвинова той самий випадок гамма-міри було розглянуто з точки зору, подібної до вищезгаданого спектрального підходу Ю.М. Березанського, але замість простору Фока знову фігурував розширений простір Фока. Згодом з'ясувалося, що цей самий розширений простір Фока виникає також у випадках мір Паскаля та Майкснера. При цьому донедавна не було описано абстрактної конструкції, яка охоплювала б усі ці випадки.

З огляду на це виникає природне бажання узагальнити конструкцію, яка використовується у спектральному підході Ю.М. Березанського, таким чином, щоб її можна було безпосередньо застосовувати і до тих випадків, у яких виникає потреба розглядати розширений простір Фока. Це і є одна з тих проблем, які вирішуються в цій дисертації.

Інша проблема пов'язана з так званим хаотичним представленням для випадкового процесу, пов'язаного з мірою с, тобто з представленням довільного вектора простору у вигляді суми ортогональних доданків, кожний з яких можна трактувати як стохастичний інтеграл. Таке представлення було добре відоме для випадків, коли міра с є гауссівською і коли вона є пуассонівською. При певному вузькому (класичному) трактуванні поняття хаотичного представлення виявляється, що для інших випадків побудувати таке представлення неможливо.

Але виникає питання, чи можна побудувати, наприклад, для випадку гамма-міри хаотичне представлення в деякому узагальненому сенсі. Така побудова і пропонується в даній роботі. Слід зазначити, що по суті ту саму проблему, але з іншої (стохастичної) точки зору, було розв'язано в роботі Д. Нуалара та В. Схоутенса 2000 року. Натомість ми дивимося на стохастичні інтеграли з функціональної точки зору і будуємо їх, використовуючи інформацію про структуру розширеного простору Фока, дослідження якої також є важливою частиною даної дисертації.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослiдження проводилися згiдно з темою "Методи функціонального аналізу в задачах математичної фізики" плану наукових дослiджень Iнституту математики НАНУ (№0198U001995).

Мета, задачі та методи дослідження. Мета даної роботи - отримати певні конструкції, які розширюють і полегшують можливості вивчення аналізу білого шуму для випадку гамма-міри та інших некласичних випадків. Конкретизуючи цю мету, виділимо такі дві цілі: 1) отримати конструкцію, яка узагальнює спектральний підхід до аналізу білого шуму і підходить для описання як випадків, що можуть бути описані в рамках "класичного" спектрального підходу, так і відомих на сьогодні випадків, у яких фігурує розширений простір Фока; 2) побудувати (узагальнене) хаотичне представлення, пов'язане з гамма-мірою.

Для реалізації 1-ої цілі будується конструкція, аналогічна до тієї, що використовується при спектральному підході, але простір Фока замінюється більш абстрактним простором. При цьому слід показати, що до такої конструкції можна застосувати проекційну спектральну теорему. Важливо також перевірити, що введене в роботі Ю.Г. Кондратьєва та Є.В. Литвинова гамма-поле є частинним випадком вищезгаданої конструкції.

Для реалізації 2-ої цілі спочатку вирішується така задача: показати, що кожний n-частинковий підпростір розширеного простору Фока природним чином розпадається в ортогональну суму просторів, які є підпросторами деяких -просторів; в свою чергу, для вирішення цієї задачі спочатку розглядається аналогічна задача для несиметризованого аналога розширеного простору Фока, а також для деякого більш абстрактного простору. Потім конструюються такі мартингали (відповідні вищезгаданим ортогональним просторам), що взяті відносно них стохастичні інтеграли від елементів вищезгаданих ортогональних просторів дають у сумі відповідний елемент простору , де - гамма-міра.

У дослідженнях використовуються методи функціонального аналізу, а також комбінаторні міркування (при з'ясуванні конкретних питань, пов'язаних зі структурою розширеного простору Фока). Зазначимо, що на таке ймовірнісне за походженням поняття, як стохастичний інтеграл, ми дивимося також з функціональної точки зору, використовуючи нетрадиційне означення цього поняття, запропоноване Ю.М. Березанським.

Наукова новизна одержаних результатів. Узагальнено спектральний підхід до аналізу білого шуму, з тим щоб він підходив зокрема для описання випадку, в якому спектральною мірою є гамма-міра.

Вперше описано природний ізоморфізм між n-частинковим підпростором розширеного простору Фока й ортогональною сумою певних просторів.

Дістав подальшого розвитку запропонований Ю.М. Березанським функціональний підхід до поняття стохастичного інтеграла, що дало змогу описати в рамках цього підходу хаотичне представлення для гамма-поля.

Практичне значення одержаних результатів. Узагальнений спектральний підхід може виявитися корисним для аналізу білого шуму, пов'язаного з процесами, які досліджуватимуться в майбутньому; застосування цього підходу може бути простішим, ніж безпосередня перевірка умов проекційної спектральної теореми. Детальна інформація про структуру розширеного простору Фока може бути корисною для різних досліджень, пов'язаних з конструкціями, в яких виникає цей простір.

Особистий внесок здобувача. Щодо статті [1], у якій досліджується структура розширеного простору Фока (у дисертації цю інформацію подано в розділі 4), то доведення відповідних фактів про абстрактну конструкцію, описану на початку (в дисертації це підрозділ 4.1), належить в основному науковому керівнику, який описав це для ситуації, коли в (4.1) фігурують лише два рядки просторів; здобувач відповідно доповнив ці міркування. Дослідження структури несиметризованого аналога розширеного простору Фока (підрозділ 4.2 дисертації) проведено здобувачем особисто. У дослідженні структури власне розширеного простору Фока (підрозділ 4.3 дисертації) науковому керівнику належать міркування, пов'язані з застосуванням у доведенні оператора ; все інше, що відноситься до даного підрозділу, зроблено здобувачем.

Щодо статті [4], в якій описується хаотичне представлення для гамма-поля (у дисертації цю інформацію подано в розділі 5), то здобувач побудував розклад одиниці , за яким будуються потрібні для цієї конструкції мартингали; здобувач показав, що саме при такій побудові відповідні проектори не виводять за межі вектори, що належать . Усе інше, що наводиться в цій статті, належить переважно науковому керівнику.

Щодо замітки [5], у якій використано інший, ніж у цій дисертації, підхід до конструкції, пов'язаної з узагальненим полем Якобі, й на основі цього розглянуто поля Якобі, пов'язані з процесами Леві (в дисертації цю інформацію подано в підрозділі 3.4), то здобувач виконав підрахунки, які дозволили виписати формули для згаданих полів. Основні ідеї, використані в замітці, а також строгі доведення поданих у замітці фактів є заслугою перших двох співавторів.

Замітка [2] описує без доведень і без виписування деяких формул найголовніші результати з числа тих, які детально описані в [4]. Тому особистий внесок здобувача у [2] такий самий, як і в [4].

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались на "Міжнародній конференції з функціонального аналізу" в рамках "Українського математичного конгресу" (Київ, серпень 2001 р.), на конференції "Functional Methods in Approximation Theory, Operator Theory, Stochastic Analysis and Statistics" (Київ, жовтень 2001 р.), на конференції "International Gnedenko Conference" (Київ, червень 2002 р.), на семінарі відділу функціонального аналізу Інституту математики НАН України (керівник семінару - академік НАН України Ю.М. Березанський), на семінарі відділу стохастики Інституту прикладної математики Боннського університету (Німеччина; керівник семінару - професор С. Альбеверіо), на Київському семінарі з функціонального аналізу (керівники семінару - академік НАН України Ю.М. Березанський та член-кореспондент НАН України М.Л. Горбачук).

Публікації. Основні матеріали дисертації опубліковано в роботах [1-6].

Структура й обсяг роботи. Дисертація складається з вступу, п'яти розділів, висновків і списку використаних джерел. Обсяг дисертації 141 сторінка. Список використаних джерел містить 54 найменування.

Зміст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність теми; сформульовано головні цілі та задачі дослідження; коротко зазначено, які нові наукові результати отримано в дисертації; висловлено міркування про практичне значення отриманих результатів; охарактеризовано зміст кожного розділу та підрозділу дисертації.

Розділ 1 присвячений огляду літератури за темою дисертації.

У підрозділі 1.1 ідеться про конструкцію, пов'язану з полем Якобі у просторі Фока, описану в роботах Ю.М. Березанського. При цьому спочатку наводиться означення поля Якобі як сімейства операторів (залежних від параметра, що належить деякому лінійному топологічному простору Ф), які діють у (симетричному) просторі Фока F, мають тридіагональну і симетричну структуру відносно розкладу F на n-частинкові підпростори, а також задовольняють певним властивостям (зокрема, залежність компонентів матриці від параметра є лінійною, оператори сімейства самоспряжені й попарно комутативні). Після цього формулюється теорема 1.1 (спектральна теорема для поля Якобі), яка дає змогу побудувати певний пов'язаний з даним полем Якобі J ізометричний ізоморфізм I (він називається перетворенням Фур'є), який переводить простір F у простір інтегровних з квадратом функцій на просторі, спряженому до Ф, за деякою ймовірнісною мірою с, яка називається спектральною мірою поля Якобі J. Нарешті коротко розглядається питання про хаотичне представлення, тобто подання I-образу довільного вектора з n-частинкового підпростору (n - невід'ємне ціле число) у вигляді стохастичного інтеграла від цього вектора.

Підрозділи 1.2 та 1.3 містять деякі міркування, які готують читача до сприйняття основного змісту дисертації.

Підрозділ 1.4 являє собою коротке резюме про завдання, які мають бути вирішені в даній дисертації.

Розділ 2 присвячений вивченню узагальненого поля Якобі, яке являє собою аналогічне до звичайного поля Якобі сімейство операторів, заданих в ортогональній сумі (по n від 0 до нескінченності) просторів, які є поповненнями за деякими скалярними добутками n-них симетричних тензорних степенів комплексифікації деякого дійсного зчисленно-гільбертового простору Ф.

У підрозділі 2.1 вводяться вищезгадані простори, після чого дається означення узагальненого поля Якобі. У цьому означенні фігурують такі самі вимоги, як і в означенні звичайного поля Якобі, наведеному в підрозділі 1.1, тільки замість простору Фока фігурує більш абстрактний простір. Наприкінці підрозділу обґрунтовується той факт, що звичайне поле Якобі є частинним випадком узагальненого поля Якобі.

У підрозділі 2.2 доводиться теорема 2.1, яка полегшує перевірку того, чи є якесь дане сімейство операторів узагальненим полем Якобі, а саме перевірку самоспряженості та комутативності. Згідно з цією теоремою, перевірка цих властивостей зводиться до перевірки алгебраїчної комутативності даного сімейства та розбіжності певного ряду.

У підрозділі 2.3 формулюється з посиланням на книгу Ю.М. Березанського та Ю.Г. Кондратьєва проекційна спектральна теорема 2.2 і на основі неї доводиться теорема 2.3 - спектральна теорема для узагальненого поля Якобі, цілком аналогічна до теореми 1.1.

У підрозділі 2.4 виводяться формули, які виражають так званий узагальнений сумісний власний вектор P(щ), що фігурує в теоремі 2.3. При цьому для явного описання об'єктів з простору, якому належить P(щ), використовується ланцюжок, у якому центральним простором є простір Фока. Такий підхід дозволяє обчислювати P(щ) як послідовність векторів з просторів, спряжених до n-них симетричних тензорних степенів комплексифікації простору Ф. З використанням того факту, що P(щ) є узагальненим сумісним власним вектором узагальненого поля Якобі, виводиться певна рекурентна формула для векторів зі згаданої послідовності.

У підрозділі 2.5 досліджуються деякі властивості перетворення Фур'є, пов'язані з Фур'є-образами множин неперервних поліномів.

У розділі 3 наводиться кілька конкретних прикладів узагальнених полів Якобі.

У підрозділі 3.1 у якості такого поля розглядається сімейство операторів, відоме як поле Гаусса, яке є також звичайним полем Якобі. Це добре відомий об'єкт, і мета даного підрозділу - переконатися, що він задовольняє введеним у дисертації означенням.

У підрозділі 3.2 описується певний простий приклад узагальненого поля Якобі, яке не є звичайним полем Якобі. Особливістю цього прикладу є те, що в ньому простір Ф є скінченновимірним, а саме - двовимірним.

Приклад узагальненого поля Якобі, який описується в підрозділі 3.3, являє собою гамма-поле, розглянуте в роботі Ю.Г. Кондратьєва та Є.В. Литвинова. У цьому випадку оператори поля діють у просторі, який називається розширеним простором Фока і позначається . В якості Ф виступає певний простір гладких функцій на R, який позначається S. Для того, щоб ввести потрібні скалярні добутки, спочатку вводяться наступні допоміжні позначення (надалі n - фіксоване натуральне число). Розглянемо розбиття множини {1, ..., n} на непорожні підмножини (термін "розбиття" передбачає, що ці підмножини не перетинаються, а їх об'єднання дорівнює {1, ..., n}); будемо використовувати літеру б для позначення довільного такого розбиття. Поділимо множину всіх таких розбиттів на класи, які характеризуються тим, що розбиття з одного й того самого класу відрізняються між собою лише порядком підмножин. Для будь-якої функції n змінних вводиться позначення , яке означає функцію m змінних (m - кількість підмножин у розбитті б), побудовану за допомогою заміни символів , ..., у виразі згідно з таким правилом: якщо в розбитті б число j належить підмножині з номером k, то слід замінити на . Далі дається означення певного скалярного добутку, яке виражається формулою, в якій фігурують вищезгадані . Отже, - це поповнення n_го симетричного тензорного степеня комплексифікації простору S відносно норми вищезгаданого скалярного добутку, а розширений простір Фока - це ортогональна сума цих поповнень (по n від 0 до нескінченності). Після цього описується деяке конкретне сімейство операторів, яке діє у вищезгаданому розширеному просторі Фока і називається гамма-полем. Потім показується, що це сімейство є узагальненим полем Якобі; більшість потрібних для цього фактів доведено в роботі Ю.Г. Кондратьєва та Є.В. Литвинова, на що ми й посилаємось. Нарешті, виходячи з того факту, що дане сімейство є узагальненим полем Якобі, до даної конструкції застосовується вищенаведена теорема 2.3, тобто робиться висновок про існування спектральної міри гамма-поля. Цією спектральною мірою, як встановлено в роботі Ю.Г. Кондратьєва та Є.В. Литвинова, є так звана гамма-міра.

У підрозділі 3.4 коротко описуються результати, подані в замітці [5], які базуються на підході до побудови узагальнених полів Якобі, відмінному від того, який використано в даній дисертації. Ідеться про узагальнене поле Якобі, спектральна міра якого виражає закон довільного процесу Леві.

У розділі 4 досліджується структура розширеного простору Фока, точніше його n_частинкового підпростору. З цією метою робиться наступне.

У підрозділі 4.1 розглядається одна загальна конструкція, яка будується так. Береться досить загальна система підпросторів простору R. Потім у просторі гладких функцій, заданих на R, вводиться скалярний добуток, схожий на скалярний добуток n_частинкового підпростору розширеного простору Фока. Після цього показується, що поповнення згаданого простору гладких функцій за цим скалярним добутком, природним чином розпадається в ортогональну суму _просторів, заданих на взятих на початку підпросторах (теорема 4.1). Точніше кажучи, щоб отримати цю ортогональну суму, треба застосувати до функцій оператор, що переводить кожну з них у впорядкований набір функцій, які являють собою звуження даної функції на дані підпростори. Тоді цей оператор можна продовжити до ізометричного ізоморфізму між розглядуваним поповненням за скалярним добутком і вищезгаданою ортогональною сумою _просторів. Доведення цього факту зводиться до побудови такої послідовності гладких функцій, щоб послідовність звужень цих функцій на кожний з даних підпросторів прямувала в сенсі до довільної наперед заданої інтегровної з квадратом функції на даному підпросторі. Наприкінці підрозділу за допомогою простих міркувань робиться висновок, що в теоремі 4.1 скалярний добуток можна замінити дещо іншим, але при цьому ортогональна сума просторів, яка виникає в результаті, заміниться зваженою ортогональною сумою тих самих просторів; цей результат сформульовано у вигляді окремої теореми 4.2.

У підрозділі 4.2 досліджується певний частинний випадок конструкції підрозділу 4.1, який будується таким чином, що побудований простір відрізняється від означеного в підрозділі 3.3 n-частинкового підпростору розширеного простору Фока лише несиметризованістю. Застосовуючи до цієї конструкції теорему 4.2 і враховуючи специфіку цього випадку, ми отримуємо теорему 4.3 про те, що розглядуваний у цьому підрозділі простір розпадається в певну ортогональну суму.

У підрозділі 4.3 розглядається простір, який фактично являє собою введений у підрозділі 3.3 n-частинковий підпростір розширеного простору Фока. Оскільки легко бачити, що він є підпростором того простору, який розглянуто в підрозділі 4.2, робиться висновок, що його можна розуміти як деякий підпростір ортогональної суми, яка фігурує в теоремі 4.3. З використанням симетричності розглядуваних функцій проводяться міркування, які дозволяють розглядати меншу кількість операторів і вважати кожен з них залежним не від розбиття б, а від мультиіндексу q, який являє собою деякий упорядкований набір натуральних чисел; тому для цих операторів вводиться нове позначення .

Крім того, вводиться позначення , яке означає замикання множини у просторі R, а також позначення для множини всіх задіяних у конструкції мультиіндексів q. Після цього формулюється основний результат даного розділу - теорема 4.4, в якій стверджується, що n-частинковий підпростір розширеного простору Фока природним чином розпадається в ортогональну суму

,

шум спектральний гамма хаотичний

де - певні константи. Підхід до доведення цієї теореми такий самий, як і до доведення теореми 4.1.

Отже, маючи певний ортогональний розклад для n-частинкового підпростору розширеного простору Фока при довільному невід'ємному цілому n, записуємо у висновках до розділу 4 відповідний ортогональний розклад для всього розширеного простору Фока.

Розділ 5 присвячений побудові хаотичного представлення для гамма-поля, яке базується на використанні отриманого в розділі 4 ортогонального розкладу розширеного простору Фока. При цьому використовується певна допоміжна інформація, яка міститься на початку розділу.

У підрозділі 5.1 спочатку наводяться деякі прості міркування про те, як за даним розкладом одиниці побудувати розклад одиниці, що діє в тому самому просторі, але заданий на іншій множині. Виходячи з цього, розглядається наступна конструкція. Нехай у деякому гільбертовому просторі K діє розклад одиниці E, заданий на R. Розглянемо природне відображення р простору R на простір n-частинкових кратних конфігурацій, яке впорядкованому набору чисел ставить у відповідність невпорядкований набір тих самих чисел. Тоді розклад одиниці , що діє також у K, але заданий на просторі n-частинкових кратних конфігурацій, можна побудувати, покладаючи, що значення проекторів нового розкладу одиниці на множинах дорівнюють значенням проекторів старого розкладу одиниці на повних прообразах цих множин. Крім того, для всякої борелівської симетричної функції на R записується певна формула, яка пов'язує спектральні інтеграли від цієї функції за розглядуваними розкладами одиниці (використовується те, що симетричну функцію можна розуміти як функцію від конфігурації). Після цього розглядається наступний спеціальний випадок цієї конструкції. Нехай простір K являє собою n-й тензорний степінь деякого комплексного гільбертового простору. І нехай розклад одиниці E являє собою n-й тензорний степінь деякого розкладу одиниці в тому останньому просторі. Позначимо розклад одиниці , побудований з E за згаданим вище правилом. Наприкінці підрозділу доводиться теорема 5.1, яка зокрема стверджує, що певне звуження такого розкладу одиниці є квазірозкладом одиниці на просторі звичайних n-частинкових конфігурацій, який діє у відповідному симетричному тензорному степені. Тут під квазірозкладом одиниці розуміється об'єкт, який відрізняється від розкладу одиниці лише тим, що його значення на всьому просторі задання може не дорівнювати тотожному оператору.

У підрозділі 5.2 насамперед розглядається певна конкретизація конструкції, описаної наприкінці підрозділу 5.1, у якій розглядуваний гільбертів простір є функціональним, а оператори розкладу одиниці є операторами множення на характеристичні функції. Крім того, тут накладається додаткова умова на міру м: її носій має бути сегментом. Констатується, що в цьому випадку побудований розклад одиниці діє в n-частинковому підпросторі простору Фока, і ставиться мета побудувати аналогічним чином розклад одиниці в . Далі ця побудова реалізується; при цьому ту роль, яку в конструкціях підрозділу 5.1 відігравали n_частинкові кратні конфігурації, тут відіграють конфігурації деякого спеціального виду. Розглядається певне відображення простору R на простір таких конфігурацій. Доводиться теорема 5.2, яка є аналогом теореми 5.1 для цього випадку. Наприкінці підрозділу за допомогою порівняно простих міркувань доводиться теорема 5.3, яка певним чином виражає функцію з за допомогою інтеграла від неї ж за побудованим розкладом одиниці.

У підрозділі 5.3 спочатку пояснюється, як відомі поняття мартингала та стохастичного інтеграла відносно нього можна інтерпретувати з використанням квазірозкладу одиниці. Потім відповідна конструкція узагальнюється за допомогою наступних означень, запозичених з роботи Ю.М. Березанського. Нехай K - комплексний гільбертів простір, а - деякий квазірозклад одиниці в K. Зафіксуємо деяке . Тоді векторнозначна функціяь називається (абстрактним) мартингалом. Для довільної борелівської функції C вводиться стохастичний інтеграл відносно такого мартингала за допомогою формули

,

де справа стоїть звичайний спектральний інтеграл. Потім розглядається наступна проста конструкція. Нехай U - деякий ізометричний ізоморфізм, що відображає простір K на деякий інший гільбертів простір L. Тоді легко бачити, що також є мартингалом у просторі L. Після цього всі ці конструкції узагальнюються на випадок, коли розклад одиниці задано на довільному (не обов'язково одновимірному) просторі. З інформації підрозділів 5.2 та 5.3 легко вивести таку формулу:

,

де , а - певним чином побудований мартингал. Цю формулу можна назвати формулою хаотичного представлення, оскільки вектор зліва належить простору , а ортогональний розклад простору за гамма-мірою на простори ми називаємо хаотичним розкладом для гамма-поля. Крім того, виявляється, що у випадку, коли компоненти мультиіндексу q рівні між собою, праву частину даної формули можна переписати у вигляді кратного стохастичного інтеграла за гамма-процесом. Цю інформацію зосереджено в теоремі 5.4, яка є основним результатом розділу 5.

У висновках коротко сформульовано найголовніші результати дисертації, після чого висловлено деякі міркування про практичне значення цих результатів.

Висновки

Результати дисертації зводяться до наступного:

Описано таке узагальнення спектрального підходу до аналізу білого шуму, в рамках якого можна описувати як конструкції, до яких застосовний "класичний" спектральний підхід, так і конструкції, в яких фігурує розширений простір Фока. Це узагальнення базується на понятті узагальненого поля Якобі, яке відрізняється від поля Якобі, досліджуваного в роботах Ю.М. Березанського, тим, що замість простору Фока розглядається більш абстрактний простір.

Наведено кілька прикладів узагальнених полів Якобі: а) поле Гаусса, яке є також звичайним полем Якобі; б) порівняно простий приклад узагальненого поля Якобі, яке не є звичайним полем Якобі; в) гамма-поле, яке також є узагальненим (але не звичайним) полем Якобі.

Побудовано ізоморфізм, який дає корисну інформацію про структуру розширеного простору Фока: цей простір можна розуміти як ортогональну суму певних функціональних просторів. При цьому отримано також аналогічну інформацію про структуру деяких абстрактних просторів, схожих за способом побудови на розширений простір Фока.

Побудовано (узагальнене) хаотичне представлення для гамма-поля, яке базується на вищезгаданій інформації про структуру розширеного простору Фока.

Список опублікованих праць за темою дисертації

Berezansky Yu.M., Mierzejewski D.A. The structure of the extended symmetric Fock space // Methods of Functional Analysis and Topology. - 2000. - Vol. 6, no. 4. - P. 1-13.

Березанский Ю.М., Мержеевский Д.А. Хаотическое разложение для гамма-поля // Функциональный анализ и его приложения. - 2001. - Т. 35, №4. - С. 81-84.

Mierzejewski D.A. Generalized Jacobi fields // Methods of Functional Analysis and Topology. - 2003. - Vol. 9, no. 1. - P. 80-100.

Berezansky Yu.M., Mierzejewski D.A. The construction of the chaotic representation for the Gamma field // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. - 2003. - Vol. 6, no. 1. - P. 33-56.

Berezansky Yu.M., Lytvynov E.W., Mierzejewski D.A. The Jacobi field of a Lйvy process. // Український математичний журнал. - 2003. - Т. 55, №5. - С. 706-710.

Mierzejewski D.A. The structure of the extended Fock space and its application to some constructions of Gamma analysis // International Conference of Functional Analysis. - Kyiv. - 2001. - P. 61.

Анотація

Мержеєвський Д.А. Узагальнені поля Якобі і хаотичне представлення для гамма-поля. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. - Інститут математики НАН України, Київ, 2004.

У дисертації описано конструкцію, яка узагальнює спектральний підхід до аналізу білого шуму, тобто підхід, який базується на понятті поля Якобі; ми описуємо аналогічний підхід, вводячи поняття узагальненого поля Якобі. Наведено кілька прикладів узагальнених полів Якобі; зокрема, з'ясовано, що випадок, коли спектральною мірою є гамма-міра, можна описати в рамках запропонованої конструкції. Досліджено структуру розширеного простору Фока і з використанням цієї структури побудовано (узагальнене) хаотичне представлення для гамма-поля.

Ключові слова: поле Якобі, простір Фока, розширений простір Фока, спектральна міра, гамма-міра, гамма-поле, хаотичне представлення, мартингал, розклад одиниці.

Аннотация

Мержеєвський Д.А. Обобщённые поля Якоби и хаотическое представление для гамма-поля. - Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. - Институт математики НАН Украины, Киев, 2004.

В диссертации описана конструкция, обобщающая спектральный подход к анализу белого шума, то есть подход, базирующийся на понятии поля Якоби; мы описываем аналогичный подход, вводя понятие обобщённого поля Якоби. Приведены несколько примеров обобщённых полей Якоби; в частности, выяснено, что случай, когда спектральной мерой является гамма-мера, можно описать в рамках предложенной конструкции. Исследована структура расширенного пространства Фока и с использованием этой структуры построено (обобщённое) хаотическое представление для гамма-поля.

Ключевые слова: поле Якоби, пространство Фока, расширенное пространство Фока, спектральная мера, гамма-мера, гамма-поле, хаотическое представление, мартингал, разложение единицы.

Annotation

Mierzejewski D.A. Generalized Jacobi fields and a chaotic representation for the Gamma field. - Manuscript.

Thesis for the degree of candidate of physical and mathematical sciences, speciality 01.01.01 - mathematical analysis. - Institute of Mathematics, National Academy of Science of Ukraine, Kyiv (Kiev), 2004.

We generalize a spectral approach to the white noise analysis, which is based on a notion of a Jacobi field.

The Jacobi field is a family of (linear) operators parameterized by vectors of a linear topological space Ф, acting in a (symmetric) Fock space F, and having certain properties. In particular, the operators depend on the parameter linearly, are essential selfadjoint and commuting. Investigating such a family one can construct an isometric isomorphism between F and , where is the dual space of Ф (as a rule, is a distribution space) and с is a so-called spectral measure of the Jacobi field. Constructing and using of this isomorphism is called the spectral approach. A similar construction was proposed for a case where с is a so-called Gamma measure (then the corresponding family of operators is called Gamma field), but in this case the corresponding operators act not in a Fock space, but in a so-called extended Fock space . Then one constructs an isometric isomorphism between and , where с is the Gamma measure. Since this is not a particular case of the above mentioned spectral approach, it is interesting to generalize this approach.

For this aim we introduce a notion of a generalized Jacobi field. It is a family of operators, similar to the above-mentioned Jacobi field and acting not necessarily in a Fock space, but in more general one. Again we construct an isometric isomorphism between the just mentioned space H and , and again с is called a spectral measure of the generalized Jacobi field.

We describe certain Jacobi fields as examples. The first example is a well-known family called Gaussian field; it is not only generalized Jacobi field, but also a usual Jacobi field. The second example is a so simple generalized Jacobi field, which is not a usual Jacobi field. The third example is the above-mentioned Gamma field.

Note that, similarly to a usual Fock space, the extended Fock space is equal to an orthogonal sum , where is called the n-particle subspace of . We investigate the space for any natural n and conclude that can be treated as an orthogonal sum of certain subspaces of some -spaces. We denote each such subspace by , where is a multyindex, . Moreover we obtain similar information about a space which can be called a non-symmetric analogue of : such a space can be treated as an orthogonal sum of certain -spaces; this information is a tool to prove the information about .

An important problem of the white noise analysis is a problem of a chaotic representation. It means the following. Let I be the above-mentioned isometric isomorphism between a Fock space F (or a more general space H) and a space , where the measure с is the law of a stochastic process. Suppose that for any (or respectively ) the vector If can be given as a sum of multiple stochastic integrals with respect to the above-mentioned process. Then such a representation of If can be called a chaotic representation. A classic notion of the chaotic representation demands functions under the integrals to be components of f with respect to the decomposition , where is the n-particle subspace of the Fock space F. But this classic chaotic representation is impossible for the case of the Gamma field. In order to propose a (generalized) chaotic representation for this case we do the following.

We use proposed by Yu.M. Berezansky non-standard definitions of a martingale and of a stochastic integral, based on the notion of a resolution of the identity. Fix an above-mentioned subspace . Let I be the constructed by the Gamma field isomorphism between and . Then for any the vector can be given as a certain stochastic integral (according to the above mentioned non-standard definitions) with the function under the integral. We say that it is a chaotic representation. Moreover if the multyindex is such that then one can rewrite the corresponding integral as a usual multiple stochastic integral with respect to a Gamma process. So, instead of the decomposition onto the n-particle subspaces we use here the decomposition onto the subspaces .

Key words: Jacobi field, Fock space, extended Fock space, spectral measure, Gamma measure, Ga,mma field, chaotic representation, martingale, resolution of the identity.

Размещено на Allbest.ru