Граничні теореми у задачах статистики процесів авторегресії

Размещено на http://www.allbest.ru

1

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ І МЕХАНІКИ

УДК 519.21

Граничні теореми у задачах статистики процесів авторегресії

01.01.05 - теорія ймовірностей та математична статистика

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Іє Ольга Миколаївна

Донецьк 2004

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті прикладної математики та механіки НАН України.

Захист відбудеться 17.03.2004 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 11.193.02 при Інституті прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Рози Люксембург,74.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки за адресою: 83114, Донецьк, вул. Рози Люксембург,74.

Автореферат розісланий 16.02.2004 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Чані О.С.

пірсон логарифм авторегресія

АНОТАЦІЇ

Іє О.М. "Граничні теореми у задачах статистики процесів авторегресії". - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05- теорія ймовірностей та математична статистика. - Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк 2004.

Дисертація присвячена дослідженню розв'язності задач перевірки гіпотез у випадку статистичних експериментів, що породжуються спостереженнями процесів нормальної авторегресії та процесами експоненціальної авторегресії.

Для цих задач доведені теореми про великі відхилення для логарифму відношення правдоподібності і досліджено залежність швидкості спадання ймовірностей помилок 2-го роду від швидкості спадання рівня критерію Неймана-Пірсона.

Ключові слова: процес авторегресії, теореми про великі відхилення, відношення правдоподібності, інтеграл Хеллінгера, критерій Неймана-Пірсона.

Ие О.Н. "Предельные теоремы в задачах статистики процессов авторегрессии". - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05- теория вероятностей и математическая статистика. - Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк 2004.

Предельные теоремы о больших уклонениях применяются во многих задачах математической статистики, теории информации, теории массового обслуживания, статистической механики. Теоремам о больших уклонениях посвящены работы многих авторов. Одними из первых в этой области исследования были работы Г. Крамера и Г. Чернова, в которых рассматривались теоремы о больших уклонениях для сумм независимых случайных величин. Затем эти теоремы начали распространяться на цепи Маркова, случайные процессы с непрерывным временем и на другие более сложные по структуре семейства случайных элементов. Различают два типа теорем о больших уклонениях. Первый тип - это теоремы, дающие асимптотику логарифма вероятности уклонения, так называемые, “грубые” теоремы о больших уклонениях. Второй тип - это теоремы, дающие асимптотику самих вероятностей, так называемые, “точные” теоремы о больших уклонениях.

Диссертация посвящена “грубым” теоремам о больших уклонениях для логарифма отношения правдоподобия и их применению к исследованию асимптотического поведения показателей качества критериев при различении простых гипотез для семейств общих статистических экспериментов. В данном случае мы имеем дело с семейством расширенных случайных величин, являющихся логарифмами отношения правдоподобия. В настоящее время имеется серия работ, в которых установлены “грубые” теоремы о больших уклонениях для семейств произвольных случайных величин. Среди них отметим работы Г.Л. Сиверса, Д. Плачки и Дж. Штайнебаха, Дж. Штайнебаха, Р.С. Эллиса, Ж.Д. Дюшеля и Д. Струка и другие. Методы доказательства теорем о больших уклонениях, применяемые в этих работах, используются с соответствующими модификациями в диссертации. Эти модификации связаны с одной стороны с тем, что рассматриваются семейства случайных величин, представляющих собой логарифм отношения правдоподобия, а с другой стороны с тем, что в рассматриваемых предельных теоремах имеют место вырождения областей определения и значения функции уклонения.

В диссертации полученные результаты для общей схемы статистических экспериментов применяются к процессу нормальной авторегрессии. Отметим, что ранее эта задача рассматривалась, когда при одной гипотезе этот процесс является эргодическим, а при другой - любым в работе М.И. Медведевой. В нашем случае этот процесс является произвольным как при одной, так и при другой гипотезах. Также рассмотрена задача проверки двух простых гипотез для статистических экспериментов, порождаемых наблюдениями процессов экспоненциальной авторегрессии.

Для этих задач установлены предельные теоремы о поведении соответствующих интегралов Хеллингера, которые дают условия справедливости теорем о больших уклонениях. На основании полученных результатов доказаны теоремы о больших уклонениях для логарифма отношения правдоподобия в задаче различения процессов нормальной авторегрессии и процессов экспоненциальной авторегрессии.

Далее исследована зависимость между скоростями убывания вероятностей ошибок 1-го и 2-го рода критерия Неймана-Пирсона в случае, когда справедливы теоремы о больших уклонениях для логарифма отношения правдоподобия в задаче проверки гипотез для статистических экспериментов, порождаемых наблюдениями процессов нормальной авторегрессии и процессами экспоненциальной авторегрессии.

Ключевые слова: процесс авторегрессии, теоремы о больших уклонениях, отношение правдоподобия, интеграл Хеллингера, критерий Неймана-Пирсона.

Ie O.N. "Limit theorems in problems of statistics of autoregressive processes". - Manuscript.

Thesis for candidate's degree (physical and mathematical sciences) by speciality 01.01.05 - probability theory and mathematics statistics. - The Institute of Applied Mathematics and Mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Donetsk, 2004.

The thesis are devoted to the investigation of the problem of testing of hypotheses in case of statistical experiments that are generated by observation of the normal autoregressive processes and by exponential autoregressive processes.

The large deviation theorems for logarithm of likelihood ratio are proved and the relation between the rate of decrease of the 2nd type error probability and the rate of decrease of the level for Neyman-Pearson test is investigated.

Key words: autoregressive processes, large deviation theorems, likelihood ratio, Hellinger integral, Neyman-Pearson test.

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Дисертаційна робота присвячена розв'язанню задач перевірки гіпотез у випадку статистичних експериментів, що породжуються спостереженнями процесів нормальної авторегресії та процесами експоненціальної авторегресії за допомогою теорем про великі відхилення для логарифму відношення правдоподібності. Отримані результати застосовуються для дослідження залежності швидкості спадання ймовірностей помилок 2-го роду від швидкості спадання рівня критерію Неймана-Пірсона.

Актуальність теми. Граничні теореми про великі відхилення відіграють важливе значення в математичній статистиці, теорії інформації, теорії масового обслуговування, статистичній механіці та інших галузях. За допомогою цих теорем розрізняють альтернативні ситуації з дуже високою надійністю. Починаючи з класичних праць Г. Крамера (Крамер Г. Об одной новой предельной теореме теории вероятностей//Успехи мат. наук.-1944. -Вып. 10.- С. 166 -178.) і Г. Чернова (Chernoff H. A measure of asymptotic efficiency for test of a hypotheses based on the sums of observations//Ann. Mat. Statist., -1952. - 23, № 4. - P. 493 - 507) теоремам про великі відхилення присвячені дослідження багатьох авторів. При цьому в перших працях розглядалися теореми про великі відхилення для сум незалежних випадкових величин. Потім, ці теореми почали поширюватися на ланцюги Маркова, випадкові процеси з неперервним часом і на інші більш складні за структурою сім'ї випадкових елементів. Відзначимо тут праці Р.Р. Бахадура, І.Н. Санова, Л. Бірже, О.О. Боровкова і О.О. Могульского, Р.С. Елліса. Розрізняють два типа теорем про великі відхилення. Перший тип - це теореми, які дають асимптотику логарифма ймовірності відхилення, так звані, “грубі” теореми про великі відхилення. Другий тип - це теореми, які дають асимптотику самих ймовірностей, так звані, “точні” теореми про великі відхилення.

Ця робота присвячена “грубим” теоремам про великі відхилення в задачі розрізнення статистичних гіпотез. Точніше “грубим” теоремам про великі відхилення для логарифму відношення правдоподібності і їх застосуванню до дослідження асимптотичної поведінки показників якості критеріїв при розрізненні простих гіпотез для сімей загальних статистичних експериментів. У даному випадку ми маємо справу із сім'єю розширених випадкових величин, які є логарифмами відношення правдоподібності. Зараз існує серія праць, в яких установлені “грубі” теореми про великі відхилення для сімей довільних випадкових величин. Серед них відзначимо праці Г.Л. Сіверса, Д. Плачки і Дж. Штайнебаха, Р.С. Елліса, Ж.Д. Дюшеля і Д. Струка. Методи доведення теорем про великі відхилення, що застосовуються в цих роботах, використовуються з відповідними модифікаціями в даній дисертації. Ці модифікації зв'язані з одного боку, з тим, що розглядаються сім'ї випадкових величин, які являють собою логарифм відношення правдоподібності, а з другого боку з тим, що в граничних теоремах, які розглядаються, мають місце виродження областей визначення і значення функції правдоподібності. Здобуті в роботі теореми про великі відхилення для відношення правдоподібності застосовуються до дослідження асимптотичної поведінки ймовірностей помилок критерію Неймана-Пірсона у випадку перевірки простих гіпотез. Ця задача раніше розглядалася для деяких конкретних моделей спостережень. Так, наприклад, в працях Г.Чернова, Р.Р. Бахадура, Л. Бірже, О.О. Боровкова і О.О. Могульского розглядаються спостереження незалежних однаково розподілених випадкових величин. Відзначимо також роботу Е.А. Арутюняна (Арутюнян Е.А. Об асимптотически оптимальном различении гипотез относительно цепи Маркова//Изв. АН Арм. ССР. Математика. -1988. -23, № 1.- С. 76-80), в якій спостереження є ланцюг Маркова, роботу Ю.М. Лінькова (Линьков Ю.Н. Большие уклонения в задаче различения считающих процессов//Укр. мат. журн. -1993.-45, № 11. - С. 1514 -1521), в якій розглядаються процеси с незалежними приростами, роботу Ю.М. Лінькова і М.І. Медведевой (Теоремы о больших уклонениях в задаче различения процессов нормальной авторегрессии//Теория случайных процессов. -1995.-1(17), №1.- С. 71 -81), в якій розглядаються процеси нормальної авторегресії та інші. Названі праці присвячені застосуванню теорем про великі відхилення до дослідження поведінки ймовірностей помилок критерію Неймана-Пірсона.

В дисертаційній роботі розглянута задача розрізнення двох простих гіпотез для статистичних експериментів, що породжуються спостереженнями процесів нормальної авторегресії. Відзначимо, що раніше ця задача розглядалася в роботі Ю.М. Лінькова і М.І. Медведевой (Теоремы о больших уклонениях в задаче различения процессов нормальной авторегрессии//Теория случайных процессов. -1995.-1(17), №1.- С. 71 -81), коли при одній гіпотезі цей процес є ергодичним, а при другій гіпотезі - будь-яким. В нашій роботі цей процес є довільним як при одній, так і при другій гіпотезах. Крім того, розглянута задача розрізнення процесів експоненціальної авторегресії

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації пов'язана з науковими дослідженнями відділу теорії ймовірностей та математичної статистики ІПММ НАН України, її результати використані при виконанні наукової програми 1.1.4.5. “Граничні теореми для випадкових процесів та їх застосування у задачах статистики процесів та стохастичних диференціальних рівнянь” № 0199U001611.

Мета роботи. Дослідити теореми про великі відхилення для логарифму відношення правдоподібності як у задачі розрізнення процесів нормальної авторегресії, так і у задачі розрізнення процесів експоненціальної авторегресії і здобуті теореми застосувати до аналізу поведінки ймовірностей помилок першого та другого роду критерію Неймана-Пірсона.

Методика дослідження. У роботі використовуються граничні теореми теорії ймовірностей, методи загальних статистичних експериментів та методи опуклого аналізу.

Наукова новизна отриманих результатів. У роботі одержані наступні нові результаті:

встановлено граничні теореми про поведінку відповідних інтегралів Хеллінгера, які вказують умови вірності теорем про великі відхилення;

доведено теореми про великі відхилення для логарифму відношення правдоподібності в задачі розрізнення двох простих гіпотез для статистичних експериментів, що породжуються спостереженнями процесів нормальної авторегресії та процесами експоненціальної авторегресії;

досліджено поведінку ймовірностей помилок критерію Неймана-Пірсона, коли вірні теореми про великі відхилення для логарифму відношення правдоподібності у задачі розрізнення процесів нормальної авторегресії та процесів експоненціальної авторегресії;

досліджено взаємозв'язок між швидкостями спадання ймовірностей помилок 1-го і 2-го роду критерію Неймана-Пірсона у випадку, коли виконуються теореми про великі відхилення для логарифму відношення правдоподібності.

Практичне значення отриманих результатів. Отримані в дисертації результати мають теоретичний характер в теорії оцінювання та перевірки гіпотез. Ці результати можна використовувати для подальших досліджень в тих галузях, де потрібно розрізняти альтернативні ситуації з дуже високою надійністю.

Особистий внесок здобувача. У роботах [1], [3] належать формулювання задачі і керівництво роботою, результати ж отримані автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались на I Українсько-Скандинавській конференції “Стохастичні динамічні системи: теорія і використання”, Ужгород, Україна, 30 вересня - 6 жовтня 1995 р.; II Всеросійській школі-колоквіумі за стохастичними методами, Йошкар-Ола, 18-25 грудня 1995 р.; III Всеросійській школі-колоквіумі за стохастичними методами, Туапсе, 17-24 вересня 1996 р.; II Скандинавсько-Українській конференції з математичної статистики, 8-13 червня 1997 р.; Донецькому колоквіумі “Ймовірність та статистика”, присвяченому 80-річчю від дня народження І. І. Гіхмана, Донецьк, 24-27 травня 1998 р.; Міжнародному літньому семінарі “Стохастичні динамічні системи”, Судак, Крим, Україна, 30 травня - 3 червня 2003 р.; VII Міжнародної школи з математичних та статистичних методів в економіці, фінансах та страхуванні, Ласпі, Україна, 8-13 вересня 2003 р.; семінарі кафедри математичного аналізу та теорії ймовірностей Національного технічного університету України (КПІ), 18 вересня 2003 р. (керівники доктор фіз.-мат. наук, професор Булдигін В.В, доктор фіз.-мат. наук, професор Козаченко Ю.В.); семінарах відділу теорії ймовірностей та математичної статистики Інституту прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 1995 - 2002 р. р. (керівник доктор фіз.-мат. наук, професор ).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в працях [1]-[11], з яких [1], [2] та [4] надруковані у виданнях з переліку № 1, затвердженого ВАК України.

Структура та об'єм роботи. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел, викладена на 157 сторінках машинописного тексту. Список літератури містить 109 найменувань.

2. ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовується актуальність теми, подаються мета та задачі дослідження, наукова новизна, практичне значення, апробація та зміст роботи. У першому розділі зроблено огляд результатів, які мають безпосереднє відношення до теми дисертації.

Другий розділ має допоміжний характер. В ньому введені загальні означення та припущення, що використовуються нижче у всій роботі. Нехай - сім'я статистичних експериментів, породжуваних спостереженнями , взагалі кажучи, довільної природи, де (відповідно ) - імовірнісна міра, яка задає розподіл спостереження , коли вірна гіпотеза (відповідно ).

Вводиться інтеграл Хеллінгера порядку для мір і і наводяться деякі, необхідні в роботі властивості інтегралу Хеллінгера . Для перевірки двох простих гіпотез і розглядається критерій Неймана-Пірсона рівня , вигляду

,

де - індикатор множини ,

- логарифм відношення правдоподібності,

а , - параметри критерію , що визначаються значенням рівня .

Крім того, у другому розділі зібрані основні властивості опуклих функцій і перетворень Лежандра-Фенхеля, які використовуються потім у всій роботі.

Введена наступна умова для будь-якого існує границя

,

де при , а - деяка власна опукла функція, диференційована на і , де

, ,

, .

Також визначено означення, які використовуються у роботі

, якщо ,

, якщо .

У розділі 2 наведено теореми про великі відхилення для логарифму відношення правдоподібності в задачі розрізнення двох простих гіпотез для статистичних експериментів довільної природи та теорема, яка встановлює взаємозв'язок між швидкостями спадання ймовірності помилки першого роду та ймовірності помилки другого роду критерію Неймана-Пірсона у випадку, коли виконується умова .

У розділі 3 доведено граничні теореми про великі відхилення для логарифму відношення правдоподібності у задачі розрізнення процесів нормальної авторегресії та теореми, які встановлюють взаємозв'язок між швидкостями спадання ймовірності помилки першого роду та ймовірності помилки другого роду критерію Неймана-Пірсона .

Розглядаються спостереження , процесу нормальної авторегресії вигляду

, (1)

де , - невідомий параметр, а - незалежні стандартні гаусові величини.

Розглядається задача перевірки двох простих гіпотез і , які полягають у тому, що розподіл спостереження задається мірою і відповідно, де і - фіксовані точки із і . Раніше у роботі Ю.М. Лінькова і М.І. Медведевой (Теоремы о больших уклонениях в задаче различения процессов нормальной авторегрессии//Теория случайных процессов. -1995.-1(17), №1.- С. 71 -81) розглядався лише випадок і , тобто коли процес авторегресії (1) при гіпотезі є ергодичним.

У розділі 3 отримано вигляд величин і , де , .

Доведена теорема про асимптотичну поведінку інтеграла Хеллінгера при .

Теорема 3.1. Для всіх існує границя

, (2)

де для будь-якого

, (3)

причому у випадку і у випадку обчислюються за формулою (3) (тут вважається ). у випадку , у випадку і для всіх , а величині і мають вигляд

,

.

Поряд з випадком фіксованих гіпотез наведено випадок близьких гіпотез, коли розглядається вибірка , у схемі серій спостережень процесу нормальної авторегресії вигляду

, ,

де , - незалежні стандартні гаусові величини. Причому припускаємо, що не залежить від і записуємо , а залежить від таким чином, що при . Тоді має місце наступна теорема про асимптотичну поведінку при .

Теорема 3.2.

1. Нехай , а залежить від так, щоб і при . Тоді для будь-якого існує границя

, (4)

, .

2. Нехай . Тоді справедливі наступні два твердження.

а) Якщо і або і , де залежить від так, щоб і при , то для всіх існує границя (4), де при , і при .

b) Якщо і або і , де залежить від так, щоб і при , то для всіх існує границя (4), де при і при .

3. Нехай , а залежить від так, щоб і при . Тоді для будь-якого існує границя (4), де при , і при .

Використовуючи теореми із розділу 2, отримано теореми про великі відхилення для логарифму відношення правдоподібності у задачі розрізнення процесів нормальної авторегресії як при гіпотезі , (теореми 3.3, 3.5) так і при гіпотезі (теореми 3.4, 3.6).

Далі у розділі 3 досліджується поведінка швидкостей спадання ймовірності помилки першого роду та ймовірності помилки другого роду критерію Неймана-Пірсона у задачі розрізнення процесів нормальної авторегресії. Одержано наступний результат.

Теорема 3.7. Вірні наступні твердження:

1) для будь-якого

,

де , а - єдиний розв'язок рівняння ;

2) для кожного

,

а для будь-якого

,

3) для кожного

,

для будь-якого

,

де .

Для обчислення функції потрібно знайти розв'язок рівняння . У свою чергу, для визначення вигляду функції необхідно знайти розв'язок рівняння в області . Так як функція , що визначається рівністю (3) є строго опуклою і диференційованою для всіх , то такий розв'язок існує і єдиний. Однак у загальному випадку не вдається знайти явний вигляд розв'язку рівняння . Це можна зробити лише для деяких значень параметрів і . У розділі 3 пропонується метод обчислення функції без обчислення розв'язків рівнянь і . При цьому використовується методика, яка була розроблена раніше у роботі Ю.М. Лінькова і М.І. Медведевой (Об одном методе вычисления скорости убывания вероятностей ошибок критерия Неймана - Пирсона при различении процессов авторегрессии//Теория случайных процессов. - 1995.- 1(17), № 1. - С. 60-70.) для випадку, коли процес авторегресії (1) при гіпотезі є ергодичним. Нехай

.

Теорема 3.10. Для будь-якого

,

де , причому

,

,

, ,

а - єдиний розв'язок рівняння у відповідній області змінювання .

При цьому виписано вигляд величин і , а для кожного значення і параметрів зазначена область значень для визначення розв'язку рівняння .

У розділі 4 доведені граничні теореми про великі відхилення для логарифму відношення правдоподібності та теореми, які встановлюють взаємозв'язок між швидкостями спадання ймовірності помилки першого роду та ймовірності помилки другого роду критерію Неймана-Пірсона у задачі розрізнення процесів експоненціальної авторегресії .

Розглядаються спостереження , процесу експоненціальної авторегресії вигляду

, , (5)

де - невідомий параметр, а - незалежні однаково розподілені випадкові величини, які мають показниковий розподіл з щільністю при і при . Розглядається задача перевірки двох простих гіпотез і , які полягають у тому, що розподіл спостереження задається мірою і відповідно, де .

У розділі 4 також розглядається випадок фіксованих гіпотез, коли і не залежать від , та випадок близьких гіпотез, коли розглядається вибірка , у схемі серій спостережень процесу авторегресії вигляду

, ,

де , а і залежать від так, щоб при .

Обчислено інтеграл Хеллінгера порядку для мір і

при і

при , де

, .

Доведена наступна теорема про асимптотичну поведінку інтеграла Хеллінгера при .

Теорема 4.1. Якщо і , то для будь-якого існує границя (2), де у випадку

, ,

а у випадку

, .

Далі наведено випадок близьких гіпотез, коли не залежить від , а залежить від , причому при . В цьому випадку справедлива наступна теорема про асимптотичну поведінку при .

Теорема 4.2. Нехай , а залежіть від так, щоб і при . Тоді для всіх існує границя (4), де у випадку функція при і при , а у випадку функція при і при , і .

Отримані результати далі застосовуються при доведенні теорем про великі відхилення у задачі розрізнення процесів експоненціальної авторегресії (теореми 4.3 і 4.4).

Досліджується поведінка швидкостей спадання ймовірностей помилок першого та другого роду критерію Неймана-Пірсона у задачі розрізнення процесів експоненціальної авторегресії. Причому знайдено явний вигляд функцій і для різних значень параметрів і .

Далі у розділі 4 доведено теореми про великі відхилення у задачі розрізнення асимптотично критичних процесів експоненціальної авторегресії. Припускається, що і залежать від , причому і при . Випадок, коли для процесу експоненціальної авторегресії модуль параметра дорівнює 1, є критичним, так як при процес є стійким (ергодичним), а при - нестійким. Тому випадок, що досліджується у цьому розділі, можна розглядати як випадок приблизно (асимптотично) критичних процесів експоненціальної авторегресії.

Доказано теореми, які дають умови існування границі (4) при різних способах устремління і та дають вигляд функції і норміровки .

Теорема 4.7.

Нехай і .

1) Якщо і залежать від так, щоб , , і при . Тоді для всіх існує границя (4), де і при і при .

2) Якщо і залежать від так, щоб , , і при . Тоді для всіх існує границя (4), де функція при і при , а .

Теорема 4.8. Нехай .

1) Якщо , , і , при . Тоді для всіх існує границя (4), де і при і при .

2) Якщо , , і , при . Тоді для всіх існує границя (4), де функція при і при , а .

Використовуючи теореми 4.7 і 4.8 отримано теореми про великі відхилення у задачі розрізнення асимптотично критичних процесів експоненціальної авторегресії (теореми 4.9 і 4.10).

Наступні теореми встановлюють взаємозв'язок між швидкостями спадання рівня і ймовірністю помилки 2-го роду критерію при різних способах устремління і .

Теорема 4.11. Нехай . Тоді вірні наступні твердження:

1) для будь-якого

, (6)

,

а - єдиний розв'язок рівняння відносно ;

2) для кожного

;

3) для будь-якого

,

а для кожного

 . (7)

Теорема 4.12. Нехай . Тоді вірні наступні твердження:

1) для будь-якого вірна імплікація (6), де , а - єдиний розв'язок рівняння при відносно ;

2) для кожного

,

а для будь-якого

;

3) для будь-якого

. (8)

Теорема 4.13. Нехай . Тоді справедливі наступні твердження:

1) для кожного має місто імплікація (6), де , а - єдиний розв'язок рівняння відносно ;

2) для будь-якого

;

3) для кожного

,

а для будь-якого має місто імплікація (7).

Теорема 4.14. Нехай . . Тоді вірні наступні твердження:

1) для будь-якого вірна імплікація (6), де , а - - єдиний розв'язок рівняння при відносно ;

2) для будь-якого

 ,

а для будь-якого

;

3) для будь-якого

,

а для будь-якого справедлива імплікація (8).

На закінчення автор висловлює подяку науковому керівнику, професору за увагу до роботи.

ВИСНОВКИ

Встановлено граничні теореми про поведінку відповідних інтегралів Хелінгера, які вказують умови вірності теорем про великі відхилення.

Доведено теореми про великі відхилення для логарифму відношення правдоподібності в задачі розрізнення двох простих гіпотез для статистичних експериментів, що породжуються спостереженнями процесів нормальної авторегресії та процесами експоненціальної авторегресії.

Досліджено поведінку ймовірностей помилок критерію Неймана-Пірсона, коли вірні теореми про великі відхилення для логарифму відношення правдоподібності у задачі розрізнення процесів нормальної авторегресії та процесів експоненціальної авторегресії.

Досліджено взаємозв'язок між швидкостями спадання ймовірностей помилок 1-го і 2-го роду критерію Неймана-Пірсона у випадку, коли виконуються теореми про великі відхилення для логарифму відношення правдоподібностей.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ДИСЕРТАЦІЇ ОПУБЛІКОВАНО У ПРАЦЯХ

1. Lin'kov Yu.N., Ladan O.N. Large deviations in the testing problems for the normal autoregressive processes//Theory of Stochastic Processes, Vol. 4(20), no. 1-2, 1998. - P. 37 - 53.

2. Ие О.Н. Вычисление скорости убывания вероятностей ошибок критерия Неймана-Пирсона для процессов нормальной авторегрессии//Труды института прикладной математики и механики, Том 5, 2000. - С. 69 - 78.

3. Ие О.Н., Линьков Ю.Н. Теоремы о больших уклонениях в задаче различения процессов экспоненциальной авторегрессии//Донецький національний університет. Прикладна статистика. Актуарна та фінансова математика, №2, 2001. С. 68 - 79.

4. Ие О.Н. Большие уклонения в задаче различения асимптотически критических процессов экспоненциальной авторегрессии//Труды института прикладной математики и механики, Том 8, 2003. - С. 39 - 48.

5. Ие О.Н. Теоремы о больших уклонениях в задаче различения асимптотически критических процессов экспоненциальной авторегрессии//Донецький національний університет. Прикладна статистика. Актуарна та фінансова математика, №2, 2002. С. 89 - 99.

6. Медведева М.И., Ладан О.Н. Большие уклонения в задаче различения процессов нормальной авторегрессии//Обозрение прикладной и промышленной математики. Тез. докл. Том 4, вып. 3, 1997.

7. Ладан О.Н. Теоремы о больших уклонениях в задаче различения процессов нормальной авторегрессии//Донецкий Коллоквиум “Вероятность и статистика”, посвященный 80-летию И.И. Гихмана, Донецк, Украина, 24-27 мая 1998 г. - Тез. докл.

8. Линьков Ю.Н., Ие О.Н. Об одном методе вычисления вероятностей ошибок различения процессов авторегрессии//Обозрение прикладной и промышленной математики, Том 7, вып. 2, 2000. - Тез. докл.

9. Lin'kov Yu.N., Ie O.N. Large deviations in hypothesis testing problems for autoregressive processes//The Internatonal Conference “Stochastic Analysis and its Applications”, 10-17 June 2001, Lviv, Ukraine, abstracts of Communications.

10. Ие О.Н. Большие уклонения в задаче различения асимптотически критических процессов экспоненциальной авторегрессии//Seventh international school on mathematical and statistical methods in economics, finance and insurance, 8-13 September 2003, Laspi, Ukraine, abstracts of Communications.

11. Ie O.N. Theorems about large deviation in problems of testing asymptotically critical exponential autoregression processes//International summer seminar “Stochastic Dynamical systems”, May 30 - June 3 2003, Sudak, Crimea, Ukraine, abstracts of Communications.

Размещено на Allbest.ru

...