Особливістю зазначених методів є неперервний характер моделі, орієнтація на визначений вид функцій. Найбільш розробленим серед них є МНК, що володіє наступними перевагами:

- глибоко розроблена теорія;

- диференціюємість функції-критерію;

- ефективні розрахункові алгоритми;

- відповідність переважній більшості випадкових явищ і процесів, для яких характерна велика кількість незалежних факторів, серед яких жоден не є переважним.

Однак, усі ці методи не можуть повною мірою задовольнити вимоги ДГМ:

- простота розрахунків і висока точність;

- запобігання осциляції;

- локальність розрахунків;

- можливість корекції окремих ділянок.

У напрямку ДГМ важливі наукові результати отримані С.М. Грибовим і його учнями по моделюванню кривих скінчених сум; С.М. Ковальовим і його учнями по моделюванню дискретно представлених кривих (ДПК) і поверхонь (ДПП) статико-геометричним методом; Є.В. Пугачовим по дослідженню осциляції ДПК і ДПП у багатовимірному просторі.

Найбільш повно теоретичні основи ДГМ, основні його моделі і напрямки їхнього удосконалювання досліджені в роботах В.М. Найдиша і його учнів. При цьому основна увага приділена дискретній інтерполяції (згущенню) ДПК як у лінійних, так і в кутових параметрах, питанням локальної корекції розв'язку і запобігання осциляції.

Найбільш близькі до даної роботи дослідження С.О. Боєва по конструюванню дискретних сплайнів на основі згладжування різниць заданого порядку для заданих точок за критерієм МНК.

Формується задача дослідження, що полягає в розробці дискретного методу найменших квадратів, його алгоритмічної, обчислювальної і програмної реалізації й у розв'язанні задач апроксимації експериментальних даних, задач економіко-математичного моделювання і задач прогнозування деяких процесів в АПК.

Розділ 2 присвячений розробці й обґрунтуванню теоретичних основ дискретного методу найменших квадратів (ДМНК).

Суть його полягає в наступному:

Алгоритм 1.

Вибирається залежність між ординатами апроксимуючої ДПК і визначальними її параметрами

; (1)

Призначаються керуючі параметри і записуються ординати інших точок

; (2)

Записується умова ДМНК

; (3)

Диференціюється F по кожному з параметрів

(4)

Розв'язується система нормальних рівнянь (4) і визначаються

;

Розраховуються ординати решти інших точок

з (2);

Визначаються відхилення і значення F з (3).

У такий спосіб його відмінність від класичного МНК полягає в тім, що в класичному МНК задається вид апроксимуючої функції, що лінійно залежить від своїх коефіцієнтів, і в процесі розв'язання нормальної системи рівнянь визначаються значення коефіцієнтів цієї функції, що наближає шукану функцію за критерієм мінімуму суми квадратів відхилень. У ДМНК задається не вид апроксимуючої функції, а співвідношення між ординатами її точок з урахуванням деяких параметрів (наприклад, різниць) у залежності від деяких базових керуючих ординат (пункт 1 і 2 алгоритму), а потім у процесі розв'язання системи нормальних рівнянь (не тієї, що в МНК) визначаються шукані значення керуючих ординат і (або) параметрів.

Таким чином, алгоритм ДМНК відрізняється від аналогічного алгоритму МНК першими двома пунктами і формою представлення апроксимуючої функції. У МНК - це неперервне (континуальне) представлення, у ДМНК - дискретне представлення.

Розглядаються дискретні представлення деяких функцій. Найбільш розповсюдженими є алгебраїчні поліноми у формі Лагранжа, Ньютона й ін. Необхідно в пункті 1 і 2 алгоритму одержати залежність довільної і-ї ординати від керуючих ординат. Наприклад для 3 - поліному нехай керуючими ординатами будуть y_o, у₁, у₂, y_3. Найбільш зручною формою представлення є запис у вигляді визначника (5).

, (5)

Якщо сюди підставити задане значення абсциси х_і, то, розкриваючи визначник по елементах першого стовпця одержимо шукану залежність у_і від керуючих ординат y_o, у₁, у₂, y₃ при заданих їхніх абсцисах.

Аналогічні представлення можна скласти для інших поліномів, (синусного, косинусного, показникового).

Значно бі?льшими можливостями володіють дискретні представлення на основі скінчених або розділених різниць. Для перших розділених різниць маємо

, ; (6)

для других

; (7)

для третіх розділених різниць

, . (8)

Тут - значення відповідних (індекс угорі) різниць апроксимуючого ряду.

При цьому можна істотно розширити клас функцій апроксимації й одержати невідомі нам функції (а не тільки поліноми).

Подальші дослідження присвячені особливостям застосування ДМНК при різних дискретних представленнях апроксимуючих функцій. На рис. 1 представлений результат дискретної апроксимації деякої ДПК алгебраїчним поліномом на рівномірній сітці. Зокрема, для параболи 2 - го порядку дискретне представлення має вигляд (9).

 (9)

Призначаючи в якості керуючих параметрів значення , , , визначаємо залежності інших ординат від зазначених параметрів.

(10)

Потім, підставляючи їх в умову (3) і розв'язуючи систему нормальних рівнянь (4) визначаємо шукані значення , , , розраховуємо інші ординати , , , відхилення і значення F відповідно до алгоритму.

Дискретні представлення поліномів дають можливість, на відміну від класичного МНК, здійснити кускову апроксимацію. Наприклад, на рис. 2 вихідний точковий ряд апроксимується ламаною лінією, що складається з трьох ділянок.

Локальні ділянки призначаються за величиною розкиду відповідних різниць (у даному випадку при кусково-лінійному наближенні беруться до уваги перші різниці).

При цьому можна оптимізувати значення критерію F на кожній з ділянок (локальна оптимізація) або на всіх трьох ділянках одночасно (сумарно), так звана глобальна оптимізація. У роботі показується, що сума локальних значень критерію завжди більше глобального значення, тобто глобальна кускова апроксимація за значенням критерію завжди дає кращий результат.

Перевага кускової дискретної апроксимації полягає в тім, що вона дозволяє розглядати апроксимуючу криву, що складається з відрізків різних кривих, тобто обводи. Особливістю дискретного представлення апроксимуючого обводу в цьому випадку є те, що число точок на локальних ділянках повинне перевищувати число параметрів, що визначають локальну дугу; вузлова точка здійснює зв'язок між керуючими точками попередньої і наступної дуг обводу. Наприклад, при глобальній оптимізації на рис. 2 керуючими точками можна призначити 0,1,4,6. По кількості параметрів це рівносильно застосуванню 3-полінома як апроксимуючої функції, але кусково-лінійна апроксимація простіше в розрахунках і точніше.

Логічним розвитком цього підходу є кусково-гладкі наближення, коли сусідні дуги мають, на відміну від попереднього випадку, по 2 і більше спільних точок.

На рис. 3 показана апроксимація деякого точкового ряду кривою лінією, що складається з дуг двох парабол, що мають дві спільні точки 3 і 4. Результати локальної і глобальної апроксимації, підтверджують зроблений раніше висновок про переваги глобальної апроксимації перед локальною, а також у порівнянні з тим, якби апроксимація проводилася не складеною кривою, а єдиною параболою.

Найкраще значення F має при глобальній кусково-гладкій апроксимації. Керуючими точками тут є 0,1,2,5.

Ще кращих результатів можна домогтися, скориставшись дискретними представленнями функцій за допомогою різниць (6), (7), (8). Якщо в представленні (11)

(11)

у якості перших скінчених різниць вибрати їхні значення для заданого ряду, то, розв'язуючи за алгоритмом, одержимо дискретну функцію, що інтерполює. Значення критерію F=0.

Суть пропонованого способу складається в згладжуванні наявних значень якою-небудь функцією за методом ДМНК, оскільки ці значення обтяжені похибками. Одержимо згладжені значення різниць (рис. 4), що визначають апроксимуючу функцію з точністю до паралельного переносу (параметр ).

Значення знову визначається за ДМНК на основі дискретного представлення (11). У порівнянні з кусково-параболічним наближенням (рис. 3) де F = 86,1569, тут F = 55,7527, що значно краще.

Дискретне представлення функції на основі других скінчених різниць , аналогічне (7), має вигляд:

(12)

На рис. 5 представлене згладжування дискретним методом найменших квадратів других скінчених різниць для ДПК тестового приклада поліномом 4-го ступеня. Згладжені значення підставляються в (12) замість і проводиться ДМНК - наближення ординат , де визначаються шукані значення і . Описане розв'язання дає значення критерію F=1,5432, у багато разів краще попередніх.

Відзначимо ще одну особливість пропонованого способу. Згладжування 2-х різниць 4-поліномом з наступною апроксимацією точкового ряду зі згладженими їхніми значеннями в деякому змісті рівносильно апроксимації вихідної ДПК відразу 6-поліномом. Таким чином, викладений підхід дозволяє розкласти досить складну задачу апроксимації 6-поліномом послідовно на дві прості: спочатку апроксимації 4-поліномом 2-х різниць, а потім двопараметрична апроксимація самого точкового ряду.

Великий практичний інтерес представляє двоїста задача лінійної апроксимації, а саме: визначити точку В, сума квадратів відхилень якої від заданих прямих ліній є мінімальною. Ця задача в роботі розв'язується в 2 етапи:

1. Перенесення до простору параметрів за методом проф. Найдиша А.В. При цьому заданим прямим лініям у просторі параметрів відповідають точки;

2. Розв'язання прямої задачі в просторі параметрів, що дає там МНК-пряму щодо перенесених точок. Цій прямій лінії при зворотному переносі відповідає шукана точка.

Важливим важелем корекції розв'язку є застосування вагових коефіцієнтів при ДМНК - апроксимації. Введення коефіцієнтів дозволяє наблизити розв'язок до заданого вузла або віддалити від нього. Значення критерію F розраховується за формулою . Чим більше значення коефіцієнта , тим ближче розв'язок до заданої точки. При цьому значення F у порівнянні з випадком, коли = 1, буде більше.

Введення вагових коефіцієнтів в алгоритм ДМНК дозволяє, застосовуючи методику Мудрова В.І., реалізувати варіаційно-зважені наближення (метод найменших модулів, що відповідає критерієві НСВ). Процес носить ітераційний характер. На кожнім кроці ітерацій ваговий коефіцієнт для даної точки є величина, зворотна відхиленню на попередньому кроці.

Особливістю дискретного методу найменших квадратів є те, що в процесі розв'язання отримується апроксимуючий точковий ряд на тій же сітці. При конструюванні динамічних обводів треба здійснювати згущення побудованої ДПК, що виходить за рамки задачі дискретної апроксимації. Згущення можна зробити одним з методів дискретної інтерполяції, розроблених ученими Мелітопольської школи. У роботі пропонується здійснити згущення на основі базисних функцій інтерполяції, як найпростішому в програмній реалізації. У роботі отримані формули розрахунку точок згущення на основі алгебраїчних поліномів.

Продемонстровані в другому розділі способи розв'язання задач дискретним МНК не гарантують запобігання осциляції, тому що умови опуклості розв'язку не включені в алгоритм 2. Додавання цих умов приводить до задачі квадратичного програмування, що у роботі вирішується методом множників Лагранжа.

Алгоритм 2.

1. Записується функція Лагранжа

(13)

2. Вводиться система обмежень:

- на опуклість апроксимуючої ДПК

(14)

- на функцію L

(15)

3. Розв'язується задача лінійного програмування для (13) і (14) і визначаються шукані .

4. Розраховуються відхилення і значення критерію F.

При цьому можливі 2 випадки:

- з урахуванням апроксимуючої функції, коли в систему обмежень (п. 2 алгоритму 2) вводиться дискретне представлення апроксимуючої функції. Найкраще ввести його через згладжені розділені різниці (6) або (7). Це включення не додає ніяких складностей при комп'ютерній реалізації.

- без урахування апроксимуючої функції, коли розв'язання здійснюється цілком за алгоритмом 2. Досвід моделювання показав, що включення будь-якої функції в процесі апроксимації приводить до того, що властивості функції так чи інакше виявляються в розв'язку, як правило, погіршуючи його. Завдання полягає в побудові розв'язку, вільного від якої б то не було функції. Такий розв'язок проілюстровано на рис. 6. Воно є екстремальним, тобто його неможливо поліпшити.

Наш досвід показав, що в екстремальному розв'язку, як правило, з'являються прямолінійні ділянки. При формуванні динамічних обводів, де потрібна неперервна зміна кривини у вузлах ДПК, це не припустимо. Щоб цього уникнути, у роботі запропонований спосіб корекції прямолінійних ділянок, що спирається на ідеї дискретного геометричного моделювання. Суть способу проілюстрована на рис. 7.

Він полягає в послідовному «скривленні» ділянки розв'язку ,,…, точками половинного поділу відрізків вибору точок корекції (трикутники на рис. 7). З точки 4 проводиться нижній промінь обмеження через задану т. 8 (або точку, обрану замість неї нижче точки розв'язку (кінець ділянки корекції)). Точка корекції поділяє відрізок вибору навпіл. Отримана т. з'єднується з кінцевою точкою і з попередньою точкою . Перший промінь при дає т. , другий - т. . Посередині відрізка знаходиться т. і т.д. Аналогічно виконується корекція спадаючої ділянки . Така корекція поліпшує «динамічність» розв'язку, але погіршує значення критерію F. Вибором точки , як і точки корекції усередині свого відрізка виборів можна здійснювати локальну корекцію розв'язку.

Програмна реалізація методу здійснена в середовищі Maple 4. Розрахункова оболонка PR (програми) складається з окремих програм, що мають однакову модульну структуру. Для прискорення обчислень передбачено розв'язання системи рівнянь наближеними методами.

Розроблений у дисертації метод і його програмне забезпечення може бути з успіхом застосоване у розв'язанні задач економіко-математичного моделювання, зокрема при складанні виробничих функцій (ВФ). У найпростішому варіанті ВФ - це лінія регресії, що є графіком апроксимуючої функції за методом ДМНК. Так наприклад, на рис. 8 приведено відомий з літератури розв'язок, коли лінія регресії - пряма лінія і запропонований в роботі кусково-лінійний розв'язок, що має кращий показник критерію.

Розрахунок базової ВФ із метою визначення ефективності використання ресурсів здійснюється за прийнятою в АПК методикою Василенка Ю.В. У роботі це виконано на основі ДМНК.

У економіко-математичному моделюванні велике значення мають моделі прогнозування. При цьому застосовуються 2 види моделей: - модель тренда з помилкою; - модель процесу.

Багато сільськогосподарських процесів характеризуються статистичними даними, що мають зиґзаґоподібний характер (рис. 9). Для них єдиною моделлю є модель тренда з помилкою, описуваною гармонійною складовою. В роботі прийнята наступна схема: - ламана лінія тренда є сукупністю середніх ліній послідовних трикутників ламаної лінії графіка. У цьому випадку коливання відхилень поточних значень від тренда мінімальні. Значення відхилень дорівнюють половині значень

відповідних других різниць вихідного точкового ряду. Для того, щоб уникнути моделювання коливальної складової процесу, якою є графік других різниць, перетворимо їх у додатну напівплощину так, що додатні значення залишаються такими, а від'ємні стають додатними. Отриманий графік після перетворення піддається (у даному випадку кусково-лінійній) ДМНК - апроксимації, щоб згладити вплив випадкової складової (рис. 10).

Після згладжування проводиться зворотне перетворення так, щоб від'ємні до перетворення значення стали знову від'ємними. Одержуємо зиґзаґоподібне наближення коливальної складової за критерієм МНК. Прогноз здійснюється за поводженням апроксимуючої ДПК. У нашому випадку він дорівнює 22,99 при фактичному значенні 24,10 на 2002 рік. У зв'язку з цим у роботі пропонується відповідна методика побудови моделі прогнозування і її програмна реалізація.

Тестові приклади, а також приклади моделювання виробничих задач показали наступні переваги ДМНК:

1. У результаті дискретного представлення функцій в апроксимації беруть участь не їхні коефіцієнти, а ординати точок і параметри, що дає можливість варіювання значеннями елементів матриці нормальних рівнянь і тим самим, уникаючи занадто великих значень, підвищувати точність.

2. При розрахунках, особливо на основі алгебраїчних поліномів, не беруть участь значення у високому ступені.

3. ДМНК має властивість екстремальності, тобто можна одержати рішення, що неможливо поліпшити.

4. Дискретне представлення на основі різниць (6), (7), (8) дозволяє моделювати без орієнтації на визначений клас функцій.

5. ДМНК дає можливість побудови кусково-лінійних (кусково-гладких) наближень.

На основі проведених у дисертаційній роботі досліджень розв'язана важлива науково-прикладна задача підвищення точності апроксимації дискретно представлених плоских кривих на основі запропонованого в роботі дискретного методу найменших квадратів за рахунок дискретних представлень апроксимуючої функції, реалізації кускових (кусково-гладких) наближень і запобігання осциляції.

Метод дозволяє враховувати дискретні диференціально-геометричні характеристики вихідного точкового ряду, задовольняти множині додаткових вимог, що включаються в систему обмежень при розв'язанні задачі квадратичного програмування, забезпечити одержання екстремальних (що не поліпшуються) розв'язків.

Значення для науки пропонованого методу в тім, що він розвиває основні положення класичного методу найменших квадратів, розширює його можливості в підвищенні точності апроксимації й одержанні екстремальних оцінок.