Про аналiтичнiсть модулiв неперервностi дiйсно-аналiтичнихi кусково-аналiтичних функцiй

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут прикладної математики та механіки

УДК 517.51

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Про аналiтичнiсть модулiв неперервностi дiйсно-аналiтичнихi кусково-аналiтичних функцiй

01.01.01. - математичний аналіз

Потьомкiна Лариса Леонiдівна

Донецьк - 2004

Дисертацією є рукопис модуль функція інтегральний

Робота виконана в Iнституті прикладної математики та механіки

Науковий керівник кандидат фізико-математичних наук, Довгошей Олексій Альфредович, Iнститут прикладної математики та механіки НАН України, старший науковий співробітник відділу

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, профессор, Тригуб Роальд Михайлович, Донецький національний університет, завідувач кафедри математичного аналізу та теорії функцій

кандидат фізико-математичних наук, Швєцова Олександра Михайлівна, Донецька державна академія управління, доцент

Провідна установа: Iнститут математики НАН України (м. Київ), відділ комплексного аналізу та теорії потенціалу

Захист відбудеться “ 25 ” 02 2004 р. о 14 годині на засіданні Спеціалізованої вченої ради К11.193.02 Iнститут прикладної математики та механіки НАН України, 83114, Донецьк, вул. Рози Люксембург, 74.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Iнституту прикладної математики та механіки НАН України, 83114, Донецьк, вул. Рози Люксембург, 74.

Автореферат розісланий “ 23 ” 01 2004 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Чані О.С.

Загальна характеристика роботи

Актуальність роботи. Класичні модулі неперервності першого і більш високих порядків відносяться до основних структурних характеристик функцій і широко використовуються в різних задачах теорії функцій і чисельного аналізу: наближеному розв`язку інтегральних і диференціальних рівнянь, чисельному інтегруванні, опису класів і просторів функцій, прямих і обернених задачах апроксимації поліномами і сплайнами, дослідженні K - функціоналів у теорії інтерполяційних просторів, опису компактних множин в різних просторах функцій. Багато результатів, які відносяться до модулів неперервності представлено у відомих монографіях О.Ф. Тімана, В.К. Дзядика, І.В. Шевчука і книзі G.A. Anastassion, S.G. Gal, яка вийшла.

Добре відомі характеристичні властивості першого модуля неперервності в C[a, b] : () 0 при 0 і напівадитивність

при 0< 1< 2 . Ще в 1910 році Лебег відзначив, що будь-яка функція із цими властивостями є модулем неперервності деякої неперервної періодичної функції. С.М. Нікольський зазначає, що ці властивості характеризують модулі неперервності функцій із C [a, b] і відзначає, що перший модуль неперервності функції з такими властивостями співпадає з вихідною функцією. М.Я. Перельманом аналогічну характеристику встановлено для першого модуля неперервності дійсно-аналітичної функції та доведено аналітичність першого модуля неперервності таких функцій в нулі. О.В. Бєсовим і С.Б. Стєчкіним подано опис функцій, які є L 2-модулями неперервності (для періодичних функцій і функцій із L 2(-, )) і відзначено, що множина функцій, які є L 2-модулями неперервності - це власне підмножина множини модулів неперервності в С.

Цікаві оцінки першого модуля неперервності через другий одержані Р.М. Тригубом. Після результатів А. Зігмунда стало зрозуміло, що другий модуль неперервності, поряд з першим, є однією із основних структурних характеристик функції. Ця характеристика досліджувалася і застосовувалася в роботах О.Л. Виноградова, В.Е. Гейта, G. Anastasion, Г.І. Натансона, В.К. Дзядика, І.В. Шевчука і інших математиків.

При поліноміальній апроксимації за допомогою модулів неперервності часто оцінюють наближення функції. Одну з класичних оцінок дає нерівність Уітні. Дослідження цієї нерівності для функцій та в метриках проводилось в роботах H. Whitney, H. Burkill, B. Sendov, M. Takaev, Ю.А. Брудного, Ю.В. Крякина та інших математиків.

Модулі неперервності в інтегральних метриках досліджувались в роботах О.В. Бєсова і С.Б. Стєчкіна, В.І. Коляди, К.І. Осколкова, T.V. Radoslavov, П.І. Ульянова, В.А. Юдіна і інших математиків не лише у зв`язку з нерівністю Уітні.

В теорії функцій використовуються і багато інших різновидностей модулів гладкості: модулі Дітзіана-Тотіка, усереднені модулі гладкості, локальні модулі гладкості, односторонні модулі гладкості, модулі гладкості Хаусдорфа-Сендова, причому вони розглядаються для періодичних і неперіодичних функцій і для функцій декількох аргументів.

П.М. Тамразовим були введені вільні модулі гладкості, що дозволило розв`язати ряд загальних проблем теорії скінченно-різницевих гладкостей і пов`язаних з ними актуальних питань теорії поліноміальних наближень у комплексній площині. Ним були одержані принципові результати про вплив контурних властивостей аналітичних функцій на їх тілесні властивості, доведені і прямі, і обернені теореми поліноміальної апроксимації, глибоко досліджені гладкісні задачі теорії інтеграла типу Коші.

Всі ці та деякі інші модулі гладкості розглядаються у монографії G.A. Anastassion, S.G. Gal, яка містить також багато прикладів обчислення модулів неперервності для функцій із властивостями типа опуклості.

Задачі, пов`язані з вивченням модулів неперервності інтенсивно досліджуються і знаходять багато чисельні застосування, що доводить актуальність теми дисертаційної роботи.

Зв`язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалася в рамках теми “Дослідження актуальних проблем конструктивної теорії комплексної змінної та багатомірного гармонічного аналізу” (шифр теми - 1.1.4.4, номер теми по плану інституту - 4).

Мета роботи. Об`єктом дослідження дисертаційної роботи є класичні модулі неперервності першого і більш високих порядків. Предмет дослідження - властивості аналітичності модулів неперервності дійсно-аналітичних та кусково-аналітичних функцій. Мета роботи - знайти умови аналітичності ( f; ) для кусково-аналітичної функції f і довести аналітичність модулів гладкості k ( f; ) для дійсно-аналітичної функції f при k 2. При проведенні досліджень використовувалися стандартні методи теорії аналітичних функцій однієї і декількох змінних.

Наукова новизна одержаних результатів. Одержано умови аналітичності першого модуля неперервності кусково-аналітичної функції - теорема 1.1.1 і теорема 1.1.2, доведена аналітичність модулів неперервності порядку вище першого для дійсно-аналітичних функцій - теорема 3.1.1, одержані точні структурні характеристики модулів неперервності першого порядку довільної кусково-аналітичної функції - теорема 1.4.1, а також непокращені достатні умови аналітичності модуля неперервності першого порядку сплайн-функції - твердження 2.2.1 і твердження 2.2.2. Всі результати, які виносяться на захист, одержані вперше. Єдиним існуючим аналогом теорем 1.1.1 і 3.1.1 можна вважати теорему М.Я. Перельмана про аналітичність першого модуля неперервності дійсно-аналітичних функцій в нулі.

Значущість одержаних результатів. Одержані в дисертації результати можуть застосовуватися при дослідженнях з конструктивної теорії функцій. Вони дають можливість використовувати техніку теорії аналітичних функцій для дослідження модулів неперервності. Розроблені в дисертації способи обчислення модулів неперервності k-го порядку дозволяють в багатьох випадках знаходити ці модулі в явному вигляді (принаймні, в околі нуля).

Особистий внесок здобувача. Дисертант опублікував 5 наукових статей [1, 2, ,3, 4, 5], чотири з них [1, 2, ,3, 4] у співавторстві з О.А. Довгошеєм. Всі твердження, опубліковані у спільних роботах О.А. Довгошеєм, Л.Л. Потьомкіною [1, 2, ,3, 4] фактично доведені Л.Л. Потьомкіною. О.А. Довгошеєм здійснювалося загальне керівництво на рівні постановки задач і критичного аналізу доведень.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися на міжнародних конференціях

- “Constructive Function Theory”, присвяченої 70-річчю від дня народження Благовеста Сендова - Болгарія, Варна, 2002р.

- “Theory of Functions and Mathematical Phуsics”, присвяченої 100-річчю Н.І. Ахієзера - Україна, Харків, 2001р.

Крім того, результати роботи неодноразово обговорювалися на науковому семінарі в відділі теорії функцій ІПММ НАНУ - керівник проф. В.І. Рязанов і на науковому семінарі кафедри математичного аналізу і теорії функцій ДонНУ - керівник проф. Р.М. Тригуб.

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковані в статтях [1, 2, ,3, 4, 5] і тезах конференцій [6], [7].

Структура дисертації. Дисертація складається зі вступу, трьох розділів і списку використаної літератури. Загальний обсяг дисертації становить 114 сторінок, список використаної літератури займає 6 сторінок і містить 64 найменувань.

Основний зміст

У розділі 1 досліджуються умови аналітичності першого модуля неперервності кусково-аналітичної функції f в нулі.

Введемо означення і позначення.

Означення 1.1.1 Модулем неперервності функції називається функція, визначена при наступним правилом:

.

В даній роботі модулі неперервності вивчаються для дійсно-аналітичних функцій, заданих на відрізку.

Означення 1.1.2 Функція називається дійсно-аналітичною на [a, b], якщо вона аналітична у кожній точці x0[a, b], т.б. може бути представлена у вигляді суми степеневого ряду, що сходиться в деякому околі точки x0.

Зауваження 1.1.1 Можна показати, що функція є дійсно-аналітичною у значенні означення 1.1.2 тоді і тільки тоді, коли знайдеться однозв`язна область G на площині і функція голоморфна в G така, що і звуження на [a, b] співпадає з f, .

Означення 1.1.3 Неперервна функція називається кусково-аналітичною, якщо існує розбивання [a, b] на скінченне число замкнених інтервалів [xi, xi+1], a=x0<x1<…<xn+1=b таке, що при всіх i=0,…, n звуження є дійсно-аналітичними функціями.

Нехай f (x) функція кусково-аналітична на [a, b]. Позначимо через і праву і ліву похідні функції f (x) відповідно. Позначимо

Для будь якого і достатньо малого додатного функція може бути представлена на формулою Тейлора:

,

де - кратність нуля функції в точці t0 і

.

Якщо при деякому >0 ми маємо для всіх x[t 0-, t 0], то позначимо

.

Аналогічним чином, для будь якого t 0[a, b) можна визначити величини і . Тоді для правої односторонньої похідної на [t 0, t 0+] одержимо

.

На множині M визначимо функцію d(x) за правилом:

На множині визначимо бінарне відношення таким чином: і b поділяє a, або a=, а .

При такому визначенні, “поділяється” на будь-яке число, але “поділяє” тільки себе.

Введене відношення дозволяє виділити важливу в подальшому підмножину D N множини M.

.

Виділена множина складається із тих точок x, в яких , але жодне з “чисел” d rk , d lk не є “дільником” іншого.

Наступна теорема являється одним із основних результатів дисертації.

Теорема 1.1.1 Нехай f - кусково-аналітична функція на [a, b]. Тоді, коли

,

то ( f; ) є функцією аналітичною в нулі, але якщо

,

то ( f; ) не є функцією аналітичною в нулі.

Поодиноким випадком теореми 1.1.1 є теорема М.Я. Перельмана про аналітичність модуля неперервності дійсно-аналітичної функції.

Теорема 1.1.1 не дозволяє вирішити питання про аналітичність ( f; ) у випадку рівності

.

Для дослідження умов аналітичності модуля неперервності в цьому випадку розглянемо будову множини точок максимума функції d(x).

Нехай

На множині M d визначимо функцію k(x)=k d(x). При d= ми позначимо

k ( x ) = k ( x )=0

для всіх x належних M d. Якщо d < , то позначимо

Тепер теорема 1.1.1 може бути уточнена таким чином.

Теорема 1.1.2 Нехай f - кусково-аналітична функція на [a, b]. Припустимо, що має місце . Тоді, якщо

,

то ( f; ) - функція, аналітична в нулі, а якщо

,

то ( f; ) - функція, не аналітична в нулі.

Доведення сформульованих теорем опираються на поняття - екстремальної пари точок. точок, для яких в означенні 1.1.1 супремум набувається.

На властивостях - екстремальних пар точок засновано також доведення теореми 1.4.1, що дає певну інформацію про модуль неперервності довільної кусково-аналітичної функції.

Нехай k(x) - функція із формулювання теореми 1.2.2. Позначимо

.

Теорема 1.4.1 Нехай f ( x ) - кусково-аналітична функція на [a, b]. Тоді існує натуральне s = s ( f ) 1 і дійсне = ( f ) > 0, для яких ( f; ) на [0, ] розкладається в збіжний ряд за степенями . Справедлива формула

.

Якщо функція ( f; ) не аналітична в нулі, то мають місце нерівності

.

В прикладі 2.2.5 із параграфу 2.2 зазначена кусково-аналітична функція, для якої

.

Таким чином, всі сталі в теоремі 1.4.1 є точними.

Теорема 1.4.1 має ряд цікавих висновків. Наприклад, показано, що для довільної кусково-аналітичної функції при достатньо малих ( f; ) - опукла наверх функція (висновок 1.4.1), а, отже, - спадає (висновок 1.4.2). Крім того, у висновках 1.4.4 і 1.4.5 відмічено ефект автоматичного підвищення гладкості ( f; ).

Наслідок 1.4.4 Нехай - кусково-аналітична функція на . Тоді, якщо у точці ноль має похідні всіх порядків, то для деякого -дійсно-аналітична функція.

У другому розділі дисертації на основі теорем 1.1.1 і 1.1.2 одержано ряд умов, достатніх для аналітичності модуля неперервності кусково-аналітичних функцій. У першому параграфі подано достатні умови геометричного характеру. Нехай a < b < c, f 1( x ) - дійсно-аналітична на [a, b], f 2( x ) - дійсно-аналітична на [b, c], f 1( b ) = f 2( b ) і

Твердження 2.1.3 Якщо кут між дугами y = f 1( x ), a x b і y = f 2( x ), b x c не дорівнює нулю, то ( f; ) - функція, аналітична в нулі.

Із цього твердження легко одержати

Твердження 2.1.4 Нехай f ( x ) - дійсно-аналітична на [a, b] функція. Позначимо

де

.

Тоді функції ( f; ), i = 1,2,3 аналітичні в нулі.

В наступному твердженні f ( x ) - кусково-аналітична функція, а I - множина точок із ( a, b ) в яких f (x) не аналітична.

Твердження 2.1.6 Нехай функція f (x) двічі диференційована і в кожній точці x 0 I крива y = f ( x ) має кривину k ( x 0 ) відмінну від нуля. Тоді ( f; ) - функція, аналітична в нулі.

Другий параграф розділу присвячено вивченню модуля неперервності сплайнів.

Твердження 2.2.1 Нехай f (x) сплайн порядку на . Тоді ( f; ) - функція, аналітична в нулі.

Твердження 2.2.2 Нехай f (x) сплайн довільного порядку з дефектом =1. Тоді ( f; ) - функція, аналітична в нулі.

В кінці параграфу для сплайнів f достатньо простого вигляду знайдено явні зображення ( f; ) в околі нуля. Зокрема, в прикладі 2.2.5 зазначено сплайн порядку 4 і дефекту 2 з модулем неперервності, не аналітичному в нулі. Таким чином, твердження 2.2.1 і 2.2.2 у відомому значенні не покращені.

Приклад 2.2.5 Нехай на [-1, 1]

Тоді в околі нуля ( f; ) розкладається в ряд за степенями

Відмітимо також, що в прикладі 2.2.1 доведена аналітичність в нулі модуля неперервності В-сплайнів (базисних сплайнів), а в прикладі 2.2.2 знайдено явний вираз для модуля неперервності полінома четвертого порядку.

У третьому розділі дисертації доведено, що для довільної дійсно-аналітичної функції f та довільного натурального k модуль гладкості є дійсно-аналітичною функцією у деякому околі нуля.

Означення 3.1.1 Нехай дійснозначна функція визначена на сегменті , , -натуральне число, и таке, що ; -тою різницею функції у точці з кроком називається

.

Означення 3.1.2 Модулем неперервності порядку неперервної функції называється функція

.

Зауваження 3.1.1 При сформульоване означення очевидно еквівалентне означенню 1.1.1. Якщо , то називають також модулем гладкості функції .

Основним результатом третього розділу дисертації є наступна

Теорема 3.1.1 Нехай f (x) - дійсно-аналітична на функція, k - натуральне число 2. Тоді ( f; ) - функція, аналітична в нулі.

Зауважимо, що теорема вірна і при k = 1 - це результат М.Я. Перельмана.

При доведенні теореми 3.1.1 істотним чином використовуються властивості k - екстремальних пар точок. Це поняття вперше виникло у роботі [5] і узагальнює поняття - екстремальної пари точок.

Лема 3.3.3 Нехай - неперервна функція, - натуральне число, - -екстремальна пара точок . Якщо має на -ту абсолютно неперервну похідну, то в деякій точці

.

В прикладі 3.5.1 знайдено модуль неперервності третього порядку для полінома п`ятого ступеня.

Приклад 3.5.1 Нехай і . При достатньо малих

.

Висновки

У дисертації досліджено модулі неперервності дійсно-аналітичних і кусково-аналітичних функцій. В процесі дослідження одержані такі результати:

- Знайдено необхідні і близькі до них достатні умови, при яких модуль неперервності першого порядку похідної кусково-аналітичної функції буде аналітичним в околі нуля.

- Доведено, що модуль неперервності довільного порядку дійсно-аналітичної функції є функцією аналітичною на початку координат.

- Встановлено точні структурні характеристики модулів неперервності довільних кусково-аналітичних функцій.

- Знайдено не покращені достатні умови, при яких модуль неперервності сплайна є функцією аналітичною в нулі.

- Розроблено новий спосіб обчислення модулів неперервності першого порядку кусково-аналітичної функції і модулів гладкості довільного порядку дійсно-аналітичних функцій.

Одержані результати дають можливість використати техніку теорії аналітичних функцій для дослідження модулів неперервності. Розроблені в дисертації способи обчислення модулів неперервності k-го порядку дозволяють в багатьох випадках знаходити ці модулі в явному вигляді (принаймні, в околі нуля). Слід відмітити, що раніше точні вирази для k-тих модулів були відомі фактично тільки для функцій з монотонною k-ю похідною.

Список опублікованих автором праць за темою дисертації

1. Довгошей А.А., Потемкина Л.Л. Условия аналитичности модуля непрерывности кусочно-аналитических функций // Допов. НАН України. - 2002. - №7. - С. 16-20.

2. Довгошей А.А., Потемкина Л.Л. Модуль непрерывности кусочно-аналитических функций // Мат. заметки. - 2003. - Т. 73, №1. - С. 63-76.

3. Довгошей А.А., Потемкина Л.Л. Аналитичность модулей непрерывности высшего порядка вещественно-аналитических функций // Укр. мат. журн. - 2003. - Т. 55, №6. - С. 750-761.

4. Dovgoshey O.A. and Potomkina L.L. Analyticity of Moduli of Continuity in “Constructive Theory of Functions. Varna 2002” (B.D. Bojanov, Ed.) // Darba, Sofia. - 2003. - P. 239-244/

5. Потемкина Л.Л. Об аналитичности модуля непрерывности порядка // Труды ИПММ НАН Украины. - 2001. - Т.6, №2. - С. 106-113.

6. Dovgoshey O.A., Potomkina L.L. Modulus of continuity of piecewise analytic and spline function // International Conference “Theory of Functions and Mathematical Physics” dedicated to Akhiezer Centenary: Abstracts. - Kharkiv. - 2001, P. 15-16.

7. Dovgoshey A.A. and Potomkina L.L. The conditions of analyticity to modulus of continuity of piecewise analytic and analytic functions // International Conference on Constructive Function Theory dedicated to 70-th birthday of Blagovest Sendov : Abstracts. - Varna, Bulgaria. - 2002. - P. 11-12.

Потьомкіна Л.Л. Про аналітичність модулів неперервності дійсно-аналітичних і кусково-аналітичних функцій. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. - Інститут прикладної математики і механіки НАН України. Донецьк, 2004.

Дисертація присвячена дослідженню класичних модулів неперервності дійсно-аналітичних і кусково-аналітичних функцій. Знайдено необхідні і близькі до них достатні умови, при яких модуль неперервності першого порядку похідної кусково-аналітичної функції буде аналітичним в околі нуля. Доведено, що модуль неперервності довільного порядку дійсно-аналітичної функції є функцією аналітичною на початку координат. Встановлено точні структурні характеристики модулів неперервності довільних кусково-аналітичних функцій. Знайдено не покращені достатні умови, при яких модуль неперервності сплайна є функцією аналітичною в нулі. Розроблено новий спосіб обчислення модулів неперервності першого порядку кусково-аналітичної і модулів гладкості довільного порядку дійсно-аналітичних функцій. Одержані результати дають можливість використовувати техніку теорії аналітичних функцій для дослідження модулів неперервності. Розроблені в дисертації способи обчислення модулів неперервності k-го порядку дозволяють в багатьох випадках знаходити ці модулі в явному вигляді (принаймні, в околі нуля).

Ключові слова: модуль неперервності, модуль гладкості, кусково-аналітична функція, дійсно-аналітична функція, сплайн.

Potomkina L.L. About analyticity of real-analytic and piecewise-analytic functions' modulus of continuity.

Thesis for a candidate degree by speciality 01.01.01 - mathematical analyses. The Institute of Applied Mathematics and Mechanics of National Academy of Science of Ukraine, Donetsk, 2004.

In the dissertation the classical real-analytic and piecewise-analytic functions' modulus of continuity are investigated. Requirements and close to them sufficient conditions are found, which make the 1st-order module of continuity of the derivative of piecewise-analytic function analytic in the neighborhood of zero. It was proved that the random order module of continuity of real-analytic function is the analytic function in the coordinate origin. Exact structural characteristics of arbitrary piecewise-analytic functions' modulus of continuity are set. Optimal sufficient conditions are found, which make the spline's module of continuity the analytic function in zero point. The new method of calculation of the piecewise-analytic function's 1st-order modulus of continuity and the real-analytic function's random order modulus of smoothness is developed. The results received give the opportunity to use the technique of analytic function theory for the modulus of continuity investigation. The methods of calculation of n-th order modules of continuity developed in the dissertation let find the modulus explicitly (at least in the neighborhood of zero).

Key words: module of continuity, module of smoothness, real-analytic function , piecewise-analytic function, spline.

Потемкина Л.Л. Об аналитичности модулей непрерывности вещественно-аналитических и кусочно-аналитических функций. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ.- Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 2004.

Диссертация посвящена исследованию классических модулей непрерывности вещественно-аналитических и кусочно-аналитических функций. Главное внимание уделяется нахождению условий аналитичности модуля непрерывности для кусочно-аналитической функции и доказательству аналитичности модулей гладкости для вещественно-аналитической функции при . Ранее в этом направлении был известен только один результат, полученный М.Я. Перельманом в 1941 году, об аналитичности в нуле первого модуля непрерывности вещественно-аналитической функции.

К основным результатам диссертационной работы относятся следующие:

- найдены необходимые и близкие к ним достаточные условия, при которых модуль непрерывности первого порядка производной кусочно-аналитической функции будет аналитичным в окрестности нуля.

- доказано, что модуль непрерывности произвольного порядка вещественно-аналитической функции есть функция аналитическая в начале координат.

- установлены точные структурные характеристики модулей непрерывности произвольных кусочно-аналитических функций.

- найдены не улучшаемые достаточные условия, при которых модуль непрерывности сплайна является функцией аналитической в нуле.

- разработан новый способ вычисления модулей непрерывности первого порядка кусочно-аналитической функции и модулей гладкости произвольного порядка вещественно-аналитических функций.

Полученные результаты дают возможность использовать технику теории аналитических функций для исследования модулей непрерывности.

Разработанные в диссертации способы вычисления модулей непрерывности -го порядка позволяют во многих случаях находить эти модули в явном виде (по крайней мере, в окрестности нуля).

Ключевые слова: модуль непрерывности, модуль гладкости, вещественно-аналитическая функция, кусочно-аналитическая функция, сплайн.

Размещено на Allbest.ru

...