Дискретна інтерполяція плоских одновимірних обводів з закономірною зміною кривини

Размещено на http://allbest.ru

МІНІСТЕРСТВО АГРАРНОЇ ПОЛІТИКИ УКРАЇНИ

ТАВРІЙСЬКА ДЕРЖАВНА АГРОТЕХНІЧНА АКАДЕМІЯ

Спеціальність 05.01.01 - Прикладна геометрія, інженерна графіка

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття

наукового ступеня кандидата технічних наук

Дискретна інтерполяція плоских одновимірних обводів з закономірною зміною кривини

Гавриленко Євген Андрійович

Мелітополь - 2004

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Таврійській державній агротехнічній академії Міністерства аграрної політики України.

Науковий керівник: - Заслужений діяч науки і техніки України,

доктор технічних наук, професор Найдиш Володимир Михайлович, завідувач кафедри прикладної геометрії і інформаційних технологій проектування, Таврійська державна агротехнічна академія

Офіційні опоненти: - доктор технічних наук, професор Балюба Іван Григорович, професор кафедри геодезії та інженерної графіки, Донбаська державна академія будівництва і архітектури;

- кандидат технічних наук, доцент Яхненко Віктор Мефодійович, доцент кафедри графіки і нарисної геометрії, Запорізька державна інженерна академія.

Провідна установа: Одеський національний політехнічний університет Міністерства освіти і науки України.

Захист відбудеться 13.05.2004 р. о 12 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К18.819.02 у Таврійській державній агротехнічній академії за адресою:

72312, Запорізька обл., м. Мелітополь, просп. Б. Хмельницького, 18.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Таврійської державної агротехнічної академії за адресою:

72312, Запорізька обл., м. Мелітополь, просп. Б. Хмельницького, 18.

Автореферат розісланий 09.04. 2004 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради В.М. Малкіна

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми.

На сучасному етапі становлення України важливим напрямком науково-технічного розвитку є розробка нових технологій, що сприяють підвищенню конкурентоздатності промислового і сільськогосподарського виробництва нашої країни.

Геометричне моделювання є могутнім інструментом розв'язання багатьох науково-виробничих задач. Особливо це стосується проектування функціональних поверхонь.

Значні теоретичні досягнення та істотні практичні результати в області моделювання кривих ліній і поверхонь методами неперервного геометричного моделювання отримані завдяки зусиллям провідних вчених Ю.І. Бадаєва, Г.С. Іванова, C.М. Ковальова, І.І. Котова, Л.М. Куценка, В.Є. Михайленка, В.М. Найдиша, В.О. Надолинного, В.А. Осипова, А.В. Павлова, О.Л. Підгорного, А.М. Подкоритова, М.М. Рижова, І.А. Скидана, П.В. Філіпова і їхніх учнів, а також закордонних вчених І. Адамса, Р. Безье, В. Гілоя, С. Кунса, У. Ньюмена, Д. Роджерса, Р. Ризенфельда, А. Сазерленда, І. Фергюссона, А. Фореста, Д.Швейкерта та інших.

Конструювання поверхонь, до аеродинамічних якостей яких пред'являються підвищені вимоги ( корпус автомобіля, лопаті турбіни, каналові поверхні двигунів внутрішнього згоряння, тощо), вимагає розробки методів геометричного моделювання, що володіють швидкодією, простотою, високою точністю, відсутністю осциляції, здатних забезпечити контроль значень і динаміки зміни диференціально-геометричних характеристик (значення похідних, кривини) уздовж кривих і поверхонь.

Методи неперервного геометричного моделювання не дозволяють формувати обводи складної конфігурації з закономірною зміною кривини.

Значно більше можливостей у цьому напрямку надають методи дискретного геометричного моделювання (ДГМ), що зовсім нещодавно відділилися в окремий напрямок завдяки роботам В.М. Найдиша, С.М. Ковальова, С.М. Грибова.

Разом з тим, відомі дискретні методи моделювання обводів з закономірною зміною кривини мають істотні недоліки. Відсутній ефективний механізм визначення оптимального закону зміни кривини уздовж обводу. Локальна корекція обводу, що формується, ускладнюється великою кількістю необхідних обчислень. Методи розраховані на конструювання кривої, поданої на рівномірній сітці.

Таким чином, розробка нових методів інтерполяції, що забезпечують формування обводів з закономірною зміною кривини на базі точкових рядів поданих на нерівномірній сітці, при можливості їхньої локальної корекції з метою досягнення оптимального рішення , є актуальною.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Дисертаційне дослідження виконане в Таврійської державної агротехнічної академії відповідно до комплексу науково-дослідних робіт із програми №5 "Моделювання явищ і процесів в АПК" (номер держреєстрації 0102 U 000695) і науково-виробничою програмою ВО "Південдизельмаш" (м. Токмак) по удосконалюванню експлуатаційних показників дизельних двигунів.

Мета і задачі дослідження.

Метою дослідження є розробка, програмна реалізація і впровадження в практику методу дискретного геометричного моделювання плоских одновимірних обводів за заданим законом зміни значень кривини.

Об'єктом дослідження є неосцилююча дискретно подана крива (ДПК).

Предметом дослідження є задача формування одновимірних обводів точкового ряду з досягненням бажаного закону зміни значень кривини уздовж обводу.

Методи дослідження: методи інтерполяції, чисельні методи, методи дискретного геометричного моделювання кривих ліній і поверхонь.

Для досягнення поставленої мети в роботі розв'язуються наступні задачі:

- розробка способу аналізу неосцилюючого точкового ряду з метою визначення можливості конструювання на його основі кривої з закономірною зміною значень кривини, а так само визначення області оптимального за умовами задачі розв'язку; кривина лінійній обвід коло

- розробка способів формування на основі неосцилюючого точкового ряду лінійного обводу з закономірною зміною значень кривини на основі стичних кіл;

- розробка алгоритмічного і програмного забезпечення пропонованих способів;

- практичне впровадження результатів дослідження.

Наукова новизна отриманих результатів полягає в наступному: розроблено метод дискретного геометричного моделювання неосцилюючих лінійних обводів за заданим законом зміни значень кривини.

Метод містить у собі наступні нові результати:

- спосіб визначення положення точок згущення з використанням барицентричних координат;

- спосіб формування смуги діапазонів положення точок згущення і відповідної їй смуги значень кривини в точках ДПК;

- спосіб згущення неосцилюючих ДПК із заданими у вузлах кривинами;

- способи формування обводів другого порядку гладкості, нульового, першого і другого порядків фіксації.

Практичне значення отриманих результатів складається в наданні конструктору можливостей формування неосцилюючих лінійних обводів різних поверхонь із закономірною зміною значень кривини уздовж обводів.

Розроблене програмне забезпечення надає широкі можливості корекції кривої, урахування додаткових вимог, вибору оптимального розв'язку.

Запропонований у роботі метод і програмне забезпечення прийняті до впровадження в ВГК ВО "Південдизельмаш".

Особистий внесок здобувача. Досліджено можливості використання барицентричних координат при ДГМ одновимірних обводів. Запропоновано спосіб оцінки кривини в точках ДПК за допомогою стичних кіл. Запропоновано геометричні схеми згущення точкового ряду, що дозволяють максимально врахувати внутрішню геометрію вихідної ДПК. Розроблено алгоритми конструювання лінійних обводів точкових рядів із закономірною зміною кривини, що дозволяють визначити оптимальний розв'язок з множини можливих.

Апробація результатів дисертації.

Основні положення дисертаційної роботи доповідалися та обговорювалися на:

всеукраїнській науково-методичній конференції “Геометричне моделювання, інженерна та комп'ютерна графіка” (Харків, 1993р.);

міжнародній науково-методичній конференції “Геометричне моделювання. Інженерна та комп'ютерна графіка” (Львів, 1994р.);

міжнародній науково-практичній конференції “Моделювання процесів і технологічного устаткування в сільському господарстві” (Мелітополь, 1994р.);

міжнародних науково-практичних конференціях “Сучасні проблеми геометричного моделювання” (Мелітополь, 1996, 2003р.);

міжнародній науково-практичній конференції “Сучасні проблеми геометричного моделювання” (Донецьк, 2000р.).

Публікації. По темі дисертації опубліковано 16 робіт, з них: 9 статей у виданнях, рекомендованих ВАК України, 5 тез доповідей, 2 депоновані рукописи.

Структура й обсяг роботи. Дисертація складається з вступу, чотирьох розділів, висновку, списку використаних джерел з 114 найменувань і додатка.

Робота містить 149 сторінок машинописного тексту, 76 малюнків, 19 таблиць.

ЗМІСТ РОБОТИ

Вступ містить загальну характеристику роботи. Сформульовано мету і задачі дослідження, показана наукова новизна, практична цінність, рівень апробації і публікації результатів досліджень, а також їхнє впровадження в практику.

Перший розділ містить огляд відомих методів геометричного моделювання лінійних обводів за заданими умовами.

Серед методів неперервного геометричного моделювання відзначимо методи, що дозволяють одержувати на основі вихідного точкового ряду складену криву, що складається з ділянок алгебраїчних кривих.

Це метод кривих другого порядку, метод полюсів , методи кривих Безье і В-сплайнів, метод сплайн-функцій, інші методи формування обводів з дуг різних кривих з торканням заданого порядку на стику.

Найбільш широкі можливості керування формою кривої, що конструюється дають методи, що передбачають локальну корекцію формованого обводу. Це метод перетворень Г.С. Іванова, метод кривих 3-го порядку Ю.І. Бадаєва, метод обводів І.І. Котова , метод раціональних кривих і поверхонь В.О.Надолинного, статико-геометричний метод С.М. Ковальова.

Окремо відзначимо методи неперервного геометричного моделювання, спрямовані на формування обводів другого порядку гладкості з закономірною зміною кривини. Це методи, розроблювальні в роботах Ковальова С.М., Бадаєва Ю.І. та їхніх учнів.

Перераховані методи дозволяють отримати бажаний характер зміни кривини на окремих ділянках між послідовними точками вихідної ДПК. Форма кожної ділянки визначається значеннями кривини і положенням дотичних, призначених у точках, що обмежують ділянку.

Для досягнення бажаного розв'язку уздовж всього обводу необхідно у всіх вихідних точках призначити погоджені між собою диференціально-геометричні характеристики, що враховують конфігурацію всієї ДПК. Перераховані методи не надають такої можливості.

Підводячи підсумок слід зазначити, що при формуванні обводів із закономірною зміною кривини можливості методів неперервного геометричного моделювання обмежені. Контроль значень кривини здійснюється в точках стикування ділянок алгебраїчних кривих, що складають обвід, з метою одержання в них неперервних значень кривини. Значення кривини усередині ділянок цілком залежать від вибору кривої. Впливати на значення кривини в конкретних точках можливо, змінюючи форми ділянки, що при одночасному контролі осциляції і гладкості стикування ділянок існуючими методами практично неможливо здійснити.

Методи дискретного геометричного моделювання (ДГМ) мають істотні переваги, з погляду формування диференціально-геометричних характеристик кривої, що конструюється .

ДГМ дозволяє врахувати всі можливі, за умовами поставленої задачі, розв'язки і вибрати із них оптимальний; забезпечити високу точність результатів при можливості широкої корекції і високого порядку гладкості одержуваної кривої; вилучити появу осциляції у процесі конструювання.

У роботах Найдиша В.М., Верещаги В.М., Найдиша А.В., Брустінова В.М. розроблений метод дискретної інтерполяції на основі тотожностей, що дозволяє формувати обводи з закономірним характером зміни кривини.

Значення диференціально-геометричних характеристик і положення точок згущення вибираються усередині відповідних діапазонів, що дає можливість оцінки всіх можливих варіантів розв'язку і вибору з них оптимального.

Існує однак ряд недоліків, що не дозволяють, на наш погляд, зазначеному методу досить ефективно вирішувати поставлену задачу.

Насамперед пропонований методом аналіз вихідного точкового ряду й алгоритм визначення положення точок згущення надмірно складний. Ця трудомісткість закладена намаганням оцінювати значення кривини в точках ДПК через значення похідних. Метод не пропонує ефективного механізму забезпечення другого порядку гладкості кривої, що конструюється. Додаткові складності створює та обставина, що запропонована розрахункова схема розрахована на точковий ряд, представлений на рівномірній сітці.

Інші відомі методи дискретної інтерполяції, при наявності таких якостей як простота схеми згущення точкового ряду, автоматизм формування ряду диференціально-геометричних характеристик, простота критеріїв оцінки характеристик формованої ДПК не забезпечують розв'язання задачі конструювання кривої з закономірною зміною значень кривини.

Розробка методу, що задовольняє викладеним вище вимогам дискретної інтерполяції, є задачею нашого дослідження.

В другому розділі досліджені властивості барицентричних координат (БК) з погляду можливості їхнього використання в якості апарату реалізації геометричних схем дискретної інтерполяції.

БК точки М відносно вершин трикутника 1,2,3 називаються дійсні числа М1,М2,М3, такі що М1 + М2 + М3 = 1 і при цьому точка М є центром мас трьох матеріальних точок - вершин трикутника 1,2,3, яким відповідають числа М1,М2,М3.

У розділі розглянуті всі можливі положення точки відносно базисного трикутника і визначені відповідні БК точок.

Отримано формули переходу від прямокутної декартової системи координат xOy до системи БК трикутника 1,2,3 і навпаки:

(1)

 (2)

Формули (1) і (2) дозволяють розробляти алгоритми, що передбачають завдання вихідного точкового ряду в глобальній системі декартових координат, розрахунок координат точок згущення в локальних системах БК, зворотний перехід до вихідної системи декартових координат.

Отримано формули переходу від рівняння прямої лінії в декартових координатах до рівняння прямої лінії в БК і навпаки. Розв'язано задачі визначення в БК рівняння прямої, що проходить через дві задані точки; рівняння прямої, що проходить через точку паралельно заданої прямої; координат точки перетину двох прямих; умов перпендикулярності і паралельності двох прямих.

Розглянуто різні окремі положення прямої лінії щодо базисного трикутника і визначені відповідні рівняння в БК.

Отримано загальне рівняння кривої другого порядку в БК:

а також формули переходу від рівняння кривої другого порядку в декартових координатах до рівняння кривої другого порядку в БК і навпаки.

Отримано рівняння кола, що задано координатами центра і радіусом R у БК:

а також рівняння кола, що проходить через три задані точки та кола заданого радіуса, що проходить через дві задані точки.

Таким чином, у другому розділі розв'язані конкретні задачі визначення взаємного розташування точок, прямих, кіл, що займають окремі положення, використовувані при реалізації геометричних схем, запропонованих у розділі 3.

У третьому розділі розробляється метод моделювання ДПК із закономірним характером зміни кривини.

Для моделювання ДПК пропонується метод згущень з використанням БК. Кожна точка згущення визначається на прямій, проведеній перпендикулярно до середини хорди, що з'єднує дві сусідні вихідні точки (рис. 1), у локальній системі БК, щодо трикутника, однією із сторін якого є відповідна точці згущення хорда супровідної ламаної лінії (СЛЛ).

Размещено на http://allbest.ru

Для оцінки кривини кривої, що конструюється, використовується значення радіуса кола (), що визначається трьома послідовними точками ряду. Таке коло назвемо стичним (СК).

Крива конструюється так, щоб радіус СК для однієї і тієї ж центральної (із трьох що його визначають) точки залишався незмінним при будь-якій кількості згущень. Після згущення, одержавши нові точки А і Б, на ділянці одержуємо три нові СК, обумовлені відповідно точками причому RА>Ri>RБ чи RА<Ri<RБ. При кожнім згущенні дуга СК зменшується і повертається навколо центральної точки.

При такій схемі згущення точкового ряду, у процесі наближення точок згущення ліворуч і праворуч до будь-якої точки, що визначає формований обвід, значення , що відповідають цим точкам прагнуть до одного і того ж значення. Положення дотичних до формованого обводу визначається дотичними до СК в середній точці з трьох, що визначають СК. Роблячи наступні згущення, остаточно отримуємо обвід, що не має розриву по кривині і положенню дотичних у всіх своїх точках.

Перед згущенням здійснюється аналіз вихідного точкового ряду.

Для визначення опуклих (угнутих) ділянок ДПК використовується знак орієнтованої площі трикутників, вершинами яких є три послідовні точки ряду: де xi;yi - декартові координати вершин трикутника. Для опуклих ділянок ДПК значення Si<0, для угнутих - Si>0, для прямолінійних ділянок

Опуклі та угнуті ділянки розбиваються на ділянки зростання та убування R.

Радіуси СК визначаються як відстань між центром СК та однією з трьох визначальних СК точок. У системі БК трикутника центр СК визначається координатами:

(3)

де

Далі, на всіх ділянках ДПК, визначаються діапазони згущення (ДЗ). ДЗi - відрізок, обмежений точками перетину з прямою, проведеною перпендикулярно до середини хорди (прямою ДЗi), СКi (СК, що обумовлено точками і-1,i,i+1) і СКi+1. На рисунку 2, ДЗi - це відрізок .

Размещено на http://allbest.ru

Призначення точки згущен-ня усередині ДЗ [А;Б] гарантує, що для отриманого точкового ряду закономірність зміни на ділянці буде збережена.

Размещено на http://allbest.ru

Повернемо СКi навколо точки , так щоб вона проходила через верхню межу ДЗi-1 (на рисунку 3 це точка Ai-1). Це коло перетинає пряму ДЗi в точці .

Повернувши СКi+1 навколо точки +1, так щоб вона проходила через нижню межу ДЗi+1, на прямій ДЗi, одержуємо точку Перетинання відрізків [Ai; ] і [Бi; ] назвемо відносним діапазоном згущення i-й ділянки (ВДЗi).

Призначення точки згущення усередині ВДЗi гарантує, що при призначенні точок згущення на ділянках і усередині відповідних ВДЗ, закономірність зміни на відрізку ДПК буде збережена.

Після визначення всіх ВДЗ, уточнюємо їх. Для цього на ДЗ ділянки визначаємо ще один відрізок. Його межі одержуємо в перетині прямої ДЗ2 і кіл радіуса (радіус СК, що визначається точками ), що проходять через точку і відповідно точки і межі ВДЗ1. Перетин отриманого відрізка і ВДЗ2 дає уточнений діапазон згущення (УДЗ).

Аналогічним способом накладаємо УДЗ2 на ВДЗ3 і так далі до кінця ряду.

Отримана "смуга" УДЗ є областю можливого за умовами задачі розв'язку при призначенні точок згущення.

На останній ділянці відрізка, що згущається, усередині відповідного УДЗ, призначається положення точки згущення. Положення інших точок згущення визначається "по ланцюжку" від останньої ділянки до першої. Точки згущення всіх ділянок розташовуються усередині відповідних УДЗ, при збереженні радіусів вихідних СК.

Для оцінки плавності зміни уздовж ДПК вводяться коефіцієнти ДЗ, що знаходяться за формулою: де - довжина -го ДЗ; - довжина -ї хорди СЛЛ. Значення аналогічних коефіцієнтів, розрахованих для ВДЗ і УДЗ, ілюструють механізм звуження УДЗ уздовж точкового ряду і показують ділянки ДПК, що вимагають корекції.

Якщо УДЗ значно вужче ДЗ і розташовуються безпосередньо біля меж ДЗ, то, згущаючи такий точковий ряд, одержуємо обвід, у якого ділянки із значною зміною кривини чергуються з ділянками, на яких кривина змінюється незначно.

Щоб у процесі послідовних згущень одержати ДПК із максимально плавним характером зміни уздовж кривої, необхідно призначати точки згущення в центрі відповідних ДЗ. Таким чином, смуга УДЗ повинна проходити через ДЗ таким чином, щоб середини ДЗ знаходилися усередині відповідних УДЗ. Це гарантується, якщо коефіцієнти ДЗ ділянок ДПК однакові.

У цьому випадку ДЗ і УДЗ на всіх ділянках однакові. Призначаючи точки згущення останньої ділянки в центрі ДЗ, у процесі наступних згущень, зберігаємо однаковість коефіцієнтів ДЗ на ділянках одержуваного точкового ряду.

З метою вирівнювання коефіцієнтів ДЗ спочатку згущаються ділянки ДПК із великими коефіцієнтами. Після відносного вирівнювання коефіцієнтів може здійснюватися корекція положення точок отриманого точкового ряду, з орієнтуванням на зміну коефіцієнтів.

При необхідності зміни положення точки вихідного ряду, точка переміщується по прямій, проведеній через неї перпендикулярно до хорди, що з'єднує попередню і наступну вихідні точки. Положення точки коректується усередині діапазону, що гарантує збереження закономірності зміни уздовж точкового ряду.

Досягнення на всіх ділянках ДПК близьких за значенням коефіцієнтів ДЗ означає, що динаміка зміни R на кожній ділянці відповідає характеру зміни R уздовж усієї кривої, а отримані у вузлових точках значення R, відповідають формі вихідної ДПК.

Далі в розділі запропоновані методи моделювання ділянок ДПК із монотонною зміною кривини, у місцях стикування з колом і прямою лінією.

Размещено на http://allbest.ru

1. Коло, що обумовлено точками стикується з відрізком змінної кривини на ділянці (див. рис. 4). Гладке стикування можливе, якщо СКi, перетинається з прямою, дотичною до кола, що визначається точками , у точці на ділянці

Точка згущення (), що відповідає ділянці стикування, призначається усередині ДЗ , де - точка перетину кола, що визначається точками і-1, і-2,і-3 (коло, що стикується) із прямою ДЗ; - точка перетину кола, що має в точці спільну дотичну з колом, що стикується, і яке проходить через точку i-1 і наступну точку точкового ряду (для вихідного ряду це точка ) із прямою ДЗi-1.

Размещено на http://allbest.ru

Після призначення точки згущення усередині ДЗ визначається ДЗ для точки наступного згущення, призначуваної між точками і При цьому нижню межу ДЗ визначає коло, що має в точці спільну дотичну з колом, що стикується, і яке проходить через точку і наступну точку точкового ряду . Радіус цього кола більше радіуса "дотичного" кола попереднього згущення, а положення його ближче до кола, що стикується. Після кожного згущення дотичне коло, що визначає нижню межу ДЗ, за своїм положенням і значенням радіуса наближається до кола, що стикується.

Роблячи наступні згущення, одержуємо з'єднання другого порядку гладкості кола з ділянкою змінної кривини при збереженні закономірної зміни уздовж ряду.

2. Пряма , стикується з криволінійним відрізком ДПК на ділянці (див. рис. 5).

Точка згущення, що відповідає ділянці стикування , призначається усередині ДЗ , де точка перетину кола, що проходить через точки та і дотичного до прямої в точці з прямою ДЗi; точка перетину СКi+1 із прямою ДЗi.

У розділі отримані всі необхідні формули для визначення меж діапазонів можливого положення точок згущення і положення самих точок згущення.

З використанням методів моделювання ділянок стикування відрізків змінної кривини з колом і прямою лінією, у розділі розроблені алгоритми формування перехідних ділянок між опуклим і угнутим відрізками ДПК, а також ділянок зміни напрямку змінювання .

Размещено на http://allbest.ru

Далі в розділі запропоновані алгоритми формування обводів різного порядку фіксації.

1. Нехай ДПК задана координа-тами своїх вузлів і положенням дотичних у них. На прямій ДЗ ділянки (i;i+1) визначається УДЗ - відрізок [А;В] (див. рис. 6).

Нехай коло, радіус якого (Ri+1дот.) дорівнює радіусу i+1-го СК, що проходе через точку i+1 і має в цій точці спільну дотичну з ДПК - li+1, перетинає пряму ДЗ у точці D, а коло, радіус якого (Ri дот.) дорівнює радіусу i-го СК, що проходе через точку i і має в цій точці спільну дотичну з ДПК - li ,- у точці С. Перетин відрізків [А; D] та [В; С] - діапазон положення точки згущення при формуванні обводів першого порядку фіксації, другого порядку гладкості з монотонним характером зміни кривини.

Размещено на http://allbest.ru

2. Нехай ДПК задана координатами своїх вузлів, положенням дотичних і значеннями радіусів кривини у вузлах. При формуванні обводу використовується алгоритм стикування кола з ділянкою змінної кривини. Для кожної точки вихідного ряду призначається коло, радіус якого дорівнює радіусу кривини, визначеному умовами завдання обводу. Коло проходить через відповідну їй вихідну точку так, щоб дотична до обводу в цій точці (li) була дотичною і до даного кола.

На прямій ДЗ визначаються діапазони [А;В] та [С;D] (див. рис. 7), де точка А - точка перетину кола радіуса Ri, що має в точці i дотичну li із прямою ДЗ; точка В - точка перетину кола, що проходить через точки i та i+1, що має в точці i дотичну li , із прямою ДЗ; точка С - точка перетину кола радіуса Ri+1, що має в точці i+1 дотичну li+1, із прямою ДЗ; точка D - точка перетину кола, що проходить через точки i та i+1, що має в точці i+1 дотичну li+1 , із прямою ДЗ.

Відрізок [А;В] - діапазон, усередині якого повинна бути призначена точка згущення при стикуванні в точці i обводу, що формується, з колом радіуса Ri, що має в точці i дотичну li. Відрізок [С;D] - діапазон, усередині якого повинна бути призначена точка згущення при стикуванні в точці i+1 обводу, що формується, з колом радіуса Ri+1, що має в точці i+1 дотичну li+1.

Перетин відрізків [А;В], [С;D] і визначеного раніше УДЗ задає діапазон, усередині якого призначається точка згущення при формуванні обводу другого порядку фіксації, другого порядку гладкості з монотонним характером зміни кривини уздовж обводу.

Отримані алгоритми дозволяють формувати обводи другого порядку гладкості, нульового, першого і другого порядків фіксації, з монотонним характером зміни кривини. Обводи можуть бути різної форми (у т.ч. і замкнені), містити опуклі, угнуті, прямолінійні ділянки, ділянки зростання та убування кривини, ділянки незмінного радіуса.

У четвертому розділі, з використанням алгоритмів, отриманих у розділі 3, розв'язуються задачі прикладного характеру: оцінка точності дискретної інтерполяції кривих із закономірною зміною значень кривини, проведення дотичної до ДПК, визначення точки перетину прямої лінії і ДПК, формування эквідистантної кривої.

1. Нехай ДПК, що інтерполюється, задана координатами своїх вузлів. Відомий характер зміни значень кривини уздовж кривої, що інтерполюється. Вважаємо, що убувають уздовж кривої. Визначимо максимальну абсолютну похибку (max), коли у вузлах ДПК, що інтерполюється, задані значення радіусів кривини (Ri).

На ділянках ДПК, що інтерполюється, визначаються ДЗ,ВДЗ і УДЗ. При визначенні діапазонів використовуються кола, проведені через точки вихідної ДПК, радіуси яких дорівнюють радіусам кривини в цих точках.

Через передостанню точку ДПК (n-1) і межі УДЗ останньої ділянки проводяться кола радіуса Rn-1. Перетин зазначених кіл із прямою ДЗn-2 визначає межі "повернутого" УДЗ на ділянці (n-2;n-1).

Самий вузький УДЗ останньої ділянки повертаємо назад, послідовно від ділянки до ділянки, через обертання кіл радіусів навколо відповідних вузлів. Будь-яка крива, у якої значення убувають уздовж кривої, що проходить через усі вузли, що задають ДПК, що інтерполюється, і що має в них значення такі ж, як і у ДПК, що інтерполюється, пройде усередині смуги повернутих УДЗ.

Дослідження смуги УДЗ показало, що відношення величини УДЗ до довжини відповідної хорди - величина постійна на всіх ділянках ДПК. Ця величина не може перевищувати мінімального за величиною відношення довжини ДЗ до довжини відповідної хорди. Максимальна абсолютна похибка дискретної інтерполяції відбувається при визначенні положення точки першого згущення відповідної ділянці ДПК із хордою СЛЛ максимальної довжини (lmax). Враховуючи що точка згущення призначається в центрі УДЗ можна записати:

(4)

Збільшити точність дискретної інтерполяції можна, ущільнивши вихідний точковий ряд. Так ущільнення точкового ряду в два рази приводить до зменшення max приблизно у вісім разів.

2. У розділі розроблені алгоритми визначення положення дотичної до ДПК, що проходить через задану точку, що лежить поза кривою і дотичної заданого напрямку. Дотична проводиться через точку ДПК так, щоб інші точки ДПК розташовувалися по одну сторону від дотичної. У першому наближенні дотична проводиться через точку вихідної ДПК. Положення дотичної уточнюється в процесі наступних згущень і вважається встановленим остаточно після проведення останнього згущення.

Размещено на http://allbest.ru

Размещено на http://allbest.ru

3. Для визначення точки () перетину прямої лінії () і ДПК спочатку знаходимо хорду СЛЛ , що перетинає пряма . У системі БК трикутника , у рівнянні прямої : коефіцієнти a і b мають різний знак. На прямій визначається відрізок - діапазон, усередині якого призначається положення точки . А і Б - точки перетину прямої з СКi і СКi+1 (див. рис. 8). Діапазон, усередині якого визначається точка , уточнюється в процесі наступних згущень. Після того, як довжина діапазону виявиться менше припустимої помилки визначення точки перетину прямої з ДПК, точку призначаємо в центрі цього максимально уточненого діапазону.

4. Точка эквідистантної кривої визначається на прямій n - нормалі до ДПК у точці і, на відстані ? від точки і (див. рис. 9). Пряма n проводиться через точку і перпендикулярно до прямої t - дотичної до ДПК у точці і. БК точки визначаються в системі трикутника і-1, і, і+1 за коефіцієнтами з рівняння прямої t і величини ?.

Координати інших точок эквідистантної кривої визначаються в системах БК відповідних трикутників.

Після визначення координат точок эквідистантної кривої в локальних системах БК, визначаються координати цих точок у загальній системі декартових координат.

Далі в розділі, з використанням програмного забезпечення, розробленого на основі запропонованого методу дискретного геометричного моделювання, розрахований конкретний приклад профілювання впускного каналу дизеля, що випускається на ВО "Південдизельмаш". При цьому отримана просторова вісь і сімейство поперечних перерізів каналової поверхні. Проекції осі каналу на координатні площини і перерізи каналової поверхні являють собою неосцилюючі згущені ДПК, точки яких розташовуються на кривих не нижче другого порядку гладкості з закономірним характером зміни значень кривини. Визначено площі поперечних перерізів, що задовольняють вимогам динаміки потоку і побудований графік їхньої зміни уздовж осі каналу.

ВИСНОВКИ

На підставі проведених у дисертаційній роботі досліджень розв'язана важлива науково-прикладна задача формування обводів із закономірним характером зміни значень кривини.

З цією метою розроблений новий метод дискретного геометричного моделювання неосцилюючих лінійних обводів за заданим законом зміни значень радіусів кривини, що спирається на спосіб їхньої оцінки в точках кривої, яка конструюється за допомогою стичних кіл.

Метод характеризується простотою розрахунків, можливістю локальної корекції одержуваного розв'язку, автоматичним запобіганням появи осциляції.

Значення для науки запропонованого методу полягає в розвитку теорії дискретного геометричного моделювання в напрямку розробки алгоритмів формування обводів при заздалегідь заданих умовах.

Використання отриманих результатів у наукових дослідженнях доцільно при розробці нових методів геометричного моделювання і розв'язання прикладних задач, що передбачають контроль і дотримання диференціально-геометричних характеристик обводів, що конструюються.

Значення для практики отриманих результатів полягає в підвищенні ефективності моделювання обводів із закономірним характером зміни кривини.

Створений метод дозволяє одержати оптимальний за умовами задачі розв'язок, скоротивши при цьому терміни проектування. Використання отриманого методу доцільно при конструюванні поверхонь, до аеродинамічних якостей яких пред'являються підвищені вимоги.

Загальні висновки по роботі:

1. Розвиток теорії і практики геометричного моделювання кривих ліній і

поверхонь вимагає створення методів, здатних:

формувати на базі точкових рядів довільної конфігурації, поданих на нерівномірній сітці, обводів другого порядку гладкості з закономірним характером

зміни кривини;

- задовольняти довільне число наперед заданих диференціально-геометричних умов при формуванні обводів;

- забезпечувати можливість локальних змін форми окремих ділянок обводів при відсутності впливу змін на характеристики інших ділянок;

- гарантувати відсутність осциляції у одержуваних обводах і графіків диференціально-геометричних характеристик.

2. Установлено, що при формуванні обводів точкових рядів довільної конфігурації, поданих на нерівномірній сітці, використання локальних систем барицентричних координат максимально спрощує геометричну схему згущення точкового ряду і скорочує обсяг необхідних обчислень. Розроблені алгоритми дозволяють здійснювати перехід від глобальної системи декартових координат до локальних систем барицентричних координат і навпаки. Позиційні задачі нарисної геометрії, розв'язані в системі барицентричних координат, забезпечують обчислювальну реалізацію геометричних схем згущення точкового ряду.

3. Запропоновано спосіб оцінки значень радіусів кривини, що можливо одержати в точках ДПК в результаті формування обводу. На підставі цього способу розроблена геометрична схема згущення точкового ряду, що дозволяє одержувати заздалегідь призначені значення радіусів кривини в точках обводу.

4. Розроблено спосіб аналізу вихідної ДПК із метою встановлення можливості формування на її основі обводу з закономірним характером зміни кривини. Спосіб дозволяє визначити всю область можливого розв'язку з урахуванням заданих додаткових умов і вибрати область оптимального за умовами задачі розв'язку.

5. На основі геометричної схеми згущення точкового ряду і способу аналізу вихідної ДПК розроблені алгоритми, що дозволяють формувати обводи нульового, першого і другого порядків фіксації, другого порядку гладкості, із закономірним характером зміни кривини уздовж обводу.

Розроблені алгоритми дозволяють конструювати криві довільної конфігурації, у тому числі:

- замкнені криві;

- криві, що містять ділянки перегину;

- криві, що містять ділянки зростання й убування значень кривини.

6. Розроблені алгоритми забезпечують розв'язання прикладних задач дискретного моделювання:

- оцінка точності дискретної інтерполяції;

- проведення дотичної до ДПК;

- визначення точки перетину ДПК із довільною прямою;

- побудова кривої, эквідистантної до заданої ДПК.

7. Створене на основі розроблених алгоритмів програмне забезпечення дозволяє формувати на базі точкових рядів довільної конфігурації обводи з закономірним характером зміни кривини. Програмне забезпечення пройшло перевірку реального проектування на ВО "Південдизельмаш" (м. Токмак) при профілюванні впускних і випускних каналів дизельних двигунів.

Вірогідність отриманих у роботі теоретичних результатів підтверджується тестовими прикладами, а також розв'язанням практичних задач профілювання в процесі впровадження.

СПИСОК ОСНОВНИХ ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Гавриленко Є. А. Про можливість згущення дискретно представленої кривої при умові монотонності зміни її кривини. //Прикл. геом. та інж. графіка, - К., КДТУБА, 1994. - Вип. 56. - с. 126-127.

Гавриленко Є. А. Визначення рівняння дотичного кола до прямої в барицентричних координатах //Прикл. геом. та інж. графіка, - К., КДТУБА, 1997. - Вип. 61. - с. 211-212.

Гавриленко Є. А. Анализ дискретно представленной кривой на возможность контроля кривизны при ее конструировании //Прикл. геом. и инж. графика /Труды ТГАТА. - Мелитополь, 1998. - Вып. 4. - Т. 4 - с. 51-54.

Гавриленко Є. А. Конструирование дискретно представленной кривой при стыковке прямолинейного и криволинейного участков //Труды ТГАТА. - Мелитополь, 1998. - Вып. 4. - Т. 4. - с. 55-58.

Гавриленко Є. А. Стикування кола з ділянкою змінної кривини при конструюванні дискретно поданої кривої //Прикл. геом.. та інж. графіка /Праці ТДАТА. - Мелітополь, 2001. - Вип.. 4. - Т. 13. - с. 122-125.

Гавриленко Є. А. Точність дискретної інтерполяції кривих з закономірною зміною значень кривини //Прикл. геом. та інж. графика /Праці ТДАТА. - Мелітополь, 2003. - вип. 4. - Т. 21. - с. 93 - 96.

Найдиш В. М., Гавриленко Є. А. Використання барицентричних координат при локальному згущенні ділянок дискретно поданої кривої //Прикл. геом. та інж. графіка /Праці ТДАТА. - Мелітополь, 2003. - Вип. 4. - Т. 18. - с. 40-44.

Найдиш В. М., Гавриленко Є. А., Мітін В. М. Розв'язання прикладних задач дискретної інтерполяції з використанням алгоритму формування обводу з монотонною зміною кривини //Прикл. геом. та інж. графіка /Праці ТДАТА. - Мелітополь, 2003. - вип. 4. - Т. 19. - с. 49 - 52.

Гавриленко Є. А. Визначення положення точки згущення при формуванні обводу другого порядку гладкості з використанням дотичних //Прикл. геом.. та інж. графіка /Праці ТДАТА. - Мелітополь, 2000. - Вип. 4. - Т. 11. - с. 104-108.

Гавриленко Є. А. Конструирование кривой с монотонным изменением кривизны. Мелітопольський ін-т мех. с. г., Мелітополь, 1994, - 11 с.; Деп. в ГНТБ України 20.04.94, №802 - Ук 94.

Гавриленко Є. А. Конструирование дискретно представленной кривой с применением барицентрических координат. Мелітопольський ін-т мех. с. г., Мелітополь, 1994 - 7 с., Деп. в ГНТБ України 20.04.94, №804 - Ук 94.

Гавриленко Є. А. Дискретная плоская интерполяция с использованием барицентрических координат. Тези доп. Всеукр. наук.-метод. конф. "Геометричне моделювання, інженерна та комп'терна графіка", Харків, 1993. - с. 40.

Гавриленко Є. А. Использование барацентрических координат при конструировании дискретно представленной кривой. Тезисы докл. Междунар. научно-практ. конф. "Моделирование процессов и технологичского оборудования в сельском хозяйстве", Мелитополь, 1994. - с. 70.

Гавриленко Є. А. Стыковка прямолинейного и криволинейного участков при конструировании дискретно заданной кривой. Тезисы докл. Междунар. научно-практ. конф. ''Современные проблемы геометрического моделирования'', Мелитополь, 1996. - с. 165-166.

Найдиш В. М., Гавриленко Є. А. Конструирование кривой с монотонным изменением кривизны с использованием барицентрических координат. Тези доп. Міжнар. наук.-метод. конф. ''Геометричне моделювання. Інженерна та комп'ютерна графіка." Львів, 1994, - с. 54.

Найдиш В. М., Гавриленко Є. А. Сгущение ДПК с закономерным изменением кривизны. Тезисы докл. Междунар. научно-практ. конф. ''Современные проблемы геометрического моделирования", Донецк, 2000. - с. 159-160.

АНОТАЦІЇ

Гавриленко Є.А. Дискретна інтерполяція плоских одновимірних обводів з закономірною зміною кривини . - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.01.01 - Прикладна геометрія, інженерна графіка. - Таврійська державна агротехнічна академія. Україна, Мелітополь, 2004.

Захищається дисертація та 16 наукових праць, у яких досліджується дискретна інтерполяція дискретно поданих кривих (ДПК) з монотонною зміною кривини. Пропонується метод дискретного геометричного моделювання неосцилюючих лінійних обводів за заданим законом зміни кривини, що спирається на спосіб оцінки значень радіусів кривини в точках кривої, що конструюється за допомогою стичних кіл.

Метод містить у собі попередній аналіз вихідної ДПК, що дозволяє визначити область можливого і вибрати область оптимального за умовами задачі розв'язку; згущення ДПК, що забезпечує формування в точках одержуваного обводу заздалегідь призначених значень радіусів кривини.

Розроблені алгоритми дозволяють одержувати обводи другого порядку гладкості нульового, першого і другого порядків фіксації. На підставі розроблених алгоритмів запропоновані способи конструювання ДПК із закономірним характером зміни кривини, що містять опуклі, угнуті, прямолінійні ділянки, ділянки зростання й убування кривини уздовж кривої, ділянки незмінного радіуса, а також замкнені криві.

Результати дослідження впроваджені у виробництво і використовуються при профілюванні впускних і випускних трактів дизельних двигунів.

Ключові слова: радіус кривини, стичне коло, згущення, осциляція, барицентричні координати.

Гавриленко Е.А. Дискретное интерполирование плоских одномерных обводов с закономерным изменением кривизны. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.01.01 - Прикладная геометрия, инженерная графика. - Таврическая государственная агротехническая академия. Украина, Мелитополь, 2004.

Защищается диссертация и 16 научных работ, в которых исследуется дискретная интерполяция дискретно представленных кривых (ДПК) с монотонным изменением кривизны. Предлагается метод дискретного геометрического моделирования неосциллирующих линейных обводов по заданному закону изменения кривизны, опирающийся на способ оценки значений радиусов кривизны в точках конструируемой кривой при помощи прилегающих окружностей.

Метод включает в себя предварительный анализ исходной ДПК, позволяющий определить область возможного решения и выбрать область оптимального по условиям задачи решения; сгущение ДПК, обеспечивающее формирование в точках получаемого обвода заранее назначенных значений радиусов кривизны.

При определении положения точек сгущения используется алгоритм, предусматривающий задание исходного точечного ряда в глобальной системе декартовых координат, расчет координат точек сгущения в локальных системах барицентрических координат, обратный переход к исходной системе декартовых координат.

Предложены способы локальной корректировки получаемого в результате сгущений точечного ряда. Корректировка возможна на любой стадии формирования обвода. Целью корректировок является обеспечение устойчивости процесса последовательных сгущений и достижение максимальной плавности изменения значений кривизны вдоль обвода.

Разработанные алгоритмы позволяют получать обводы второго порядка гладкости нулевого, первого и второго порядков фиксации. На основании разработанных алгоритмов предложены методы конструирования ДПК с закономерным характером изменения кривизны, содержащих выпуклые, вогнутые, прямолинейные участки, участки возрастания и убывания кривизны вдоль кривой, участки неизменного радиуса, а также замкнутые кривые.

С использованием полученных алгоритмов решены задачи прикладного характера: оценка точности дискретной интерполяции; проведение касательной к ДПК; определение точки пересечения ДПК с произвольной прямой; построение кривой, эквидистантной к заданной ДПК; рассчитан конкретный пример профилирования впускного канала дизеля, выпускаемого на ПО "Юждизельмаш".

Результаты исследования внедрены в производство и используются при профилировании впускных и выпускных трактов дизельных двигателей.

Ключевые слова: радиус кривизны, прилегающая окружность, сгущение, осцилляция, барицентрические координаты.

Gavrilenko Е.А. Discrete interpolation of plane one-dimensional contours with regular change of curvature . - Manuscript.

The dissertation on competition of a scientific degree of the candidate of engineering science on a speciality 05.01.01 - Applied geometry, engineering diagram. - Таvria state аgrotechnical academy. Ukraine, Мelitopol, 2003.

The dissertation and 16 scientific works is protected, in which the discrete interpolation of the discretely presinted curves (DPC) with monotonous change of curvature is investigated. The method of discrete geometrical modeling unoscillation of linear contours under the given law of change of curvature leaning on a way of an estimation of meanings of radiuses of curvature in points designed curve is offered with help the aujoining of circles.

The method includes the preliminary analysis initial DPC, allowing to determine area of the possible decision and to choose area optimum on conditions of a task of the decision; a condensation DPC, ensuring formation in points of received contour beforehand of nominated meanings(importance) of radiuses of curvature.

The developed algorithms allow to receive contours of the second degree smoothness of the zero, first and second orders of fixing. On the basis of the developed algorithms the methods of designing DPC with regular character of change of curvature containing convex, concave, rectilinear sites, sites of increase and decrease of curvature along a curve, sites of constant radius, and also closed curves are offered.

The results of research are introduced into manufacture and used at profilation of inlet and final pathes of diesel engines.

Key words: radius of curvature, aujoining of circle, condensation, oscillation, baricentric of coordinate.

Размещено на Allbest.ru

...